LP. Leksjon Spillteori

Transkript

1 LP. Leksjon Spillteori Kapittel 11: spillteori matrisespill optimale strategier von Neumann s minmax teorem forbindelse til LP nyttig LP modellering av (visse) minmax and maxmin problemer 1 / 11

2 Eksempel: Stein-Saks-Papir Spillet: To personer velger uavhengig av hverandre en av følgende tre muligheter: Stein, Saks eller Papir. Regler: Stein slår Saks, Saks slår papir, Papir slår Stein. Payoff matrise: A = Rad spiller (R) velger en rad i, the Kolonne spiller (K) velger en kolonne j, og payoff (utbetaling) er elementet a ij : radspiller R betaler til kolonnespiller K a ij kroner (NOK). Tilsvarende for en generell m n matrise A = [a ij ]; dette kalles et Matrisespill. 2 / 11

3 Rene strategier Valget over kalles en ren strategi (eller deterministisk strategi): velg en rad (eller kolonne). Merk: i Stein-Saks-Papir vil ingen ren strategi være garantert å vinne (hvis spillet gjentas), f.eks. hvis R alltid velger Papir vil K snart velge Saks. Mål: analysere Matrisespill generelt Definer P R (i) = max j n a ij : største payoff for R ved strategi i P K (j) = min i m a ij : minste payoff til K ved strategi j V = max j n P K (j) : største garanterte payoff til K V = min i m P R (i) : minste garanterte payoff fra R Hvis P K (j) = V kalles j en ren maxmin strategi. Hvis P R (i) = V kalles i en ren minmax strategi. Hvis V = V, sier vi at spillet har en verdi, nemlig V := V = V. I Stein-Saks-Papir er V = 1 < 1 = V. 3 / 11

4 Eksempel: Betrakt matrisespillet gitt ved A = Da blir P K (1) = 1, P K (2) = 2, P K (3) = 2, P K (4) = 0, så V = max j P K (j) = 2. Videre: P R (1) = 7, P R (2) = 2, P R (3) = 4, så V = min i P R (i) = 2. Dermed er V = V = V = 2. En ren maxmin strategi for K er j = 3 idet P K (3) = 2 = V, og en ren minmax strategi for R er i = 2 idet P R (2) = 2 = V. Proposisjon (i) P K (j) a ij P R (i) (i m, j n) (ii) P K (j) V V P R (i) (i m, j n) 4 / 11

5 Proof. P K (j) = min k a kj a ij max k a ik = P R (i). Og (ii) følger av (i) ved først å ta max over j, som gir P K (j) V P R (i) og deretter ta min over i; dette gir (ii). Et par (r, s) av strategier (for hhv. R og K) kalles et sadelpunkt dersom a rj a rs a is for alle i, j så r er beste valg for R når K velger s, og s er beste valg for K når R velger r. Merk: a rs er minst i sin kolonne, og er størst i sin rad. Eksempel: (r, s) = (2, 1) er sadelpunkt i [ ] 3 5 A = 2 1 I eksemplet på forrige side var både (2, 2) og (2, 3) sadelpunkt. Noen matriser har sadelpunkt, andre ikke! 5 / 11

6 Teorem Spillet har en verdi, spiller R har en ren minmax strategi r og spiller K har en ren maxmin strategi s hvis og bare hvis (r, s) er et sadelpunkt i A. I så fall er verdien V = a rs. Proof. (i) Anta at spillet har en verdi V, spiller R har en ren minmax strategi r og spiller K har en ren maxmin strategi s. Da er a is P K (s) = V = V = V = P R (r) a rj (i m, j n) Spesielt for i = r, j = s, får vi a rs V a rs, så V = a rs, og (igjen fra ulikhetene) a is a rs a rj for alle i, j, som betyr at (r, s) er sadelpunkt. (ii) Anta (r, s) sadelpunkt dvs. a rj a rs a is for alle i, j Da er V = max j P K (j) P K (s) = min a is = a rs i og tilsvarende V = min i P R (i) P R (r) = max j a rj = a rs, så V V. Men, ved Proposisjonen, er da V = V og likhetene gir at V = V = a rs, r er ren minmax strategi for R og s er ren maxmin strategi for K. 6 / 11

7 Randomiserte strategier Kan altså ha V < V, men dette er fordi vi har sett på rene strategier, som vi nå skal se. Kan være bedre å bruke en randomisert strategi: R velger rad i med sannsynlighet y i, og, uavhengig, velger K kolonne j med sannsynlighet x j. Så: m i=1 y i = 1, y i 0 (i m) m j=1 x j = 1, x j 0 (j n) Forventet payoff fra R til K er (husk sannsynlighetsteori!): y i a ij x j = y T A x i j 7 / 11

8 Hvilken strategi bør man bruke? Hvis spiller K velger (randomisert) strategi x, så er det beste valget for spiller R å velge y slik at y T A x minimeres (siden R må betale dette beløpet). Derfor er det beste valget for K å velge en x som er optimal i problemet max x Dette kalles en maxmin strategi. min y T A x y Tilsvarende analyse fra spiller R s perspektiv: R er en y som er optimal i problemet det beste valget for min y Dette kalles en minmax strategi. max y T A x x I (det enkle) Saks-Pose-Stein spillet følger det fra symmetri at (1/3, 1/3, 1/3) er både en maxmin strategi (for K) og en minmax strategi (for R). 8 / 11

9 Maxmin problemet: strategi for spiller K La e i være i te koordinat vektor og e vektoren med bare enere (av passe lengde). Merk at et LP problem der tillatt område er en standard simpleks S = {y : i y i = 1, y O} er lett å løse, så vi får: v = max min y T A x = max min e x y x i T A x i Derfor kan spiller K s strategi problem skrives som LP problemet max{v : v e T i A x (i m), j x j = 1, x O} med variable v IR, x IR n ; som blir i matrisenotasjon: (LP-K) max s.t. v ve A x O e T x = 1 x O Så: vi kan finne en optimal strategi x for K effektivt ved å løse dette LP problemet. 9 / 11

10 Minmax problemet: strategi for spiller R Tilsvarende analyse for spiller R: u = min y max x y T A x = min y max y T A e j j Så, spiller R s strategi problem blir LP problemet min{u : u y T A e j (j n), i y i = 1, y O} med variable u IR, y IR m ; som er (LP-R) min s.t. u ue A T y O e T y = 1 y O 10 / 11

11 Minmax teoremet Teorem [John von Neumann(1928)] La x være en optimal strategi for spiller K og y en optimal strategi for spiller R. Da er v = max x (y ) T A x = min y T A x = u y d.v.s., min y max x y T A x = max x min y y T A x. Proof. Man kan sjekke at problem LP-R er det duale LP problemet til LP-K. (Oppgave!) Så, ved dualitetsteoremet for LP er den optimale verdien v av LP-K lik den optimale verdien u av LP-R, og dette viser teoremet. Den felles verdien v = u kalles verdien i spillet: dette er forventet payoff når begge spillere velger en optimal strategi. Det er også mullig å vise LP dualitets teoremet fra von Neumann s teorem! Løs LP ene over, for noen valgte matriser A, bruk OPL-CPLEX. 11 / 11