1 Veiledig til obligatoriske oppgave CON 361 høste 212 Oppgave 1. Betrakt, i første omgag, e lukket økoomi med e stor gruppe like kosumeter som kosumerer e kosumvare i megde og eergi, målt ved. Vi atar at de har e stadard yttefuksjo (, ). Kosumvare produseres ved hjelp av arbeidskraft ( m) og vareisats ( v ) ved e stadard produktfuksjo, y = g(, v m), der faktoree er tekisk komplemetære, samtidig som vareisats blir fremstilt ved e stadard produktsfuksjo, v = f(, e), ved bruk av arbeidskraft ( ) og eergi ( e ). Ata at samlet eergitilgag er gitt lik Z, og at samlet arbeidstilbud er gitt lik a) Ata først at allokerige av eergi er (vilkårlig) fastlagt. Still opp maksimerigsproblemet for e samfusplalegger som øsker å maksimere N. ytte gitt de realøkoomiske betigelsee, og at fordelige av eergi mellom de to avedelsee er hhv. e og, som begge er gitte størrelser. Begru hvorfor e optimal fordelig av arbeidskrafte på de to gvm (, ) fe (, ) gvm (, ) produksjosaktivitetee må oppfylle betigelse =. v m Hva uttrykker dee? Sjekk at 2.ordesbetigelse for et lokalt maksimum er oppfylt med de atakelsee som er iført. Svar: Maksimerigsproblemet er, med de forutsetigee som gjelder, gitt som: é, N ù Îê ë ú û { ( ;,, ): = ( ( (, ), - ), )} Max H e N g f e N, der HeN ( ;,, ) viser de fuksjoe som skal maksimeres. Modelle består å av følgede relasjoer: N m, e e,, v f(, e), y g( v, m), y = + = = = = =, dvs. 6 i alt, mellom 7 variable ymev.,,,,,, Vi får de fuksjoe vi skal maksimere, emlig ( ;,, ) ved å sette disse betigelsee i i yttefuksjoe (, ) HeN. Dee agir at modelle å har e frihetsgrad som ka utyttes til å maksimere H -fuksjoe. (Størrelsee etter semikolo er å eksogee.) Problemet er å bestemme de fordelig av arbeidskrafte som maksimerer ytte. Vi atar at vi har
2 idre løsig; slik at de yttemaksimerede allokerige av arbeidskraft i bruk i fremstillige av vareisats, *, oppfyller H e N = og H <. ( * ;,, ) Vi fier da ved rett frem derivasjo med hesy på at: é g f g ù H = + (- 1) =, som gir betigelse oppgitt i tekste. Dee forteller ê v m ú ë û oss at på margie skal de siste arbeidsime frembrige like mage eheter av g kosumvare, om de brukes direkte i kosumvareproduksjoe, gitt ved m, eller idirekte som iput i produksjoe av vareisats som så brukes til å produsere kosumvare; gitt ved arbeidskraft er gitt ved betigelse g f. (Alterativt ka e også si at de optimale bruke av v g f = m. Her er vestre side g v greseproduktivitete av arbeidskraft i fremstillige av vareisats (hvor mye mer vareisats frembriges av e margial arbeidstime), mes høyre side er de margiale tekiske substitusjosbrøk mellom vareisats og arbeidskraft i fremstillige av kosumvare; dee forteller hvor mye vareisats som ka spares per times økig i bruke av arbeidskraft, for uedret produksjo. Om betigelse i tekste ikke er oppfylt, vil e omfordelig av arbeidskraft kue øke tilgage av kosumvare. (Dette ka vises i et badekardiagram slik det er gjort i boka.) Hva med 2.ordesbetigelse for et (lokalt) maksimum? Skriv 1.ordesbetigelse som [ g( f( e, ), N -) f( e, )-g( fe (, ), N - )] = = H ( e ;, N, ). 1 Deriver dee e gag til med hesy på. Dette gir, idet vi lar H = [ g f + g (- 1) f + gf -g f -g (- 1)] + [ gf -g] 2 2 11 1 12 1 1 11 2 1 = [ g f - 2 g f + g f + g ] < 2 11 1 12 1 1 12 = g 2 g : = et: v 1 der vi har brukt førsteordesbetigelse med gf 1 1 = g 2.
