MA-8 Klkulus formelsmling versjon 8. Kvdrtsetning: ( + ) = + +. Kvdrtsetning: ( ) = + Konjugtsetningen: ( + )( ) = Andregrdslikningen: x + x + c = 0 x = ± c Fullstendig kvdrt: x + x + c = ( ) x + + c Trigonometriske identiteter sin x + cos x = tn x = sin x cos x sin x = ( cos x) csc x = / sin x sec x = / cos x cot x = / tn x = cos x sin x = sin(x + n) cos x = ( + cos x) cos x = cos(x + n) = sin x tn x = tn(x + n) sin x = sin x cos x cos x = cos x sin x tn x = sin( x) = sin x (odde) cos( x) = cos x (jevn) = cos x tn( x) = tn x (odde) = sin x sin x = cos(x ) Potenser og røtter n = 0 = = = = tn x tn x cos x = sin(x + ) sin( ± ) = sin cos ± cos sin cos( ± ) = cos cos sin sin n gnger {}}{ ( c = +c ) tn( ± ) = Skivemetoden med hull V = tn ±tn tn tn c = c ( ) c = c ( ) c = c c ( ) c = c c = = Sylinderskllmetoden V = Kurvelengden til y = f(x) L = Newtons metode + = [ (R(x)) (r(x)) ] ( ) ( ) skll skll rdius høyde ( ) dy = x x n+ = x n f(x n) f (x n ) c c = = n = n n = n n = n = + (f (x)) Logritmer ln xy = ln x + ln y ln = 0 ln x y = ln x ln y ln x = ln x ln x y = y ln x log x = ln x ln Funksjonsverdier v spesielle vinkler θ grder sin θ cos θ tn θ 0 0 0 0 0 5 0 90 0 ± 0 5 5 50 80 0 0 7 0 5 5 0 θ grder 70 0 ± 90 5 00 0 7 5 5 0 0 0 0 0 0 0 Derivsjon (x n ) = nx n (sin x) = cos x (cu) = cu (cos x) = sin x (u + v) = u + v (tn x) = cos x = + tn x (uv) = u v + uv (sin x) = x ( u ) v = u v uv v (cos x) = x (e x ) = e x (tn x) = +x ( x ) = x ln (ln x) = x, x > 0 Integrsjon x n = n+ xn+ + c x (g(u)) = g (u)u du +u = ( ) tn u + c du = ln x + c = ( ) u sin u + c sin x = cos x + c cos x = tn x + c cos x = sin x + c e x = ex + c x = ln x + c u dv = uv v du f(x)g (x) = f(x)g(x)] f (x)g(x) d v(x) dv du f(t) dt = f(v(x)) u(x) f(u(x)) Momenter, msse og mssesenter til en tynn plte Mssesenter til en stripe ( x, ỹ) Mssetettetsfunksjon Mssen til en stripe Moment om x-ksen Moment om y-ksen Mssen til plt Mssesenter til plt δ dm = δ lengde redde M x = ỹ dm M y = x dm M = dm x = My M sin θ y = M x M stripe x-ksen ỹ = y, redde = dy stripe y-ksen x = x, redde = cos θ tn θ θ θ θ
Mengder En mengde er en smling v elementer. Følgende notsjon kn rukes, der S og T er mengder: Tll S S S T S T S T er element i S er ikke element i S Unionen v S og T (inneholder lle elementer i S og T til smmen) Snittet v S og T (inneholder lle elementer felles for S og T ) Den tomme mengden (inneholder ingen elementer) S er en delmengde v T (T inneholder minst lle elementene til S) Tll kn defineres som mengdene N, Z, N +, Z, Q, R slik: Nturlige tll N = {0,,,...} Hele tll Z = {...,,, 0,,,...} Positive heltll N + = {,,,...} Negtive heltll Z = {,,,...