Oppsummering av første del av kapitlet

Transkript

1 Forelesningsnotater om eksergi Siste halvdel av kapittel 7 i Fundamentals of Engineering Thermodynamics, M.J. Moran & H.N. Shapiro Rune N. Kleiveland, oktober Notatene følger presentasjonen i læreboka, men er ikke fullstendige. Oppsummering av første del av kapitlet Eksergi for et lukket system Det maksimale teoretiske arbeidet som kan utvikles når systemet bringes til termodynamisk likevekt dead state ) med omgivelsene. A = E U ) + p V V ) T S S ) 1) hvor U, V og S er verdier for systemet når det er i dead state. På spesifikk form: a = A m = u u ) + p v v ) T s s ) + V hvor det er brukt at e = E/m = u + V / + gz. + gz ) Spesifikk strømningseksergi Eksergi for et strømmende medium. Brukes for å beregne eksergi med massestrøm inn og ut av et kontrollvolum. a f = h h T s s ) + V + gz 3) Eksergibalanse for åpent system d A CV dt = j 1 T ) T j Q j ) dv Ẇ p + dt inn ṁ i a fi ut ṁ e a fe İ CV 4) hvor 1

2 d A CV dt j er endringsrate av eksergi i kontrollvolumet. ) 1 T T j Q j er eksergi overført til kontrollvolumet med varmestrømmen til kontrollvolumet. Ẇ ) dv p dt er eksergi overført fra kontrollvolumet med arbeid utført av kontrollvolumet. inn ṁia fi er eksergi overført til kontrollvolumet med massestrøm inn i kontrollvolumet. ut ṁ e a fe er eksergi overført fra kontrollvolumet med massestrøm ut av kontrollvolumet. İ CV er irreversibiliteten i kontrollvolumet. Irreversibiliteten representerer ødeleggelse av eksergi. Alle de andre leddene på høyresiden av likhetstegnet i eksergibalansen representerer eksergi overført til eller fra kontrollvolumet. Irreversibiliteten er definert som İ CV = T σ CV 5) hvor σ CV er entropi produsert i kontrollvolumet. Irreversibiliteten kan altså beregnes på to ulike måter. Enten direkte ved hjelp av eksergibalansen eller ved å regne ut σ CV fra. hovedsetning entropibalansen) og multiplisere denne med T. Dersom systemet er stasjonært har vi d A CV /dt = dv/dt =. Med ett innløp og ett utløp gir massebalansen m i = m e = ṁ. Eksergibalansen kan nå skrives = 1 T ) Q j Ẇ + ṁ a f1 a f ) İ CV 6) T j j hvor indeksene 1 og viser til henholdsvis innløp og utløp. Legg merke til at arbeidet inngår i ligningen som ren eksergi. Forskjellen i eksergi mellom innløpet og utløpet kan uttrykkes som a f1 a f = h 1 h ) T s 1 s ) + V 1 V + g z 1 z ) 7) Virkningsgrad basert på. hovedsetning eksergivirkningsgrad) Hensikten med dette avsnittet er å bruke eksergi til å komme fram til et mål på hvor effektivt vi utnytter energiressursene. For å utnytte energiressurser på en effektiv måte er det nødvendig å tilpasse energikilden til sluttbruk.

3 Q l Flamme T l Q s Q u T s T u Brensel + luft Figur 1: Eksergivirkningsgrad som funksjon av T u. Til oppvarming, både i industri og i private hjem, er det vanlig å bruke forbrenning. I figur 1 er det vist en skisse av en slik varmer som vi kan tenke på som en oljekamin. Fra brennkammeret blir det overført en varmestrøm Q s til varmeren ved en høy temperatur T s. En del av denne varmestrømmen Q u ) blir levert videre til området som skal oppvarmes. Denne varmen blir levert ved brukstemperaturen T u. Resten av varmestrømmen Q l ) tapes til omgivelsene, f.eks som tap av varme med røykgassen gjennom pipa i en oljekamin. 1. hovedsetning for dette lukkede og stasjonære systemet blir d E = Q s Q u Q l }{{} dt }{{} Ẇ 8) = = hvor varmestrømmene går i retning av pilene på figuren. Ligningen forenkles til Q s = Q u + Q l 9) Vi kan nå definere en virkningsgrad basert på 1. h.s. energi) på slik vi har gjort tidligere. η = Q u Q s 1) Virkningsgraden forteller altså hvor stor del av varmestrømmen vi tilfører fra forbrenningen den energien vi betaler for i form av brensel) vi klarer å nyttegjøre den energien vi ønsker). Vi ser at hvis vi klarer å fjerne tapet Q l vil virkningsgraden bli 1 1%). Eksergibalansen for systemet kan skrives [ d A = 1 T ) Q s 1 T ) }{{} dt T s T u = Q u 3 1 T ) T l ] [ ] dv Q l Ẇ p İ 11) dt }{{} =

