Matematikk 10 ved HiG.

Transkript

1 Høgskolen i Gjøvik Institutt for ingeniør- og allmennfag Versjon per 4. september 2007 Emner i Matematikk 10 ved HiG. Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Et samlehefte med emner i Matematikk 10. Dette er emner som ikke er behandlet i læreboka Lorentzen, Hole, Lindstrøm: Kalkulus med en og flere variable, eller som er svært annerledes behandlet der enn i forelesningene.

2

3 Innhold 1 Maple Innledning Maple ved HiG Maple er et algebraisk matematikkprogram Kommandostyring og menystyring Standard Maple og Klassisk Maple Noen grunnlegende egenskaper En innledende øvelse Videre arbeid med Maple i Matematikk Liste over en del viktige kommandoer Spesialtegn Parenteser Konstanter Funksjoner Operatorer Andre prosedyrer Differensiallikninger Eksterne pakker Programmering Vektorvaluerte funksjoner Parametriserte kurver Eksempel, lineære funksjoner Eksempel, parametrisering av en sirkel Vektorer Vektorer som retning og lengde Vektorer i kartesiske koordinatsystem Vektorvaluerte funksjoner Vektorvaluerte funksjoner tolket som posisjon ved tidspunkt t Hastighet og aksellerasjon Eksempel, sirkelbevegelse Parametriserte kurver i Maple Oppgaver

4 Oppgaver om parametriserte kurver Oppgaver, repetisjon av vektorer Oppgaver, vektorvaluerte funksjoner Oppgaver, Maple Fasit

5 Kapittel 1 Maple 1.1 Innledning Maple ved HiG I 2004 anskaffet vi versjon 9 av Maple, et dataprogram for matematikk. Denne versjonen vil bli brukt i mange år, det er kostbart å oppgradere til nyere versjoner. Samtidig besluttet vi å legge økt vekt på Maple i realfagsundervisningen. Det vil for eksempel i flere fag bli gitt Mapleoppgaver som teller med på sluttkarakteren, og Maple relaterte spørsmål vil dukke opp på eksamen. Vi har 40 nettverkslisenser for studentbruk. Skulle det en sjelden gang være slik at alle er i bruk vil ikke flere kunne logge seg på. For sikkerhets skyld lønner det seg kanskje å unngå deverste rushtidene (dette er kanskje mest kritisk i siste liten før viktige innleveringer). Introduksjon til Maple legges til faget Matematikk 10, der hovedmålsettingen er å komme i gang og bli fortrolig med Maple. Dette notatet er ment som en første introduksjon til Maple. Videreføring av dette vil bli gitt elektronisk, som Maple dokumenter som legges ut på nettet, i første omgang under Maple på hjemmesiden til faget Matematikk 10: Det er en liten fare for motivasjonen at studentene oppdager at regneteknikk man sliter med i dette faget lett kan automatiseres i Maple. Erfaring så langt tyder på at dette ikke er noe stort problem. Uansett er Maple og tilsvarende program faktisk tilgjengelige, og det er viktig at studentene lærer seg noe om mulighetene og begrensningene som ligger i bruk av slike program. Spesielt vil man nok oppdage at Maple er til liten nytte om man ikke har et brukbart matematikkgrunnlag i bunnen. Det er min overbevisning at en del trening i gammeldags håndregning er nødvendig for å bygge opp dette grunnlaget, og åfå et aktivt forhold til de matematiske begrepene. Siden en del tid skal brukes på Maplemå andre ting i Matematikk 10 nedprioriteres i forhold til tidligere. Dette gjelder først og fremst regning på krøkkete uttrykk, mens utregninger som viser at studenten behersker de grunnleggende teknikkene fortsatt er viktig. For eksempel kan det være aktuelt (til eksamen) åvisehvordanmanhåndregner integralene cos(2πx) dx (enkel bruk av substitusjon) eller x sin( x) dx (enkel bruk av delvis integrasjon). Derimot kan vi vel overlate til Maple å regne ut integral som f.eks. p ( ) nπ (p 2 x 2 )cos p x dx. p 5

6 6 KAPITTEL 1. MAPLE Dette er en kombinasjon av substitusjon og to gangers bruk av delvis integrasjon, så klarer man de to foregående integralene bør man i prinsippet klare denne. Det vil imidlertid plundre seg til en del med lange uttrykk og mange konstanter. Dette er et integral som naturlig kan dukke opp i forbindelse med Fourierrekker i Matematikk 20. Da er det etter min mening viktigere ting å bruke tid og konsentrasjon på ennå slite med å regne ut dette integralet som dere (om et år) forhåpentligvis lett klarer å regne ut i Maple. I senere fag vil Maple brukes til å løse problemer som det er tidkrevende eller vanskelig ågjøre for hånd. I noen grad vil dette bety at en større del av tiden brukes til matematisk modellerering (å sette opp problemet på matematisk form), mens regneteknikk nedprioriteres noe. For eksempel vil resonnementer i fysikk ofte lede til differensiallikninger. Ved åbruekmapletilå løse disse kan man finne ofte finne greie løsninger uten at den fysiske anvendelsen drukner i lange og kompliserte utregninger. Dessuten er Maple et utmerket pedagogisk hjelpemiddel til å illustrere matematiske begreper, for eksempel ved hjelp av grafikk Maple er et algebraisk matematikkprogram For å illustrere dette ser vi på løsningen av andregradslikningen x 2 + x 1=0iMaple: > solve(x^2+x-1=0, x); , Her er tegnet > det som står først på en linje der Maple kan ta i mot en kommando. Resten av den linja har jeg skrevet, og løsningen på neste linje er det Maple returnerer når jeg trykker Retur tasten. Som dere ser framkommer svaret ved hjelp av rottegn, da 5 er et irrasjonalt tall, det vil si at 5 ikke kan forenkles til et heltall eller en brøk. Løsninger pådenneformen kalles algebraiske løsninger, eller (som vi vil kalle dem i faget Matematikk 10) eksakte løsninger. Dataprogram som kan regne med eksakte løsninger og symboler kalles algebraiske dataprogram. På engelsk heter dette Computer Algebra System, forkortet CAS. Foruten Maple er Mathematica et mye brukt algebraisk dataprogram. Et dataprogram som i hovedsak regner bare med desimaltall kalles et numerisk program. Matlab, som brukes i enkelte fagmiljøer ved HiG, er et eksempel på et numerisk system. Regneark som f.eks. Excel er også numeriske system. De fleste kalkulatorer hører også hjemme i denne kategorien. Ofte ønsker man løsningen som desimaltall, og det finnes flere måter åfå til dette i Maple. Det raskeste er å erstatte en av koeffisientene, f.eks. konstantleddet 1, til desimaltall, altså 1.0. Det er nok åskrive1., altså ha med desimalpunktumet men ingen desimaler. Maple fungerer (i mange situasjoner) slik at om desimaltall puttes inn så kommer desimaltall ut: > solve(x^2+x-1.=0, x); , En av fordelene med algebraiske løsninger er at de kan inneholde symboler. For eksempel finner Maple løsningen av den generelle andregradslikningen ax 2 + bx + c =0: > solve(a*x^2+b*x+c=0, x); b + b 2 4 ac, b b 2 4 ac 2 a 2 a Noen fordeler med bruk av eksakt løsning: Eksakte løsningsmetoder viser strukturen i løsningen påenmåte som kan gi verdifull informasjon om sammenhenger og mulige generaliseringer.

