SIO 1027 Termodynamikk I Noen formler og uttrykk som er viktige, samt noen stikkord fra de forskjellige kapitler,, Versjon 25/

Transkript

1 SIO 1027 Termodynamikk I Noen formler og uttrykk som er viktige, samt noen stikkord fra de forskjellige kapitler,, Versjon 25/ Geir Owren November 25, 2001 Som avtalt med referansegruppen, er det her satt opp noen viktige formler og uttrykk i faget. Dette er bare ment å være en skjekk-liste til forberedelsene til eksamen. Det er overhodet ikke ment å være noen erstatning for boken. Vi tar intet ansvar for riktigheten, eller for at formel-arket skal være komplett. Det er boken og de definerte sidene i boken som gjelder. Jeg er imidlertid interessert i å bli gjort oppmerksom på feil og mangler ved dette sammendraget. 1 Konsepter og definisjoner 1. Termodynamisk system 2. Egenskap ekstensiv og intensiv 3. Tilstand 4. Prosess 5. Likevekt 6. Temperatur og termometer 7. Kontrollvolum 8. Enheter for trykk, volum og masse 1

2 2 Energi og 1. lov Kinetisk energi m V 2 2 Potensiell energi m g z Arbeid W = F ds = P dv Arbeidet W er definert positivt når systemet utfører er arbeid, mens varme-mengden Q er definert positiv når varme tilføres systemet. Termodynamikkens første lov for lukket system: a b Netto arbeid utført av et lukket adiabatisk system avhenger bare av endetilstandene, og ikke av detaljene i den adiabatiske prosess. Energien innenfor et isolert system er konstant Dette leder fram til oppstillingen av energibalansen for et lukket system: E 1 E 2 = Q W 1 eller de dt = Q Ẇ 2 hvor i begge tilfelle, E er summen av kinetisk, potensiell og indre energi. I enkle system kan vi derfor skrive: V 2 E = m 2 + z g + u 3 Litt formelt kan man si, at første hovedsats, definerer at u er en egenskap. Den indre energi u kan teoretisk bestemmes fra første hovedsats for isolerte systemer Q = 0 i ligning 1. Vi innfører kretsprosesser, og definerer den termodynamiske virkningsgraden for kraftprosess ligning 4, for en kuldeprosess ligning 5 og for en varmepumpeprosess ligning 6. η = W cycle Q in 4 β = Q in W netto 5 γ = Q levert W netto 6 2

3 3 Egenskaper Egenskaper bestemmes etter tilstandsprinsippet. For intensive egenskaper ren komponent kan alle verdier for en enkelt fase fastlegges Enfase-området - når 2 uavhengige egenskaper er gitt f. eks T og P Tofaseområdet - når en egenskap er gitt f. eks T I tofaseområdet benytter vi gjennomsnittlige egenskaper for to-fase blandingen. For å beregne disse, benytter vi kvaliteten, som er definert ved: x = Ved hjelp av kvaliteten x beregnes andre Entalpien h er definert ved: Varmekapasitetene defineres som følger: m g m g + m f 7 v = 1 x v f + x v g 8 u = 1 x u f + x u g 9 h = 1 x h f + x h g 10 h = u + p v 11 c v = c p = u T h T v P I oppgaver som er benyttet, har det vært 3 forskjellige metoder til innhenting av egenskaper: 1. Tabeller for rene komponenter, gitt som separate tabeller for tofaseområdet og overhetet området. Tabelert som funksjon av T og P. Denne metoden gir størst nøyaktighet, og vil generelt kreve noe interpollering. 2. Ideell gass egenskaper, se eget avsnitt. Ideell gass beregning inndeles i 2 kategorier avhengig av om vi kan betrakte varmekapasitetene å være konstante, se avsnitt Generaliserte størrelser. Disse metodene er det ikke så vanlig å bruke for rene komponenter, hvis man har tilgjengelig tabeller. For blandinger derimot, er slike metoder svært vanlig. 3

