INF-MAT5370. Delaunay-trianguleringer og Voronoi-diagram

Transkript

1 INF-MAT5370 Delaunay-trianguleringer og Voronoi-diagram Øyvind Hjelle Simula Research Laboratory, September 7, 2009

2 Innhold Klassisk teori Optimale trianguleringer og Delaunay-trianguleringer Voronoi-diagram og Delaunay-trianguleringer Delaunay-trianguleringer: 1 Lokale egenskaper 2 Globale egenskaper Vi skal bruke dette til algoritmekonstruksjon senere.

3 Optimale trianguleringer Observasjon fra algoritmer i preliminaries : En triangulering (P) er ikke nødvendigvis entydig! Kan endre enn triangulering gjennom en sekvens av swaps: (a) α (b) α To trianguleringer av samme punktsett. b har flere smale trekanter enn a Smale trekanter er ofte uønsket. Kan f.eks. gi numeriske problemer i (geometriske) algoritmer.

4 Hva er en god triangulering? Forslag: En triangulering er god hvis trekantene er mest mulig likesidede. Definition Anta at vi sammenligner alle mulige trianguleringer av et punktsett P. Velg en av de som har en trekant med den største minimale vinkel. Dette kalles MaxMin-vinkel kriteriet. (a) α (b) α Både a og b tilfredstiller MaxMin vinkel-kriteriet. Vi trenger derfor mer presisering for å oppnå entydighet.

5 Definisjon av en optimal triangulering Til alle mulige trianguleringer { k (P)} k=1,... tilordnes en indikator-vektor: I( k ) = (α 1,α 2,...,α T ), α i α j, i < j, der α i er den minste vinkelen i trekant t i. Anta at alle k har samme rand slik at antall trekanter T er den samme for alle k ( T = 2 V I + V B 2). Sorterer {I( k (P))} k=1,... leksikografisk, dvs: I( a ) > I( b ) hvis α a i = α b i, i = 1,...,m 1 og α a m > α b m Vi sier at a er bedre enn b hvis I( a ) > I( b ). Definition Den optimale trianguleringen i { k (P)} k=1,... er den med størst indikator-vektor.

6 Optimal triangulering, eksempel: (a) α (b) α I( a ) = (14.04, 26.57, 36.87, 40.60, 40.60, 49.40, 50.91)... I( b ) = (14.04, 15.26, 19.44, 26.57, 29.74, 36.87, 45.00)... Observasjoner: I( a ) > I( b ), dvs. a er bedre enn b a er optimal i henhold til MaxMin-kriteriet Definition (Delaunay-triangulering I) En triangulering av P som er optimal i henhold til MaxMin-kriteriet og som er definert på Conv(P) kalles en Delaunay-triangulering av P.

7 Vinkler som utspenner samme sirkelsegment α α β γ 2α γ < α < β

8 Nøytralt tilfelle ( neutral case ) for MaxMin-kriteriet Fire punkter på en sirkel kan trianguleres på to måter i henhold til MaxMin-kriteriet: (a) (b) a α 1 a α 2 e i b α 2 ' e i b α 1 Dette kalles et nøytralt tilfelle ( neutral case ). Samme minste vinkel opptrer både i a og b ; og MaxMin-kriteriet er oppfylt for begge. Men kun b or optimal i henhold til MaxMin-kriteriet:

9 ... nøytralt tilfelle, men der en er optimal (a) (b) a α 1 a α 2 e i b α 2 ' e i b α 1 I( a ) = (α a 1,α a 2), I( b ) = (α b 1,α b 2) α a 1 = α b 1, αb 2 > αa 2 I( b ) > I( a )

10 Hva med entydighet generelt? Det finnes alltid en optimal triangulering siden antall mulige trianguleringer av P er endelig (når antall punkter i P er endelig), men... Det kan være mer enn en optimal triangulering: e e Fire hjørner av et rektangel kan trianguleres på to måter i henhold til MaxMin-kriteriet (nøytralt tilfelle). De samme vinklene optrer hvis diagonalen swappes.

