7HNQLNNHU IRU ILOWHUGHVLJQ

Transkript

1 TE6146 ignalbehandling 7HNQLNNHU IRU ILOWHUGHVLJQ,QWURGXNVMRQ ystemer som modifiserer enkelte frekvenser i et signal relativt andre, kalles ILOWUH Diskrete (digitale) filtre er en meget viktig klasse LTI-systemer, som inngår i stor grad i bla. utstyr for digital kommunikasjon er i det følgende på kausale filtre, som egner seg for implementasjon i sann tid Teknikkene kan utvides til ikke-kausale filtre For ikke-kausal filtrering må hele inngangsfølgen være tilgjengelig før filtreringen, da også fremtidige verdier påvirker nåværende utgang. Benyttes f.eks. ved billedbehandling. Teknikker for filterdesign 1

2 TE6146 ignalbehandling )UHPJDQJVPnWH YHG GHVLJQ,, Design av filtre består av 3 trinn:. pesifikasjon av systemets ønskede egenskaper.. Approksimasjon av de ønskede egenskaper med kausalt diskret filter.. Realisering av systemet på datamaskin. er i det følgende bare på Trinn 2 Vanlig å gå ut fra det er kontinuerlige signaler som behandles vha. sampling og diskret signalbehandling pesifikasjoner blir ofte gitt i frekvensområdet Teknikker for filterdesign 2

3 TE6146 ignalbehandling )UHPJDQJVPnWH YHG GHVLJQ,,, e Fig Vet at dersom et diskret LTI-system benytter +ŸH MF,og samplingsfrekvensen er høy nok, så vil totalsystemet (med sampling og rekonstruksjon) være et kontinuerlig LTI-system med + HII ŸM( +ŸH M(7, ( =/7 0, ( =/7 Kan i dette tilfellet konvertere spesifikasjoner for det effektive kontinuerlige filteret til spesifikasjoner for det diskrete filteret ved å sette F (7, slik at +ŸH MF + HII ŸM F, F = 7 e Eks Teknikker for filterdesign 3

4 TE6146 ignalbehandling )UHPJDQJVPnWH YHG GHVLJQ,,,, I mange tilfeller er det diskrete signalet som skal filtreres ikke et samplet kontinuerlig signal Kontinuerlige signaler kan representeres som diskrete signaler på andre måter enn ved periodisk sampling amplingsperioden spiller liten eller ingen rolle ved de fleste teknikker for design I det følgende antar vi derfor at spesifikasjonene er gitt for det diskrete systemet, ikke det kontinuerlige I flere praktiske tilfeller er det ikke gitt spesifikasjoner av fase, annet enn de som kommer fra krav om at filteret må være kausalt og stabilt. IIR-filtre: Poler innenfor enhetsirkelen. FIR-filtre: Lineær fase Gitt spesifikasjoner må vi finne systemfunksjon for diskret system, slik at frekvensresponsen tilfredstiller spesifikasjonene. IIR-filtre: Approksimasjon med rasjonal funksjon i ] FIR-filtre: Approksimasjon med polynomer i ] Teknikker for filterdesign 4

5 TE6146 ignalbehandling 'HVLJQ DY,,5-ILOWUH,, Tradisjonell fremgangsmåte er å først designe et kontinuerlig filter, for så å transformere et kontinuerlig filter over til et diskret filter Design av kontinuerlige IIR-filtre er et velutviklet fagfelt Finnes designmetoder for kontinuerlige filtre på lukket form (dvs. uten iterasjoner) Designmetoder på lukket form kan ikke overføres direkte til design av diskrete filtre. Må gå via design av kontinuerlige filtre Fremgangsmåte:. pesifikasjoner for kontinuerlig filter fås ved å transformere spesifikasjoner for diskret filter. Designer kontinuerlig filter + F ŸV, K F ŸW. Transformerer fra kontinuerlig filter til diskret filter Teknikker for filterdesign 5

6 TE6146 ignalbehandling 'HVLJQ DY,,5-ILOWUH,,, Forlanger at essensielle egenskaper bevares ved transformasjon: [ Imaginær akse i V-planet til enhetsirkel i ]-planet [ tabilitet bevares (venstre halvplan innenfor enhetssirkelen) kal i det følgende se på to metoder for design av IIR-filtre: [ Impulsinvarians [ Den bilineære transformasjon Det finnes flere metoder, bla. design vha. polplassering, men disse metodene studeres ikke i dette faget Teknikker for filterdesign 6

7 TE6146 ignalbehandling,pxovlqyduldqv,, Diskret system defineres ved å sample impulsresponsen til et kontinuerlig system I frekvensplanet: Frekvensrespons til diskret system bestemmes av frekvensresponsen til et kontinuerlig system Impulsrespons: K Q 7 G K F ŸQ7 G 7 G spiller ingen rolle i designmetoden (kanselleres ut) Frekvensrespons for diskret system:. +ŸH MF! N". + F ŸM F 7 G M 2= 7 G N Ÿ7.5 Dersom det kontinuerlige filteret er båndbegrenset + F ŸM( 0, ( u =/7 G så er +ŸH MF + F ŸM F 7 G, F t = Ideelt sett lineær skalering av frekvens F (7 G, F = Teknikker for filterdesign 7

