67( 'LJLWDO VLJQDOEHKDQGOLQJ

Transkript

1 TE6146 ignalbehandling 67( 'LJLWDO VLJQDOEHKDQGOLQJ 'LVNUHWH VLJQDOHU RJ V\VWHPHU Et signal er noe som inneholder informasjon Kan fysisk realiseres ved strømmer og spenninger, lyd, bilde etc ignalbehandling tar for seg representasjon, transformasjon og manipulasjon av signaler og informasjonen de inneholder Flere typer signaler: [ Analoge signaler (tidsvariabel og amplitude er kontinuerlig) [ Diskrete signaler (tid diskret, amplitude kontinuerlig) [ Digitale signaler (tid diskret, amplitude diskret, dvs kvantifisert) Istedenfor tid, kan feks plassering inngå (billedbehandling) Diskrete signaler har en eller flere variable som er diskrete Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 1

2 TE6146 ignalbehandling +YRUIRU EHKDQGOLQJ DY VLJQDOHU L GLVNUHW WLG? Klar analogi mellom diskrete signaler og digitale signaler (må bare ta med effekter av kvantisering) Diskret signalbehandling er mere generell, og inkluderer digital signalbehandling Fordeler med digital signalbehandling: [ Garantert nøyaktighet [ Perfekt reproduserbarhet [ Ikke drift pga alder eller temperatur [ tørre fleksibilitet mhp implementasjon av avanserte algoritmer [ Ytelse totalt overlegen analog signalbehandling Kan implementere egenskaper som ikke er mulig å få til vha analog signalbehandling (feks lineær fase) [ Lett å oppnå fordeler fordi den underliggende teknologien (halvledere) forbedres meget raskt Ytelse, størrelse, kostnad, effektforbruk etc Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 2

3 TE6146 ignalbehandling 8OHPHU PHG GLJLWDO VLJQDOEHKDQGOLQJ Hurtighet og kostnad ignaler med båndbredde over 100 MHz behandles fortsatt analogt Tid for design Bla stor mangel på ingeniører som behersker digital signalbehandling Numeriske problemer pga endelig ordlengde i bit Fordelene oppveier ulempene med god margin, og digital signalbehandling er stort sett dominerende innenfor industri og forskning Kun i spesielle tilfeller (enkle applikasjoner, høy båndbredde) benyttes analog signalbehandling Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 3

4 TE6146 ignalbehandling 'LVNUHWH VLJQDOHU: ) OJHU Diskrete signaler representeres matematisk som en følge (sekvens) av tall: [ [ Q, " Q, Q heltall Kan i praksis fremkomme med periodisk sampling av analoge signaler [ Q [ D ŸQ7, " Q 7 er samplingsperiode, I 1/7 samplingsfrekvens [ Q er strengt tatt bare ett tall i følgen, men benyttes ofte for å representere hele følgen angir diskret avhengighet av variabel, mens Ÿ benyttes for kontinuerlig avhengighet, [ Q, [ŸW Merk: [ Q eksisterer bare når Q er et heltall Følgen er ikke null mellom to tidsindekser som er heltall! Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 4

5 TE6146 ignalbehandling %DVLVI OJHU RJ EDVLVRHUDVMRQHU,, Produkt og sum av to følger finnes ved å multiplisere eller summere elementer i følgene som har samme tidsindeks Multiplikasjon mellom en følge og et tall, tilsvarer multiplikasjon av hvert enkelt element i følgen med tallet Forsinkelse (tidsskift): \ Q [ Q " Q 0 (\ Q er [ Q forskjøvet Q 0 punkt mot høyre på tidssaksen, dvs \ Q er forsinket i forhold til [ Q ) Diskret impuls: - Q 0, Q p 0 1, Q 0 Diskret impuls har ikke samme matematiske komplikasjoner som tilsvarende funksjon i kontinuerlig tid (Dirac-puls) En tilfeldig følge kan representeres som en sum av skalerte diskrete impulser som er tidsforskjøvet Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 5

6 TE6146 ignalbehandling %DVLVI OJHU RJ EDVLVRHUDVMRQHU,,, X Q Følge kan generelt uttrykkes som N [ Q! [ N - Q " N (26) N" Enhetssprang: 1, u 0 1, Q 0 Q, dvs X Q! - N N" Alternative sammenhenger mellom sprang og impuls: X Q! - Q " N N0 - Q X Q " X Q " 1 Eksponentielle følger: [ Q $) Q Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 6