11 Optimale trianguleringer; Oppsummering Vi har definert: et mål på godhet av en triangulering (P) med: MaxMin-vinkelkriteriet og indikator-vektoren I( ) en optimal triangulering er den med maks indikaror-vektor I( ) i den leksikografiske ordningen. Vi har gitt en første definisjon på en Delaunay-triangulering: DEFINISJON. (Delaunay-triangulering I) En triangulering av P som er optimal i henhold til MaxMin-kriteriet og som er definert på Conv(P), kalles en Delaunay-triangulering av P.

12 Voronoi-dagram Gitt et sett punkter i planet, P = {p 1,...,p N }, d(p i,p j ) = p i p 2 Til hvert punkt p i P tilordnes en Voronoi-region: V (p i ) = {x d(x,p i ) < d(x,p j ), j = 1,...,N. i j} p i V (p i ) består av alle punkter i planet som er nærmere p i enn alle andre punkter i P.

13 Konstruksjon av V (p i ) La H(p i,p j ) være halv-planet som inneholder p i og definert ved normal-bisektoren mellom p i and p j, dvs. H(p i,p j ) = {x d(x,p i ) < d(x,p j )} V (p i ) er snittet av N 1 halv-plan. V (p i ) = H(p i,p j ). V (p i ) har maks N 1 sider. Lemma V (p i ) er konveks. j=1,...,n j i Proof. Et halv-plan er konveks; og snittet mellom konvekse mengder er konveks = V (p i ) er konveks.

14 Voronoi-diagram Voronoi-diagrammet til P = {p 1,...,p N } = V D(P) = N i=1 V (p i).

15 Voronoi-diagram, definisjoner V (p i ) kalles Voronoi-regionen til p i P V D(P) = N i=1 V (p i) kalles Voronoi-diagramet til P Randen til V (p i ) kalles et Voronoi-polygon Kantene i V (p i ) kalles Voronoi-kanter Nodene i V (p i ) kalles Voronoi-punkter To punkter p i og p j kalles Voronoi-naboer hvis V (p i ) og V (p j ) har en felles kant. Voronoi-diagram kalles også Dirichlet-tesellering

16 ANTAGELSE: Fire eller flere punkter i punktsettet P er ikke ko-sirkulære. Theorem Nøyaktig tre Voronoi-kanter møtes i hvert Voronoi-punkt v.

17 e 1 V(p 1 ) e 2 V(p k ) v... V(p 2 ) V(p 3 ) e 3 e 1 k = 2 V(p 1 ) e 2 v V(p 2 ) e k Bevis; se figur Observasjoner: Hver Voronoi-kant er felles for eksakt to V (p i ): e i er felles for V (p i 1 ) og V (p i ) for i = 2,...,k og e 1 er felles for V (p k ) og V (p 1 ), (k 2) v er felles skjæringspunkt mellom Voronoi-kanter e 1,...,e k v er ekvidistant fra p i 1 og p i etc. = v er ekvidistant fra p 1,...,p k.

18 e 1 V(p 1 ) e 2 V(p k ) v... V(p 2 ) V(p 3 ) e 3 e 1 k = 2 V(p 1 ) e 2 v V(p 2 ) e k bevis... = p 1,...,p k er ko-sirkulære = k 3, jfr. ANTAGELSE. Anta k = 2: Både e 1 og e 2 er felles med V (p 1 ) og V (p 2 ) OG begge hører til H(p 1,p 2 ) H(p 2,p 1 ) = e 1 og e 2 kan ikke ha skjæringspunkt i v.

19 ' Theorem V (p i ) er ubegrenset p i ligger på ConvHull(P). Med ConvHull(P) menes det konvekse omhylningspolygonet med kanter e 1,..., e k i figuren under. C C 1,3 A 1,2 p 1 C 1,2 p i x u p 2 ' p p 1 2 e 1 e 2 e 3 ' p 3 p 3 C 2,3 p ' k p i e k V(p i )... Bevis Hvis p i ikke ligger på ConvHull(P); da er p Int(t 1,2,3 ) der t 1,2,3 er en trekant med hjørner p 1, p 2 og p 3 (må vises) u er nærmere p 1 eller p 2 enn p i. Alle punkter x utenfor C er nærmere p 1, p 2 eller p 3 enn p i. = V (p i ) Int(C) dvs. begrenset.