7 1.1. INNLEDNING 7 Eksakt regning gir mulighet til å regne med symboler, og der det bare finnes tall gir de trening som er nyttig når tilsvarende utregninger skal gjøres med symboler. Problemet med avrundingsfeil er ikke til stede. Noen fordeler med bruk av numerisk løsning: Det er ofte lettere med et blikk åsehvor stort et tall er (for eksempel er det ikke lett, uten ekstra regning, åseombrøken9/17 er større enn 12/23, men vi ser lett at dette er tilfellet for de tilsvarende desimaltallene og ). I mange problemstillinger kan de eksakte uttrykkene bli store og uoversiktlige. Ofte finnes ikke eksakte metoder i det hele tatt, mens numeriske løsningsmetoder finnes. Det vil være en vurderingssak fra situasjon til situasjon om eksakt eller numerisk løsning skal brukes, men i faget Matematikk 10 vektlegges eksakte metoder sterkt. Dette er hovedgrunnen til at kalkulator ikke er tillatt på eksamen i dette faget Kommandostyring og menystyring Hvis handlinger i et dataprogram velges ved hjelp av museklikking på menyer i programmet, kalles dette menystyring. I et Maple dokument er det verktøylinjer øverst som gir menystyring av en rekke handlinger, for eksempel til lagring og åpning av filer. Disse likner på verktøylinjer du sikkert kjenner fra før, for eksempel i Microsoft Word. Hvis handlingene isteden styres ved at kommandoer legges inn på tekstformat kalles det kommandostyring. Kommandoer som skal eksekveres i Maple legges inn på denne måten. Kommandostyring gir større fleksibilitet enn menystyring. Det er også raskerenår man har en viss trening. En ulempe er selvfølgelig at man da i større grad er nødt til å huske hva kommandoene heter og dessuten må være veldig nøyaktig med at kommandoene skrives inn riktig. Mange av dagens studenter er bare vant til menystyring, og finner kommandostyring litt problematisk. Det er viktig med en del øvelse og regelmessig bruk for at dette skal gå smertefritt. Da lærer man seg etterhvert også å tolke feilmeldingene som framkommer ved skrivefeil. Man lærer seg ogsåå bruke hjelpemenyene for å finne kommandoer man ikke kjenner eller ikke husker nøyaktig. Det finnes også visse muligheter til delvis menystyring av matematikkommandoer. Kombinasjonen View->Palette gir oppsett for en del vanlige uttrykk, mens det under Tools finnes kommandoer for å gjøre ferdig kommandoer der man bare har skrevet inn starten, og for stavekontroll Standard Maple og Klassisk Maple Det er to forskjellige oppsett for Maple dokumenter (Maple Worksheets): Moderne Standard og Klassisk (Classic). Begge oppsett har tilgang på de samme matematikkfunksjonene, men har litt forskjellig utseende. Standard oppsettet har blant annet flere valg på menylinja, og er kanskje litt lettere åbruke til å begynne med. Vi tar her utgangspunkt i menyvalgene på denne. Filer laget under denne paraplyen får ekstensjon.mw. Den største ulempen med dette grensesnittet er at det krever mye av Bare i MapleV9, ikke i Classic Maple Egentlig 4, også en for ikke grafisk skjerm og en for egendefinert oppsett.

8 8 KAPITTEL 1. MAPLE datamaskinens ressurser. Spesielt hvis maskinen har litt i underkant av anbefalt minne kan det gå langsomt, eller kræsje helt ved tunge beregninger. Klassisk oppsett har samme utseende som tidligere versjoner av Maple. Siden det krever mindre ressurser av maskinen kan det være en ide å bruke dette hvis du planlegger å utføre ressurskrevende beregninger (kompliserte grafer, for eksempel med animasjoner, er eksempler på dette). Filer laget under denne paraplyen får ekstensjon.mws. Det kan være noe som ikke fungerer, men det meste går greit om du åpner en.mws fil i standard Maple, eller en.mw fil i klassisk Maple. Det samme gjelder om du åpner en fil laget i tidligere versjoner av Maple. Det er derimot ikke mulig ååpne nyere versjoner i Maple 9. Dette er et praktisk problem ved innleveringer, spesielt nå som versjon 11, som jeg ikke har, er kommet. På den første Mapleprøven i Matematikk 10 vil jeg derfor kreve Maple9, på den andre hjemmeinnleveringen må løsninger lagd i Maple11 leveres på papirformat. 1.2 Noen grunnlegende egenskaper Kommandoer avsluttes med semikolon ;. Ved deretter å bruke returtasten eksekveres kommandoen. Ønskes linjeskift inne i en kommando brukes kombinasjonen SHIFT RETUR. Kommandoen kan også avsluttes med vanlig kolon :. Da vises ikke resultatet av kommandoen. Maple skiller mellom store og små bokstaver. For eksempel er Pi tallet π 3.14, mens pi er den greske bokstaven π, som ikke vil bli forstått som et tall av Maple. Kommadoen evalf(xxx); gjør om et talluttrykk (XXX) til desimaltall. Symbolene for de fire regningsartene og potenser er +, -, *, / og ˆ. Multiplikasjonstegnet må alltid være med, ax vil bli forstått som ett symbol satt sammen av to bokstaver, skriv a*x hvis du mener a x. Tilordninger gjøres ved tegnkombinasjonen :=. For eksempel vil p:= evalf(pi); bety at p i fortsettelsen kan brukes som tallet π skrevet som (tilnærmet) desimaltall. Også andre objekter som symboluttrykk, funksjoner eller figurer kan tilordnes navn på denne måten. Funksjoner gies ved kombinasjonen -> (dvs. bindestrek og større enn ). For eksempel definerer vi funksjonen f gitt ved funksjonsuttrykket f(x) =x 2 slik: f := x -> xˆ 2;. Evalf er forkortelse for EVALuate to Floating point number. Kanskje ikke det mest intuitive navnet de kunne valgt, men svært nyttig ålæreseg.