3 Forteget følger å om greseproduktivitetee er positive og avtakede, samt at g > (faktoree er tekisk komplemetære i kosumvareproduksjoe), og med 12 >. Dermed, med våre forutsetiger er 2.ordebetigelse oppfylt. b) De optimale bruke av arbeidskraft i vareisatsproduksjo fra foregåede pukt skal vi teke oss ka skrives som e deriverbar fuksjo av de eksogee størrelsee ( N, e, Z ); dvs. som N (, ez, ). Vis at atakelsee som er iført. Hvorda varierer (, ez, ) N (, ez, ) med e? > med de Svar: Fra våre betigelser ka vi å skrive de optimale, kalt *, som e (deriverbar) fuksjo av modelles eksogee variable. Vi skal å fie ut hvorda varierer med samlet sysselsettig. Vi har at vår førsteordesbetigegelse ka skrives som: H N e Z e Z N =. Når samlet sysselsettig, N, edres, vil de ( (,, );,, ) realøkoomiske ramme for dee økoomie edres, oe som igje påvirker de optimale beslutige. Virkige på førsteordesbetigelse med hesy på * fier vi da ved å derivere gjeom N. Dette gir: N har at H < (2.ordesbetigelse), vil vi ha at forteget på * H + H =. Side vi er det samme som forteget på H = H N. Fra tidligere har vi at H ( ; e,, N ) [ ( (, ), ) (, ) ( (, ), = g f e N - f e - g f e N - )] =. Derivasjo av 1 N gir: N 1 12 22 dee med hesy på H = [ f ( eg, ) ( vn, - ) -g ( vn, - )] >, H N med våre atakelser. Dermed har vi: = >. Side vi har at (-H ) H <-H, vil < < 1, slik at også m vil øke år N Hvorda * varierer med de eksogee tilgage på eergi til N øker. vareisatsproduksjoe ( e ), fier vi på samme måte som over: Fra H ( ( N, e, Z ); e, Z, N ) =, har vi: H + H =. Nå fier vi at e
4 H H = = [ g f f + g f -g f ] e 1 1 1 12 21 1, idet vi har atatt at g <, g >, me ikke 11 12 -? - H e oe om forteget på de kryssderiverte f 12. Igje har vi, fordi =, at -H sig = sigh e. Vi ka dermed slutte følgede: Om arbeidskraft og eergi er tekisk alterative (eller tekisk uavhegige) i vareisatsproduksjoe, f 12, da er H <, og e <. (Greseproduktivitete av arbeidskraft i vareisatsproduksjoe får et egativt skift å eergitilgage øker dette fører til midre bruk av arbeidskraft.) Om derimot arbeidskraft og eergi er tekisk komplemetære, er det effekter som trekker i ulik retig om f 12 er stor positiv, ka H >, og e >. ) Ata å at samfusplaleggere fritt ka fastlegge allokerige også av eergi mellom de ulike aktivitetee. Hvorda bør de samlede eergitilgage og de gitte tilgage av arbeidskraft å fordeles slik at ytte maksimeres? Gi e tolkig eller begruelse av de betigelsee du kommer frem til. Svar: Plaleggers problem er å: ìï + m = N, e + = Z Max (, ) gitt ï í v = f (, e) ï y = g(, v m) = ïî Vi har fem bibetigelser og syv variable ( mevy),,,,,, modelle har å to frihetsgrader som ka brukes til å maksimere ytte. Ved å sette i i vår målfuksjo, ka dee å skrives som: gfe ( ( (, ), N -), Z - e) : = Ve (, ). For å fie de optimale allokerige, gitt her ved (,) e ˆˆ, kreves det ytterligere to betigelser to førsteordesbetigelser (idet vi å atar at disse gir oss et lokalt maksimum): ( ˆˆ, ) V é g f g ù V e = = - =. (Dee betigelse er som før, me geerelt ê v mú ë û ikke samme fordelig av arbeidsstyrke som i tilfellet med eksoget gitt eergitilgag.