7 TE6146 ignalbehandling %DVLVI OJHU RJ EDVLVRHUDVMRQHU,,,, inusfølge: [ Q $ cosÿf 0 Q C, Q Dersom ) ) H MF 0,$ $ H MC, fremkommer [ Q $) Q $ H MC ) Q H MF0Q $ ) Q cosÿf 0 Q C M $ ) Q sinÿf 0 Q C For ) 1er dette en kompleks eksponentiell følge med formen [ Q $H MŸF 0QC $ H MC ) Q H MF0Q $ cosÿf 0 Q C M $ sinÿf 0 Q C Q er alltid heltall Dette gir viktige forskjeller mellom diskrete og kontinuerlige sinusfunksjoner: [ Komplekse eksponentielle følger med frekvens ŸF 0 2=U kan ikke skilles fra hverandre i det diskrete tilfelle Trenger altså bare å se på frekvenser over et intervall på 2=, feks "= F 0 t = [ Komplekse eksponentielle følger er ikke nødvendigvis periodiske med periode 2=/F 0 Periodisitet når [ Q [ Q 1, hvilket i dette tilfellet innebærer at frekvensen F 0 må tilfredsstille F 0 1 2=N, 1 og N heltall Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 7

8 TE6146 ignalbehandling %DVLVI OJHU RJ EDVLVRHUDVMRQHU,,9 Det finnes 1 forskjellige frekvenser som gjør de tilsvarende komplekse eksponentielle følgene periodiske med periode N Et sett med slike frekvenser er F N 2=N/1, N 0,1,T,1 " 1 Tolkning av høye og lave frekvenser er forskjellig for kontinuerlige og diskrete tidsfølger Diskrete eksponentiell følger er periodiske i F 0,ogF 0 2= kan ikke skilles fra F 0 0 I det diskrete tilfellet er frekvenser like under = de høyeste, mens frekvenser rundt F 0 2=N er lave frekvenser Generelt er frekvenser rundt F 0 = 2=N høye frekvenser Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 8

9 TE6146 ignalbehandling 'LVNUHWH V\VWHPHU,, Et diskret system er en transform eller operator som gir en avbildning fra en inngangsfølge [ Q til en utgangsfølge \ Q : \ Q 7 [ Q Utgangen ved tidsindeks Q, kan avhenge av alle verdier av inngangen [ Q, ikke bare verdien for samme tidsindeks Eksempler: [ Ideell forsinkelse: \ Q [ Q " Q G, " Q [ Moving Average -midling av inngangsverdier:\ Q [ Q " N ! 1 N"0 1 Klasser av systemer defineres ved å legge begrensninger på egenskapene til operatoren 7 Linearitet, kausalitet, tidsinvarians og stabilitet er viktige begreper Eks: ystem uten hukommelse, \ Q Ÿ[ Q 2, Q Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 9

10 TE6146 ignalbehandling /LQH UH V\VWHPHU,, Definert ved superposisjonsprinsippet: [ 7 [ 1 Q [ 2 Q 7 [ 1 Q 7 [ 2 Q [ 7 )[ Q )7 [ Q [ Tilsammen:7 )[ 1 Q *[ 2 Q )7 [ 1 Q *7 [ 2 Q Forsinkelse og moving average er lineære systemer Lettere å bevise at et system ikke er lineært, enn å bevise at det er lineært Må kun finne en inngangssekvens eller et sett av slike, slik at systemet med disse inngangene ikke tilfredstiller betingelsene for linearitet Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 10

11 TE6146 ignalbehandling 7LGVLQYDULDQWH V\VWHPHU Et tidsinvariant systemer er et system der et tidsskift (feks forsinkelse) for inngangsfølgen gir et tilsvarende tidsskift for utgangsfølgen Dersom [ Q gir \ Q, såvil[ 1 Q [ Q " Q 0 gi \ 1 Q \ Q " Q 0 Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 11

