Side v 8 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET (NTNU) - TRONDHEIM INSTITUTT FOR ENERGI OG PROSESSTEKNIKK LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN TEP 45/40 TERMODYNAMIKK (KONT) Fredg 9. ugust 005 Tid: kl. 09:00 - :00 OPPGAVE (5%) ) Eksergiblnsen for et generelt, åpent system er gitt i oppgveteksten som: de x, T o dv = j W po + mi ex, f, i me ex, f, e To σ j T j i e Betydningen v de ulike leddene er som følger: de x, Eksergiendring for kontrollvolumet pr. tidsenhet. T o Eksergioverføring knyttet til vrmeoverføring mellom j T j kontrollvolumet og omgivelsene. W Eksergioverføring mellom kontrollvolumet og omgivelsene knyttet til rbeid (shftwork). p dv o Eksergioverføring knyttet til rbeidet som skjer ved ekspnsjon i e i x, f, i eller kompresjon v kontrollvolumet. m e Eksergioverføring knyttet til strømning inn i kontrollvolumet (også e x, f, e klt strømningseksergi). m e Eksergioverføring knyttet til strømning ut v kontrollvolumet. To σ Eksergitp knyttet til entropiproduksjon (irersibiliteter). b) Eksergien til et system er definert/forklrt som det mksimle rbeidet som kn produseres når systemet (trykk, tempertur og smmensetning) gjennom tpsfrie prosesser bringes til likevekt med omgivelsene. Eksmen i emne TEP 45 Termodynmikk
Side v 8 c) Entropi er knyttet til vrme gjennom følgende definisjon som benytter ntgelsen om ersibilitet: ds δq T int Dersom prosessen smtidig er dibtisk (som betyr t vi ikke hr noen vrmeutveksling), får vi: ds 0 = = T 0 Med dette hr vi vist t dibtisk og ersibel er det smme som isentropisk. d) Benytter termodynmikkens. lov på differensiell form når vi neglisjerer endring i kinetisk og potensiell energi: du = δq δw hvor δq = TdS og δw = pdv Innstt uttrykkene for vrme og rbeid får vi en likning som kun inneholder tilstndsvrible og tilstndfunksjoner. Denne må ltså være llmenngyldig (og ikke bre gjelde ersible prosesser), det vil si den beskriver prosesser fr en likevektstilstnd til en nnen. Smmenhengen klles derfor den fundmentle egenskpsrelsjonen: du = TdS pdv eller TdS = du + pdv Et nnet uttrykk for TdS oppnås ved å innføre entlpi: H = U + pv dh = du + pdv + Vdp Løst med hensyn på endring i indre energi ( du ) og innstt i. TdS likning (over): TdS = dh pdv Vdp + pdv = dh Vdp OPPGAVE (5%) Når vrme tilføres vnn/dmp blndingen i sylinderen vil dmpdelen v blndingen øke på bekostning v vnndelen (dmpkvliteten som opprinnelig vr 5% vil øke). Dette fører til en ekspnsjon v blndingen i sylinderen. Ettersom det friksjonsfrie stempelet kn bevege seg fritt oppover i sylinderen, vil trykket i blndingen forbli uendret og lik summen v omgivelsestrykket (tmosfæretrykket) og det trykket (konstnt) som stempelet utøver på blndingen. Figuren nedenfor ntyder hvordn prosessens forløp er i et pv-digrm. Fr tilstnd () vil prosessen følge en konstnt trykk (og tempertur) linje inntil ll væske (vnn) er fordmpet eller inntil stempelet når den fysiske sperren (vhengig v hv som inntrer først). Dersom lt Eksmen i emne TEP 45 Termodynmikk