9 1.3. EN INNLEDENDE ØVELSE En innledende øvelse Hensikten med denne øvelsen er å komme i gang, og ålære: ÅstarteMaplepå studentmaskiner, og å lagre og avslutte. Hvordan legge inn kommandoer: Spesialtegnet ; (semikolom). De fire regningsartene + - * og / samt potenser ^. Desimaltall og kommandoen evalf. Konstanten Pi (det vil si π 3.14). Å tegne enkle funksjonsgrafer med kommandoen plot. Å løse likninger med kommandoen solve. Å hente Maple-filer fra nettet (fagsidene i Matematik 10). Det som er skrevet med liten skrift er kommentarer, tips eller ekstra oppgaver. Det er stoff som i denne omgang ikke er så viktig. Hensikten med oppgaven er ikke åfåså mange riktige svar som mulig på kortest mulig tid. Ta deg tid til å tenke gjennom hva som skjer, slik at du forstår det og forhåpentligvis husker det til siden. Oppgave 1 Oppstart av Maple Begynn med å opprette en katalog (folder) for Maple-filer på ditt hjemmeområde. Legg den for eksempel som en underkatalog til en katalog du kaller Ma10,og kall den Maple. Start så opp Maple. Dette kan gjøres ved å klikke startmenyen->alle programmer->maple9.5 og klikke på ikonetfor maplew9.5 (eller alternativt cmaplew9.5, omduønskerå kjøre Klassik Maple, som krever mindre ressurser av maskinen). Det er nok lurt å lage en snarvei til ååpne Maple på skrivebordet. Lagre denne fila i katalogen du opprettet under et passende navn, ved hjelp av File -> Save As Denne skrivemåten betyr at du først skal klikke på File i menyen oppe til venstre, og deretter undermenyen Save As. Oppgave 2 Aritmetikk med Maple Under menylinjene er det et stort sett blankt område der Maplekommandoer og tekst kan skrives inn, og resultater vises. Oppe til venstre finner du et rødt > tegn. Det er et prompt som viser at her starter en linje der Maple kan ta inn en kommando (kommandolinje). Når jeg angir kommandoer i tekst tar jeg ofte med promptet, men det skal ikke dere skrive inn. Det er antagelig også en palett med oppsett for en del kommandoer og stukturer til venstre (ikke i Classic versjonen). Denne skal foreløbig ikke brukes, og kan om dere ønsker ryddes vekk ved View->Palette->Hide all a ) Prøv først det enkle regnestykket ved åskriveinn > 5+7; Semikolon til slutt angir at kommandoen er avsluttet (må alltid være med), tast retur tasten, og Maple returnerer svaret 12 i et felt av en type som kalles Output-felt. Et nytt promt kommer også fram,så Maple er klar til å ta i mot en ny kommando.

10 10 KAPITTEL 1. MAPLE b ) Et regnestykke til: Regn ut med Maple. Merk at tegnet * (som gjerne finnes ved å bruke skift-tasten sammen med tasten til høyre for æ tasten) må brukes ved multiplikasjon, og at ^ angir potenser. Dette tegnet er gjerne plassert påtastenover*. Tegnet kommer ikke fram med en gang, men det dukker opp når du skriver inn neste tegn: > 5*2^3; Siden 2 3 =2 2 2 = 8 er svaret selvfølgelig 5 8 = c) Nå til et mer sammensatt regnestykke, +4. Spesielt må teller og nevner samles til en 7+23 enhet hver for seg ved hjelp av parenteser (Uten parenteser vil regnestykket oppfattes som ). > (20-3^2)/(7+2^3)+4; Hvis du har tastet riktig får du svaret 71/15 på brøkform(eksakt form). (Hvis du ønsker å se input på brøkform er dette mulig ved å avmerke dette og bruke Format->Convert to->standard Math Input) d) Nå skal regnestykket over gjøres omigjen, men vi ønsker svaret som desimaltall. Desimaltall skrives i Maple med desimalpunktum ( amerikansk notasjon, norsk notasjon med desimalkomma fungerer ikke). For eksempel kan tallet 20 endres til Det er nok åskrive20., med desimalpunktum men uten noen desimaler, for at Maple skal oppfatte dette som desimaltall. Hvis minst et av tallene i et regnestykke av denne typen er desimaltall forstår Maple at vi ønsker svaret på desimalform. Gjør den lille endringen på forrige regnestykket at du setter inn et punktum etter 20, og se at svaret kommer på desimalform. Det er ikke nødvendig å skrive alt omigjen, gjør bare denne endringen på det du alt har stående og tast retur igjen. Hvis du gjorde om til Standard Math Input i forrige deloppgave er det nok enklest å konvertere tilbake først, dvs Format->Convert to->maple Input Det er lurt å lagre når du har gjennomført en oppgave. Bruke File -> Save, eller kortfomen CTRL s. Oppgave 3 Omgjøring til deimaltall med evalf Kommandoen evalf og konstanten Pi. a ) b ) Kommandoen som gjør om et vilkårlig talluttrykk til desimaltall er evalf. Test først eksemplet > evalf(1/3); Dette er også det første eksemplet på en kommando med argument, det vil si at kommandoen på samme måte som en funksjon er på formenevalf(), der det inne i parentesen skal settes inn en eller flere argumenter (inn verdier) til kommandoen. Tallet π angis i Maple som Pi. DeterviktigatdubrukerstorP og liten i, det er en hyppig feil åskrivepi. Det er forsåvidt lett å rette opp, men det er ikke alltid lett å oppdage at det er der feilen ligger med en gang. Tallet π er irrasjonalt, det vil si at det ikke kan skrives eksakt som en brøk mellom heltall, men vi kan regne det ut med så mange desimaler vi ønsker. Standard i Maple er åregnemed 10 siffer, men ved et ekstra argument til evalf kan vi angi et annet antall desimaler om vi ønsker det.

11 1.3. EN INNLEDENDE ØVELSE 11 Nå skal dere regne ut π med henholdsvis 10, 3 og 1000 desimaler. > evalf(pi), evalf(pi,3); evalf(pi,1000) c ) d ) Det går an å sette flere korte kommandoer inn på en linje. Hvis de skilles med komma kommer svaret ut på en linje (som en sekvens) hvis det er plass, mens hvis de skilles med semikolon kommer de under hverandre. Dette er en kombinasjon av begge varianter: Uttrykket pi oppfattes i Maple som den greske bokstaven π, ogikketallet π Vi ser ikke forskjell på dem om vi bare printer dem ut, men ser forskjellen om vi forsøker ågjøre dem om til desimaltall. Uttrykket PI den greske bokstaven Π(storπ): > pi, Pi, PI; evalf(pi), evalf(pi), evalf(pi); I regnestykker med Pi er det ikke nok at en av koeffisientene er desimaltall for at svaret skal bli desimaltall. Kommandoen evalf måbrukes: > 3*Pi^2/7, 3.*Pi^2/7, evalf(3*pi^2/7); Oppgave 4 Skissering av grafer med plot Skissering av grafer og grafisk framstilling generelt er noe av det nyttigste med Maple, både med pedagogisk siktemål og for å lage figurer til skriflig materiale av forskjellige slag. Her begynner vi med noen enkle eksempler på brukav kommandoen plot: a) Minimumsvarianten av plot har to argumenter adskilt med komma: Funksjonsuttrykket som skal plottes, og området (utsnittet i horisontal retning) vi skal ha med på figuren. Dette utsnittet er et intervall, og skille mellom nedre og øvre grense i et intervall er i Maple dobbelt punktum. Som eksempel skal dere plotte grafen til parabelen gitt ved f(x) =x 2,påområdet 2 x 2: b ) > plot(x^2, x=-2..2); Det er ikke en til en skala på aksene, Maple bruker som standard et forhold som gir pen fasong på rammen rundt plottet. Skal grafen til flere funksjoner plottes i samme diagram må funksjonsuttrykkene samles i parentesparet { } eller [ ]. Determestvanligåbrukemengdeparenteser { }. Da er rekkefølgen tilfeldig. Hvis vi ønsker styring på rekkefølgen, for eksempel for å gi hver graf en farge valgt av oss, brukes listeparenteser [ ]. > plot({x^2, 3-x}, x=-2..2); c) Det finnes en rekke frivillige tileggsargumenter (opsjoner) til plot for å styre utseende. Rekkefølgen på argumentene må da være: 1) Funksjonen(e) 2) Horisontal avgrensning (x=a..b) 3) vertikalavgrensing (y=c..d), hvis den skal være med. 4) Opsjonene i vilkårlig rekkefølge og antall. Vi skal ikke i denne omgang gå sånøyeinnpå disse, men tar med et eksempel, der vi har avgrensning også i vertikal retning, en opsjon for ågisvartekurver(colour=black) ogenopsjonforåfåtil1:1 skalapåaksen (scaling=constrained): > plot({x^2, 3-x}, x=-2..2, y=0..4, colour=black, scaling=constrained); d) Hjelpefunksjoner: En måte åfå hjelp til en kommando eller et emne på ervedåtasteinn? før kommandonavnet. Ved åtaste?? får du et konsentrert sammendrag, og ved åbruke??? kommer du direkte til eksempler. Jeg bruker dette ofte til huske hvilke opsjoner til plot som er tilgjengelig, og hvordan de brukes. Dette kommer fram ved kommandoen >? plot, options Forsøk dette, og hvis du har tid, eksperimenter med noen av opsjonene til plot.