} Rsjonle tll Q = der, Z og 0 Irrsjonle tll = Tll uten periodisk desimlutvikling Reelle tll R = Rsjonle og irrsjonle tll N + N Z Q R Tll kn eskrives geometrisk som punkter på en tllinje: Intervller En delmengde v tllinj klles et intervll om den inneholder minst to tll og inneholder lle reelle tll mellom to vilkårlige elementer i delmengden. Et linjesegment v tllinj er et endelig intervll. Et uegrenset område v tllinj er et uendelig intervll. Et intervll er lukket om det inneholder egge endepunktene, åpent om det ikke inneholder noen endepunkter og hlvåpent om det inneholder ett v endepunktene men ikke det ndre. Punkter i intervllet som ikke er endepunkter klles indre punkter. Vi hr følgende typer intervller: Notsjon Mengde Type, {x < x < } Åpent, endelig [, ] {x x } Lukket, endelig [, {x x < } Hlvåpent, endelig, ] {x < x } Hlvåpent, endelig, {x x > } Åpent, uendelig [, {x x } Lukket, uendelig, {x x < } Åpent, uendelig, ] {x x } Lukket, uendelig, R Åpent, lukket, uendelig Ulikheter Hvis,, c R så hr vi: Asoluttverdi < + c < + c < c < c < og c > 0 c < c < og c < 0 c > c < > > 0 > 0 > 0 og > 0 < > < 0 og < 0 < > Hvis,, x R så hr vi: { x hvis x 0 x = x hvis x < 0 Hvis > 0 hr vi: = = = = + + (trekntulikheten) x = hvis og re hvis x = ± x < hvis og re hvis < x < x > hvis og re hvis x > eller x < x hvis og re hvis x x hvis og re hvis x eller x Geometriske figurer i plnet Figur Arel Omkrets Rektngel gh (g + h) Treknt Prllellogrm Trpes gh gh (+)h Sirkel r r Sektor r = r θ = rθ
Geometriske figurer i rommet Figur Volum Overflte Kue s s Prler Grfen til likningen y = x + x + c der 0 er en prel som er åpen i toppen når > 0 og åpen i unnen når < 0. Prelens kse er linjen Prisme Gh x = Pyrmide Gh Sylinder r h r(r + h) Sirkel En sirkel med rdius r er mengden v lle punktene hvis vstnden fr et sentrum (x 0, y 0 ) er lik. Dette kn eskrives med likningen Kjegle r h r(r + s) (x x 0 ) + (y y 0 ) = r Kule r r For vilkårlige treknter i plnet gjelder Arel = c sin A = + c c cos A sin A = sin B Linjer i plnet = sin C c Stigningstllet m til en ikkevertikl linje gjennom punktene (x 0, y 0 ) og (x, y ) er definert som m = y x = y y 0 x x 0 En linje med stigningstll m som går gjennom punktet (x, y ) kn eskrives med likningen y = y + m(x x ) En horisontl linje gjennom punktet (x, y ) kn derfor eskrives med likningen y = y. En vertikl linje gjennom punktet (x, y ) kn eskrives med likningen x = x. En linje med stigningstll m og konstntledd kn eskrives med likningen y = mx + Alle linjer kn skrives på normlformen Ax + By = C der A og B ikke egge er lik null. Hvis to ikke-vertikle linjer L og L står vinkelrett på hverndre, så vil deres stigningstll m og m tilfredsstille likningen m m =, dvs: Andregrdslikningen x + x + c = 0 x = ± c Hvis x = x 0 og x = x er løsninger v x + x + c = 0, så hr vi følgende: Pytgors setning x + x + c = (x x 0 )(x x ) x 0 + x = x 0 x = c I en rettvinklet treknt med ktetlengder og og hypotenuslengde c så hr vi Funksjoner + = c En funksjon fr en mengde D til en mengde Y er en regel som tilordner ett (unikt) element f(x) Y til hvert element x D. Mengden D med lle mulige inputverdier klles definisjonsmengden til funksjonen. Mengden v lle verdiene til f(x) når x vrierer gjennom hele D klles verdimengden til funksjonen. Polynomer En funksjon p(x) er et polynom hvis p(x) = 0 + x + + n x n + n x n hvor n N og 0,,,..., n R (og klles koeffisientene) til polynomet. Alle polynomer hr definisjonemengde,. n klles grden v polynomet. m = m og m = m Avstnden mellom punktene (x 0, y 0 ) og (x, y ) er d = (x x 0 ) + (y y 0 )