20 ' C C 1,3 A 1,2 p 1 C 1,2 p i x u p 2 ' p p 1 2 e 1 e 2 e 3 ' p 3 p 3 C 2,3 p ' k p i e k V(p i )... bevis, motsatt... Anta V (p i ) er begrenset, se figur til høyre. = p i er innenfor polygonet (p 1,p 2,... p k ) og kan dermed ikke ligge på ConvHull(P)

21 Voronoi-diagrammet; egenskaper V (p i ) er konveks (se over) V (p i ) V (p j ) = φ. N i=1 V (p i) dekker hele R 2 p i ConvHull(P) V (p i ) er ubegrenset, ellers er V (p i ) begrenset. V D(P) er entydig Tre Voronoi-kanter møtes i hvert Voronoi-punkt * Et Voronoi-punkt er ekvidistant fra tre Voronoi-naboer i P *. Nermeste nabo til et punkt p i definerer en Voronoi-kant. * Gjelder kun hvis 4 punkter i P ikke er ko-sirkulære.

22 egenskaper... Kan generaliseres til høyere dimensjoner Kan også defineres på en kuleflate Brukes i: GIT Medisin Statistikk/Geo-statistikk?...

23 Dualen til Voronoi-diagrammet Konstruksjon av dualen: Trekk en rett linje mellom alle Voronoi-naboer i P: Theorem Rett linje-dualen til et Voronoi-diagram av P er en regulær triangulering av P.

24 Proof. Se Preparata & Shamos side Hovedtrekkene i beviset er som følger: Hvert Voronoi-punkt v svarer til en trekant (konstruktivt bevis) Ingen trekanter er degenerert. Int(t i ) Int(t j ) = φ Hele Conv(P) er dekket av trekanter.

25 Observasjoner / Egenskaper: Voronoi-naboer som er assosiert med ubgrensede Voronoi-diagramer definerer ConvHull(P). Dualitet: Hver Voronoi-kant kan assosieres med en sidekant i en trekant Hvert Voronoi-punkt kan assosieres med en trekant: Et Voronoi-punkt er senteret i den omskrivende sirkelen til en trekant.

26 Definition (Delaunay-triangulering II) En Delaunay-triangulering av P er rett linje-dualen til Voronoi-diagrammet av P. (Vi skal senere vise at dette er ekvivalent med Definisjon I.) Kan nå også avlede Voronoi-diagrammet fra en Delaunay triangulering.

27 Flere definisjoner: Trekantene kalles Delaunay-trekanter Kantene kalles Delaunay-kanter Vi sier også at (P) er Delaunay

28 Nøytralt tilfelle ( neutral case ) Voronoi-diagrammet er entydig, men ikke nødvendigvis Delaunay-trianguleringen: (a) p 4 (b) p 4 p 3 p 3 p 1 p 1 p 2 p 2 (a): p 2 og p 4 er Voronoi-naboer, men ikke p 1 og p 3 (b): p 1 og p 3 er også Voronoi-naboer = det er to alternative måter å lage Delaunay- trianguleringen på. Definisjoner: I (a) kalles p 2 og p 4 Sterke Voronoi-naboer I (b) kalles p 2 og p 4 Svake Voronoi-naboer

29 Entydighet og eksistens Viktige observasjoner til senere: En Delaunay triangulering, (P) er entydig hvis fire (eller flere) punkter i P ikke danner et nøytralt tilfelle (er ko-sirkulære). Gitt et endelig sett med punkter P som ikke alle er ko-linære; da eksisterer det alltid en Delaunay-triangulering av P.

30 Litt bevisteknikk til senere Mange av teoremene har en hvis og bare hvis - konstruksjon: P hvis og bare hvis Q eller P Q (Q P) Bevis(implikasjon): Viser at P = Q og at Q = P. P = Q kan vises direkte: Viser at Q er sant hvis P er sant, eller Indirekte (motbevis): Anta motsatt: at P er sant og at Q ikke er sant. Viser at hvis Q ikke er sant så er P ikke sant ( Q = P) dvs. en umulighet

31 Theorem En kant e i,j mellom to punkter p i og p j i P er en Delaunay-kant. det eksisterer en sirkel C gjennom p i og p j slik at det indre av C ikke inneholder punkter fra P.

