To geometriske algoritmer, kap. 8.6

Transkript

1 INF 4130, 18. november 2010 To geometriske algoritmer, kap. 8.6 Computational Geometry Stein Krogdahl Hovedkapittelet t (kap. 8) dreier seg generelt om devide-and-conquer eller splitt og hersk : Splitt problemet opp i mindre problemer. Løs hvert av de mindre problemene (kanskje rekursivt ved ytterligere oppdelinger?) Finn løsningen på det store problemet ved å bruke løsningene vi fant på de mindre problemene Vi skal se påto geometriske problemer som greit kan p g p g løses på denne måten. 1

2 Geometriske algoritmer Computational Geometry Feltet dreier seg om algoritmer som løser problemer i det vanlige 2- eller 3-dimensjonale (eller n-dimensjonale) rom Vi skal her bare ha 2 dimensjoner. Bruksområder: Mønstergjenkjening Datagrafikk Grafiske informasjonssystemer GIS CAD/CAM (DAK/DAP) Robotikk VLSI-design Statistikk Eksempler vi skal se på: Gitt en mengde punkter i planet: Finn convex hull = Konveks innhylling (se neste foil) Finn det par av punkter som har minst avstand 2

3 Convex hull Kunne oversettes til det konvekse hull Men det er ikke et sånt hull! av en punktmengde. 3

4 Det er et sånt hull = skrog Vi kaller det derfor her den konvekse k innhylling 4

5 Konveks innhylling La P være en mengde punkter i et k-dimensjonalt rom, P R k. (Vi skal for enkelthets skyld bare se på k = 2.) Definisjon En mengde Q R k er konveks dersom: for alle punkter q 1, q 2 Q linjesegmentet q 1 q 2 ligger i Q. Definisjon Den konvekse innhyllingen til en mengde punkter P R k er den minste konvekse mengde Q som inneholder punktene i P. 5

6 Utgangspunkt: En punktmengde i planet 6

7 Konveks innhylling av en punktmengden Bokas intuisjon: Punktene er spiker, og vi legger en strikk rundt 7

8 Svaret skal komme som punkter (x,y) i rekkefølge rundt polygonet, Startpunkt t og retning kan variere 8

9 Én måte å lage den konveks innhyllingen på: Kalles Jarvis March Idé: Snurr en hyssing stegvis rundt punktene Start f.eks. med punktet med minst x-verdi (er alltid på den konveksek innhyllingen!?). 9

10 Første skritt Sving tråden mot høyre, og stopp ved første berøring med et punkt Dette er neste punkt på innhyllingen 10

11 Videre: Snurr så videre, alltid rundt siste punkt man fant, til man berører et nytt punkt. Må i hvert steg finne det punktet som det er minst svingvinkel til. Tar tid O(n) med rett fram algoritme 11

12 Neste steg: 12

13 Og neste: 13

14 Og neste: 14

15 Og neste: 15

16 Avslutning: Når man finner startpunktet som neste punkt 16

17 Og altså: Den konvekse innhylling: Og Jarvis march har marsjert ferdig Har i to dimensjoner worst case tid: O(n 2 ) I d dimensjoner er w-c-tiden: O(n( floor(d/2)+1) ) 17

18 En annen metode for å finne konveks k innhylling. Denne bruker splitt og hersk -teknikken Deler først punktene opp i to like store (modulo odde tall) mengder vha. vertikale linjer 18

19 Første oppdeling Deler mengden i to ved x-medianen (kan finnes i lineær tid, men ikke viktig) Gjentar dette for hver mengde helt til vi får 1, 2 eller 3 punkter i hver av mengdene. 19

20 Konveks innhylling D l di d i j i t d di Deler disse mengdene igjen i to ved x-median, helt til vi får 2 eller 3 punkter i mengdene. 20

21 Tredybder 2 Ferdig oppdeling Dybden i oppdelingen blir ikke større enn log 2 n 21

22 Løser det dypeste nivået Lett: Finner innhyllinger for 2 eller 3 punkter 22

23 Kobler sammen igjen Kobler sammen to og to innhyllinger etter trestrukturen nedenfra Metoden for dette kommer om et øyeblikk! 23

24 Fram til siste sammenkobling: Disse bør nå kobles sammen slik som angitt Hvordan finne disse broene?? 24

25 q 3 q 5 Sammenslåing av to konvekse innhyllinger: Hvordan finne øvre bro? q 4 p 1 q 2 q 1 q 7 q 6 Vet at alle x i i den ene er mindre enn alle x j i den andre. Antar at venstre innhylling er nummerert mot klokka og at den høyre er nummerert med klokka La p1 være lengst til høyre (langs x-aksen) i sin innhylling, og q1 lengst til venstre i sin. 25