Rsjonle funksjoner En rsjonl funksjon er et forhold mellom to polynomer: f(x) = p(x) q(x) der p og q er polynomer. Definisjonsmengden til en rsjonl funksjon er mengden v lle x R der q(x) 0. Proporsjonlitet To vrile x og y er proporsjonle til hverndre hvis den ene lltid er en konstnt multippel v den ndre, dvs: y = kx for en eller nnen konstnt k 0. Smmenstte funksjoner Hvis f og g er funksjoner, så er den smmenstte funksjonen (f g)(x) = f(g(x)) Definisjonsmengden til f g estår v tllene x i definisjonsmengden til g der g(x) ligger i definisjonsmengden til f. Flytting/modifisering v grfer En grf kn flyttes vertiklt ved å legge til en konstnt k: Hvis k > 0 så hr vi: f(x) + k f(x) k f(x + k) f(x k) Hvis k > så hr vi: kf(x) k f(x) f(kx) f(x/k) Flytter grfen til f opp lengden k Flytter grfen til f ned lengden k Flytter grfen til f lengden k mot venstre Flytter grfen til f lengden k mot høyre Strekker grfen til f vertiklt med fktoren k Trykker grfen til f vertiklt med fktoren k Trykker grfen til f horisontlt med fktoren k Strekker grfen til f horisontlt med fktoren k sin θ = c csc θ = sin θ = c cos θ = c sec θ = cos θ = c sin θ cos θ = tn θ = cot θ = tn θ = Hrmoniske svingninger kn modelleres med funksjonen Grenseverdier f(x) = sin cx + cos cx + d = A sin(cx + ϕ) + d Periode: c Likevektslinje: y = d Amplitude: A = + tn ϕ = Hvis L, M, c, k R og f(x) = L og g(x) = M, så (f(x) + g(x)) = L + M (f(x) g(x)) = L M (f(x) g(x)) = L M (k f(x)) = k L f(x) g(x) = L M, M 0 Hvis r, s N, ikke hr noen felles fktor og s 0, så (f(x))r/s = L r/s gitt t L r/s R. (Hvis s er et prtll, ntr vi L > 0). Hvis ln f(x) = L, d er f(x) = eln f(x) = e L Merk t disse reglene også er gyldige når c = ±. Hvis k = så hr vi: kf(x) = f(x) f(kx) = f( x) Jevne og odde funksjoner En funksjon y = f(x) er en Speiler grfen til f gjennom x-ksen Speiler grfen til f gjennom y-ksen jevn funksjon v x hvis f( x) = f(x), odde funksjon v x hvis f( x) = f(x), for hver x i funksjonens definisjonsmengde. Jevne funksjoner er symmetriske om y-ksen. Odde funksjoner er symmetriske om origo. Trigonometri En vinkel n i grder kn regnes om til en vinkel θ i rdiner med formelen θ = n 80 De triginometriske funksjonene relteres til sidelengdene i en rettvinklet treknt på følgende måte: Grenseverdien til polynomer Hvis p(x) er et polynom, så er p(x) = p(c) Grenseverdien til rsjonle funksjoner Hvis p(x) og q(x) er polynomer og q(c) 0, så er Sndwichteoremet p(x) q(x) = p(c) q(c) Ant t g(x) f(x) h(x) for lle x i et åpent intervll som inneholder c, utenom muligens ved x = c. Ant i tillegg t g(x) = h(x) = L. D vil også f(x) = L.