32 Proof. C har senter v på linjen H(p i,p j ) H(p j,p i ) og v er ekvidistant fra p i og p j. Hvis C ikke inneholder punkter fra P så er v nærmere p i og p j enn alle andre punkter i P og: v ligger på en Voronoi-kant felles for V (p i ) og V (p j ) p i og p j er Voronoi-naboer og e i,j er en Delaunay-kant. Hvis e i,j er en Delaunay-kant: Plasser en sirkel C med senter på Voronoi-kanten felles for V (p i ) og V (p j ) og la C interpolere p i og p j : Da finnes det ingen punkter fra P i det indre av C fra definisjonen av Voronoi-region.

33 Sirkel-kriteriet Et Voronoi-punkt er ekvidistant fra tre Voronoi-naboer i P. Hvert Voronoi-punkt kan assosieres med en trekant: Et Voronoi-punkt er senteret i den omskrivende sirkelen til en trekant. I et nøtralt tilfelle kan et Voronoi-punkt assosieres med to eller flere trekanter.

34 Lemma (sirkel-lemma) Den omskrivende sirkel til en trekant i en Delaunay-triangulering av P omslutter ingen punkter fra P. p 2 p 1 V( p 1 ) V( p 2 ) v V( p 3 ) C( T 1,2, 3) p 4 p 3

35 p 2 p 1 V( p 1 ) V( p 2 ) v V( p 3 ) C( T 1,2, 3) p 4 p 3 Motbevis. > Senteret v er et Voronoi-punkt felles for V (p 1 ), V (p 2 ) og V (p 3 ). > Anta at p 4 var innenfor C(t 1,2,3 ): > Da er v nærmere p 4 enn p 1, p 2 og p 3 ; og v må ligge i V (p 4 ). > Men da kan v ikke være et Voronoi-punkt felles for V (p 1 ), V (p 2 ) og V (p 3 ) MOTSIGELSE!

36 Definition (Delaunay-triangulering III, sirkel-kriteriet) En Delaunay-triangulering av P er en triangulering der ingen omskrivende sirkel til en trekant omslutter punkter i P.

37 Sirkel-kriteriet... Definisjon III er den mest benyttede definisjonen av en Delaunay-triangulering. (mer geometrisk og intuitiv enn Definisjon I). Sirkel-kriteriet har det samme nøytrale tilfellet som MaxMin-kriteriet: C p 4 p 3 p 1 p 2 Hvis p 1, p 2, p 3 og p 4 ligger på en sirkel C, er det to mulige trianguleringer: = {t 1,2,3,t 1,3,4 } og = {t 1,2,4,t 2,3,4 } C(t 1,2,3 ) = C(t 1,3,4 ) = C(t 1,2,4 ) = C(t 2,3,4 ) = C.

38 Delaunay-kriteriene er ekvivalente for strengt konvekse kvadrilateraler Et kvadrilateral kalles strengt konveks hvis alle indre vinkler er mindre enn 180. Det er to mulige trianguleringer av p 1,p 2,p 3,p 4 : = {t 1,2,4,t 2,3,4 } og = {t 1,2,3,t 1,3,4 } (Fra tidligere: MaxMin- og sirkel-kriteriet har de samme nøytrale tilfeller.) p 4 b p p 1 q p c q c p 3 b p 2

39 p 4 b p p 1 q p c q c p 3 b p 2 Lemma Gitt et strengt konveks kvadrilateral Q = (p 1,p 2,p 3,p 4 ). MaxMin-kriteriet velger kanten (p 2,p 4 ) som diagonal i Q hvis og bare hvis p 3 er utenfor C(t 1,2,4 ), og (p 1,p 3 ) velges hvis og bare hvis p 3 er innenfor C(t 1,2,4 ).