12 12 KAPITTEL 1. MAPLE En strukturert tilgang til en stor samling hjelpefiler kan også fåes ved å klikke på hjelp -ikonet (markert med spørsmålstegn, antagelig plassert øverst til høyre i dokumentet). Oppgave 5 Likninger Likninger løses ved hjelp av kommandoen solve. Kommandoen har som første argument selve likningen(e) og deretter må navnet på den eller de ukjente angis (spesielt hvis likningen inneholder parametre, det vil si andre bokstaver enn den ukjente). Test dette på følgende eksempler: a ) b ) c ) d ) Løs likningen 3x 5 = 11 ved kommandoen > solve(3*x-5=11,x); Endre tallet på høyresiden fra heltallet 11 til desimaltallet 11. for åfå løsningen som desimaltall. Løs andregradslikningen x 2 +10x 5 = 0 ved Maple. Finn løsningene både som eksakte verdier og desimaltall. Et likningssystem løses ved å samle likningene for seg, og de ukjente for seg i mengdeparenteser. For eksempel løses likningssystemet 2x 3y =3ogx +2y = 2 ved kommandoen > solve({2*x-3*y=3,x+2*y=2},{x,y}); Finn også løsningsparet som desimaltall. Kommandoen solve bruker algebraiske metoder til å finne eksakte løsningsmetoder. Det er mange likningstyper det ikke finnes eksakte løsningsmetoder for. Vi skal senere se på en kommando fsolve som løser også slike likninger. Med fsolve blir løsningene alltid desimaltall, og parametre kan ikke være med i likningen. Lagre og lukk fila. Oppgave 6 Mapledokumenter fra nettet Til slutt skal vi se på hvordan ferdige (eller halvferdige) Mapledokumenter kan hentes fra nettet (hjemmeområdet til Matematikk 10). I fortsettelsen vil de fleste oppgaver og eksempler bli gitt på denmåten. Åpne en nettleser. Som eksempel skal dere finne og åpne en fil som heter redigering.mw som er en innføring (elektronisk lærebok) for grunnleggende redigering av Maple dokumenter. Blant annet hvordan man lager tekstbolker, og hvordan man organiserer dokumentet i avsnitt som midlertidig kan lukkes. Hjemmområdet for Matematikk10 ved Høgskolen i Gjøvik har nettadresse Naviger til denne, enten ved å skrive inn adressen eller navigere fra (HiGs hjemmeside) ved lenkeserien Avdeling for ingeniørfag-> Allmennfag -> Matematikk -> Matematikk 10. Plasser gjerne et bokmerke her til senere bruk. (TRES har egne sider, men TRES-studenter kan også bruke denne siden). Klikk så på Maple, ogvelgredigering.mws. Hvis alt nå fungerer som det skal, får dere opp en meny med valg mellom ååpne fila i Maple, eller å lagre den på disken.iså fall velger dere ååpne den i Maple. Orienter dere om innholdet, og lagre den på deres eget område til seinere bruk.

13 1.4. VIDERE ARBEID MED MAPLE I MATEMATIKK Videre arbeid med Maple i Matematikk 10 Innføringskurs Innføringskurs og videre opplæring i Maple vil bli gitt som Maplefiler, og omhandle utvalgte temaer. Følgende dokumenter er å regne som pensum i Matematikk 10: redigering.mw Om tekstredigering, tekst- og input felt og inndeling av dokumentene i seksjoner. plott.mw Om plotting, og navn på de elementære funksjonene: Enkel plotting, opsjoner, plott av parametriserte kurver, animasjon, 3d figurer. Derivasjon.mw Definisjon av funksjoner med ->, grenser og derivasjon. Integrasjon.mw Kommandoene int(), Int() og evalf(int()), Riemannsummer i Student[Calculus1] pakken. Difflikninger.mw Differensiallikninger i Maple. Disse kan finnes på fagsidene i Matematikk 10, via nettadressen eller på området for Maple Det over vil, sammen med dette notatet, regnes som en del av pensum i faget Matematikk 10. I tillegg er det laget et tilsvarende dokument om lineær algebra (Matematikk 15), om differensiallikninger (Fysikk) og om 3D-plott (Matematikk 30), og flere vil bli laget etterhvert. Annet I tilegg vil oppgaver og løsningsforslag bli lagt ut etter hvert. Eksempler fra forelesninger, oppgaveløsning og annet: I noen eksempler brukes forholdsvis enkel Maple, da er det et poeng at studentene selv skal kunne reprodusere disse. I andre eksempler er resultatet (for eksempel en figur eller animasjon) hovedpoenget, selve Mapleprogrammeringa er kanskje mer avansert ( for spesielt interesserte ). Løsningsforslag på Mapleoppgaver, kanskje også avogtilpå håndregningsoppgaver, kommer etterhvert.