12 TE6146 ignalbehandling DXVDOLWHW Et system er kausalt dersom verdien av utgangsfølgen ved en tidsindeks Q 0 kun avhenger av inngangsfølgen [ Q for Q t Q 0 Dette må gjelde for alle Q 0 Utgangen påvirkes ikke av fremtidige innganger Dersom [ 1 Q [ 2 Q for Q t Q 0 så er \ 1 Q \ 2 Q for Q t Q 0 Eksempler: [ Forsinkelses-systemet er kausalt for Q G u 0 [ Moving average er kausalt dersom "0 1 u 0og0 2 u 0 Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 12

13 TE6146 ignalbehandling 6WDELOLWHW Et system er stabilt mhp begrenset inngang, begrenset utgang, hvis og bare hvis enhver begrenset inngang gir en begrenset utgang Inngangen er begrenset dersom det eksistere en fast positiv konstant % [, slik at [ Q t % [, Q Dersom systemet er stabilt finnes det en tilsvarende konstant % \ slik at \ Q t % \, Q når [ Q er begrenset Dette kalles Bounded Input Bounded Output stabilitet, eller bare BIBO-stabilitet Tidsinvarians, stabilitet, kausalitet og linearitet er systemegenskaper, dvs at disse egenskapene er uavhengige av inngangsfølgene Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 13

14 TE6146 ignalbehandling /LQH UH WLGVLQYDULDQWH V\VWHPHU,, pesielt viktig gruppe av systemer Linearitet av systemet kombinert med representasjonen av en vilkårlig følge som en forsinket følge av skalerte impulsresponser, medfører at systemet kan karakteriseres fullstendig med impulsresponsen K N Q er systemets respons på en impuls - Q " N ved Q N Dette gir vha lign (26) N \ Q 7! [ N - Q " N N" som kan skrives N \ Q! N" N [ N 7 - Q " N! N" [ N K N Q Merk at dersom systemet bare er lineært, vil K N være avhengig av både Q og N Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 14

15 TE6146 ignalbehandling /LQH UH WLGVLQYDULDQWH V\VWHPHU,,, Dersom systemet i tillegg er tidsinvariant, vil responsen på - Q " N være K Q " N,når responsen på - Q er K Q Dette gir N \ Q! [ N K Q " N Ÿ252 N" Gitt K Q vil det være mulig å beregne utgangen for enhver [ Q,siden enhver følge kan skrive som summen av tidsforskjøvede skalerte impulser Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 15

16 TE6146 ignalbehandling RQYROXVMRQ,, N \ Q! N" [ N K Q " N (252) kalles konvolusjonsummen \ Q er konvolusjonen mellom [ Q og K Q \ Q [ Q ' K Q Tolkning av (252): Den ene inngangsverdien ved tiden Q N, [ N - Q " N, resulterer i utgangsfølgen [ N K Q " N for Q For hver enkelt N superponeres alle disse utgangsfølgene til den totale utgangsfølgen e Fig 28 Konvolusjonssummen er ikke en approksimasjon av det kontinuerlige konvolusjonsintegralet Konvolusjonssummen er meget nyttig for diskrete systemer, feks ved realisering av slike (diskrete filtre etc) Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 16

17 TE6146 ignalbehandling RQYROXVMRQ,,, Alternativ grafisk tolkning: [ Må beregne K Q " N K "ŸN " Q for alle N og Q [ Finnes ved å snu K N om origo, noe som gir K "N, samt ved å skifte følgen slik at den starter i N Q, dvs Q tidsskritt forsinkelse i tid for Q 0 [ [ N multipliseres med K Q " N og produktene summeres over k [ For ny Q, skiftes K "N tilsvarende, og operasjonene over gjentas Konvolusjon kan også regnes ut på lukket form, dvs når [ Q og K Q er gitt som funksjoner av Q, og ikke bare som tallverdier e Eks 213 Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 17

18 TE6146 ignalbehandling RQYROXVMRQ,,,, Finnes også alternativ måte å implementere konvolusjon på vha polynommultiplikasjon Eks: 1,2,3,4 ' 1,3,5,6 (Pilen angir nullpunkt, dvs Q 0) u u Kan løses ved følgende multiplikasjon Ÿ1 2 "1 3 "2 4 "3 Ÿ1 3 "1 5 "2 6 "3 1 2 "1 3 "2 4 "3 3 "1 6 "2 9 "3 12 "4 5 "2 10 "3 15 "4 20 "5 6 "3 12 "4 18 "5 24 "6 1 5 "1 14 "2 29 "3 39 "4 38 "5 24 "6 Plukker ut koeffisienter, og får 1,2,3,4 ' 1,3,5,6 1,5,14,29,39,38,24 u u Kan enkelt flytte nullpunkt: 1, u 2,3,4 2 3 "1 4 "2 u Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 18