40 b p 4 p b + c p 4 b+p p 1 p +q q c p 3 p 1 q p c+q c p b 3 p 2 p 2 Bevis La (e 2,4) og (e 1,3) være trianguleringene med valg av sidekant e 2,4 og e 1,3. Anta at p 3 er utenfor C(t 1,2,4 ). Da er det følgende relasjoner mellom de indre vinklene, se figur:

41 Da må den største minimale vinkel være i (e2,4). Resten følger fra symmetri. b p 4 p b + c p 4 b+p p 1 p +q q c p 3 q p 1 p c+q c p b 3 p 2 p 2 (e 2,4) (e 1,3) b > b c > c p > p q > q p + q > p b + c > b b + p > p c + q > q

42 Voronoi-kriteriet (a) p 4 (b) V ( p4) e v, p 1 v V ( p ) 2 C( t 1,2,4 ) v V ( p 3 ) p 2 p 3 p 3 Lemma Gitt et strengt konveks kvadrilateral Q = (p 1,p 2,p 3,p 4 ). Da er p 2 og p 4 sterke Voronoi-naboer hvis og bare hvis p 3 er utenfor C(t 1,2,4 ), og p 1 og p 3 er sterke Voronoi-naboer hvis og bare hvis p 3 er innenfor C(t 1,2,4 ).

43 (a) p 4 (b) V ( p4) e v, p 1 v V ( p ) 2 C( t 1,2,4 ) v V ( p 3 ) p 2 p 3 p 3 Bevis Start med P = {p 1,p 2,p 4 }. Da er p 2 og p 4 trivielt sterke Voronoi-naboer over e v,, figur (a). Legg til p 3 utenfor C(t 1,2,3 ) slik at Q = (p 1,p 2,p 3,p 4 ) er strengt konveks, figur (b). = d(v,p 3 ) > d(v,p i ), i = 1,2,4 = v / V (p 3 ) = En del av e v,, er fortsatt en kant i V D(Q). = p 2 og p 4 er fortsatt sterke Voronoi-naboer.

44 (a) p 4 (b) V ( p4) e v, p 1 v V ( p ) 2 C( t 1,2,4 ) v V ( p 3 ) p 2 p 3 p 3 Motsatt: Anta p 2 og p 4 er sterke Voronoi-naboer. = e 2,4 er en Delaunay-kant og (t 1,2,4,t 2,3,4 ) er Delaunay-trianguleringen. Sirkel-lemma: p 3 C(t 1,2,4 ). Også her har vi samme nøytrale tilfellet: Hvis p 1,p 2,p 3 og p 4 er ko-sirkulære, så er p 1,p 3 og p 2,p 4 parvis svake Voronoi-naboer, og valg av diagonal er vilkårlig.

45 Vi har tre definisjoner på en Delaunay-triangulering med hvert sitt (ekvivalente) swappe-kriterium. MaxMin-kriteriet: DEFINISJON. (Delaunay-triangulering I) En triangulering av P som er optimal i henhold til MaxMin-kriteriet og som er definert på Conv(P), kalles en Delaunay-triangulering av P. Voronoi-kriteriet : DEFINISJON. (Delaunay-triangulering II) En Delaunay-triangulering av P er rett linje-dualen til Voronoi-diagrammet av P. Sirkel-kriteriet: DEFINISJON. (Delaunay-triangulering III, sirkel-kriteriet) En Delaunay-triangulering av P er en triangulering der ingen omskrivende sirkel av en trekant omslutter punkter i P.

46 Algoritmisk behandling av Delaunay-kriteriene: p 4 v v 4 3 β p 3 p 1 v 2 α v 1 p 2 La α og β være de indre vinklene motsatt en eksisterende diagonal. if (Q is strictly convex) if (α + β > π) swap. Eller uten sjekk på konveksitet: Siden α + β < 2π, er swap-kriteriet sin(α + β) < 0, eller: if (cos α sin β + sin αcos β < 0) swap.

47 La a = (a 1,a 2,a 3 ), b = (b 1,b 2,b 3 ) Kryssprodukt: a b = (a 2 b 3 a 3 b 2,a 3 b 1 a 1 b 3,a 1 b 2 a 2 b 1 ) Skalarprodukt: a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. p 4 v v 4 3 β p 3 p 1 v 2 α v 1 p 2 p i = (x i,y i,0), i = 1,2,3,4 La v i, i = 1,2,3,4 være enhetsvektorer og v i R 3 : v i = ( v 1 i,v2 i,0) v 1 = (p 3 p 2 )/ p 3 p 2 2 e 3 = (0,0,1).