Venstre og høyre grenseverdier En funksjon f(x) hr en grenseverdi når x går mot c hvis og re hvis den hr venstre og høyre grenseverdier der og disse grenseverdiene er like: f(x) = L f(x) = L og f(x) = L + Horisontl symptote En linje y = er en horisontl symptote v grfen til en funksjon y = f(x) hvis enten Skråsymptote f(x) = eller f(x) = x x Hvis grden til telleren i en rsjonl funksjon f(x) er en høyere enn grden til nevneren så hr grfen til funksjonen en skråsymptote. Ved å dele telleren på nevneren ved polynomdivisjon får vi uttrykt den rsjonle funksjonen som en lineær funksjon v x pluss et restledd med x i nevneren. Den lineære delen er funksjonen for skråsymptoten. Vertikl symptote En linje x = er en vertikl symptote v grfen til en funksjon y = f(x) hvis enten f(x) = ± eller f(x) = ± x + x Noen vnlige grenseverdier n Kontinuitet sin θ = (θ i rdiner) θ 0 θ ( + x ) n = e x (for lle x) n En funksjon f(x) er kontinuerlig ved x = c hvis og re hvis følgende tre krv er oppfyllt:. f(c) finnes (c er i definisjonsmengden til f). f(x) finnes (f hr en grense når x c). f(x) = f(c) (grenseverdien er lik f(c)) Kontinuerlig funksjon En funksjon er kontinuerlig på et intervll hvis og re hvis den er kontinuerlig på lle punktene i intervllet. En kontinuerlig funksjon er en funksjon som er kontinuerlig på lle punktene i funksjonens definisjonsmengde. En funksjon trenger ikke være kontinuerlig på lle intervller. F.eks. y = /x er ikke kontinuerlig i intervllet [, ], men er kontinuerlig i definisjonsmengden (, 0) (0, ). Egenskper til kontinuerlige funksjoner Hvis funksjonene f og g er kontinuerlige ved x = c, d er følgende kominsjoner også kontinuerlige ved x = c: Summer f + g Differnser f g Produkter f g Konstnte multipler k f, for lle tll k Kvotienter f/g, gitt t g(c) 0 Potenser f r/s, gitt t f r/s er definert på et åpent intervll som inneholder c og r, s N Smmenstte funksjoner f g = f(g(x)) Mellomverdisetningen (Intermedite vlue theorem) En funksjon y = f(x) som er kontinuerlig på et lukket intervll [, ] ntr lle verdier mellom f() og f(). Dvs t hvis y 0 er en hvilken som helst verdi mellom f() og f(), så er y 0 = f(c) for en eller nnen c [, ]. Stigningstllet til en kurve på et punkt Stigningstllet til en kurve y = f(x) på punktet P (x 0, f(x 0 )) er tllet m = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h (gitt t denne finnes) Tngenten til kurven ved P er linjen gjennom P med dette stigningstllet. Derivsjon Den deriverte til funksjonen f(x) med hensyn på vrielen x er funksjonen f hvis verdi ved x er f (x) = h 0 f(x + h) f(x) h gitt t denne grenseverdien finnes. Det er mnge måter å skrive den deriverte på. Her er noen vnlige lterntiver: f (x) = y = dy = df = d f(x) Deriverrhet impliserer kontinuitet Hvis f er deriverr ved x = c så etyr det t f også er kontiunerlig ved x = c (men ikke nødvendigvis motstt). Droux teorem Hvis og er to vilkårlige punkter i et intervll der f er deriverr, så vil f nt lle verdier mellom f () og f (). 5