4 3.1 Inkompressible væsker Man kan avlede av ligning 11 og definisjonene for c p ligning 13 at for inkompressible væsker, gjelder: c p = c v 14 Både indre energi u og volum v er uavhengig av trykket, og det benyttes metningsverdier ved samme temperatur. Entalpien korrigeres i henhold til definisjonen for entalpi ligning 11: 3.2 Ideell gass Ideell gass, er definert ved: ht, P = h sat T + v sat P P sat 15 p v = R T 16 hvor R = R u Mw og R u = J/kmole K og Mw er molvekt for det aktuelle arbeidsmedium. Ligning 16 fører til at indre energi og entalpi bare er en funksjon av temperaturen, en utledning som vi ikke har vist i forelesningene. Fra definisjonen på h, ligning 11, følger derfor: h = ht 17 u = ut 18 c p c v = R 19 Generelt er både c p og c v funksjoner av temperaturen. De er oftest angitt som polynomer i temperaturen, hvor koeffisentene er tabellert. Siden h og u bare er funksjoner av temperaturen, kan man lage endimensjonale tabeller for ideell gass egenskaper. Entropien s er dog avhengig av trykket også. Derfor er det hensiktsmessig å finne et konsept for å lettere slå opp data ved gitt entropi i tabeller. Et slik konsept er definert ved henholdsvis relativt trykk P r og relativt volum v r. Disse begrepene må ikke blandes med reduserte tilstander som er definert i avsnittet 3.3 på side 5. Ved konstant entropi, gjelder følgende: P1 P 2 v1 v 2 = P r1 P r2 s = v r1 v r2 s

5 Ligning 20 benyttes til å finne isentropiske prosesser mellom to isobarer konstant trykk-linjer, benyttes f. eks. ved gassturbin prosesser, mens ligning 21 benyttes til å finne isentroper mellom to isochorer konstant volumlinjer, brukes f. eks. ved forbrenningsmotorer. Bruker vi de såkalte cold air antakelsene, nemlig at c v og c p er konstanter, oppnår vi, følgende uttrykk som gjelder ved konstant entropi.: p v k = C s 22 k = c p c v 23 Ligningen for isentropen ligning 22, kombineres ofte med ideell gass lov ligning 16. I forbifarten, kan nevnes, at man inspirert av ligning 22, også definerer såkalte polytropiske prosesser: p v n = C 24 n = 0 n = 1 n = c p c v n = ± P = C T = C s = C v = C 3.3 Generaliserte størrelser For en reell gass, defineres kompressibilliteten z som: z = p v R T 25 hvor z kan finnes av generaliserte kart, som funksjon av de reduserte størrelsene P r og T r, hvor P r = P P c 26 T r = T T c 27 P c og T c er henholdsvis kritisk trykk og temperatur, som finnes tabellert for en del arbeidsmedier bak i boken. 4 Kontroll-volum og energianalyse m cv = i m i e m e 28 5

6 samtidig som: m cv t = V ρdv 29 Den totale energien i kontrollvolumet er definert tidligere ligning 3 som: E cv = m V z g + u For et kontroll-volum, ble første hovedsats 1 utledet til å bli: de cv dt ṁ i h i + V i g z i ṁ e 30 h e + V e g z e = Q cv Ẇcv + i e 31 I ligning 31 er varmeoverføringsleddet Q cv og arbeidsleddet Ẇ cv det som krysser systemgrensene, utenom strømmene. Ved stasjonær tilstand steady-state reduseres masseballansen 28 til: 0 = i m i e m e 32 og energiligningen, ligning 31, til 0 = Q cv Ẇcv+ ṁ i h i + V 2 i 2 + g z i i e ṁ e h e + V e g z e 33 En ventil utfører ikke arbeid, den er adiabatisk, stasjonær, og kinetisk energi kan neglisjeres. Da oppnår vi: 5 2. lov i termodynamikken Claussius: h i = h e 34 Varme kan ikke av seg selv gå fra kaldere til varmere legeme Kelvin-Planck: Det er umulig for et hvilket som helst termodynamisk system å operere som en kretsprosess og levere netto arbeid til omgivelsene mens det bare utveksler varme med et temperaturreservoar. 2. hovedsats gir grunnlag for definisjon av termodynamisk temperaturskala. Dette baseres på at man benytter en reversibel kretsprosess som 6