48 p 4 v v 4 3 β p 3 p 1 v 2 α v 1 p 2 (x 3 x 2 )(y 1 y 2 ) (x 1 x 2 )(y 3 y 2 ) sin α = (v 1 v 2 ) e 3 = p 3 p 2 p 1 p 2 (x 1 x 4 )(y 3 y 4 ) (x 3 x 4 )(y 1 y 4 ) sinβ = (v 3 v 4 ) e 3 = p 1 p 4 p 3 p 4 cos α = v 1 v 2 = (x 3 x 2 ) (x 1 x 2 ) + (y 3 y 2 )(y 1 y 2 ) p 3 p 2 p 1 p 2 cos β = v 3 v 4 = (x 1 x 4 )(x 3 x 4 ) + (y 1 y 4 )(y 3 y 4 ). p 1 p 4 p 3 p 4 if (cos α sin β + sin αcos β < 0) // (nevnere brukes ikke) swap.

49 En ekvivalent swap-test. if (D > 0) swap. p 4 v v 4 3 β p 3 p 1 v 2 α v 1 p 2 La D være determinanten: x 1 y 1 x y2 1 1 D = x 2 y 2 x y2 2 1 x 3 y 3 x y x 4 y 4 x y2 4 1 Da er følgende en ekvivalent swap-test:

50 Må sikre numerisk stabilitet!!! Eksakt eller nesten eksakt aritmetikk? Multiple tester? Eksempel på bruk av multiple tester: Swap-test algoritme 1 if (cos α < 0 and cos β < 0) 2 return TRUE // swap 3 if (cos α > 0 and cos β > 0) 4 return FALSE 5 if (cos α sinβ + sin αcos β < ǫ) // ǫ 0 6 return TRUE // swap 7 else 8 return FALSE.

51 Minste diagonal er ikke et Delaunay-kriterium!!! Moteksempel: Den lengste diagonalen må velges!!! Men det er nesten et Delaunay kriterium og billigere å teste.

52 Lokal optimerings-prosedyre (LOP) p 4 p 3 α β p 1 p 2 LOP[Lawson77]: For et kvadrilateral Q i med diagonal e i i en triangulering : Swap e i hvis Delaunay-kriteriene slår til Definition e i kalles lokalt optimal etter LOP eller hvis den ikke kan swappes. Definition kalles lokalt optimal hvis alle sidekanter i er lokalt optimale (etter LOP).

53 Theorem Gitt en triangulering og la e ι være en diagonal i et strengt konveks kvadrilateral. Anta at e ι skal swappes til e ι i henhold til Delaunay-kriteriene slik at erstattes av. Da er I( ) > I( ). Proof. La α i og α j være de minste vinklene i hver sin trekant i som deler sidekanten e ι. Anta i < j, dvs. α i α j i indikatorvektoren I( ) = (α 1,......,α i,...,α j,......α T ). Siden e ι ble swappet til e ι, vil den minste vinkelen i de to trekantene som deler e ι være større enn α i. = I( ) kommer foran I( ) i den leksikografiske ordningen og I( ) > I( ).

54 LOP-algoritme på en triangulering 1 Lag en vilkårlig triangulering av P. 2 Dersom er lokalt optimal, STOP. 3 La e i være en indre kant i som ikke er lokalt optimal 4 Swap e i to e i 5 GOTO 2. Hvis LOP gjentas på alle e i, vil I( ) vokse monotont. Siden antall mulige trianguleringer er endelig må LOP konvergere! Resultat av LOP: En triangulering der alle e i er lokalt optimale, dvs. er lokalt optimal.

55 Kommentarer: For vilkårlige swap-kriterier, for eks. MinMax, vil den lokalt optimale trianguleringen etter LOP avhenge av rekkefølgen vi swapper i. = I( ) konvergerer ikke nødvendigvis til et globalt optimum. Men: Vi skal vise senere at I( ) med LOP og Delaunay-kriteriene konverger mot et leksikografisk maksimum! Og dermed har vi i følge: DEFINISJON. (Delaunay-triangulering I) En triangulering av P som er optimal i henhold til MaxMin-kriteriet og som er definert på Conv(P), kalles en Delaunay-triangulering av P.... at er en Delaunay-triangulering!