26 q 3 q 5 Hvordan starte sammensetningen av to? q 4 q 2 p 1 q 1 q 7 q 6 Vi kommer til å starte med den røde kanten, men vi må kunne avgjøre om en sekvens av tre punkter svinger mot høyre eller mot venstre? 26

27 Lite mellomspill: Hvordan kan vi finne retningsforandringen i punktet P 2 = (x 2, y 2 ) for punktsekvensen: P 1 =(x 1,y 1 ) -> P 2 =(x 2,y 2 ) -> P 3 =(x 3,y 3 ) p 3 = (x 3, y 3 ) p 3 = (x 3, y 3 ) p 3 = (x 3, y 3 ) p 2 = (x 2, y 2 ) p 2 = (x 2, y 2 ) p 2 = (x 2, y 2 ) p 1 = (x 1, y 1 ) p 1 = (x 1, y 1 ) p 1 = (x 1, y 1 ) Venstresving Rett fram Høyresving x 1 y 1 x y x 2 3 y x 1 y 1 x y x 2 3 y x 1 y 1 x y x 2 3 y Dette er såkalte determinanter 27 Bergningen fremgår av neste foil

28 Hvordan beregne determinanten for 3x3-matriser? Gitt matrisen A: a b c A d e f g h i det( A) e a h f i d b g f i d c g e h Et morsomt skjema for å beregne 3x3-determinanter: aei afh bdi bfg cdh ceg Siden c, f og i er lik 1 i vårt tilfelle blir dette: = ae ah bd + bg + dh eg 28

29 Hvordan starte sammensetningen av to? q 4 q 3 q 5 q 2 p 1 q 6 q 1 q 7 Altså p 1 er lengst til høyre i sin innhylling, og q 1 lengst til venstre i sin, og vi bruker linjen (p 1, q 1 ) som utgangspunkt Når vi skal finne øvre bro går vi med nummereringen i begge polygoner Starter med å flytte på en side der p 1 -q 1 -q 2 svinger til venstre eller q 1 -p 1 -p 2 svinger til høyre. Gjelder her begge! 29

30 q 3 q 5 Vi får da denne situasjonen q 4 q 2 p 1 q 1 q 7 q 6 Fortsetter alltid å teste svingretning på den samme siden Her svinger p1 q2 q3 fremdeles til venstre Derfor, vi går ett hakk til på den samme siden 30

31 q 3 q 5 Og kommer til denne situasjonen q 4 q 2 p 1 q 1 q 7 q 6 Men nå svinger p1 q3 q4 mot høyre Dermed flytter vi oss til andre siden 31

32 Tester svingretning på q3 - p1- p2 p 5 p 4 p 3 q 4 p 2 q 3 q5 q 2 p 6 p 1 q 1 q 7 q 6 Denne går gal vei, så vi må flytte ett hakk opp på p-siden siden. 32

33 q 3 q 5 Så vi får denne situasjonen p 5 p 4 p 3 q 4 p 2 q 2 p 6 p 1 q 1 q 7 q 6 Og ny testing på p-siden viser at vi må fortsette her 33

34 q 3 q 5 Til denne situasjonen p 5 p 4 p 3 q 4 p 2 q 2 p 6 p 1 q 1 q 7 q 6 Men nå er svingretningen riktig på p-siden Vi skifter tilbake til q-siden 34

35 q 3 q 5 Må da sjekke vinklen på høyre side p 5 p 4 p 3 q 4 p 2 q 2 p 6 p 1 q 1 q 7 q 6 Denne er gal, så vi går ett hakk videre her 35

36 q 3 q 5 Konveks innhylling p 5 p 4 p 3 q 4 p 2 q 2 p 6 p 1 q 1 q 7 q 6 Riktig vinkel på høyre side, MEN 36

37 q 3 q 5 Konveks innhylling p 5 p 4 p 3 q 4 p 2 q 2 p 6 p 1 q 1 q 7 q 6 feil vinkel på venstre side. Må gå videre opp på den siden 37

38 q 3 q 5 Får situasjonen p 5 p 4 p 3 q 4 p 2 q 2 p 6 p 1 q 1 q 7 q 6 38

39 q 3 q 5 Avslutning av øvre bro p 5 p 4 p 3 q 4 p 2 q 2 p 6 p 1 q 1 q 7 q 6 Vi sjekker her først svingretningen på venstre side (der vi var) og den er nå riktig. Må så sjekke om det er mer igjen på høyre side, men også her er svingretningen nå riktig Når nå begge er riktige har vi funnet øvre bro! 39