5 (Ka illustreres i et badekardiagram.) V e V g f g f = = + (- 1) = =, som sier at i optimum, og med v v optimal fordelig av arbeidsstyrke, skal de margiale substitusjosbrøk mellom kosum og eergi her som det atall eheter av kosumvare forbrukeree maksimalt er villig til å bytte bort per ehets økig i eergiforbruket være lik det atall eheter av kosumvare som ka frembriges ved å øke eergibruke i vareisatsproduksjoe med e eehet. (For optimal bruk av arbeidskraft, vil e f margial økig i e gi mer vareisats som ka settes i i produksjoe av f kosumvare. Når dv = per ehets økig i e, vil produksjoe av y kue øke g g f med dv =.) ller motsatt, om é ehet eergi overføres fra husholdigee v v til vareisatssektore, vil det forbrukeree må ha i kompesasjo av kosumvare for å være villig til å gi fra seg eergi, være gitt ved MSB =. Dee atas å være avtakede i. hetsøkige i e gir å e samlet økig i tilgage av g f kosumvare lik. Om dee økige er større e det forbrukere i det v miste må ha, da ka det skapes et yttemessig overskudd ved å overføre eergi fra husholdigssektore til vareisatssektore, helt til vi har likhet. (Og motsatt, om g f MSB >, da bør eergitilgage til husholdigssektore øke.) Dee v betigelse ka også illustrers i et badekardiagram. Vi ka alterativt skrive betigelse for optimal fordelig av eergi som 1 f =. Høyre side viser hvor mye mer vareisats som frembriges ved e g v margial økig i bruke av eergi som isatsfaktor i vareisatsproduksjoe, ved uedret bruk av arbeidskraft. Side forbrukeree å, for hver eergiehet de gir fra
6 seg, må ha kompesasjo i form av høyere, gitt ved MSB =, vil vestre side i de ye margialbetigelse oversette dee betaligsvilje til et bytteforhold mellom eergi og vareisats. For hver ehet eergi som husholdigee «gir fra seg», vil de i det miste kreve MSB flere eheter av kosumvare. For å frembrige akkurat så mye mer av kosumvare treges ytterligere vareisats. For hver margiale ehet av kosumvare tregs 1 g v flere eheter vareisats. Derfor for å kue gi forbrukeree akkurat så mye mer av kosumvare som de må ha ute at ytteivået går ed, må omfordelige av eergi (fra til e) i det miste gi økt vareisatstilgag lik 1. I optimum er altså det ekstra e får av vareisats ved g v økt eergiisats akkurat det som kreves for å frembrige så mye mer av kosumvare ute at forbrukerees ytte går ed. d) Forklar kort hvorda dee allokerige ka realiseres som e markedslikevekt for vår lukkede økoomi. Svar: Her er det ok å si følgede: Hvis vi ifører eergiprise Q, kosumprise p, vareisatspris ˆq og løa w, vet vi at dersom prisee sikrer likevekt (ok at det er likevekt i tre markeder Walras lov), samtidig som all itekt (løsitekt, eergiitekt og samlet profitt fra bedriftee) tilfaller husholdigee, vil aktøree tilpasse seg til relative priser, slik at optimumsbetigelsee er oppfylt. Kosumetee: Max { (, ) p Q R wn QZ p ( p, qˆ, w) p (, qˆq, w) (, ) y v } Vi vet at dette leder til margialbetigelse + = = + + +. Q =. p Profittmaksimerig i kosumvarebedrifte krever at p = pg(, v m) -qv ˆ - wm y g g maksimeres. Dette er oppfylt om p = qˆ og p = w. Vareisatssektore v m maksimerer si profitt p = qf ˆ (, e) -w - Qe, som er oppfylt om qˆ f w v = og