Side v 8 vnnet fordmper før stempelet når sin øverste posisjon vil temperturen begynne å øke mens trykket holder seg konstnt. Når stempelet når den fysiske sperren (ntydet som tilstnd () i figuren), vil fortstt vrmetilførsel føre til økt trykk ved konstnt volum inntil slutt-tilstnden () nås som er kjennetegnet v t trykket er br. p v Tilstndene (), () og () kn finnes som følger: Tilstnd () er gitt v opplysningen om en dmpkvlitet på 5% smt trykket p som er gitt v omgivelsestrykket smt det trykket som stempelet (med sin tyngde) uttøver på vnn/dmp blndingen i sylinderen. Dette trykket kn således beregnes som følger: p 40 (kg) 9.8 (m/s ) mstempel g kg m/s = + pomgivelse = A π 5 N/m ( ) 00 (kp) 0 (br/kp) 0.5.0.5 br N 0. (m ) 0 4 br + = + = I følge tbell A- er temperturen (når trykket er.5 br) lik.4º. Det spesifikke volumet i tilstnd () finnes også fr tbell A-, smt informsjonen om t blndingen dmpkvlitet er 5%. v v x v v kg ( ).058 0 = f + g f = + 0.5 (.59.058 0 ) = 0.905 m / Tilstnd () er gitt v trykket som er lik trykket i tilstnd (), smt volumet som er 4.5 gnger så stort som volumet i tilstnd (): V = V v = v = = 4.5 eller 4.5 4.5 0.905.074 m /kg Siden det spesifikke volumet i tilstnd () er større enn det spesifikke volumet for mettet dmp ved.5 br (.59 m /kg) er systemet i stemplet overhetet vnndmp i tilstnd () slik det er ntydet i figuren over. Eksmen i emne TEP 45 Termodynmikk
Side 4 v 8 Tilstnd () er gitt ved t det spesifikke volumet er lik det spesifikke volumet i tilstnd (), smt t trykket er oppgitt til br. Smlet msse v vnn/dmp systemet kn finnes fr totlt og spesifikt volum som følger: m π ( ) 0. (m ) 0.0 (m ) V 4 4 = = =.704 0 kg v 0.905 (m / kg) Det er ikke noe rbeid knyttet til den delen v prosessen som skjer ved konstnt volum, fr tilstnd () til tilstnd (). Det totle rbeidet for prosessen er ltså det som utføres ved ekspnsjonen fr tilstnd () til tilstnd (): ( ) W = p dv = p V V = p m ( v v ) 5 N/m 4 m =.5 (br) 0.704 0 (kg) (.074 0.905) = 4.5 J br kg Termodynmikkens. lov for et lukket system som beveger seg fr tilstnd () til tilstnd () når endring i kinetisk og potensiell energi kn (som ntydet i oppgveteksten) neglisjeres, er som følger: Δ U = Q W eller Q = Δ U + W = m ( u u ) + W Spesifikke indre energi i tilstnd () kn beregnes på bsis v fr tbell A-: u = u + x ( u u ) f g f = 466.94 + 0.5 (59.7 466.94) = 980. (kj/kg) Spesifikk indre energi i tilstnd () kn finnes ved interpolsjon i tbell A-4 (overhetet dmp) ved trykk lik br og gitt t det spesifikke volumet er.074 m /kg: u.074.87 = 0.0 + (00.8 0.0) = 6.5 kj/kg.4.87 Totl vrmemengde tilført systemet blir derfor: Q = + = 4.704 0 (kg) (6.5 980.)(kJ/kg) 0 (J/kJ) 4.5(J) 658.68 J OPPGAVE (40%) ) Prosessforløpet i et Ts-digrm smt et enkelt flytskjem (koplingsskjem) er ntydet i figuren nedenfor. Eksmen i emne TEP 45 Termodynmikk
Side 5 v 8 T br Kjølevnn 0º 0º Kondenser 44º.6 br pv.0 = k Q W 4 4 br 5º s 4 Fordmper Q inn =5 kw b) Hver komponent i prosessen kn nlyseres som et kontrollvolum ved stsjonær tilstnd. Kompresjonsprosessen er polytropisk med n =.0. Som ntydet i oppgveteksten skl ekspnsjonen (trykkfllet) gjennom kondenser smt vrmeutveksling mellom kondenser og omgivelser neglisjeres. Tilstndene i prosessen kn bestemmes som følger: Tilstnd er gitt ved trykk og tempertur p = 4 br, T = 5. Benytter tbell A- for overhetet kjølemedium (R 4) og interpolerer mellom 0º og 0º for 4 br: v h = + = 0.5 (0.059 0.0597) 0.0558 m /kg = 0.5 (5.5 + 6.96) = 58.6 kj/kg Tilstnd er gitt v trykket p = br og polytropisk ekspnsjon: v p.0.0 4 v p = = = 0.056 0.077 m /kg Entlpien finnes ved å interpolere (ved hjelp v det spesifikke volumet) i tbell A-: h 0.077 0.07 = 75.5 + (87.44 75.5) = 8. kj/kg 0.085 0.07 Tilstnd er komprimert (underkjølt) væske ved T = 44 og entlpien nts d å være lik entlpien i mettet tilstnd for smme tempertur. Fr tbell A-0 hr vi d: h h f (44 ) =. kj/kg Eksmen i emne TEP 45 Termodynmikk