19 TE6146 ignalbehandling Koeffisient foran 0 tilsvarer indeks Q 0 Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 19

20 TE6146 ignalbehandling (JHQVNDHU WLO OLQH UH WLGVLQYDULDQWH V\VWHPHU,, Konvolusjon er kommutativ, [ Q ' K Q K Q ' [ Q Konvolusjon er distributiv over addisjon [ Q ' ŸK 1 Q K 2 Q [ Q ' K 1 Q [ Q ' K 2 Q En kaskadekombinasjon av to systemer har impulsrespons K Q K 1 Q ' K 2 Q Rekkefølgen av systemene er vilkårlig En parallellkombinasjon av to systemer har impulsrespons K Q K 1 Q K 2 Q Lineære tidsinvariante systemer er stabile hvis og bare hvis impulsresponsen er absolutt summerbar 6! K N (265) N" Kausalitet av lineære tidsinvariante systemer innebærer at K Q 0, Q 0 (270) Følge som er null når Q 0 kalles også NDXVDO I OJH Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 20

21 TE6146 ignalbehandling (JHQVNDHU WLO OLQH UH WLGVLQYDULDQWH V\VWHPHU,,, Kan også finne impulsresponsen til ikke-lineære og tidsvariante systemer, men nytteverdien er begrenset Bla gjelder ikke konvolusjonssummen, eller kriterier for stabilitet og kausalitet ystemer med impulsrespons som kun har et endelig antall elementer i følgen ulik null, kalles Finite-duration Impulse Response systems eller bare FIR Tilsvarende kalles systemer med impulsrespons som har et uendelig antall elementer ulik null Infinite-duration Impulse Response systems eller bare IIR Generelt kan ethvert ikke-kausalt FIR system gjøres kausalt ved å sette det i kaskade med en tilstrekkelig lang forsinkelse Definerer inverst system slik at dersom dette eksisterer, har det impulsrespons K L Q slik at K L Q ' K Q K Q ' K L Q - Q Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 21

22 TE6146 ignalbehandling /LQH UH GLIIHUHQVOLJQLQJHU PHG NRQVWDQWH NRHIILVLHQWHU,, En viktig underklasse av lineære systemer kan beskrives med lineære differensligninger av orden 1 Koeffisientene i ligningene er konstante: 1! N0 0 D N \ Q " N! P0 E P [ Q " P Det finnes et uendelig antall differensligninger som kan representere det samme systemet, dvs gi samme sammenheng mellom inngang og utgang Må ha flere begrensninger for å definere en unik løsninger Dersom \ Q er en partikulær løsning for en inngang [ Q, vil enhver løsning \ Q \ Q \ K Q også tilfredstille ligningen, der \ K Q er en løsning for [ Q 0 En homogen løsning finnes utfra 1! N0 D N \ K Q " N 0 Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 22

23 TE6146 ignalbehandling /LQH UH GLIIHUHQVOLJQLQJHU PHG NRQVWDQWH NRHIILVLHQWHU,,, Den homogene løsningen er medlem i en familie av løsninger på 1 formen \ K Q! P1 $ P ] P Q De komplekse tallene ] P må være røtter i 1! D N ] "N 0 Det finnes fremdeles 1 ukjente koeffisienter N0 Trenger 1 ekstrabetingelser Kan spesifisere 1 verdier av \ Q, feks \ "1,\ "2, T,\ "1 Alternativ: Med 1 gitte verdier kan andre verdier beregnes fra 1 DN 0 EN \ Q "! D 0 \ Q " N! D 0 [ Q " N N1 N0 eller når ŸQ "1 ved å benytte 1"1 DN \ Q " 1 "! N0 D 1 \ Q " N! N0 0 EN D 1 [ Q " N (rekursiv beregning) Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 23