8 TE6146 ignalbehandling,pxovlqyduldqv,,, Vanskelig å oppnå eksakt båndbegrensning av kontinuerlig filter, slik at det i praksis kan oppstå interferens mellom forskjellige deler av (7.5), noe som medfører aliasing. Dersom frekvensresponsen til det kontinuerlige filteret går mot null for høye frekvenser, vil effekten av aliasing være liten, og fremgangmåten gir et akseptabelt resultat Fremgangsmåte:. Finner spesifikasjoner for + F ŸM( ved å benytte (F/7 G og spesifikasjoner for +ŸH MF. Designer passende kontinuerlig filter + F ŸM(. Transformerer + F ŸV til +Ÿ] 7 G kan ikke benyttes til å begrense aliasing, fordi parameteren kanselleres ut Kan kompensere for aliasing ved å la det kontinuerlige filteret være bedre enn spesifikasjonene tilsier (overdesign), f.eks. i stoppbåndet Teknikker for filterdesign 8

9 TE6146 ignalbehandling,pxovlqyduldqv,,,, er på overgang fra + F ŸV til +Ÿ] Anta 1 + F ŸV! N1 $ N V"V N, dvs. impulsrespons K F ŸW Impulsrespons for diskret system K Q 7 G K F ŸQ7 G! N1 ystemfunksjon 1 +Ÿ]! N1 7 G $ N 1"H V N 7 G ] " ! $ N H VNW, W u 0 N1 0, W 0 7 G $ N H V NQ7 GX Q! 7 G $ N ŸH V N7 G Q X Q N1 Pol i V V N blir pol i ] H V N7 G, så venstre halvplan avbildes innenfor enhetsirkelen, og stabiliteten bevares Teknikker for filterdesign 9

10 TE6146 ignalbehandling,pxovlqyduldqv,,9 Merk at poler og nullpunkter ikke mappes på samme måte, dvs. ikke enkel avbildning av hele V-planet i ]-planet e Eks. 7.2 for design av diskret filter vha. denne metoden Utgangspunktet for metoden er at impulsresponsen til det diskrete og kontinuerlige systemet skal være like i enkelte punkter Kan tilsvarende benytte sprangrespons eller annen tidsfunksjon, dersom det viktigeste er å styre egenskapene til tidsresponsen for det diskrete systemet Det diskrete filteret blir tilsvarende forskjellig alt etter hvilken tidsfunksjon som benyttes Teknikker for filterdesign 10

11 TE6146 ignalbehandling,pxovlqyduldqv, 9 Ved bruk av impulsinvarians er sammenhengen mellom diskret og kontinuerlig frekvens lineær, og med unntak av aliasing, er formen til frekvensreponsen bevart Andre teknikker benytter algebraiske transformasjoner av frekvens Impulsinvariansmetoden er passende bare for båndbegrensede filtre. Høypass og båndstoppfiltre kan ikke designes vha. denne metoden. Teknikker for filterdesign 11

12 TE6146 ignalbehandling 'HQ ELOLQH UH WUDQVIRUPDVMRQHQ,, Unngår problemet med aliasing vha. en algebraisk transformasjon mellom V og ] Innebærer at hele den imaginære aksen i V-planet avbildes til en runde rundt enhetsirkelen i ]-planet ". t ( t.transformeres til "= t F t = vha.enulineær sammenheng Erstatter V i + F ŸV med V 2 7 G Ÿ 1"]"1 1] "1 dvs. +Ÿ] + F Ÿ 2 7 G Ÿ 1"]"1 1] "1 7 G inkludert av historiske årsaker, fordi differensligningen for +Ÿ] kan utledes vha. trapesodial integrasjon av differensialligningen korresponderende til + F ŸV, med7 G lik den numeriske skrittlengden 7 G spiller ingen rolle så lenge vi starter med spesifikasjoner for det diskrete filteret, fordi denne parameteren kanselleres ut Teknikker for filterdesign 12

13 TE6146 ignalbehandling 'HQ ELOLQH UH WUDQVIRUPDVMRQHQ,,, Ønsker å se på egenskapene til transformen Løser ut ] slik at ] 1Ÿ7 G/2 V 1"Ÿ7 G /V V Benytter M(, ogfår ] 1@7 G/2M(7 G /2 1"@7 G /2"M(7 G 0gir ] 1og@ 0gir ] 1 så poler i venstre/høyre halvplan avbildes innenfor/utenfor enhetsirkelen. tabile kausale kontinuerlige filtre avbildes derfor som stabile kausale diskrete filtre etter inn V M(,ogfår ] 1M(7 G/2 1"M(7 G /2 slik at ] 1 for alle verdier av V på M( "aksen, dvs. den imaginære aksen avbildes på enhetssirkelen. Får dermed H MF 1M(7 G/2 1"M(7 G /2 Teknikker for filterdesign 13