7 qˆ f g w g f qˆ w = Q. Kombierer vi å disse ser vi at: = = = og samtidig m p v p qˆ Q g f qˆ Q har vi = = =. Til relative priser som sikrer likevekt, vil aktørees p v p qˆ desetraliserte valg lede til at markedsløsige gir e effektiv allokerig. La oss å åpe for iterasjoal hadel i eergi og kosumvare, me ikke for vareisats og arbeidskraft. Vi atar at eergi hadles til gitt pris (i eheter av kosumvare) q. Det kreves balase i hadele med utladet. Dersom vi eksporterer A eheter eergi, oe vi her atar skjer, vil dee uderstøtte e import av kosumvare lik qa, der vi å har Z = + e + A og = g( v, m) + qa. e) Bestem de optimale allokerige for de åpe økoomie. Hvorda foradres allokerige av at økoomie går fra å være lukket til å bli åpe? Svar: Med de ye oplysigee har vi å at ytte ka skrives som: gfe N qaz e A WeA ( ( (, ), - ) +, - - ): = (,, ) Ê Det er å tre frihetsgrader e optimal allokerig krever da tre betigelser utover de realøkoomiske betigelsee. De optimale (idre) allokerige må å oppfylle følgede margialbetigelser: W W e g f g = - = v m g f g f = - = = v v W = q - = = q A De første betigelse viser optimal fordelig av arbeidskraft, med tolkig som tidligere. De adre betigelse viser, som over, optimal fordelig av eergi, for gitt optimal eergieksport, mellom de to ieladske aktivitetee, mes de tredje viser avveiige mellom eksport av eergi og eergi brukt i husholdige. Det skal
8 eksporteres så mye at det atall eheter kosum vi importer og som uderstøttes av e margial økig i eergieksporte, gitt ved q, akkurat motsvares av det forbrukere må ha i kompesasjo for å avstå e ehet eergiforbruk (MSB). Samler vi disse betigelsee samme, har vi: g f g = v m og g f = q =. v Disse tre betigelsee samme med de fire bibetigelsee, = +, = + +, = (, ) +, = (, ), vil dermed fastlegge e N m Z e A g v m qa v f e etydig, optimal allokerig ( mvea;,,,,,, ) i alt 7 variable, for de åpe økoomie. f) Atyd i et badekardiagram hva som ka skje om vareisatsprodusetee krever og får gjeomslag for at de ikke skal betale høyere pris på eergi e hva de gjorde uder autarki. Svar: Vi teger et badekardiagram for eergiavedelse, der måleehete lags de vertikale akse er atall eheter av kosumvare per ehet eergi, mes bue måles i eheter av eergi og med bredde lik samlet eergitilgag: g f A v q B e Z
9 Hvis vareisatsprodusetee motsetter seg å betale uteladsprise på eergi, me tvert imot de som gjaldt uder e lukket økoomi, gitt ved skjærispuktet B i figure, vil vi ha et effektivitetstap, i eheter av kosumvare, lik det arealet som er «skravert». For hver ehet eergi brukt i vareisatsproduksjoe utover det g f optimale, og som går på bekostig av eksport, taper ladet q - eheter av v kosumvare. Totalt summerer dette seg til det skraverte feltet. g) Hva blir virkige av e økig i q : uder de betigelse at alle ieladske aktører stilles overfor prise q på eergi, og derest, uder de betigelse som er gitt i f? Svar: Vi ka løse dette aalytisk, me det ekleste er å se virkige i et badekardiagram i hvert fall oe av dem. Når alle aktører stilles overfor eergiprise q, vil e økig i dee gi følgede virkiger: ksport av eergi vil øke, mes begge ieladske avedelser går ed. Side e syker, vil greseproduktivitete av arbeidskraft i vareisatsproduksjoe påvirkes. Dersom faktoree er tekisk komplemetære, dvs. om 2 f >, vil, fordi e f e går ed, greseproduktivitete av arbeidskraft gå ed. (Motsatt hvis faktoree er tekisk alterative.) Dette betyr at i et