Integrsjon et supplement til Klkulus Hrl Hnhe-Olsen 14. novemer 2016 Dette nottet er ment som et supplement og elvis lterntiv til eler v kpittel 8 i Tom Linstrøm: Klkulus (åe 3. og 4. utgve). Foruten et mer irekte evis for Setning 8.3.1 i Klkulus, inneholer nottet lterntive evis for integrerrhet v kontinuerlige funksjoner og nlysens funmentlteorem. I Klkulus er isse to evisene slått smmen til ett. Beviset er er såvisst gnske elegnt og reltivt elementært 1, men forftteren v ette nottet føler t et ikke er overvettes instruktivt. Her gir vi i steet et evis sert på gjenttt oppeling v integrsjonsintervllet i to, en teknikk som lesere v Klkulus hr sett før i eviset for ekstremlverisetningen. Vi egynner me å gi et mer irekte evis for følgene: Setning 1 (Klkulus Setning 8.3.1). Ant t f [, ] R er egrenset og < <. D gjeler f() = f() + f(), f() = f() + f(). (1) (1) Bevis. Øvreintegrlet er efinert som et infimum v lle øvresummer gitt ve prtisjoner v integrsjonsintervllet. Det er llti enklest å vise likheter som involverer infimum eller supremum som to motstte ulikheter i steet. Vi egynner me å vise (1) som e to ulikhetene f() f() + f(), f() f() + f(). (2) (2) For å vise (2) ntr vi t Π er en prtisjon v [, ]. Me nre or, {, } Π [, ], og Π er enelig. Vi setter inn et nytt elepunkt, om nøvenig, og ener opp me prtisjoner Π 1 = ( Π [, ] ) { } og Π2 = ( Π [, ] ) { } v henholsvis [, ] og [, ]. For øvresummene får vi Ø(Π) Ø(Π 1 ) + Ø(Π 2 ). (3) Forklring: Dersom Π er ulikheten en likhet, fori hvert elintervll gitt v Π vil være et elintervll gitt v Π 1 eller Π 2, og omvent. Om Π, vil være et inre punkt i et elintervll [ i 1, i ] gitt v Π. Dette elintervllet lir elt i to iter [ i 1, ] og [, i ], og resulttet er t er Ø(Π) inneholer et le M i ( i i 1 ), vil Ø(Π 1 ) + Ø(Π 2 ) innehole summen v to le: M ( i 1 ) + M ( i ). Her er M = sup { f() [ i 1, ] } sup { f() [ i 1, i ] } = M i og tilsvrene M = sup { f() [, i ] } M i, så M i ( i i 1 ) M ( i 1 ) + M ( i ). For øvrig estår e to siene v (3) v e smme termene, så ulikheten er evist. 1 Elementært er ikke et smme som enkelt. Tvert om, t et evis er elementært etyr t et unngår strkte egreper og prisen mn etler for et, er ofte et teknisk vnskeligere og minre gjennomskuelig evis.
Men øvresummene på høyresien v (3) er per efinisjon større eller lik e tilsvrene øvreintegrlene, så vi konkluerer t Ø(Π) f() + f(). Denne ulikheten sier t høyresien er en nere skrnke for lle mulige øvresummer Ø(Π) over [, ], og efinisjonen v øvreintegrlet som største nere skrnke gir erfor (2). For å vise (2) ntr vi t Π 1 og Π 2 er prtisjoner v henholsvis [, ] og [, ]. Vi kn slå isse smmen til en prtisjon Π = Π 1 Π 2 v [, ], og finner rskt t som vi skriver om til Ø(Π 1 ) + Ø(Π 2 ) = Ø(Π) f(), Ø(Π 1 ) f() Ø(Π 2 ). Så høyresien her er en nere skrnke for øvresummer over intervllet [, ], og erfor er Vi skriver ette om til f() f() Ø(Π 2 ). Ø(Π 2 ) f() f(), og enytter smme rgument igjen, me resultt f() f() f(), som er et smme som (2). Derme hr vi vist (2), og me et (1). Ligning (1) vises helt nlogt, eller vi kn nvene (1) på f() i steet for f(), fori ( ) f() = f(). (Å vise ette kn være en pssene øvelse. Hint: Vis en tilsvrene likhet for øvre- og neresummer først.) Setningen vi nettopp hr vist, hr en umielr konsekvens: Korollr 2. Ant < <. En funksjon f [, ] R er integrerr på intervllet [, ] hvis og re hvis en er integrerr på egge elintervllene [, ] og [, ]. I så fll er f() = f() + f(). (4) Bevis. Først, nt t f er integrerr på [, ] og [, ]. Det vil si t f() = f() og f() = f(). Nå erer vi e to ligningene smmen og ruker Setning 1. Det gir f() = f(), (5) 2