56 Globale egenskaper ved Delaunay-trianguleringer Til nå har vi tre ulike definisjoner av en Delaunay-triangulering med tilhørende Delaunay-kriterier: 1 Optimal triangulering m.h.p. MaxMin-vinkelkriteriet 2 Rett linje-dualen til et Voronoi-diagram 3 Sirkel-kriteriet: Int (C(t i,j,k )) inneholder ingen punkter fra P. Vi skal nå linke sammen 2 & 3 med 1 til en enhetlig teori ved å se på globale egenskaper: LOP resulterer i en globalt optimal triangulering, dvs. en Delaunay-triangulering iflg. tidligere Definisjon I. I det følgende antar vi (som vanlig) at fire eller flere punkter i et punktsett P ikke er ko-sirkulære.

57 Theorem ( ) Alle indre kanter i en triangulering (P) er lokalt optimale (hvis og bare hvis) Ingen punkter i P er i det indre av en omskrevet sirkel til en trekant i (P). Kommentar: Tidligere har vi kun vist dette for konvekse kvadrilateraler med fire punkter i P og to trekanter i (P). Konsekvensen av teoremet blir følgende: Etter at LOP er kjørt på (P) er det ingen punkter i P som er innenfor en omskrevet sirkel til en trekant i (P). (Dermed vil (P) tilfredsstille en av definisjonene til en Delaunay-triangulering. Men vi skal nå ta utgangspunkt i den konstruktive definisjonen fra et Voronoi-diagram.)

58 Bevis, del I: = Hvis ingen punkter i P er innenfor en omskrevet sirkel, så vil LOP ikke swappe - altså, alle kanter er lokalt optimale.

59 C (a) a C (b) a q δ p p b c b c

60 C (a) a C (b) a q δ p p b c b c bevis del II: = (motbevis:) Anta at alle e i er lokalt optimale og at p C(t a,b,c ). p kan ikke være et punkt i et kvadrilateral dannet med t a,b,c p.g.a. hypotese. Anta at t a,b,c er den nærmeste trekant til p s.a. p C(t a,b,c ), se figur: e a,c kan ikke være på randen av (P), dvs. t a,c,q. q / C(t a,b,c ) p.g.a. hypotese om at e a,c er lokalt optimal. Anta at e c,q er nærmeste sidekant i t a,c,q til p. >> 1) Da er avstanden mellom p og e c,q opplagt mindre enn δ, og 2) p C(t a,c,q ) >>> Motsigelse til hypotesen om at t a,b,c er nærmest p og p C(t a,b,c ).

61 Sammenhengen mellom en lokalt optimal triangulering (som definert ved LOP) og en Delaunay-triangulering (som definert fra Voronoi-diagram). Først et resultat som vil bli brukt i noen sammenhenger senere. P = { } Lemma ( ) La P være et subsett av et punktsett P. To punkter i P som er sterke Voronoi-naboer i P er også sterke Voronoi-naboer i P.

62 Proof. Ser på effekten av å fjerne et punkt p / P fra P; P = {P \ p}. V (p) absorberes inn i nabo-regioner. Ingen Voronoi-kanter mellom andre Voronoi regioner blir kortere. = To punkter i P som er sterke Voronoi-naboer i P er også sterke Voronoi-naboer i P. Beviset følger ved å betrakte fjerning av ett og ett punkt til P gjenstår.

63 Theorem ( ) Alle indre kanter i en triangulering (P) er lokalt optimale (hvis og bare hvis) (P) er en Delaunay-triangulering som definert ved rett linje-dualen til et Voronoi diagram.

64 Kommentar: Tidligere har vi kun vist dette for konvekse kvadrilateraler med fire punkter i P og to trekanter i (P). Bevis, del I = Hvis er en Delaunay-triangulering så er ingen punkter i P innenfor en C(t i,j,k ) (sirkel-lemma). Teorem ( ): alle indre kanter er lokalt optimale.