14 TE6146 ignalbehandling 'HQ ELOLQH UH WUDQVIRUPDVMRQHQ,,,, kal se på sammenhengen mellom F og (.etterinn] H MF, slik at V 2 7 G Ÿ 1"H"MF eller ekvivalent 1H "MF M( 2 7 G 2H"MF/2 ŸM sinf/2 2M 2H "MF/2 ŸcosF/2 7 G tanÿf/2 ammenligner imaginære og reelle deler, og får ( 2 7 G tanÿf/2 eller F 2 arctanÿ(7 G /2 Oppsummering av egenskapene er gitt i Fig. 7.6 og 7.7: [ 0 t ( t.avbildes som 0 t F t = [ ". t ( t 0 avbildes som "= t F t 0 Problemet med aliasing unngås, fordi hele den imaginære aksen i V-planet transformeres til enhetssirkelen i ]-planet. For å få dette til må frekvensen komprimeres på en ulineær måte Den bilineære metoden er kun aktuell når komprimeringen av frekvens er akseptabel eller kan kompenseres for, f.eks. ved design av ideelle stykkevise konstante amplitudekarakteristikker. e Fig. 7.8 Teknikker for filterdesign 14

15 TE6146 ignalbehandling 'HQ ELOLQH UH WUDQVIRUPDVMRQHQ,,9 Typiske frekvensselektive filtre (se Appendiks B): [ Butterworth: Montonisk i pass- og stoppbånd [ Chebyshev Type I: Ekvirippel i passbånd og monotonisk i stoppbånd [ Chebyshev Type II: Monotonisk i passbånd, og ekvirippel i stoppbåndet [ Elliptisk filter: Ekvirippel i både passbånd og stoppbånd Fremgangsmetodene for design av disse kontinuerlige filtrene er på lukket form, og det er derfor rett frem å designe slik filtre Amplitudeegenskapene til filtrene bevares ved bruk av den bilineære transformen Teknikker for filterdesign 15

16 TE6146 ignalbehandling 'HQ ELOLQH UH WUDQVIRUPDVMRQHQ, 9 Transformasjonen fungerer fint for avbildning av stykkevis konstante amplitudekarakteristikker Pga. den ulineære transformasjonen, oppstår det en vridning ( warping ) av fasekarakteristikken I Fig. 7.9 er resultatet av transformasjonen vist for H "V). Innsetting for V og evaluering på enhetsirkelen gir fasevinkelen "Ÿ2)/7 G tanÿf/2 Fasevinkelen er vist i fig. 7.9 sammen med den lineære approksimasjonen. Fasen er kun tilnærmet lineær i et lite område for det diskrete filteret Et diskret filter med lineær fase kan ikke oppnås ved å benytte den bilineære transformasjonen på et kontinuerlig filter med lineær fase Teknikker for filterdesign 16

17 TE6146 ignalbehandling 'HQ ELOLQH UH WUDQVIRUPDVMRQHQ, 9, Har tidligere sett på diskrete differensiatorer (Eks. 4.5). Disse har frekvensrespons som er lineær mhp. frekvens. Den ulineære vridningen som oppstår ved bruk av den bilineære transformasjonen, medfører at det ikke er mulig å lage diskrete differensiatorer ved å benytte den bilineære metoden på en kontinuerlig differensiator Bruk av impulsinvarians gir derimot en tilnærmet (båndbegrenset) diskret differensiator Teknikker for filterdesign 17

18 TE6146 ignalbehandling 'HQ ELOLQH UH WUDQVIRUPDVMRQHQ, 9,, Det diskrete 1 te-ordens Butterworth-filter kan skrives som: +ŸH MF 2 1,tanŸF F/2 ( 1Ÿ tanÿf/2 21 F 7 G /2 tanÿff/2 Har samme egenskaper som kontinuerlig filter (maksimalt flat, +ŸH MF F 2 0.5, men er periodisk og faller av raskere med frekvens Ikke rett frem å finne polene i ]-planet slik at de kan faktoriseres i +Ÿ] +Ÿ] "1 for beregning av +Ÿ] tarter derfor med å finne poler for kontinuerlig filter, og transformerer siden til diskret representasjon Tilsvarende for andre filtertyper Teknikker for filterdesign 18

19 TE6146 ignalbehandling 'HQ ELOLQH UH WUDQVIRUPDVMRQHQ,,,; Bilineær transformasjon av Butterworth, Chebyshev og elliptiske filtre, er standardmetoden for design av diskrete IIR-filtre tarter med lavpass og normert frekvens, og transformerer til høypass, båndpass, båndstopp etc, med riktige frekvenser Benytter dataprogrammer for beregninger Resulterende systemfunksjon +Ÿ] har alle nullpunkter på enhetssirkelen, og alle polene innenfor enhetsirkelen (stabilitet) Teknikker for filterdesign 19