badekardiagram for bruke av arbeidskraft, og i eheter av vareisats, der vi i utgagspuktet har f = g m g v, vil vestre side da gå ed år q øker. Da må høyre side også gå ed, slik at: syker og m øker. (Motsatt ved tekisk alterativitet.) Dermed følger det at år q øker og faktoree er tekisk komplemetære i vareisatsproduksjoe, vil e og, og dermed v gå ed. Side ytte helt sikkert øker år eksportprise øker, samtidig som går ed, vil alt i alt øke. (Hvis ikke, kue vi ikke høste geviste av høyere eksportpris.) Importe av kosumvarer, qa, går helt sikkert opp år q øker, me vi ka ikke si oe sikkert om hjemmeproduksjoe av kosumvarer gvm (, ) øker eller syker. (Vi
1 har, ved tekisk komplemetaritet i vareisatsproduksjoe, at v går ed, mes m jo måtte øke, side må gå ed.) Ata å at de økte eksportprise ikke skal gjøres gjeldede for vareisatsprodusetee som fremdeles gis mulighet til å betale samme pris som uder autarki. Da vil effektivitetstapet (i eheter av kosumvare) bli større e før prisøkige, samtidig som husholdigees forbruk av eergi syker. Vi får økig i eksporte og dermed i importe, me ikke like stor som i foregåede pukt. Vi opplever e økig i ytte all de tid vi kue ha valgt å tilpasse oss som vi gjorde uder autarki det gjør vi ikke, så må øke, side jo går ed. (Vi oppår e velferdsgevist også i dette tilfellet.) Med uedret e, vil økige i eksportprise q, f ikke påvirke. Dermed vil det heller ikke skje oe med allokerige av arbeidskraft; såvel som m vil være som før. Vareisatsproduksjoe holdes derfor uedret, samtidig som hjemmeproduksjoe av kosumvarer er også uedret. Geviste for samfuet av høyere eksportpris er at husholdigee reduserer sitt forbruk av eergi som eksporteres og gir grulag for økt import av kosumvare. Oppgave 2. Du skal utlede betigelser for produksjoseffektivitet i følgede økoomi: Det er tre produksjossektorer; hvorav é produserer e ferdigvare, mes de to øvrige produserer varer som igår som vareisats i produksjoe av ferdigvare. De to vareisatsprodusetee bruker arbeidskraft og eergi, beskrevet ved de to produktfuksjoee V 1 = F( N 1, Z 1 ) og V 2 = G( N 2, Z 2 ), som begge har stadard egeskaper. Fremstillige av ferdigvarer er beskrevet ved produktfuksjoe C = T( N, Z, V, V ), mes samlet tilgag av hhv. arbeidskraft og eergi er gitt hhv. ved N + N + N = N og Z + Z + Z = Z. tled betigelser for produksjoseffektivitet, og gi dem e beguelse. Forklar hvorda dee løsige ka realiseres som e markedslikevekt år alle aktøree «bak» produktfuksjoee opptrer som profittmaksimerede prisfaste kvatumstilpassere.
11 Svar: produksjoseffektiv allokerig i dee økoomie ka fastlegges på følgede måte: Velg allokerig av arbeidskraft og eergi slik at C = T ( N, Z, V, V ) maksimeres, gitt produksjossammehegee i vareisatssektoree, dvs. V = F( N, Z ), V 2 = G( N 2, Z 2 ), samt balaserelasjoee N + N + N = N og 1 1 1 Z + Z + Z = Z. Disse siste sammehegee utgjør 4 betigelser, mes vi i alt har følgede 8 variable som skal bestemmes: N, N, N, Z, Z, Z, V, V, år vi «dropper» C som selvstedig variabel. (Dee bestemmes som verdie av de fuksjoe vi maksimerer.) Modelle har dermed 4 frihetsgrader som muliggjør optimerig. Problemet ka løses på flere måter. måte er å sette de to produktfuksjoee F og G i i målfuksjoe TN (, Z, VV, ). På dee måte elimierer vi to variable ( VV, ), me