24 TE6146 ignalbehandling /LQH UH GLIIHUHQVOLJQLQJHU PHG NRQVWDQWH NRHIILVLHQWHU,,,, Ønsker å se på systemer som er lineære, kausale og tidsvariante Differensligninger kan generelt representere systemer som er ulineære, ikke-kausale og tidsinvariante Grensebetingelsen må være i henhold til systemets egenskaper elv om systemet skal være lineært og tidsinvariant, kan differensligningen være konsistent med kausale eller ikke-kausale systemer Dersom systemet karakterisert med en lineær differensligning med konstante koeffisienter, er lineært, kausalt, og tidsinvariant, vil løsningen av differensligningen være unik Grensebetingelsen er nå at dersom [ Q 0 for Q Q 0, så er også \ Q 0 for Q Q 0 Kalles initial rest betingelse Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 24

25 TE6146 ignalbehandling /LQH UH GLIIHUHQVOLJQLQJHU PHG NRQVWDQWH NRHIILVLHQWHU,,9 Følgende gjelder for et system hvis sammenheng mellom inngang og utgang tilfredsstiller en lineær differensligning med konstante koeffisienter: [ Utgangen for en gitt inngang er ikke unikt spesifisert Det kreves ekstra grensebetingelser eller informasjon [ Dersom ekstra informasjon er gitt som 1 sekvensielle verdier av utgangen, kan andre verdier beregnes rekursivt [ Linearitet, tidsinvarians og kausalitet er avhengig av grensebetingelser [ Dersom en ekstra betingelse er at systemet initielt er i ro, vil systemet være lineært, tidsinvariant og kausalt Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 25

26 TE6146 ignalbehandling /LQH UH GLIIHUHQVOLJQLQJHU PHG NRQVWDQWH NRHIILVLHQWHU, 9 Differensligninger er viktig for realiseringen av signaltransformasjoner, feks filtre Det finnes mange forskjellige realisasjoner for samme system Hver realisering har ulike egenskaper (numeriske, beregningsbehov, etc) Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 26

27 TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHUHVHQWDVMRQ DY GLVNUHWH VLJQDOHU RJ V\VWHPHU,, Harmoniske signaler (sinus, cosinus), spesielt viktig i analyse av lineære kontinuerlige systemer (visere, frekvensrespons etc) Gir tolkning av systemets egenskaper mhp frekvens Tilsvarende for diskrete systemer Generelt er komplekse eksponentielle funksjoner egenfunksjoner for lineære systemer, dvs at det bare er fase og amplitude som endres av systemet ignalets prinsipielle form er uendret Anta at [ Q H MFQ, " Q Fårda [ \ Q! K N H MFŸQ"N H MFQ Ÿ! N" La +ŸH MF l Ÿ! K N H "MFN N" Får da \ Q +ŸH MF H MFQ N" K N H "MFN Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 27

28 TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHUHVHQWDVMRQ DY GLVNUHWH VLJQDOHU RJ V\VWHPHU,,, H MFQ er en egenfunksjon til systemet, med egenverdi +ŸH MF +ŸH MF kalles frekvensresponsen til systemet +ŸH MF kan skrives +ŸH MF + 5 ŸH MF M+, ŸH MF eller +ŸH MF +ŸH MF H "M1+ŸHMF uperposisjon: [ En rekke signaler kan representeres som [ Q! ) N H MF NQ N ) N +ŸH MF N H MF NQ [ Utgang blir da \ Q! N Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 28

29 TE6146 ignalbehandling )UHNYHQVUHUHVHQWDVMRQ DY GLVNUHWH VLJQDOHU RJ V\VWHPHU,,,, Viktig forskjell mellom frekvensresponsen for kontinuerlige og diskrete systemer: [ Frekvensresponsen til et diskret system er alltid periodisk med periode 2= Observasjonen er direkte relatert til det faktum at [ Q H MFQ, " Q ikke kan skilles fra [ Q H MŸF2= Q," Q ystemet må følgelig gi samme respons for de to følgene over, hvilket krever at frekvensresponsen er periodisk Det er kun nødvendig å spesifisere +ŸH MF over et intervall på 2=, feks "= F = Lave frekvenser nært oq=, Q partall, mens høye frekvenser er nært oq=, Q oddetall Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 29