20 TE6146 ignalbehandling 'HQ ELOLQH UH WUDQVIRUPDVMRQHQ,,; Det blir variabel (ikke konstant) gruppetidsforsinkelse for alle filtrene, dvs. at det oppstår ulineær fase tørste avvik fra konstant gruppetidsforsinkelse opptrer i alle tilfeller på kanten av passbåndet eller i transisjonsbåndet Chebyshev II gir minste gruppetidsforsinkelse i passbåndet, og størst region i passbåndet med konstant forsinkelse Dersom det ikke er så viktig med lineær fase, gir den elliptiske approksimasjonen systemet med lavest oppnåelig orden, dvs. det minst regnekrevende filteret. Teknikker for filterdesign 20

21 TE6146 ignalbehandling 'HVLJQ DY ),5-ILOWUH Teknikker for design av IIR-filtre er basert på transformasjoner av kontinuerlige filtre. kyldes at design av kontinuerlige filtre var et velutviklet fagfelt før introduksjonen av digital signalbehandling, og fordi det ikke er enkelt å komme frem til ikke-iterative metoder for direkte design av diskrete IIR-filtre FIR-filtre finnes nesten bare på diskret form, og designes direkte ved approksimasjon av den ønskede frekvensresponsen uten å gå veien via kontinuerlige filtre Ved design av FIR-filtre antas det at fasen skal være lineær kal se på følgende metoder for design av FIR-filtre: [ Vindusmetoden (den enkleste metoden) [ Optimale metoder (Parks-McClellan) Teknikker for filterdesign 21

22 TE6146 ignalbehandling 9LQGXVPHWRGHQ,, tarter med ideell frekvensrespons. + G ŸH MF! K G Q H "MFQ, hvor K G Q 1 ; + 2= G ŸH MF H MFQ GF Q". "= tykkevise konstante frekvensresponser eller frekvensresponser med diskontinuiteter har ikke-kausale og uendelig lange impulsresponser Kan kutte av den ideelle impulsresponsen for å få realiserbart system Kan betrakte problemet som tilsvarende det velstuderte problemet vedrørende avkutting av Fourier-serier om for Fourier-serier må en ta Gibb s fenomen med i betrakningene Definerer nytt system K Q K G Q, 0t Q t 0 0, ellers = Teknikker for filterdesign 22

23 TE6146 ignalbehandling 9LQGXVPHWRGHQ,,, Generelt kan vi se på den avkuttede impulsresponsen som et produkt mellom den ideelle impulsresponsen og en vindufunksjon K Q K G Q Z Q Vinduet kan f.eks. være rektangulært Z Q 1, 0 t Q t 0 0, ellers Fourier-transformen til K Q er gitt av = +ŸH MF 1 ; + 2= G ŸH M2 :ŸH MŸF"2 G2 "= +ŸH MF vil være en utsmurt versjon av + G ŸH MF,se Fig Dersom Z Q 1 Q vil :ŸH MF være et impulstog med periode 2= Z Q bør velges slik at :ŸH MF er konsentrert i et lite bånd av frekvenser rundt F 0, slik at +ŸH MF ligner + G ŸH MF Teknikker for filterdesign 23

24 TE6146 ignalbehandling 9LQGXVPHWRGHQ,,,, Ønsker Z Q kortest mulig (minst mulig beregninger), og :ŸH MF mest mulig lik en impuls Dette er motstridende ønsker! er på Fourier-transformen av det rektangulære vindu (Fig. 7.20) 0 :ŸH MF! Q0 H "MFQ 1"H"MFŸ01 H "MF0/2 sin FŸ01 /2 1"H "MF sinÿf/2 som forøvrig har generalisert lineær fase Når 0 øker, blir bredden av hovedloben mindre, F0 4=/Ÿ0 1, men sidelobene vokser. Lobene endres slik at arealet under disse er konstant, dvs. høydene vokser når breddene avtar Når :ŸH MŸF"2 glir forbi en diskontinuitet i + G ŸH MF ved økende F,vil integralet av :ŸH MŸF"2 + G ŸH M2 oscillere når hver sidelobe av :ŸH MŸF"2 glir forbi diskontinuiteten Teknikker for filterdesign 24

25 TE6146 ignalbehandling 9LQGXVPHWRGHQ,,9 iden arealet av hver lobe er konstant med økende 0,vil oscillasjonene øke i frekvens uten å avta i amplitude, når 0 øker Gibb s fenomen er velkjent fra teorien om Fourier-rekker, og det er kjent at innvirkningen kan reduseres ved å la vinduene gå mot null i ytterkantene, dvs. ved å redusere graden av diskontinuitet Høyden av sidelobene kan minkes, men hovedloben blir bredere, og transisjonen blir bredere ved diskontinuiteter Finnes flere forskjellige vinduer:. Rektangulær. Bartlett (triangulær). Hanning. Hamming. Blackman e s. 468 for definisjon av funksjoner, og Fig Teknikker for filterdesign 25