Derivert som endringshstighet Øyelikkelig endringshstighet til f med hensyn på x ved x 0 er den deriverte til f ved x 0, f (x 0 ). Hvis d s = f(t) er funksjonen for posisjonen s med hensyn på tiden t, så hr vi følgende: s(t) = f(t) v(t) = s (t) (t) = v (t) = s (t) j(t) = (t) = v (t) = s () (t) posisjon frt kselersjon rykk Anlyse v funksjoner med derivsjon Ekstremverdier L f være en funksjon med definisjonsmengde D. D hr f en glol mksimumsverdi på D ved et punkt c hvis f(x) f(c) for lle x i D og en glol minimumsverdi på D ved c hvis f(x) f(c) for lle x i D. Hvis f er kontinuerlig på et lukket intervll [, ], d vil f h åde en solutt mksimumsverdi M og en solutt minimumsverdi m i [, ]. Dvs, det finnes to tll x og x i [, ] der f(x ) = m, f(x ) = M og m f(x) M for lle ndre x-verdier i [, ]. Lokle mks og min En funksjon f hr en lokl mksimumsverdi ved et indre punkt c i definisjonsmengden hvis f(x) f(c) for lle x i et åpent intervll som inneholder c. En funksjon f hr en lokl minimumsverdi ved et indre punkt c i definisjonsmengden hvis f(x) f(c) for lle x i et åpent intervll som inneholder c. Glole ekstremverdier er også lokle ekstremverdier, men ikke nødvendigvis motstt. Førstederivert testen for lokle ekstremverdier Hvis f hr en lokl mksimums- eller minimumsverdi ved et indre punkt c i definisjonsmengden, og f er definert ved c, så er f (c) = 0 Kritisk punkt Et indre punkt i definisjonsmengden til en funksjon f der f er null eller udefinert klles et kritisk punkt på f. Glole ekstrempunkt på et endelig lukket intervll til en kontinuerlig funksjon f finner mn ved å. Regne ut f ved lle kritiske punkter og endepunkter.. T den største og den minste verdien v disse. Rolles teorem Ant t y = f(x) er kontinuerlig på lle punkter i det lukkede intervllet [, ] og deriverr på lle punkter i det åpne intervllet (, ). Hvis f() = f(), d finnes det minst ett tll c i (, ) hvor f (c) = 0 Middelverditeoremet (Men Vlue Theorem) Ant t y = f(x) er kontinuerlig på et lukket intervll [, ] og deriverr på lle punkter i det åpne intervllet (, ). D finnes det minst et punkt c i (, ) hvor f() f() = f (c) Funksjoner med null som derivert er konstnte Hvis f (x) = 0 ved lle punkter x i et åpent intervll (, ), d er f(x) = C for lle x (, ), der C er en konstnt. Funksjoner med smme derivert vviker med en konst. Hvis f (x) = g (x) for lle punkter x i et åpent intervll (, ), d finnes det en konstnt C slik t f(x) = g(x) + C for lle x (, ). Dvs, f g er en konstnt på (, ). Økende, minkende og monotone funksjoner L f være en funksjon definert på et intervll I og l x og x være to vilkårlige punkter i I. D hr vi:. Hvis f(x ) < f(x ) når x < x, så er f økende på I.. Hvis f(x ) > f(x ) når x < x, så er f minkende på I. En funksjon som enten er økende eller minkende på I klles monoton på I. Førstederivert testen for monotone funksjoner Ant t f er kontinuerlig på [, ] og deriverr på (, ). Hvis f (x) > 0 for lle x (, ), d er f økende på [, ] Hvis f (x) < 0 for lle x (, ), d er f minkende på [, ] Førstederivert testen for lokle ekstremverdier Ant t c er et kritisk punkt på en kontinuerlig funksjon f, og t f er deriverr på lle punkter i et intervll som inneholder c, men ikke nødvendigvis ved c. Hvis det viser seg t, når mn eveger seg fori c fr venstre mot høyre på tllinjen, og. hvis f går fr negtiv til positiv ved c, d hr f loklt minimum ved c;. hvis f går fr positiv til negtiv ved c, d hr f loklt mksimum ved c;. hvis f ikke forndrer fortegn ved c, d hr ikke f lokl ekstremverdi ved c. Konkv opp, konkv ned Grfen til en deriverr funksjon y = f(x) er på et åpent intervll I. konkv opp hvis f er økende på I. konkv ned hvis f er minkende på I.