30 TE6146 ignalbehandling RPOHNVH HNVRQHQWLHOOH LQQJDQJVIXQNVMRQHU,, Anta at et system er i ro, og så plutselig påføres et komplekst eksponentielt inngangssignal Hvordan blir responsen? La [ Q H MFQ X Q tarter ved Q 0 Utgang gitt av \ Q 0, Q 0 Q Ÿ! K N H "MFN H MFQ, Q 0 N0 Kan skrive ut formelen over for Q 0 \ Q Ÿ! N0 K N H "MFN H MFQ " Ÿ! +ŸH MF H MFQ " Ÿ! NQ1 NQ1 K N H "MFN H MFQ K N H "MFN H MFQ Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 30

31 TE6146 ignalbehandling RPOHNVH HNVRQHQWLHOOH LQQJDQJVIXQNVMRQHU,,, Har stasjonær del ( steady-state response ) pluss transient del \ Q \ VV Q \ W Q I noen tilfeller går den transiente delen mot null Må finne betingelser for at den transiente delen skal gå mot null: \ W Q "! K N H "MFN H MFQ NQ1 t! K N NQ1 Dersom impulsresponsen har endelig lengde, vil den transiente delen gå mot null, og kun den stasjonære delen vil gi bidrag til utgangen Merk at \ W Q "! NQ1 K N H "MFN H MFQ t! NQ1 K N t! K N N0 Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 31

32 TE6146 ignalbehandling RPOHNVH HNVRQHQWLHOOH LQQJDQJVIXQNVMRQHU,,,, Dersom! K N, er systemet stabilt Den transiente delen må må N0 bli mindre og mindre når Q v for et stabilt system En tilstrekkelig betingelse for at den transiente delen går mot null, er at systemet er stabilt tabilitet av systemet er også en tilstrekkelig betingelse for at systemet skal ha en frekvensrespons, siden +ŸH MF! så! N" N" K N K N H "MFN t! sikrer at +ŸH MF eksisterer N" K N H "MFN t! N" K N Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 32

33 TE6146 ignalbehandling 5HUHVHQWDVMRQ DY GLVNUHWH I OJHU YKD )RXULHU-WUDQVIRUPHQ,, Fordel med lineære systemer at egenskaper kan tolkes utfra frekvensresponsen, feks hvilke frekvenser som undertrykkes eller forsterkes mellom inngang og utgang For å kunne utnytte denne egenskapen fullt ut, er det viktig å finne en måte å representere vilkårlige følger på, slik at frekvensinnholdet fremgår Mange følger kan representeres ved et Fourier-integral på formen = [ Q 1 ; ;ŸH MF H MFQ GF (Invers Fourier-transform) (2133) 2= "= ;ŸH MF! [ Q H "MFQ (Fourier-transformen) (2134) Q" Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 33

34 TE6146 ignalbehandling 5HUHVHQWDVMRQ DY GLVNUHWH I OJHU YKD )RXULHU-WUDQVIRUPHQ,,, Den inverse Fourier-transformen angir en syntese av et signal som en superposisjon av infinitesimalt små komplekse sinussignaler av formen 1 2= ;ŸHMF H MFQ GF ;ŸH MF angir mengden av hver enkelt sinuskomponent Fouriertransformen er en kompleks funksjon av F : ;ŸH MF ; 5 ŸH MF M;, ŸH MF ;ŸH MF ;ŸH MF H M1;ŸHMF Fasen er ikke unikt spesifisert, siden et multiplum av 2= gir samme resultat ved eksponentiering Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 34

35 TE6146 ignalbehandling 5HUHVHQWDVMRQ DY GLVNUHWH I OJHU YKD )RXULHU-WUDQVIRUPHQ,,,, 3ULQVLDOYHUGLHQ avfasenerslikat"= 1;ŸH MF t = Benevnes $5* ;ŸH MF En fasefunksjon som er en kontinuerlig funksjon av F for 0 F = benevnes arg ;ŸH MF Frekvensresponsen er den Fouriertransformerte av impulsrepsonsen, så = K Q 1 ; +ŸH MF H MFQ GF 2= "= Fourier-transformen er periodisk med periode 2= Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 35

36 TE6146 ignalbehandling 5HUHVHQWDVMRQ DY GLVNUHWH I OJHU YKD )RXULHU-WUDQVIRUPHU,,9 Lign (2134) har samme form som Fourier-serien til ;ŸH MF, som er en funksjon av den kontinuerlige variabelen F Lign (2133) angir Fourier-koeffisientene Primærfokus er i dette tilfellet på representasjonen av den diskrete følgen [ Q Det er likevel viktig å være klar over sammenhengen mellom Fourier-serien for kontinuerlige funksjoner og Fourier-transformen for diskrete funksjoner Egenskaper til Fourier-serier kan, med riktig tolkning av variabel, oveføres direkte til Fourier-transformen av diskrete signaler Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 36