26 TE6146 ignalbehandling 9LQGXVPHWRGHQ, 9 Vinduene benyttes også ved spektrumanalyse (FFT), se Kap. 10. Fourier-transformen er konsentrert rundt F 0 Funksjonsuttrykkene er enkle Fourier-transformene er kombinasjoner av Fourier-transformene til det rektangulære vindu Rektangulært vindu har smalest hovedlobe, og gir dermed de skarpeste transisjonene, se Fig ideloben er imidlertid bare 13 db under hovedloben, noe som gir oscillasjoner i +ŸH MF rundt diskontinuiteter i + G ŸH MF Ved å la vinduene avta mot endepunktene, blir sidelobene redusert i amplitude, men hovedloben blir bredere. Transisjonene ved diskontinuiteter i + G ŸH MF blir dermed bredere Teknikker for filterdesign 26

27 TE6146 ignalbehandling 9LQGXVPHWRGHQ - OLQH U IDVH, Ønsker ofte kausale FIR-filtre med generalisert lineær fase Alle de nevnte vinduene har blitt definert slik at de tar hensyn til dette pesielt: Z 0 " Q, 0tQ t 0 Z Q 0, ellers ymmetri om 0/2 Fourier-transform :ŸH MF : H ŸH MF H "MF0/2, : H ŸH MF reell like funksjon Vinduet bevarer symmetri, slik at dersom K G 0 " Q K G Q,såvil resulterende frekvensrespons ha generalisert lineær fase +ŸH MF $ H ŸH MF H "MF0/2 med $ H ŸH MF reell og like funksjon Tilsvarende for antisymmetri hvor K G 0 " Q "K G Q gir +ŸH MF M$ R ŸH MF H "MF0/2 med $ R ŸH MF reell og odde funksjon Teknikker for filterdesign 27

28 TE6146 ignalbehandling 9LQGXVPHWRGHQ - OLQH U IDVH,, Kan også studere symmetri i frekvensplanet Anta K G 0 " Q K G Q slik at + G ŸH MF + H ŸH MF H "MF0/2 med + H ŸH MF reell og like Medsymmetriskvindufårvi = +ŸH MF 1 ; + 2= H ŸH M2 H "M20/2 : H ŸH MŸF"2 H "MŸF"2 0/2 G2 "= Får ved manipulasjon av uttrykket +ŸH MF $ H ŸH MF H "MF0/2, $ H ŸH MF 1 ; + 2= H ŸH M2 : H ŸH MŸF"2 G2 "= ystemet er resultat av periodisk konvolusjon, og har generalisert lineær fase Konvolusjonen avgjør amplitudegenskapene til filteret som fremkommer ved bruk av vinduer = Teknikker for filterdesign 28

29 TE6146 ignalbehandling.dlvhu-ylqgx,, Vinduer med smale sidelober gir generelt bedre approksimasjon av den ideelle responsen ved diskontinuiteter Det er mulig å oppnå smalere transisjonsområder ved å øke 0 Gjennom formen og lengden av vinduet kan egenskapene til FIR-filtre endres Ikke særlig enkelt å oppnå ønskede egenskaper ved prøving og feiling Kaiser (1974) utviklet en enkel formalisering av design vha. vindus-metoden Teknikker for filterdesign 29

30 TE6146 ignalbehandling.dlvhu-ylqgx,,, Avveining mellom bredde av hovedlobe og areal av sidelober kan kvantifiseres ved å finne den vindusfunksjonen som er maksimalt konsentrert rundt F 0 i frekvensplanet Den optimale løsningen innebærer bruk av kompliserte funksjoner ( prolate spheroidal wave functions ) Kaiser fant en nær optimal løsning ved bruk av Bessel-funksjoner, som er lettere å beregne Kaiser-vindu:, 0 *Ÿ1" ŸQ") /) 2 1/2, 0 Ÿ* Z Q,0t Q t 0,) 0/2 0, ellers, 0 Ÿ -nullte ordens modifiserte Bessel-funksjon av første type To parametre: Lengden Ÿ0 1 og en formparameter * * 0 gir rektangulært vindu. e Fig. 7.24, som viser effekt av 0 og * Teknikker for filterdesign 30

31 TE6146 ignalbehandling.dlvhu-ylqgx,,,, Kaiser utviklet formler som kan benyttes for beregning av 0 og * slik at gitte spesifikasjoner kan tilfredsstilles Kaiser viste at approksimasjonsfeilen - tilnærmet er en funksjon av kun * innenfor et stort område av øvrige betingelser Passbåndfrekvensen F er største frekvens slik at +ŸH MF u 1 " - toppbåndfrekvensen F V er laveste frekvens slik at +ŸH MF t - Transisjonsregionen har bredde F F V " F Definerer $ l"20 log 10 - Empirisk bestemt verdi av * for å oppnå en bestemt verdi av $ er gitt som * Ÿ$ " 8.7, Ÿ$ " Ÿ$ " 21, 0, $ t $ t 50 $ 21 Teknikker for filterdesign 31