7 opererer mellom to temperaturreservoarer. Termodynamisk temperatur defineres på følgende måte: Qc Q h reversibel kretsprosess = T c 35 T h Carnot prosessen vil følgelig få følgende virkningsgrad jmf ligning 4: 6 Entropi η = 1 T c T h 36 Fra 2. hovedsats og den termodynamiske definisjonen av temperatur, får vi følgende relasjon Claussius usikkerhet: Q 0 37 kretsprosess T Likheten i ligning 37 gjelder reversibel prosess. Derfor defineres entropien som 2 Q S 2 S 1 = 38 1 T int. reversibel For tofaseområdet gjelder: s = 1 x s f + x s g 39 vi: Settes entropi-definisjonen inn i 1 hovedsats for lukket system, oppnår Ved en adiabatisk prosess isolert gjelder: T ds = du + P dv 40 T ds = dh v dp 41 s 0 42 Likheten i ligning 42 gjelder ved reversibel prosess. Derfor er en reversibel og adiabatisk prosess isentropisk. Dette gjelder i praksis særlig pumper, kompressorer og turbiner. Legg merke til her, at entalpie-differensen ved en isentropisk prosess, fremkommer av ligning 41 som: 2 h 2 h 1 = v dp 43 1 s For pumper, er vi ofte i inkompressibelt område, dvs: h 2 h 1 = v 1 P 2 P 1 s 44 7

8 7 Eksergi Tilgjengeligheten eksergien for et kontrollvolum, er definert ved: A cv = E U 0 + P 0 V V 0 T 0 S S 0 45 Tilgjengeligheten er definert som arbeidet en reversibel prosess kan som utveksler varme med omgivelsene kan utføre. For et åpent system, vil en tilgjengelighets balanse være som følger: da cv dt = j 1 T 0 T j Q j Ẇ cv P 0 dv cv dt + i ṁ i a fi e hvor eksergien i strømmene er a f er definert som følger: a f = h h 0 T 0 s s 0 + V 2 ṁ e a fe I cv g z 47 En mer praktisk brukbar form for eksergiballansen ligning 46 får man for stasjonære systemer: 0 = j 1 T 0 T j Q j Ẇcv + i ṁ i a fi e ṁ e a fe I cv 48 8 Damp kraft prosesser Det forventes at grunnlaget forran i boken kan anvendes til å utføre prosessberegninger for: 1. Enkel Rankine prosess 2. Effekt av superheat og reheat 3. Effekt av fødevanns forvarming 9 Gass kraft prosesser Det forventes at grunnlaget forran i boken kan anvendes til å utføre prosessberegninger for: 1. Otto-prosessen 2. Diesel-prosessen 3. Brayton 4. Brayton me regenerering 8

9 10 Kulde og varmepumpe systemer Det forventes at grunnlaget forran i boken kan anvendes til å utføre prosessberegninger for: 1. Kuldeprosess 2. Varmepumpe-prosess 11 Bruk av diagrammer Det er forventet at prosessene kan skisseres i T S diagrammet og P V diagrammet. Noen tips på for bruk av T S diagrammet: 1. Arealet under enhver linje er tilført varme hvis linjen går mot høyre for reversible prosesser. 2. Arealet inne i en kretsprosess, er arbeid tilført eller utført ved reversible prosesser. Hvis prosessen går med klokka, er arbeidet utført, går prosessen mot klokka, er arbeidet tilført. 3. Arealet under isobarer, er antalpi-differenses 4. Arealet under isochorer konstant volum, er differense i indre energi. 5. Isobarer stiger slakere enn isochorer konstant volum. Det beste er selvsagt, et dere forstår grunnlaget for disse prinsippene. Det meste følger av T ds prinsippene, se ligningene 40 og 41. 9