4 som i vårt tilfelle forenkles til 1 T ) T s Q s = 1 T ) T u Q u + 1 T ) T l Q l + İ 1) Venstresiden av ligningen uttrykker mengden eksergi som blir overført inn i systemet med varmestrømmen Q s. Noe av denne eksergistrømmen blir overført ut av systemet med Q u og Q l mens resten blir ødelagt av irreversibiliteter i systemet, İ. Dette kan utrrykkes ved en virkningsgrad hvor vi ser på hvor stor del av eksergien vi tilfører, som er igjen i produktet vi får ut av systemet. I dette tilfelllet er produktet Q u som vi skal bruke til oppvarming. ) 1 T T u Q u ε = ) 13) 1 T T s Q s Husk at vi kom fram til eksergibalansen ved å kombinere 1. og. hovedsetning slik at eksergibalansen kan sees på som et alternativt uttrykk for. hovedsetning. ε er derfor en virkningsgrad basert på. hovedsetning. Ved å innføre η fra ligning 1 får vi ) 1 T T u ε = η ) 14) 1 T T s Vi ser at for å få til en høy eksergivirkningsgrad er det ikke nok å redusere tap, dvs la η 1. Eksergivirkningsgraden er også avhengig av temperaturene som varmeoverføringene finner sted ved. Fra ligning 14 ser vi at ε 1 når T u T s. Dette er illustrert i figur hvor ε er plottet som en funksjon av T u. Her er det brukt η = 1 og T s = K. Vi ser at dersom vi bruker varmen fra forbrenningen til romoppvarming blir eksergivirkningsgraden lav. Årsaken er at mesteparten av eksergien i de varme forbrenningsproduktene nå er ødelagt. Husk at eksergi er et mål på potensialet muligheten) til å utvikle arbeid. Den varme røykgassen har høy eksergi fordi vi kan omdanne mye av varmeenergien til arbeid. Når vi bruker denne varmen til romoppvarming blir energien i røykgassen overført til luft med relativt lav temperatur, kanskje 3 C. Energien er bevart, men nesten all eksergien er tapt fordi det arbeidet vi kan få ut av en varmestrøm ved romtemperatur er mye mindre enn ved den høye forbrenningstemperaturen. Av figuren ser vi også at jo høyere brukstemperatur vi har, jo høyere blir eksergivirkningsgraden. Årsaken er at når vi leverer varmen ved høy temperatur så kan vi fortsatt omdanne en stor del av varmestrømmen Q u til arbeid. 4

5 1.8.6 ε T u [K] Figur : Eksergivirkningsgrad som funksjon av T u. Turbiner, kompressorer og pumper For en adiabatisk, stasjonær turbin, kompressor eller pumpe forenkles eksergibalansen til som kan ordnes til = Ẇ CV + ṁ a fi a fe ) İ CV 15) a fi a fe ) = ẆCV ṁ + İCV 16) ṁ For en turbin vil noe av eksergien overført fra massestrømmen, dvs reduksjonen i eksergi mellom innløp og utløp, bli ødelagt av irreversibiliteter i kontrollvolumet. Resten brukes til å utvikle arbeid. Vi ønsker selvfølgelig at mest mulig skal brukes til arbeid og definerer derfor eksergivirkningsgraden som ε = ẆCV/ṁ 17) a fi a fe Altså hvor stor del av eksergien overført fra massestrømmen som går med til å utvikle arbeid. For en kompressor eller pumpe er det nyttig å se på hva eksergien vi tilfører i form av arbeid, går med til. Ligning 15 kan skrives som ẆCV ṁ ) = a fe a fi + İCV ṁ 18) 5