32 TE6146 ignalbehandling.dlvhu-ylqgx,,9 For å oppnå gitte verdier av $ og F,må0 tilfredstille $" F Ligningen over gir 0 med en nøyaktighet på o2 for en stor mengde av verdier for $ og F Ved bruk av formlene over, kan FIR filtre designes nesten uten prøving og feiling eller iterasjon. e Eks. 7.8 for beskrivelse av fremgangsmåten for design av lavpassfiltre vha. Kaiser-vindu Teknikker for filterdesign 32

33 TE6146 ignalbehandling 6DPPHQKHQJ.DLVHU - DQGUH YLQGXVW\HU,, Utgangspunktet for design vha. vindus-metoden er å kutte av den ideelle impulsresponsen vha. et vindu av endelig lengde I frekvensplanet medfører dette konvolusjon av den ideelle frekvensresponsen med Fourier-transformen av vinduet For lavpassfiltre vil diskontinuiteten i frekvensresponsen bli smurt utover når hovedloben til vinduets Fourier-transform passerer denne Bredden av det resulterende transisjonsbåndet bestemmes (approksimativt) av bredden på hovedloben, og rippel i pass- og stoppbåndet av sidelobene Rippel i pass- og stoppbåndet er omtrent likt pga. symmetri i Fourier-transformen av vindusfunksjonen Teknikker for filterdesign 33

34 TE6146 ignalbehandling 6DPPHQKHQJ.DLVHU - DQGUH YLQGXVW\HU,,, Avvik i pass og stoppbåndet er omtrent ikke avhengig av 0,ogkan bare endres ved å endre vindusformen. Vises tydelig ved bruk av Kaiser-vindu, der * ikke er avhengig av 0 e Tabell 7.1 for sammenligning av vindustyper. Tilsvarende Kaiser-vindu (mhp. -) er også gitt i tabellen. jette kolonne (bredde av transisjonssone for Kaiser-vindu) er en bedre indikator enn tredje kolonne (bredde av hovedlobe), mhp. transisjonsbredden, for alle vindustyper Teknikker for filterdesign 34

35 TE6146 ignalbehandling (NVHPOHU n EUXN DY.DLVHU-YLQGX e Eks Type II FIR filtre med lineær fase er generelt ikke gode approksimasjoner av hverken høypass- eller båndpass-filtre Kan anvende tilsvarende fremgangsmåte som i Eks. 7.9 ved design av filtre med multiple pass- og stoppbånd. Dersom diskontinuitetene ligger langt nok fra hverandre, vil det ved hver enkelt diskontinuitet oppstå tilsvarende egenskaper som for kun en diskontinuitet. Approksimasjonsfeilen skaleres av hoppet i amplitude Kaiser-vindu kan benyttes ved design av diskrete differensiatorer med lineær fase, selv om diskontinuiteten i frekvensresponsen her introduseres i fasen og ikke i amplituden som vanlig Teknikker for filterdesign 35

36 TE6146 ignalbehandling 2WLPDOH DURNVLPDVMRQHU DY ),5-ILOWUH,, Ønsker å designe filter som på best mulig måte tilnærmer den spesifiserte frekvensresponsen Må definere hva vi mener med best mulig måte Ved bruk av vindusmetoden, vil bruk av det rektangulære vinduet minimalisere / 2 1 ; = K + 2= G ŸH MF " +ŸH MF 2 G Q, 0tQ t 0 GF, K Q "= 0, ellers for gitt 0 Dette kriteriet gir uønskede bieffekter ved diskontinuiteter av + G ŸH MF Har heller ikke kontroll over approksimasjonsfeilen i forskjellige frekvensbånd Teknikker for filterdesign 36

37 TE6146 ignalbehandling 2WLPDOH DURNVLPDVMRQHU DY ),5-ILOWUH,,, Kan få bedre resultater ved å følge en PLQPDNV strategi, der maksimum av approksimasjonsfeilen skal minimaliseres, eller ved å benytte frekvensavhengig vekting av feilen Kan løse slike optimaliseringsproblemer vha. algoritmiske teknikker Ved bruk av vindusteknikker blir approksimasjonsfeilen størst i nærheten av diskontinuiteter. Feilene blir omtrent like store i pass- og stoppbåndet. Ved å spre feilen uniformt utover, og ved å justere rippel i pass- og stoppbåndet hver for seg, kan en spesifikasjon tilnærmes med et filter av lavere orden. Har sett dette for IIR-filtre, og vil bekrefte det med et teorem for FIR-systemer. Teknikker for filterdesign 37

38 TE6146 ignalbehandling 2WLPDOH DURNVLPDVMRQHU DY ),5-ILOWUH,,,, Vil se på algoritme for design av FIR-systemer med generalisert fase. er på Type I i detalj, med henvisninger til andre typer er først på design av filter med null fase K H Q K H "Q etter senere inn forsinkelse for å gjøre systemet kausalt Frekvensrespons gitt av / $ H ŸH MF! K H Q H "MFQ, / 0/2 "heltall Q"/ Benytter K H Q K H "Q og får / $ H ŸH MF K H 0! 2K H Q cosÿfq, $ H ŸH MF reell, like og periodisk Q1 Får kausalt system ved å introdusere forsinkelse / 0/2 K Q K H Q " 0/2 K 0 " Q +ŸH MF $ H ŸH MF H "MF0/2 Teknikker for filterdesign 38