14 14 KAPITTEL 1. MAPLE 1.5 Liste over en del viktige kommandoer Maple inneholder et utall kommandoer og funksjoner, og det er umulig å lære seg alle. Ved bruk av hjelpemenyene, erfaring og det å studere eksempler kan man få til nesten hva som helst. Her følger en liste over mange av de mest brukte kommandoene og elementene i Maple Spesialtegn Kommando Betydning Eksempel ; Semikolon, kommando avsluttet > 2 + 3; : Kommando avsluttet, svaret vises ikke > 19/3: %*3;. Desimalpunktum > ;, Komma, skilletegn i sekvenser > [x,y] = [2.11, 3.19] ; %, %% Siste og nestsiste svar > evalf(%);.. Dobbelt punktum, intervall > int(sin(x), x=0..pi); +, - Addisjon, subtraksjon > ; (1.1) *, / Multiplikasjon, divisjon > 2*5/3 ; ^ Potens > 5^3-5*5*5;! Fakultet, n! = n > 4!-1*2*3*4; := Kolon Likhet, Tilordning av verdi til navn > pi := 3.14; -> Bindestrek Større enn, Funksjon > f := x -> x^2 ;? Hjelp om kommando >?plot, options ; Parenteser Kommando Betydning Eksempel (,) Gruppering og > (2 + 6)/4; argument til kommando > plot(sin(x), x=0..pi); {, } Mengder (ikke ordnede lister) > plot({x,x^2}, x=0..1); (1.2) [, ] Ordnede lister og indekser > kvadr := [1,4,9,16,25]: > kvadr[3];

15 1.5. LISTE OVER EN DEL VIKTIGE KOMMANDOER Konstanter Konstanter Kommando Betydning Eksempel I Den imaginære enhet j, j 2 = 1. > (2+3*I)/(1-I); Pi π 3.14 > cos(pi); (1.3) exp(1) e 1 = e > e := evalf(exp(1)); infinity Uendelig >int(exp(-x), x=0..infinity); Funksjoner Alle elementære funksjoner kan oppnåes ved kombinasjoner av følgende funksjoner og bruk av de binære operasjonene +, -, *, / og ^, : Funksjoner Kommando Betydning Eksempel arcsin Arcussinus (sin 1 ) > arcsin(1/2); arctan Arcustangens (tan 1 ) > arctan(1); exp Eksponentialfunksjonen e x > e := exp(1.0); cos Cosinus cos(x) > cos(0); (1.4) ln Den naturlige logaritmen ln(x) > ln(1024.)/ln(2.); sin Sinus sin(x) > sin(pi/4); sqrt Kvadratrot x > sqrt(81) ; surd surd(x,n) er n-te rot n x > surd(27,3) ; tan Tangens tan(x) > tan(pi/3); Operatorer Operatorer Kommando Betydning Eksempel diff Derivasjon av funksjonsuttrykk > diff(x^2,x); D Derivasjon av funksjoner > D(x->x^2); evalf Gjør om til desimaltall > evalf(pi, 3); (1.5) int Integrasjon, ubestemt og bestemt > int(cos(x), x) + C ; > int(x^2, x = -1..1); sum Summér, n i=1 f(i) > sum(i^2, i=1..n);

16 16 KAPITTEL 1. MAPLE Andre prosedyrer Kommando Betydning Eksempel expand Regner sammen uttrykk > expand((a + b)^2); fsolve Numerisk likningsløsning > fsolve(ln(x)=x-2, x=0..1); plot Tegn graf > plot(x+1,x=-2..2); restart Tømmer alle tilordninger > restart: (1.6) seq Lager en sekvens (etter en formel ) > seq(i^2, i=1..5); simplify Forenkler uttrykk > simplify(exp(2*x)/exp(x)); solve Løs likning > solve(x^2-2*x-2 = 0, x); subs Erstatter del av uttrykkk > subs(x=5, diff(x^3,x)); Differensiallikninger dsolve 1.ordens: > dsolve({diff(y(x),x)+sin(x)*y(x)=cos(x), y(pi)=3, y(x)}) ; (1.7) 2.ordens: > dsolve({ diff(y(x),x,x)+y(x)=0, y(0)=0, D(y)(0)=1 }, y(x)); Eksterne pakker Generelt Kommando Betydning Eksempel with Åpner ekstern pakke > with(plots); Display er en kommando i pakken plots for åvise flere figurer sammen: pakkenavn[prosedyrenavn] Bruke prosedyre uten ååpne pakke: > f1:=plot(1/(x+1),x=0..3): > f2:=plot(1/x,x=1..4); > display({f1,f2}); > plots[display]({f1, f2}); (1.8)

17 1.5. LISTE OVER EN DEL VIKTIGE KOMMANDOER 17 Nyttige pakker Pakkenavn plots plottools RealDomain Brukl Flere kommandoer til plot, bl.a. display og animate Strukturer for avanserte, egendefinerte plott. Gir svar som reelle (ikke komplekse) størrelser for en rekke funksjoner. Student Gruppe pakker for å innøve begreper (pedagogisk siktemål). Underpakkene åpnes som f.eks. > with(student[calculus1]); student[precalculus] student[calculus1] Funksjoner (stoff fra videregåede skole). Kalkulus i en variabel (Matematikk 10 stoff). (1.9) student[linearalgebra] student[calculus2] Lineær algebra (Matematikk 15 stoff). Kalkulus med flere variable (Matematikk 30 stoff). LinearAlgebra Lineær algebra (vektorer og matriser, Matematikk 15). stats Statistikkpakke, med underpakker for bruk i statistikk. inttrans Laplace- og Fouriertransformasjoner (Matematikk 20, elektro). VectorCalculus Kommandoer for bruk i vektoranalyse (Matematikk 30). Dette er et skjønnsmessig utvalg av pakker. En liste over alle pakker kan du få ved kommandoen >?index,packages. Hjelpefunksjonene kan brukes til å finne ut mer detaljer om pakkene Programmering Programmering Kommando Betydning Eksempel for/from/ > for i from 1 by 1 to 11 do by/to/ Gjentar beregninger a[i] := i!; do/od od; if/then/ > if(9/17 > 12/23) then elif/then/ Valg mellom alternativer maks := 9/7; else/fi else maks := 12/23; fi; (1.10) proc()/ Prosedyre > maks := proc(x,y) end if x>y then x else y fi; end;

18 18 KAPITTEL 1. MAPLE

19 Kapittel 2 Vektorvaluerte funksjoner 2.1 Parametriserte kurver Grafen til en kontinuerlig funksjon f av en variabel kan som kjent skisseres i xy planet, og gir en sammenhengende kurve. Det er imidlertid begrenset hva slags kurver vi kan få fram på denne måten, først og fremst på grunn av begrensningen at det bare skal være en funksjonsverdi (y verdi) til hver argumentverdi (x verdi). Vi kan få til mye større fleksibilitet i hvilke kurver vi kan gi beskrive (og for eksempel plotte i Maple) ved åbrukeparametriserte kurver. Foe en parametrisert kurve gir vi x og y koordinaten separat som funksjon av en tredje variabel kalt parameteren. Vi skal ofte bruke bokstaven t for parameteren, og da er den parametriserte kurven mengden av alle punkter med koordinater på formen(x(t),y(t)) Eksempel, lineære funksjoner Vi ser først på et eksempel der både x og y er lineære funksjoner (det vil si polynomfunksjoner av grad 1) gitt ved: x(t) =5t 12, y(t) =2t 3 Vi kan regne ut koordinatene til noen punkter på denne kurven: t x(t) y(t) (x, y) ( 12, 3) ( 7, 1) ( 2, 1) (3, 3) (8, 5) (13, 7) Når vi tegner disse punktene inn i xy planet ser vi at de ligger pent på en rett linje, med samme avstand. Vi skal senere gi et argument for at det faktisk blir en rett linje hver gang begge funksjonene 19