6 Venstresiden vil være positiv fordi vi tilfører kontrollvolumet arbeid, Ẇ CV <. Noe av eksergien vi tilfører går med til å øke eksergien i massetstrømmen og resten blir ødelagt av irreversibiliteter. Eksergivirkningsgraden kan defineres som ε = a fe a fi ẆCV /ṁ ) 19) Eksergivirkningsgraden forteller hvor stor del av eksergien vi tilfører som går med til å øke eksergien i massestrømmen. I boka er det også vist hvordan man kan definere en eksergivirkningsgrad for en varmeveksler. Oppsummering Vi har sett på noen eksempler som viser hvordan eksergivirkningsgraden kan brukes til å måle hvor effektivt vi utnytter energiressurser. I eksempelet med forbrenning til oppvarming så vi hvordan eksergivirkningsgraden var avhengig av brukstemperaturen. Dersom brukstemperaturen var mye lavere enn forbrenningstemperaturen sløste vi bort mye av potensialet for å utvikle arbeid. En strategi for mer effektiv utnyttelse av energiressurser er å ikke bruke mer eksergi enn nødvendig, dvs å tilpasse energikilden til bruksformålet. I de to neste eksemplene så vi hvordan eksergivirkningsgraden kan brukes som et mål på hvor effektive ulike komponenter i et større termodynamisk system er. Dette kan brukes til å undersøke effekten av en modifikasjon av f.eks. en turbin. Ved å sammenligne eksergivirkningsgraden før og etter endringen ser en om modifikasjonen gjorde turbinen mer effektiv. I praktiske tilfeller er ikke effektiv energibruk den eneste faktoren som spiller inn når termodynamiske system skal konstrueres. Vel så viktig er ofte den økonomiske delen. Å forsøke å maksimere eksergivirkningsgraden vil i mange tilfeller føre til lavere forbruk av energi elektrisitet eller brensel), men dyrere tekniske løsninger. Det som vanligvis blir bestemmende er totalkostnaden for anlegget. Mer om dette står det i kap og 7.7 som dere kan lese selv. 6

7 Oppgaver Oppgave 7.43, vannkjølt kompressor Vannkjølt, stasjonær kompressor for luft, se figur 3. Kjølevann inn 3 Luft inn 1 Ẇ Luft ut Q Kjølevann ut 4 Figur 3: Vannkjølt kompressor. Luftstrøm Volumstrøm av luft inn på kompressoren, V 1 =,18 m 3 /s Lufttemperatur inn, T 1 = C. Innløpstrykk, p 1 = 1 bar Lufttemperatur ut, T = 16 C. Utløpstrykk, p = 5 bar. 7

8 Kjølevann Massestrøm av kjølevann, ṁ kv =, kg/s. Temperatur på innløp, T 3 = 15 C. Trykk på innløp og utløp, p 3 = p 4 = 1bar. Temperatur på utløp, T 4 = 5 C. Antagelser Systemet er stasjonært. Endringer i kinetisk og potensiell energi kan neglisjeres, PE = KE. Kompressoren er godt isolert slik at ingen varme overføres mellom kompressoren og omgivelsene, Q =. Luften kan betraktes som en ideell gass. Kjølevannet er inkompressibelt med konstant spesifikk varmekapasitet c. Omgivelsestilstanden er gitt ved T = C. og p = 1 bar. Oppgaven er å finne irreversibiliteten i kompressoren i prosent av tilført arbeid. Starter med å finne massetsrømmen av luft gjennom kompressoren. Beregner massestrømmen fra den oppgitte volumstrømmen inn på kompressoren Med bruk av ideell gasslov, pv = RT får vi ṁ l = V 1 p 1 RT 1 =, 18 m 3 /s =, 14 kg/s ṁ l = V 1 v 1 ) N/m 8314 J/kmol K 8,97 kg/kmol 93 K Må nå finne arbeidet tilført kompressoren. 1. hovedsetning, energibalansen gir Ẇ CV = ṁ l h 1 h ) + ṁ kv h 3 h 4 ) 1) 8