Andrederivert testen for konkvitet L y = f(x) være to gnger deriverr på et intervll I Hvis f > 0 på I, d er grfen til f over I konkv opp. Hvis f < 0 på I, d er grfen til f over I konkv ned. Vendepunkt Et punkt der grfen til en funksjon kn h en tngent og der konkviteten endres, klles et vendepunkt. Andrederivert testen for lokle ekstemverdier Ant t f er kontinuerlig på et åpent intervll som inneholder x = c.. Hvis f (c) = 0 og f (c) < 0, d hr f loklt mksimum ved x = c. Hvis f (c) = 0 og f (c) > 0, d hr f loklt minimum ved x = c. Hvis f (c) = 0 og f (c) = 0, d feiler testen. Funksjonen f kn d enten h loklt mks, loklt min, eller ingen v delene. L Hôpitls regel Ant t f() = g() = 0, og t f og g er deriverre på et åpent intervll I som inneholder, og t g (x) 0 på I hvis x. D hr vi f(x) x g(x) = f (x) x g (x) hvis grenseverdien til høyre finnes. Det smme gjelder om f(x) ± og g(x) ± når x. Vi kn også h = ± eller x + eller x. Integrsjon Antideriverte En funksjon F er en ntiderivert v f på et intervll I hvis F (x) = f(x) for lle x I. Hvis F er en ntiderivert v f på et intervll I, d er den mest generelle ntideriverte v f på I F (x) + C hvor C er en vilkårlig konstnt. Uestemt integrl, integrnd Mengden v lle ntideriverte v f er det uestemte integrlet v f med hensyn på x, og lir skrevet slik: Symolet er et integrltegn. Funksjonen f er integrnden til integrlet, og x er integrsjonsvrielen. Bestemt integrl Hvis en funksjon y = f(x) er ikkenegtiv og integrerr over et lukket intervll [, ], d er relet mellom kurven y = f(x) og x-ksen over [, ] integrlet v f fr til, Regneregler for estemte integrler = = 0 k = k (f(x) ± g(x)) = f(x) + c f(x) = c ± Gjennomsnittsverdien til en funksjon g(x) Hvis f er integrerr på [, ], d er gjennomsnittsverdien til f på [, ] lik gj(f) = Middelverditeoremet for estemte integrler Hvis f er kontinuerlig på [, ], d finnes det et punkt c i [, ] hvor f(c) = Klkulusens fundmentlteorem Hvis f er kontinuerlig på [, ], d er F (x) = x f(t) dt kontinuerlig på [, ] og deriverr på,, og dens deriverte er f(x): F (x) = d x f(t) dt = f(x) Hvis f er kontinuerlig på lle punkter i [, ], og F er en vilkårlig ntiderivert v f på [, ], d hr vi = F () F () Sutitusjonsregelen for uestemte integrl Hvis u = g(x) er en deriverr funksjon hvis verdimengde er et intervll I og f er kontinuerlig på I, d hr vi f(g(x)) g (x) = f(u) du Sutitusjonsregelen for estemte integrl Hvis g er kontinuerlig på intervllet [, ] og f er kontinuerlig på verdimengen til g, d hr vi f(g(x)) g (x) = g() g() f(u) du A = 7
Spesiltilfeller når f er jevn eller odde L f være kontinuerlig på intervllet [, ], d hr vi Hvis f er jevn, d er Hvis f er odde, d er Arelet mellom kurver = 0 = 0 Hvis f og g er kontinuerlige og f(x) g(x) i [, ], d er relet v området mellom kurvene y = f(x) og y = g(x) fr til integrlet v (f g) fr til : A = [f(x) g(x)] Bruksområder til estemte integrler Volum Volumet v et legeme med et kjent integrerrt tversnittrel A(x) fr x = til x = er integrlet v A fr til : V = A(x) Omdreiningslegeme; skivemetoden uten hull V = Kurvelengde til x = g(y) (R(x)) c y d Hvis g er kontinuerlig og deriverr på [c, d], d er lengden v kurven (grfen) x = g(y) fr y = c til y = d lik L = d c + ( dy ) dy = d c + (g (y)) dy Moment, msse og mssesenter til en tynn stng lngs x-ksen med tetthetsfunksjon δ(x) Moment om origo M 0 = xδ(x) Msse M = δ(x) Mssesenter x = M 0 M Trnscendente funksjoner Enentydig funksjon En funksjon f(x) er enentydig (eller injektiv) på en definisjonsmengde D hvis f(x ) f(x ) når x x i D. Horisontllinjetesten for enentydige funksjoner En funksjon y = f(x) er enentydig hvis og re hvis