40 q 3 q 5 Finner nedre bro på tilsvarende måte: p 5 p 4 p 3 q 4 p 2 q 2 p 6 p 1 q 1 q 7 q 6 Må nå finne de punktene som skal kastes. Det er de vi var innom men ikke brukte under søket på broene. Resten må så om-nummereres så vi får en sammenhengende nummerering rundt det nye polygonet. 40

41 Oppsummering: Algoritme for konveks innhylling Vi sorterer nodene etter x-koordinat. Dette tar tid O(n log 2 n) Hver gang vi spleiser to innhyllinger må vi potensielt flytte endepunktene på broen(e) O(n) ganger, så hver spleis tar tid O(n) Vi gjør opplagt log 2 n oppdelinger, siden vi hele tiden deler vår opprinnelig mengde av n noder i to, så det er log 2 n spleiser. Total kjøretid O(n log 2 n). Denne kjøretiden er faktisk optimal, siden vi kan bruke denne omhyllingsalgoritmen til å sortere, og det kan ikke 41 gjøres fortere enn O(n log 2 n)

42 Sortering vha. omhyllings-algoritmen SORTING CONVEX HULL T=<t 1, t 2,, t n > P={(t 2 )(t 2 2 1, t 12 ),(t 2, t 22 ),, (t n, t n2 )} (usorterte heltall) (en punktmengde) Å sortere n tall kan altså gjøres med Følgende rutine som benytter en CONVEX HULL-algoritmen som subrutine: SORTING(T){ < Lag punktmengden P ut fra T, som beskrevet over > O(n) H = CONVEX_HULL(P) /* Finner innhyllingen H */ O(n log 2 n) < Finn nederste punkt i H (lavest y-koordinat) > O(n) < Les av x-koordinaten til punktene i retning mot klokka > O(n) } O(n log 2 n) Altså: Kunne vi løst CONVEX HULL raskere enn O(n log 2 n), kunne vi også sortert n tall raskere enn O(n log 2 n), som vi vet er umulig.) 42

43 Neste problem: Finn det par av noder som har minst avstand Gitt en mengde punkter i k-dimensjonalt rom, P R k. Vi ønsker vi å finne det par av punkter som har kortest innbyrdes avstand. Vi skal igjen bare se på k = 2. Dette kan vi opplagt gjøre i tid O(n 2 ) ved å se på alle par, men vi skal lage en mer effektiv algoritme basert på divide-and-conquer. 43

44 Nærmeste par av punkter Deler i to ved x-median, helt til vi får 2 eller 3 punkter i mengdene, Altså akkurat som ved omhylling, Finner i hver av disse små mengdene det punktparet med korteste avstand. Tar tid O(n) 44

45 Så ved siste spleising: d 1 d 2 45

46 Hva er situasjonen? d 1 d 2 Ikk ikk k d f d Ikke sikkert korteste avstand fra en av mengdene er kortest i den spleisede mengden. 46

47 Klarer oss med å se nær skjøten! d d d = min{d 1,d 2 } d 1 d 2 Må fi i d b l lik Må finne nærmeste par i dette beltet og sammenlikne med d 1 og d 2. 47

48 Punktene ligger ikke så tett d d d = min{d 1,d 2 } 2d I en slik firkant (2d x 2d stor), kan det maksimalt ligge 12 punkter siden avstanden mellom dem før spleisen var minst d. 48

49 Hovedtrikset d d d = min{d 1,d 2 } d 1 2d d 2 For hver node på venstre side er det altså maksimalt 6 noder på høyre side det må sjekkes mot. Vi går gjennom alle nodene i venstre siden av beltet nedenfra og opp, Det er da bare seks punkter på høyresiden det må t49 sjekkes mot (går raskt fordi det er sortert på y-verdier)

50 Oppsummering: Algoritme for nærmeste par av punkter: Vi sorterer nodene både etter x- og gy-koordinat. Dette tar tid O(n log 2 n). Spleise-steget t tar tid O(n) )(for hver node id den ene siden av skjøten er det bare et konstant (6) antall noder som må sjekkes på den andre siden. Ettersom nodene er sortert på både x- og y-koordinat er det greit å holde rede på hvilke noder det er snakk om. Vi gjør opplagt log 2 n oppdelinger, siden vi hele tiden deler vår opprinnelig mengde av n noder i to, så det er log 2 n spleiser. Altså: Total kjøretid O(n log 2 n). 50