9 Entalpidifferansen for kjølevannet beregnes fra h = c T hvor c er spesifikk varmekapasitet for vann. c for vann er gitt i tabell A.19 som funksjon av temperaturen. Vi bruker verdien for kjølevannets gjennomsnittstemperatur som er T = )/ = C. Interpolering i tabellen gir c C.) = 4,19 kj/kg K). Entalpiene for luft finnes fra tabell A.. Innsatt får vi Ẇ CV =, 14 93, 434, 3) +, 4, ) = 38, 6 kw Irreversibilitet er definert som İ CV = T σ CV og kan beregnes enten direkte fra eksergibalansen, eller ved å beregne σ CV fra. hovedsetning, entropibalansen. Den sistnevnte metoden krever ofte minst utregning og vi prøver derfor den. Entropibalansen ligning 6.4 i læreboka) blir = ṁ l s 1 s ) + ṁ kv s 3 s 4 ) + σ CV ) Ved hjelp av ligning 6.5a og 6.8 i læreboka kan entropiproduksjonen uttrykkes som σ CV = ṁ l s s 1 R ln p ) + ṁ kv c ln T 4 3) p 1 T 3 hvor s finnes fra tabell A.. Innsatt får vi ) 8, 314 σ CV =, 14, 734 1, , 97 ln 5 =, 141 kj s K Irreversibiliteten finnes nå fra İ CV = T σ CV = 93, 141 = 4, 13 kw Irreversibiliteten utgjør 4,13/38,6 =,16 = 1,6% av det tilførte arbeidet. +, 4, 19 ln Oppgave 7.59, luftturbin Betingelser ṁ = 5 kg/s T 1 = 1 C. = 173 K T = 665 C. = 938 K T = 98 K. p 1 = 7 bar. p = 1,5 bar. p = 1 atm. 9

10 ṁ 1 Ẇ ṁ Q Figur 4: Turbin. Antagelser Turbinen er stasjonær. Luften kan betraktes som en idell gass med k = c p /c v = konstant = 1,35. Turbinen er adiabatisk, Q =. KE = PE. Finn isentropisk virkningsgrad og virkningsgrad basert på. hovedsetning eksergivirkningsgrad). 1. hovedsetning med Q = gir Ẇ ṁ = h 1 h 4) Isentropisk virkningsgrad er definert som forholdet mellom arbeidet levert av den virkelige turbinen og en arbeidet levert av en isentropisk turbin η t = Ẇ /ṁ Ẇ /ṁ ) hvor s forteller at vi ser på en isentropisk konstant entropi) prosess. Med konstant c p kan virkningsgraden skrives η t = h 1 h h 1 h s = c p T 1 T ) c P T 1 T s ) Den eneste ukjente i denne ligningen er T s, dvs den temperaturen vi ville hatt ut av turbinen dersom turbinen opererte isentropisk. Ligning 6.5 i læreboka gir sammenhengen mellom trykk 1 s 5)

11 og temperatur for isentropiske prosesser når arbeidsmediet er en ideell gass med konstant k Ved å sette inn finner vi T T 1 = p p 1 ) k 1 k og den isentropiske virkningsgraden blir s 1 = s, k = konstant) 6) T s = 1, = 854 K η t = =, 8 = 8% ),35 1,35 Turbinen leverer 8% av det arbeidet den ville levert dersom den opererte isentropisk. Eksergivirkningsgraden for en turbin definerte vi som ε = ẆCV/ṁ a fi a fe 7) Ved å sette inn 1. hovedsetning for arbeidet og uttrykk for differansen i spesifikk strømningseksergi får vi h 1 h ε = h 1 h T s 1 s ) = c p T 1 T ) c p T 1 T ) T c p ln T 1 R ln p ) 1 T p }{{ } ligning 6.7 hvor ligning 6.7 i læreboka er brukt for å regne ut entropidifferansen. Dette uttrykket kan vi regne ut med tabellverdi for c p. Uttrykket kan imidlertid forenkles videre med å bruke den oppgitte størrelsen k = c p /c v. Ved å bruke denne sammen med relasjonen R = c p - c v kan R uttrykkes som R = k 1 k Se ligning 3.47a i boka. Ved å bruke dette i ligningen for eksergivirkningsgraden forkortes c p bort og vi får ε = T 1 T ) T 1 T T ln T 1 T k 1 k ln p 1 p =, 93 = 9, 3% 11

12 9,3% av reduksjonen i eksergi for luftstrømmen går med til å utvikle arbeid. Resten blir ødelagt av irreversibiliteter. 1