grfen skjærer enhvær horisontl linje høyest ett sted. Invers funksjon Ant t f er en enentydig funksjon på en definisjonsmengde D med verdimengde R. Den inverse funksjonen f er definert ved f () = hvisf() = Definisjonsmengden til f er R og verdimengden til f er D. Resiprok Om et tll R ikke er lik null, kn vi finne en delt på tllet, nemlig. Dette tllet klles d s resiprok. Den deriverte v en invers funksjon Hvis f hr et intervll I som definisjonsmengde og f (x) finnes og ldri er null på I, d er f deriverr på lle punkter i dens definisjonsmengde. Verdien til (f ) ved et punkt i definisjonsmengden til f, er resiproken til verdien til f ved punktet = f (): eller (f ) () = d f = x= Den nturlige logritmen ln x ln x = Det nturlige tllet e x f (f ()) d f x=f () t dt, x > 0 Tllet e er det tllet i definisjonsmengden til den nturlige logritmen som tilfredsstiller likningen Egenskper til logritmer ln(e) = For vilkårlige tll > 0 og x > 0, så gjelder følgende regler: ln x = ln + ln x ln = ln ln x x kvotientregelen ln x = ln x ln x r = r ln x produktregelen resiprokregelen potensregelen Den nturlige eksponentilfunksjonen e x For lle x R, så er den inverse funksjonen til ln x lik e x : Dette fører til t e x = ln x = exp x e ln x = x for lle x > 0 ln(e x ) = x for lle x 8
Generelle eksponentilfunksjoner For lle tll > 0 og x, så hr vi x = e x ln Generelle logritmefunksjoner For lle positive tll, så er log x = ln x ln Dette fører til t den inverse funksjonen v x log x = x for lle x > 0 log ( x ) = x for lle x Mlthus lov for eksponentiell vekst Om mn ntr t øyelikkelig endringshstighet til en størrelse er proporsjonl med størrelsen får mn differensillikningen d y(t) = ky dt Hvis y = y 0 når t = 0 så er løsningen på denne likningen y(t) = y 0 e kt der k > 0 gir vekst og k < 0 gir nedgng. k klles vekstfktoren. Funksjonen kn rukes til å modellere f.eks. uegrenset vekst eller rdioktiv nedrytning. Vekstrter når x L f(x) og g(x) være positive for tilstrekkelig store x. Hvis eller, tilsvrende, om f(x) x g(x) = g(x) x f(x) = 0 så sier vi t f vokser rskere enn g, evt t g vokser seinere enn f. Hvis f(x) x g(x) = L (et endelig tll) så sier vi t f og g hr smme vekstrte når x. Inverse trigonometriske funksjoner y = sin x y = cos x y = tn x er tllet i [ /, /] der sin y = x er tllet i [0, ] der cos y = x er tllet i /, / der tn y = x Inverse trigonometriske identiteter Numerisk integrsjon Trpesmetoden cos x = / sin x cot x = / tn x csc x = / sec x Et estemt integrl v f fr til kn pproksimeres ved å stykke opp intervllet i n like store lengder, og summere relet v trpesene fr x-ksen til f. Bredden på hvert trpes lir x = n. Summen v trpesrelene lir d T = x Simpsons metode ( ) n f() + f( + k x) + f() k= S = x (y 0 + y + y + y + + y n + y n + y n ) Der y ene er verdier v f ved prtisjonspunktene x 0 =, x = + x,..., x n = + (n ) x, x n =. Tllet n er et prtll, og x = ( )/n. Om dette heftet Dette heftet er lget som en skreddersydd formelsmling til MA-8 klkulus ved UiA i Grimstd. Mesteprten v stoffet er oversettelser v definisjoner og teoremer fr George B. Thoms (005). Noe stoff er også inspirert v formelsmlingene fr Hugn (007), Utdnningsdirektortet (00) og Wikipedi. Kommentrer og rettelser er meget velkomne, og medfører finnerlønn ved lvorlige feil. Dette er versjon 8. Siste versjon ør ligge her: CC Refernser BY: $ \ trondl.com/klkulus.pdf Jostein Trondl,. novemer 008 jostein@trondl.no George B. Thoms, J. (005). Thoms Clculus (M. Weir, J. Hss, & F. R. Giordno, Eds.). Person Addison Wesley. Hugn, J. (007). Formler og teller. NKI Forlget. Utdnningsdirektortet. (00). Formelsmling i mtemtikk. Gyldendl.