39 TE6146 ignalbehandling 2WLPDOH DURNVLPDVMRQHU DY ),5-ILOWUH,,9 e Fig for spesifikasjoner som kan benyttes ved design av slike filtre. Merk at toleransene er forskjellige i pass- og stoppbåndet. En algoritme for løsning av optimaliseringsproblemet må systematisk variere de Ÿ/ 1 ubegrensende impulsresponsverdiene K H Q Finnes algoritmer der noen av parametrene /,- 1,- 2,F V,F er faste, mens en iterativ prosedyre benyttes for å finne optimale verdier av de andre To forskjellige retninger:. /, - 1,- 2 faste, mens F V,F varierer. /,F V,F og - 1 /- 2 er faste, mens - 1,- 2 varierer (Parks-McClellan) Parks-McClellan er mest fleksibel og beregningseffektiv. Dette har blitt den mest benyttede algoritmen. Teknikker for filterdesign 39

40 TE6146 ignalbehandling 3DUNV-0F&OHOODQ,, Reformulerer optimaliseringsproblemet som et problem i polynomisk approksimasjon (finne det polynom som best tilpasser kurveform) Leddene cosÿfq kan uttrykkes som en sum av ledd i cosÿf, dvs. cosÿfq 7 Q Ÿcos F, 7 Q " Q te ordens Chebyshev-polynom Kan skrive / $ H ŸH MF! N0 Får nå D N Ÿcos F N, D N ene relatert til K H Q / $ H ŸH MF 3Ÿ[ [cosf! D N [ N, / 0/2 N0 Når F og F V er konstante, mens - 1 og - 2 varierer, blir dette et problem i Chebyshev approksimasjon over disjunkte mengder Definerer approksimasjonsfeilen (ŸF :ŸF + G ŸH MF " $ H ŸH MF, :ŸF "vektingsfunksjon Teknikker for filterdesign 40

41 TE6146 ignalbehandling 3DUNV-0F&OHOODQ,,, Funksjonene (ŸF,:ŸF,+ G ŸH MF er kun definert over lukkede underintervall av frekvens Approksimasjonen $ H ŸH MF er ikke begrenset i transisjonsområdet, og kan i dette området innta enhver form, for å oppnå ønsket form i underintervallene Lavpassfilter: + G ŸH MF 1, 0 t F t F 0, F V t F t =, :ŸF 1.,0t F t F 1, F V t F t =. - 1 /- 2 Maksimum vektet absolutt approksimasjonsfeil er i begge bånd Minmaks eller Chebyshev-kriteriet: min Ÿmax (ŸF K H Q :0tQt/ F) ) lukket delmengde av 0 t F t = slik at 0 t F t F eller F V t F t = Teknikker for filterdesign 41

42 TE6146 ignalbehandling 3DUNV-0F&OHOODQ,,,, For å løse problemet benyttes alternasjonsteoremet: Alternasjonsteoremet: La ) 3 være den lukkede delmengden som består av unionen av disjunkte lukkede U undermengder av den reelle aksen [, og 3Ÿ[! N0 D N [ N et U te ordens polynom. ' 3 Ÿ[ er en gitt ønsket funksjon av [ som er kontinuerlig på ) 3. : 3 Ÿ[ er en positiv funksjon som er kontinuerlig på ) 3, og ( 3 Ÿ[ : 3 Ÿ[ ' 3 Ÿ[ " 3Ÿ[ er vektet feil. Maksimum feil defineres som ( max ( 3 Ÿ[ [) 3 En nødvendig og tilstrekkelig betingelse for at 3Ÿ[ skal være det unike U te ordens polynomet som minimaliserer (, er at ( 3 Ÿ[ har minst ŸU 2 alternasjoner, mao. det må eksistere minst ŸU 2 verdier [ L i ) 3 slik at [ 1 [ 2 C [ U2, og slik at ( 3 Ÿ[ L "( 3 Ÿ[ L1 o ( for L 1,2, T,ŸU 1. Teknikker for filterdesign 42

43 TE6146 ignalbehandling 3DUNV-0F&OHOODQ,,9 Vet at den vektede feilen må ha minst Ÿ/ 2 alternasjoner for at den polynomiske approksimasjonen av frekvensresponsen skal være optimal Approksimasjoner med Ÿ/ 2 alternasjoner kalles ekvirippel-approksimasjoner Viktig å ta med punktene F og F V når antall alternasjoner telles KanhamereennŸ/ 2 alternasjoner Approksimasjoner med Ÿ/ 3 alternasjoner kalles ekstrarippel-approksimasjoner e Fig for tolkning av begrepet alternasjoner, og Fig for eksempler og tolkninger av teoremet Teknikker for filterdesign 43