20 20 KAPITTEL 2. VEKTORVALUERTE FUNKSJONER er lineære. Vi tegner også inn denne linja. Kurven parametrisert ved x(t) =5t 12, y(t) =2t 3 for t [0, 5] y 7 t =5 6 5 t =4 4 3 t =3 2 1 t =2 x t = t =0 Det framkommer ikke av selve kurven (linja) hvilke t verdier som hører til hvilke punkter på linja. Dette er her skrevet ved siden av de utregnede punktene. Hvis vi sier at definisjonsområdet til t er intervallet [0, 5] får vi akkurat det linjestykket som er tegnet her. Hvis vi isteden tillater alle t R betyr det at vi har hele den uendelig lange linja dette er en del av Eksempel, parametrisering av en sirkel. Hvis vi skal parametrisere en sirkel med sentrum i origo og radius R kan vi bruke vinkelen mellom den positive x aksen og linjestykket ut til det løpende punktet på sirkelen (polarvinkelen) som parameter. Sirkel parametrisert med polarvinkelen som parameter t y R (x(t),y(t)) t x I den rettvinklede trekanten som er skissert er x(t)/r = cos(t), siden cosinus er lengden av hosliggende katet dividert med hypotenusen. Tilsvarende er y(t)/r = sin(t). Dette gjelder også om vi har (x(t),y(t)) i en av de andre kvadrantene. Ved litt omforming av disse to likningene får vi Parametrisering av sirkel med sentrum i origo og radius R: x(t) =R cos(t), y(t) =R sin(t) (0 t 2π) (2.1)

21 2.2. VEKTORER 21 At parameteren t velges i intervallet [0, 2π] (eller et annet intervall med bredde 2π) gjør at sirkelen blir gjennomløpt en gang. Velger vi et kortere område får vi en del av sirkelen, for eksempel gir t [0,π/2] en kvartsirkel. Velger vi et område bredere enn 2π får vi bare de samme punktene opp igjen (punktet (x(t),y(t)) løper mer enn en runde gjennom sirkelen). En av fordelene med parametrisering er at det lett utvides til å parametrisere kurver i rommet, ved åha med en tredje funksjon z(t) forz koordinaten. For eksempel er kurven parametrisert ved x(t) =cos(t), y(t) =sin(t) ogz(t) =t/5 enhelix (form som en spiralfjær). Den ser slik ut: Punkter i planet (eller rommet) kan identifiseres med vektorer, og dette gir opphav til en litt annen måte å betrakte parametriserte kurver på. Fordelen med den måten er blant annet at da har vi vektorregningen som verktøy til å behandle parametriserte kurver. Dette behandles i avsnitt 2.3, men tar først med en kort repetisjon av vektorer. 2.2 Vektorer Vektorer som retning og lengde. Vektorer stammer opprinnelig fra fysikk, der de blant annet brukes til å beskrive størrelser som for eksempel hastighet, aksellerasjon og kraft. Dette er størrelser med to atributter, størrelse og retning. Disse kan da illustreres med piler som angir retningen, og der lengden på pila tilsvarer størrelsen. Navn på vektorer angis gjerne på trykk med fet skrift, som i v. Ihåndskrift angis det gjerne med en pil over navnet, som i v. To vektorer v og u, medv = u v u Siden de to atributtene retning og lengde er like for vektorene i figuren er v = u, selvomdealtså er plassert på forskjellig sted. Det er viktig å skille mellom vektorer (med sine to attributter) og skalarer. Skalarer er reelle tall, eller bokstavuttrykk som gir reelle tall ved insetting av verdier (parametre, variabler eller Grafen til en kontinuerlig funksjon i to variable f(x, y) (eller løsningsmengden til en likning med tre ukjente x, y og z) girderimotenflate i rommet.

22 22 KAPITTEL 2. VEKTORVALUERTE FUNKSJONER funksjonsuttrykk). Navn på skalarer skrives med vanlig tykkelse (og uten pil), slik at x eller x gjenkjennes som navn på vektorer, mens x er navn på enskalar. For vektorer har vi definert to viktige operasjoner, multiplikasjon med skalar og addisjon av to vektorer. Definisjonene er opprinnelig motivert fra fysikk, for eksempel ut fra hvordan den samlede virkningen av to krefter er. Multiplikasjon med skalar bevarer retningen, bortsett fra at den snues 180 hvis skalaren er negativ, og endrer størrelsen (lengden) med en faktor som er absolutverdien av skalaren. Dette framgår av en figur med et par eksempler: Multiplikasjon av vektor med skalar. v 2v 0.5v 1v = v Addisjon av vektorer foregår ved parallelogramloven. Detvilsiathvisvitegnervektorenev og u med felles startpunkt og lar dette være to av de fire sidene i et parallellogram, blir diagonalen med samme startpunkt summen v + u. En alternativ og ofte nyttig måte å se dette på eratvedåtegneu med start der v slutter, blir v + u vektoren fra startpunktet til v til sluttpunktet til u. I figuren ser vi at disse to måtene åse det på er like, i siste variant er bare u tegnet som den annen av sidene i parallelogrammet. Siden retning og lengde er uendret er det den samme vektoren: Vektoraddisjon med parallelogramloven. u v + u v Addisjon som den ene vektoren etterfulgt av den andre. v + u u v Vanlige regneregler som vi kjenner fra tall gjelder disse operasjonene så langt de gir mening. For eksempel gjelder følgende omforming: v +(u v) =u. Dette betyr at u v er den vektoren vi må addere til v for åfå u. For eksempel kan vi ved parallelogramloven tegne u som en diagonal og v som den ene siden, og den andre siden blir differensen u v. Etalternativeråtenkepå u v som u +( v), og addere u og den vektoren som er motsatt rettet og like lang som v ved parallelogramloven. Den mest interessante tolkningen av u v har vi nok med den andre varianten av figuren for vektoraddisjon. Siden v +(u v) =u kan vi bruke samme figur, med navnet u erstattet med u v, ogv + u erstattet med u: u v som vektoren fra endepunktet av v til endepunktet av u. u u v v