Side 6 v 8 Tilstnd 4 er gitt v trykket p 4 = 4 br og t prosessen fr tilstnd (gjennom ventilen) nts å være isentlpisk: h = h = 4. kj/kg Mssestrømmen v kjølemediet kn nå beregnes ut fr kpsiteten til kjølekretsen og entlpiverdiene i tilstnd 4 og : m inn 5 (kw) ((kj/s)/kw) = = = ( h h ) (58.6.) (kj/kg) 4 0.8 kg/s c) I det følgende er vist hvordn krftbehovet i kompressoren kn beregnes. Strter generelt og viser utledningen frm mot det ktuelle (og forenklede) uttrykket for polytropiske prosesser. Energiblnsen for et generelt, åpent (strømmende) system er: de V V ( ) ( ) i e = W + m i hi + + g zi m e he + + g ze i e Antr vi stsjonære forhold, smt innser t det kun er en inngående strøm (tilstnd ) og en utgående strøm (tilstnd ) for kompressoren, kn likningen løses med hensyn på rbeidet: W V V = + ( h h) + + g ( z z) m m Entropiblnsen for et generelt, åpent (strømmende) system er som følger: ds = + + j m i si m e s e σ j Tj i e Ved stsjonære forhold og homogen tempertur, smt kun en inngående og en utgående strøm for kompressoren forenkles denne likningen til: 0 = + m ( s s) + σ T Ved internt ersible forhold (entropiproduksjonen blir σ = 0 ) og vrierende tempertur kn likningen skrives som følgende integrllikning: m int = Tds Den fundmentle egenskpsrelsjonen (som kn utledes fr termodynmikkens. lov for et lukket system) er gitt som: du = Tds pdv Eksmen i emne TEP 45 Termodynmikk
Side 7 v 8 Definisjonen v entlpi gir følgende: dh = du + pdv + vdp du = dh pdv vdp Løses dette med hensyn på entropileddet får vi: Tds = du + pdv = dh vdp Innstt i uttrykket for rbeidet gir dette: W V V = dh vdp + ( h h) + + g ( z z) m int Innser t entlpileddene fller, smt benytter ntgelsen om t vi kn neglisjere endring i kinetisk og potensiell energi: W m int = vdp Benytter relsjonen mellom trykk og volum (polytropisk prosess) som er oppgitt i oppgveteksten til å løse integrlet nlytisk: W m n = v dp = ( pv pv ) n.0 = (br) 0.077 (m /kg) 4 (br) 0.0558 (m /kg) 0.0 5 N/m kj 0 =.4 kj/kg br 0 N m Krftbehovet i kompressor blir for kjent mssestrøm: W W = m = 0.8 (kg/s).4 (kj/kg) = 5.576 kw m Vrmeoverføringen mellom kompressoren og omgivelsene finnes fr den totle energiblnsen for strømmende (åpne) systemer når vi benytter smme ntgelser som tidligere i oppgven: 0 = W + m ( h h ) eller = W + m ( h h) Eksmen i emne TEP 45 Termodynmikk
Side 8 v 8 Merk t rbeidet her i forhold til termodynmikkens fortegnskonvensjon skl være negtivt (rbeid utføres på systemet gjennom kompressoren). Med llerede etblerte verdier for mssestrøm og entlpier får vi d: Q = 5.576 (kw) + 0.8 (kg/s) (8. 58.6) = 0.06 kw Ser ltså t kompressoren vgir (husk termodynmikkens fortegnskonvensjon) en liten (nærmest neglisjerbr) mengde vrme til omgivelsene. d) Kjølekretsens effektfktor (ytelseskoeffisient) kn nå beregnes: OP inn 5 kw = β = = = W 5.576 kw 6.77 e) Kjølevnnets mssestrøm finnes fr en stsjonær energiblnse over kondenseren: m ( h h ) = m ( h h ) cw cw, ut cw, inn Entlpiverdier for kjølevnnet (underkjølt væske) finnes fr tbell A- smt ntgelsen om t entlpien er tilnærmet lik entlpien ved mettet tilstnd og gitt tempertur: h h 8.. m cw = m = 0.8 (kg/s) = 0.968 kg/s h cw, ut h cw, inn 5.78 8.95 Trondheim,.09.005 Truls Gundersen Eksmen i emne TEP 45 Termodynmikk