37 TE6146 ignalbehandling 5HUHVHQWDVMRQ DY GLVNUHWH I OJHU YKD )RXULHU-WUDQVIRUPHU, 9 Hvilke signaler kan representeres vha Fourier-transformen Må se på konvergens av (2134) Hvilke betingelser må gjelder for at ;ŸH MF, F? ;ŸH MF er grenseverdien for ; 0 ŸH MF! [ Q H "MFQ når 0 v Q"0 Tilstrekkelig betingelse for konvergens finnes på følgende måte: ;ŸH MF! [ Q H "MFQ t! [ Q H "MFQ t! [ Q Q" Q" Q" Dersom [ Q er absolutt summerbar, vil ;ŸH MF eksistere Følgen over konvergerer uniformt til en kontinuerlig funksjon av F En stabil følge er per definisjon absolutt summerbar, så enhver stabil følge har en Fourier-transform 0 Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 37

38 TE6146 ignalbehandling 5HUHVHQWDVMRQ DY GLVNUHWH I OJHU YKD )RXULHU-WUDQVIRUPHU, 9, Absolutt summerbarhet er en tilstrekkelig betingelse for eksistens av Fourier-transformen, og garanterer også uniform konvergens Enkelte følger er ikke absolutt, med kvadratisk summerbare:! Q" [ Q 2 Følgene kan likevel representeres av en Fourier-transform, dersom vi slakker av på kravet om uniform konvergens, og istedet bare krever konvergens i meningen midlere kvadratisk konvergens : lim = 0v ; "= ;ŸH MF " ; 0 ŸH MF 2 GF 0 ;ŸH MF " ; 0 ŸH MF går ikke mot null, men den totale energien i feilen går mot null e Eks 222 Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 38

39 TE6146 ignalbehandling 5HUHVHQWDVMRQ DY GLVNUHWH I OJHU YKD )RXULHU-WUDQVIRUPHU, 9,, Av og til nyttig med Fourier-transform for følger som hverken er absolutt summerbare eller kvadratisk summerbare Den komplekse følgen [ Q H MF0Q har Fourier-transform ;ŸH MF! 2=-ŸF " F 0 2=U U" Merk at i dette tilfellet er ;ŸH MF ikke begrenset for alle F Detaljer i utledningen krever kunnskap om generaliserte funksjoner Tilsvarende har [ Q! D N H MFNQ Fourier-transformen ;ŸH MF!! U" N N 2=D N -ŸF " F N 2=U Enhetspranget har Fourier-transform 8ŸH MF 1! =-ŸF 2=U 1"H "MF U" Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 39

40 TE6146 ignalbehandling 6\PPHWULHJHQVNDHU DY )RXULHU-WUDQVIRUPHQ,, Viktig å kjenne sammenhengene mellom egenskaper til følger og de resulterende Fourier-transformer ammenhengene kan benyttes til å forenkle løsningen av problemer Definisjoner: [ Konjungert symmetrisk følge: [ H Q [ ' H "Q [ Konjungert anti-symmetrisk følge: [ R Q "[ ' 0 "Q Enhver følge kan representeres som summen av en konjungert symmetrisk følge, og en konjungert anti-symmetrisk følge: [ Q [ H Q [ R Q [ H Q 1 2 Ÿ[ Q [' "Q [ H ' "Q [ R Q 1 2 Ÿ[ Q " [' "Q "[ R ' "Q En reell følge som er konjungert symmetrisk, slik at [ H Q [ H "Q, kalles en OLNH I OJH Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 40