23 2.2. VEKTORER 23 Det vi har sagt så langt gjelder enten vi tenker på at vektorene (pilene) er avgrenset til åholdesegietplan, eller om vi tillater at retningen peker i vilkårlige retninger i et 3-dimensjonalt rom. I fortsettelsen skal vi skille mellom vektorer i planet og rommet Vektorer i kartesiske koordinatsystem. Vi tenker oss nå at alle aktuelle vektorer ligger i et plan, der vi har lagt inn et to dimensjonalt kartesisk koordinatsystem (xy planet). I dette planet kan et punkt entydig identifiseres med et ordnet par av reelle tall, (x, y), som kalles punktets koordinater. Mengen av slike par kalles R 2,men vi kaller ofte også xy-planet selv for R 2. En vilkårlig vektor u i R 2 kan parallellforskyves til en vektor v med begynnelsespunkt i origo. Siden lengde og retning er bevart, er u = v, og vi skal vanligvis ikke skille mellom disse to. y Vektorer i planet (x, y) 1 v u La (x, y) være koordinatene i endepunktet når vektoren er plassert med start i origo. Da er koordinatene entydig bestemt av vektoren. I figuren over har vi for eksempel (x, y) =(3, 1). Hvis vi omvendt starter med et punkt i planet, finnes det en entydig vektor som ender i dette punktet når den plasseres med start i origo. Dette betyr at det er en naturlig en til en korrespondanse mellom vektorer i planet og punkter i planet. Dette gir også enmåte å angi en vektor analytisk på (dvs. med tall, istedenfor geometrisk, som piler), ved å gi disse koordinatene. For å opprettholde et lite skille mellom punkter og vektorer brukes ofte hakeparenteser istedenfor vanlige parenteser når tallparet skal oppfattes som en vektor. For vektorene i forrige figur har vi dermed u = v =[3, 1]. I Matematikk 10 er vi mer opptatt av likhetene, at punkter og vektorer igrunnen er det samme, enn av forskjellen på disse to typene objekter. Det er ofte hensiktsmessig og naturlig å tegne, eller tenke på, vektorer som punkter snarere enn som piler. Mengden av vektorer i planet skal vi (også) kalle R 2. x Multiplikasjon med skalar og addisjon av vektorer i xy planet. En av fordelen med skrivemåten [x, y] for en vektor i R 2 er at multiplikasjon med skalar og vektoraddisjon følger en veldig enkel oppskrift: Multiplikasjon med skalar utføres med at skalaren multipliseres med hver koordinat. For eksempel om v =[3, 1] er 2v =2[3, 1] = [2 3, 2 1] = [6, 2]. Dette tilsvarer den geometriske definisjonen, retningen bevares og lengden fordobles. Vektoraddisjon utføres ved at de to førstekoordinatene adderes til førstekoordinaten i summen, og tilsvarende med andrekoordinatene. For eksempel er [3, 1] + [2, 2] = [3 + 2, 1+2]=[5, 3], og dette tilsvarer parallellogramloven:

24 24 KAPITTEL 2. VEKTORVALUERTE FUNKSJONER Koordinatvis addisjon tilsvarer parallellogramloven. 4 [3 + 2, 1+2] 3 [2, 2] =[5, 3] 2 u 1 0 v [3, 1] Vektorer i rommet. I det 3 dimensjonale kartesiske rommet har vi tre akser, x, y og z aksen, som vi (ihvertfall i dette faget) plasserer normalt på hverandre. Et punkt får på tilsvarende måte som i xy planet, tre koordinater, (x, y, z). Vi kaller mengden av slike ordnetde tripler R 3, men vil også bruke denne betegnelesen på (det geometrisek objektet) rommet med disse aksene, og etterhvert for vektorene i dette rommet. Vi plasserer, på tilsvarende måte som i planet, en vektor i standardposisjonen, og angir da vektoren som [x, y, z] hvis endepunktet faller i punktet med koordinater (x, y, z). Vi skal (nesten) ikke skille mellom punkter i rommet og vektorer i rommet. Multiplikasjon med skalar utføres ved at skalaren multipliseres inn i hver komponent, f.eks er 5[1, 2, 3] = [5, 10, 15]. Vektoraddisjon foregår komponentvis, f.eks [1, 2, 3] + [4, 3, 3] = [1 + 4, 2+( 3), 3+( 3)] = [5, 1, 0]. Disse operasjonene tilsvarer de geometriske definisjonene av de samme operasjonene på piler. Skalarprodukt og norm. Norm. Hvis vi tegner inn vektoren med standardrepresentasjon [x, y] ixy planet, kan vi ved hjelp av den indikerte trekanten og den Pythagoreiske læresetning bestemme lengden av vektoren: Norm (lengde) til en vektor. 3 [x, y] 2 x 2 + y 2 y 1 x Lengden av vektoren kalles også normen, og vi bruker absoluttverditegn på vektorenforåskrive at vi mener vektorens norm. Vi sa innledningsvis at en vektor har to attributter, og den ene av disse er størrelsen, som er det samme som normen.vibrukerhelstnorm og ikke lengde som betegnelse, da det er litt meningsløst å snakke om norm i anvendelser der vektoren ikke tolkes direkte geometrisk (men for eksempel som en kraft eller hastighet.)

25 x2 + y 22 + z 2 = x 2 + y 2 + z VEKTORER 25 Vi har en tilsvarende formel for norm til vektorer i R 3. Definisjon av norm for vektorer på komponentform i R 2 : v = [x, y] def. = x 2 + y 2 Definisjon av norm for vektorer på komponentform i R 3 : v = [x, y, z] def. = x 2 + y 2 + z 2 (2.2) For eksempel, om v er som i forrige figur, er v = [4, 3] = = 25 = 5. Skalarprodukt. Hvis vi har to vektorer (tolket som piler) i planet eller rommet kan vi kalle vinkelen mellom dem for θ. v θ u Vi velger vanligvis θ som den minste positive vinkelen mellom vektorene, så 0 θ π, men dette er ikke vesentlig. Vi kan da definere en type produkt kallt skalarprodukt mellom to vektorer u og v med utgangspunkt i denne vinkelen og normene: Definisjon av skalarprodukt. La θ være vinkelen mellom vektorene u og v. Daer u v = def. = u v cos(θ) Jeg har her valgt åbrukefetskriftpå multiplikasjonstegnet, forå skille det fra multiplikasjon mellom tall, eller mellom skalar og vektor, som jeg skriver hvis jeg har det med. En umiddelbar konsekvens av denne denne definisjone er at om u v =0måcos(θ) = 0 (hvis ingen av vektoren har norm 0). Den eneste vinkelen (mellom 0 og π) som oppfyller dette er θ = π/2 =90. Det vil si (2.3) Vektorene u og v står normalt (vinkelrett) på hverandre u v =0 (2.4) En ulempe med denne definisjonen er selvfølgelig at det vanligvis ikke er så lettåsedirektehvor stor vinkelen θ er. Det finnes imidlertid en veldig grei måte å regne ut skalarproduktet for vektorer på komponentform i planet R 2 og i rommet R 3. Vi finner først lengden fra origo til projeksonen i xy planet, dvs. punktet med koordinater (x, y, 0). Deretter betrakter vi en rettvinnklet trekant med dette som en katet, og linja fra dette punktet til (x, y, z) som andre katet. Hypotenusen er da v, og lengden av denne er ved Pytagoras Dettekanvisesvedhjelpavcosinussetningen fra trigonometrien, men vi gjennomfører ikke dette her.