44 TE6146 ignalbehandling 3DUNV-0F&OHOODQ, 9 Kan vise at for lavpassfiltre av Type 1 gjelder følgende for det optimale tilfellet:. Det maksimale mulige antall alternasjoner er Ÿ/ 3. Det vil alltid være alternasjoner i F og F V. Alle punkter med null stigning (dvs. derivert lik null) innenfor passbåndet, og alle punkter med null stigning innenfor stoppbåndet, vil korrespondere til alternasjoner, dvs. filteret er ekvirippel, muligens med unntak av F 0 og F = Teknikker for filterdesign 44

45 TE6146 ignalbehandling 3DUNV-0F&OHOODQ, 9, Må finne et polynom som løser optimaliseringsproblemet Baserer algoritmen på alternasjonsteoremet Vet at det optimale filter $ H ŸH MF tilfredstiller ligningsettet :ŸF L + G ŸH MF L " $ H ŸH MF L Ÿ"1 L1 -, L 1,2, T,Ÿ/ 2 Ligningsettet er basis for å finne optimal $ H ŸH MF Kunne alternativt løse dette ligningsettet for å finne D N ene og - Mere effektivt beregningsmessig å benytte polynomisk interpolasjon Teknikker for filterdesign 45

46 TE6146 ignalbehandling 3DUNV-0F&OHOODQ, 9,, tarter med å gjette et antall alternasjonsfrekvenser F L,L 1,2,T, Ÿ/ 2, F O F F O1 F V Beregner - for dette settet av frekvenser - /2 E N + G ŸH MF N! N1 /2! N1 E N Ÿ"1 N1 :ŸF N /2,E N L1 LpN 1 Ÿ[ N "[ L,[ L cosÿf L Benytter trigonometrisk polynom (Lagrange s interpolasjonsformel) $ H ŸH MF 3 cosÿf /1 G N L1 LpN 1 Ÿ[ N "[ L Teknikker for filterdesign 46 /1! G N /Ÿ["[ N & N N1 /1! G N /Ÿ["[ N N1 E N Ÿ[ N " [ /2 (e s.500), & N + G ŸH MF N " Ÿ"1 N1 - :ŸF N,

47 TE6146 ignalbehandling 3DUNV-0F&OHOODQ,,,; jekker om (ŸF t - for alle F i pass- og stoppbånd Finner lokale maksima jekker antall maksima og beholder de Ÿ/ 2 største La maksima være nye alternasjonsfrekvenser (Remez-metoden), og start på nytt. e Fig Fortsett til (ŸF t - for alle F i pass- og stoppbånd og endringene fra forrige iterasjon er mindre enn en gitt verdi e Fig for flytskjema av algoritmen Teknikker for filterdesign 47

48 TE6146 ignalbehandling.dudnwhulvwlnnhu IRU RWLPDOH ),5-ILOWUH For hver enkelt type filter må en angi nye vektingsfunksjoner (f.eks. trigonometrisk som for Type II, II og IV) og ny approksimasjonsfunksjon Optimaliseringsproblemet blir det samme i alle tilfeller, med polynomisk approksimasjon Det er stor fleksibilitet i hvilke problemer som kan løses (lavpass, høypass, båndpass, kompensasjon for holdelement etc.), se læreboken s Et filter med høyere orden gir bedre tilpasning enn et filter med lavere orden, forutsatt at filtrene er av samme type ammenlignet med bruk av Kaiser-vindu, gir optimale filtre ca. 5 db bedre approksimasjonsfeil for en gitt verdi av 0 Bruk av optimale filtre kan gi uheldige frekvensresponser (ingen begrensninger på oppførsel i transisjonsområdet), se fig Kan ofte avhjelpes ved å endre parametre Teknikker for filterdesign 48

49 TE6146 ignalbehandling 6DPPHQOLJQLQJ,,5-),5 IIR eller FIR? Ikke generelt og enkelt svar - krever engineering judgement IIR kan designes med metoder på lukket form (ikke iterasjon) Enkelt å designe IIR-filtre ved beregninger for hånd IIR kan kun brukes til frekvensselektive filtre, med kun krav til amplitudekarakteristikk FIR filtre har presis (generalisert) lineær fase Må som regel benytte iterative algoritmer for FIR-filtre, f.eks. vindusmetoden Parks-McClellan gir filtre med lavere orden enn vindusmetoden Iterative metoder gir mulighet for å approksimere mere spesielle frekvensresponser Har solid støtte for optimale filtre i matematikken Enkel regel: IIR for amplitude, FIR for fase Tilgjengelig maskinvare og andre spesifikasjoner kan avgjøre valg Teknikker for filterdesign 49

50 TE6146 ignalbehandling 2VXPPHULQJ Har sett på metoder for design av diskrete filtre FIR-filtre [ Impulsivarians [ Den bilineære transformasjonen FIR-filtre [ Vindusmetoden - spesielt Kaiser-vindu [ Optimale approksimasjoner Parks-McClellan FIR for lineær fase, IIR for amplitude Teknikker for filterdesign 50