65 r p q s

66 q r p s bevis, del II = (motbevis) Anta at alle indre kanter er lokalt optimale og at ikke er en Delaunay- triangulering. Det finnes to sterke Voronoi-naboer p og q som ikke definerer en kant i (P). pq må skjære det indre av en sidekant e r,s i en trekant t q,r,s, se figur. (også hvis q ConvHull(P)) I følge hypotesen er e r,s lokalt optimal. > p / C(t q,r,s ) i følge Teorem ( ) over. > p og q kan ikke være sterke Voronoi-naboer relativt til sub-settet {p,s,q,r} av P. Men i følge Lemma ( ) MÅ p og q være sterke Voronoi-naboer i {p,s,q,r} siden de er sterke Voronoi-naboer i P. >> Motsigelse!

67 Konsekvens av den lokale optimerings-prosedyren LOP: LOP på en vilkårlig triangulering konvergerer mot (og resulterer i) en Delaunay-triangulering slik vi har definert den fra Voronoi-diagrammet. Corollary (P) er en Delaunay-triangulering (hvis og bare hvis) ingen punkter i P er innenfor en omskrevet sirkel til en trekant i (P). Dette følger direkte fra de to foregående teoremer. Kommentar: Dette er trolig den mest brukte karakteristikken av en Delaunay-triangulering (sammen med Definisjon III).

68 Alle mulige trianguleringer av P kan nås via kant-swaps: Theorem Gitt en vilkårlig triangulering (P) med konveks rand. Da kan enhver triangulering (P) med samme rand som (P) nås via en sekvens av kant-swaps ved å starte fra. Proof. Det følger fra Teorem ( ) at LOP anvendt på (P) og (P) resulterer i Delaunay-trianguleringer. > Siden Delaunay-trianguleringen er entydig er resultatene den samme trianguleringen, R (P). En swap av en sidekant er reversibel og likeledes en sekvens av swaps. = Starter med (P) som kan swappes til R (P) som igjen kan swappes til (P).

69 Delaunay-trianguleringen er også globalt optimal, d.v.s, en lokal optimal triangulering er også globalt optimal når vi bruker Delaunay-kriteriene: Theorem En triangulering (P) er en Delaunay-triangulering som definert ved rett linje-dualen til Voronoi diagrammet (hvis og bare hvis) indikator-vektoren I( ) er leksikografisk maksimum. Bevis del I, = Hvis indikator-vektoren til er leksikografisk maksimum så må alle sidekantene i være lokalt optimale. > Da følger det av Teorem ( ) at er en Delaunay-triangulering.

70 bevis del II, = (motbevis) Anta at er Delaunay og at I( ) ikke er leksikografisk maksimum. Siden er Delaunay er alle kanter lokalt optimale (Teorem ( )) Hvis I( ) ikke er leksikografisk maksimum, så (P) slik at I( ) > I( ). LOP på (P) gir nå en (P) slik at I( ) > I( ) og (P) er også Delaunay (Teorem ( )) > Siden Delaunay-trianguleringen er entydig så er =, og følgelig I( ) = I( ). >> Motsigelse!

71 Litt oppsummering LEMMA (sirkel-lemma). Den omskrivende sirkel til en trekant i en Delaunay-triangulering av P omslutter ingen punkter fra P. TEOREM. En kant e i,j mellom to punkter p i og p j i P er en Delaunay-kant det eksisterer en sirkel C gjennom p i og p j slik at det indre av C ikke inneholder punkter fra P. TEOREM ( ). Alle indre kanter i en triangulering (P) er lokalt optimale Ingen punkter i P er i det indre av en omskrevet sirkel til en trekant i (P). LEMMA ( ). La P være et subset av et punktsett P. To punkter i P som er sterke Voronoi-naboer i P er også sterke Voronoi-naboer i P.

72 TEOREM ( ). Alle indre kanter i en triangulering (P) er lokalt optimale (P) er en Delaunay-triangulering som definert ved rett linje-dualen til et Voronoi diagram. COROLLAR. (P) er en Delaunay-triangulering ingen punkter i P er innenfor en omskrevet sirkel til en trekant i (P). TEOREM. En triangulering (P) er en Delaunay-triangulering som definert ved rett linje-dualen til Voronoi diagrammet indikator-vektoren I( ) er leksikografisk maksimum. LOP resulterer i en globalt optimal triangulering, dvs. en Delaunay-triangulering.