også to likiger. De adre metode er å gå veie om Lagrages metode som ka gi e viss isikt i hva Lagragemultiplikatoree sier (disse er agitt i paretesee ved hver bibetigelse). Vi har da: Max T( N, Z, V, V ) gitt ( N, N, N, Z, Z, Z, V, V ) ìï N + N + N - N = ( a) ï Z + Z + Z - Z = ( b) í V - F( N, Z ) = ( l) 1 1 1 ï V - G( N, Z ) = ( m) ïî 2 2 2 Fuksjoee atas å være slik at vi har e idre etydig løsig, bestemt av L T (1) = - a = L T = - b = (2) Z Z L T (3) = - l = V V V V 1 1 2 2 L T = - m = (4) (5) L F =- a + l = L F =- b + l = (6) Z Z 1 1 1 1 (7) L G =- a + m = L G =- b + m = (8) Z Z 2 2 2 2
12 der Lagragefuksjoe er L = T( N, Z, V, V )- aén N N Nù béz Z Z Zù êë + + - úû - êë + + - úû -lév F( N, Z ) ù mév G( N, Z ) ù êë - 1 1 1 úû - êë - 2 2 2 úû De 8 førsteordebetigelsee, samme med de 4 bibetigelsee gir oss 12 betigelser til å fastsette de 8 variable, N, N, N, Z, Z, Z, V, V, samt de 4 Lagragemultiplikatoree. Setter vi i fra (1) og (3) i (5), samt (2) og (4) i i (7), får vi: () I T T F T G = = V V 1 2 Tilsvarede, ved å kombiere (2), (3) og (6), samt (2), (4) og (8), får vi: ( II ) T T F T G = = Z V Z V Z 1 2 Disse fire margialbetigelsee, samme med våre fire bibetigelser, bestemmer de etydige produksjoseffektive allokerige; dvs. det er fra dee allokerige ikke mulig å få mer av e vare, ute å redusere tilgage av e ae vare. Legg merke til at tolkige av disse betigelsee er helt like dem vi hadde i pukt a i oppgave 1, med de forskjell at vi her har flere kokurrerede aktiviteter. Me tolkige av betigelsee er som tidligere: På margie skal, for hver ikke-produsert produksjosfaktor, det direkte produksjosbidraget av ferdigvare, være lik bidraget fra dee faktore brukt idirekte i fremstillige av vareisats brukt som isatsfaktor i produksjoe av ferdigvare. Dee løsige ka ved at hver sektor tilpasser seg til gitte og like priser, som prisfast kvatumstilpasser, og maksimerer ege profitt til prisee p for ferdigvare, w for arbeidskraft, q for eergi, og med priser for vareisats hhv. Q og Q. (Her må vi teke oss at markedee for vareisatser, samt de to ikke-produserte
13 produksjosfaktoree, klareres, samtidig som ferdigvareprodusete produserer det kvatum som er løsige på vårt maksimerigsproblem.) Vareisatsproduset r. 1 vil å maksimere QF( N, Z )-wn - qz, med e 1 1 1 1 1 tilpasig bestemt ved «pris lik gresekostad»; dvs. ( III) w q = = Q F F Z 1 1 * 1 der (*) agir betigelse for kostadsmiimerig, mes de siste likhete bestemmer de profittmaksimerede skalae. De adre vareisatsprodusete maksimerer profitte QG( N, Z )-wn - qz, 2 2 2 2 2 med e tilpasig bestemt (og med tilsvarede tolkig som over)ved ( IV ) w q = = Q G G Z 2 2 2 Ferdogvareprodusete maksimerer pt( N, Z, V, V )-wn -qz -QV - QV. t 1 2 profittmaksimum for dee sektore er kjeeteget ved: ( V) w q Q Q T T T T Z V V = = = = p Vil disse tilpasigsbetigelsee være i samsvar med våre optimumsbetigelser (I) og (II)? Vi ser å at: F G Q Q T w N 1 T F 2 T G = = = = = ; dvs. (I) er oppfylt. p Q V Q V 1 1 2 2 T T V V
14 Tilsvarede ser vi at: F G Q Q T q Z Z 1 T F 2 T G = = = = = Z p Q V Z Q V Z 1 1 2 2 T T V V, som viser at (II) er oppfylt. Med adre ord, betigelsee for produksjoseffektivitet blir realisert som e markedslikevekt år alle aktører maksimerer profitt til disse prisee, som prisfaste kvatumstilpassere.