26 26 KAPITTEL 2. VEKTORVALUERTE FUNKSJONER Regneformel for skalarprodukt mellom vektorer på komponentform i R 2 : u v =[x 1,y 1 ] [x 2,y 2 ]=x 1 x 2 + y 1 y 2 Regneformel for skalarprodukt mellom vektorer på komponentform i R 3 : u v =[x 1,y 1,z 1 ] [x 2,y 2,z 2 ]=x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 (2.5) For eksempel er [2, 2, 1] [2, 1, 2] = 2 2+( 2) 1+1 ( 2) = 0. Siden skalarproduktet er 0 står disse vektorene normalt på hverandre i rommet. Merk at skalarproduktet mellom to vektorer blir en skalar (et tall), derav navnet. Skalarproduktet kalles også ofteprikkprodukt. Hvis vi starter med å definere skalarproduktet kan vi definere normen via dette: Definisjon av norm fra skalarprodukt: v def. = v v (2.6) For eksempel er [2, 2, 1] = [2, 2, 1] [2, 2, 1] = 2 2+( 2) ( 2) + 1 1= 2 2 +( 2) = 9=3. Langt på veg gjelder vanlige regneregler for produkt for skalarprodukt, så lenge de gir mening.de viktigste er Regneregler for skalarprodukt: u v = v u u (a v + b w) =a u v + b u w v v 0 og v v =0 v = 0 (2.7) Nullvektoren. I siste setning innførte vi nullvektoren 0, vektoren med null lengde og som på komponentform er [0, 0] i R 2 og [0, 0, 0] i R 3. Denne skrives også 0. Tolket som punkt i planet eller rommet tilsvarer nullvektoren origo. Nullvektoren spiller en rolle tilsvarende tallet 0 i vanlig regning, men må ikke forveksles med dette. Noen regneregler som likner regning med tallet 0 er for eksempel v + 0 = v, v v = 0, 0v = 0, k0 = 0, v 0 =0. (2.8) Merk at det noen steder står vektoren 0, andre steder tallet Vektorvaluerte funksjoner I avsnitt 2.1 definerte vi parametriserte kurver (i planet) ved to funksjoner, x(t) ogy(t). Det vil si at for hver t verdi er punktet (x(t),y(t)) et punkt på kurven. Det er nesten ingen forskjell om vi isteden betrakter dette som en vektor påkomponentform,[x(t),y(t)]. En liten forskjell er det vel at vi oppfatter vektoren [x(t),y(t)] som ett enkelt objekt. For hver t verdi får vi en entydig vektor (som tilsvarer et punkt i planet). Dette er dermed en funksjon fra Merk at for eksempel (u v) w ikke gir mening fordi produktet i parentesen er en skalar, og vi har ikke skalarprodukt mellom vektorer og skalarer. Om vi erstatter siste med multiplikasjon med skalar får vi en vektor (u v)w, men denne er vanligvis ikke lik vektoren u(v w).

27 2.3. VEKTORVALUERTE FUNKSJONER 27 (en delmengde av) R inn i mengden R 2,noeviskriverR R 2.Dettekallervienvektorvaluert funksjon. Vi bruker fet skrift eller pil på et funksjonsnavn for å markere at det er en vektorvaluert funkjson, i motsetning til reell(valuert) funksjon. For eksempel et funksjonsnavn som r, eller i håndskrift r. Vi kan da skrive funksjonsuttrykket som r(t) =[x(t),y(t)] (eller r = t [ x(t),y(t)]) Første eksempel fra avsnitt 2.1 blir da, om vi gir det funksjonsnavnet r: r(t) =[5t 12, 2t 3] (evt. med definisjonsområde 0 t 5). mens sirkelen med sentrum i origo og (konstant) radius R blir r(t) =[ R cos(t),rsin(t)]. Ved å ta med en ekstra koordinat får vi vektorvaluerte funksjoner fra R til R 3, for eksempel helixen fra avsnitt 2.1: r(t) =[cos(t), sin(t),t/5]. Den parametriserte kurven vi får er dermed en grafisk framstilling av verdimengden til den vektorvaluerte funksjonen r : R R n. Dette er i motsetning til grafen tilenreellfunksjonf som er mengden av par (x, f(x)) (grafen til en vektorvaluert funksjon r : R R 2 blir 3-dimensjonal). Rette linjer som verdimengde til vektorvaluerte funksjoner. La u være en valgt (konstant) vektor, enten i planet eller rommet. Siden produkt med skalaren t, detvilsitu forlenger u medenfaktort (motsatt retning om t<0) blir alle vektorer på denne formen for t R (tolket som punkter) den ubegrensede rette linja gjennom origo som inneholder u (tegnet med start i origo). Med denne bruken skal vi kalle u en retningsvektor. La så v være en annen valgt (konstant) vektor, og definer en vektorvaluert funksjon ved r(t) =v + tu Ved å bruke tolkningen av vektoraddisjon som andre vektor tegnet med start der den første ender, får vi da billedmengden som den rette linja gjennom vektoren (punktet) v, ogmedretninggittav retningsvektoren u. Rett linje som vektorfunksjonen v + tu. u v u v + tu tu

28 28 KAPITTEL 2. VEKTORVALUERTE FUNKSJONER Vi har r(0) = v +0u = v, ogr(1) = v +1u = v + u, såvedå begrense definisjonsområdet til 0 t 1får vi linjestykket mellom punktene v og v + u. Ved å erstatte u med u v får vi r(0) = v og r(1) = v + u v = u, slik at r(t) =v + t(u v) er en vektorfunksjon for linja mellom punktene v og u. Hvis vi lar v =[2, 2] og u =[3, 1] i R 2 (passer med figuren) får vi på kompo- Talleksempel nentform r(t) =v + tu =[2, 2] + t[3, 1] = [2, 2] + [3t, t] =[2+3t, 2 t] Vi ser at begge koordinatene er lineære funksjoner av t. Dette gjelder generelt, og utregningen over kan gjøres motsatt veg. Det vil si at hvis begge koordinatfunksjonene er lineære funksjoner blir bildemengden i R 2 en rett linje. Dette gjelder også om en av dem er en konstant, da får vi linjer parallelle med en av koordinataksene Vektorvaluerte funksjoner tolket som posisjon ved tidspunkt t En måte å betrakte en vektorvaluert funksjon påeratr(t)erposisjonen en partikkel i det kartesiske planet (eller rommet) befinner seg ved tidspunktet t. Dette er en god hjelp for en intuitiv forståelse av vektorvaluerte funksjoner, samtidig som det antyder et viktig anvendelsesområde i fysikkfaget. Den parametriserte kurven blir dermed banen denne partikkelen følger. Men funksjonsuttrykket inneholder mer informasjon, nemlig om hvordan denne banen gjennomløpes (hvor fort, i hvilken retning, om det er med konstant eller variabel fart osv.). Betrakt for eksempel de to funksjonene r(t) =[cos(t), sin(t)], 0 t 2π og s(t) =[cos(2πt), sin(2πt)], 0 t 1. Begge banene blir en sirkel med sentrum i origo og radius 1 (for eksempel meter), gjennomløpt en gang. Partikkelen med posisjon beskrevet av r bruker 2π 6.28 (f.eks sekunder) påå gjennomføre den ene runden. Partikkelen beskrevet med s bare bruker 1 sekund, og roterer dermed mye fortere Hastighet og aksellerasjon Vi skal fortsatt tolke r(t) som posisjonen til en partikkel ved tidspunkt t, og velger ut to tidspunkter t 0 og t 0 + t. Vektoren r = r(t 0 + t) r(t 0 ) er vektoren mellom posisjonen ved disse to tidspunktene. Dette beskriver altså (helt konkret) hvordan posisjonen har endret seg i tidsintervallet. Gjennomsnittshastighet r(t + t) r(t + t) r(t) = r(t) r(t)/ t r(t) Hvis vi dividerer r med t får vi gjennomsnittlig endring per tidsenhet i dette tidsrommet, både med retning og avstand.