41 TE6146 ignalbehandling 6\PPHWULHJHQVNDHU DY )RXULHU-WUDQVIRUPHQ,,, En reell følge som er konjungert antisymmetrisk, slik at [ R Q "[ R "Q, kalles en RGGH I OJH En Fourier-transform av en funksjon kan dekomponeres i en sum av konjungert symmetriske og konjungert anti-symmetriske funksjoner som følger: [ ;ŸH MF ; H ŸH MF ; R ŸH MF [ ; H ŸH MF 1 2 ;ŸHMF ; ' ŸH "MF [ ; R ŸH MF 1 2 ;ŸHMF " ; ' ŸH "MF ; H ŸH MF er konjungert symmetrisk, mens ; R ŸH MF er konjungert anti-symmetrisk: [ ; H ŸH MF ; ' H ŸH "MF [ ; R ŸH MF "; ' R ŸH "MF En reell funksjon av en kontinuerlig variabel som er konjungert symmetrisk, kalles en OLNH IXQNVMRQ Tilsvarende kalles en funksjon som er konjungert anti-symmetrisk for en RGGH IXQNVMRQ Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 41

42 TE6146 ignalbehandling 6\PPHWULHJHQVNDHU DY )RXULHU-WUDQVIRUPHQ,,,, Forenreellfølge [ Q gjelder følgende: [ ;ŸH MF ; ' ŸH "MF (konjungert symmetrisk) [ For ;ŸH MF ; 5 ŸH MF M;, ŸH MF har en i ; 5 ŸH MF ; 5 ŸH "MF (like funksjon) i ;, ŸH MF ";, ŸH "MF (odde funksjon) [ For ;ŸH MF ;ŸH MF H M1;ŸHMF gjelder i i ;ŸH MF er en like funksjon av F Fasen 1;ŸH MF kan velges slik at den er en odde funksjon av F [ Den like delen av [ Q transformeres til ; 5 ŸH MF,og den odde delen til M;, ŸH MF Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 42

43 TE6146 ignalbehandling 7HRUHPHU IRU )RXULHU-WUDQVIRUPHQ,, I tillegg til symmetriegenskapene, finnes det en rekke teoremer som forenkler beregningen av Fourier-transformen Følgende notasjon benyttes: [ ;ŸH MF K [ Q [ [ Q K "1 ;ŸH MF K [ [ Q ;ŸH MF Fourier-transformen er lineær: K D[ 1 Q E[ 2 Q D; 1 ŸH MF E; 2 ŸH MF Tidsskift og frekvensskift: K [ Q " Q G H "MFQ G ;ŸH MF H MFRQ K [ Q ;ŸH MŸF"F 0 Reversering av tid: K [ "Q ;ŸH "MF K [ "Q ; ' ŸH MF ([ Q reell) Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 43

44 TE6146 ignalbehandling 7HRUHPHU IRU )RXULHU-WUDQVIRUPHQ,,, Parseval s teorem: Q (! Q" = [ Q 2 1 2= ; "= ;ŸH MF 2 GF ;ŸH MF 2 kalles energitetthetsspekteret, og angir hvordan energien i signalet er fordelt mhp frekvens Gjelder kun for signaler med endelig energi Kan generaliseres til harmoniske signaler (sinus etc) Konvolusjonsteoremet: Q \ Q! [ N K Q " N [ Q ' K Q Q" <ŸH MF ;ŸH MF +ŸH MF Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 44

45 TE6146 ignalbehandling 7HRUHPHU IRU )RXULHU-WUDQVIRUPHQ,,9 Modulasjon (vindusfunksjoner): \ Q [ Q Z Q = <ŸH MF 1 ; ;ŸH M2 :ŸH MŸF"2 G2 2= "= Operasjonen over er en periodisk konvolusjon, dvs en konvolusjon av to periodiske funksjoner over en periode ammenheng mellom multiplikasjon og konvolusjon åpenbar i de fleste teoremer ammenhengen er imidlertid litt forskjellig fra den komplette sammenhengen som eksisterer for kontinuerlige tid, Fourier-transformen i diskret tid er en sum, og ikke et integral Dualitet mellom modulasjon og konvolusjon: Forskjellig fra kontinuerlig tid For diskrete følger medfører konvolusjon multiplikasjon, mens multiplikasjon gir periodisk konvolusjon av Fouriertransformene Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 45

46 TE6146 ignalbehandling 2VXPPHULQJ: kal nå kjenne til: [ Diskrete signaler i form av følger [ Diskrete systemer [ Linearitet, kausalitet og tidsinvarians [ Differensligninger [ Frekvensrespresentasjon av diskrete signaler og systemer [ Diskret Fourier-transform Kapittel 2: ignaler og systemer i diskret tid 46