så f er integrerr over [, ]. Ant så i steet t f er integrerr på [, ]. Det vil si (5) holer. Igjen nvener vi Setning 1, og får f() + f() = f() + f(). Vi flytter på et pr le, og tilføyer to ulikheter som følger irekte fr egenskpene til øvre- og nereintegrlene: 0 f() f() = f() f() 0. Men må egge iffernsene være lik null, og et etyr t f er integrerr over henholsvis [, ] og [, ]. Ligning (4) følger nå irekte v (1). Setning 3. Enhver kontinuerlig funksjon på et lukket, egrenset intervll er integrerr. I Klkulus vises enne setningen smtiig me integrlregningens funmentlteorem. Beviset i ette nottet ygger i steet på gjenttt oppeling v intervllet i to, og hr mye til felles me eviset for ekstremlverisetningen (5.3.5 i Klkulus se også 5.3.2). Bevis. Vi lr f [, ] R være en egrenset funksjon som ikke er integrerr. Vi skl vise t f ikke er kontinuerlig. For ethvert elintervll [, ] [, ], setter vi η([, ]) = f() f(). Dersom f er integrerr over [, ], er η([, ]) = 0. I motstt fll er η([, ]) > 0, og verien v η([, ]) kn etrktes som et mål på gren v ikke-integrerrhet v f over [, ]. L oss skrive H = η([, ]), og merk t H > 0 sien f ikke er integrerr over [, ]. Nå eler vi intervllet [, ] i to like store eler [, ] og [, ], ltså me = 1 ( + ), og 2 sjekker over hvilket v isse to f er «minst integrerr»: L nemlig { [, ] ersom η([, ]) η([, ]), [ 1, 1 ] = [, ] ellers. Fr Setning 1 følger rskt t η([, ]) = η([, ]) + η([, ]), og erfor η([ 1, 1 ]) 1 2 η([, ]) = 1 2 H. Nå eler vi [ 1, 1 ] på smme måte i to like store eler, og finner et elintervll [ 2, 2 ] [ 1, 1 ] me η([ 2, 2 ]) 1 2 η([ 1, 1 ]) 1 4 H. Slik fortsetter vi i et uenelige, og får en nestigene følge v elintervller [, ] [ 1, 1 ] [ 2, 2 ] [ 3, 3 ] [ 4, 4 ] me n n = 2 n ( ) og η([ n, n ]) 2 n H. (6) Det følger (se eviset for ekstremlverisetningen, 5.3.2 og 5.3.5 i Klkulus) t følgene { n } og { n } er monotone me smme grense, som vi kller : = lim n n = lim n n. 3
Nå skl vi vise t f er iskontinuerlig i. L oss nt et motstte, ltså t f er kontinuerlig i : Velg nå ε slik t 0 < ε < H 2( ) grunnen til ette vlget åpenrer seg i slutten v eviset. D finnes en δ > 0 slik t < δ f() f() < ε. Velg n så stor t n n < δ. Sien [ n, n ], er < δ, og erme f() f() < ε, for lle [ n, n ]. I ette intervllet er f() ε < f() < f() + ε, og ut fr ette er et lett å vise (gjør et!) t η([ n, n ]) 2ε( n n ) = 2 1 n ε( ) < 2 n H, som motsier (6). Denne motsigelsen vslutter eviset. Det vnligste eviset for integrilitet v kontinuerlig funksjoner ygger på egrepet uniform kontinuitet. Iéen er enkel: Gitt ε > 0, ser vi etter en prtisjon er f vrierer minre enn ε i hvert elintervll [ i 1, i ], ltså M i m i < ε for lle i, er M i og m i er slik som gitt i efinisjonen v øvre og nere trppesum. I så fll er jo f() f() Ø(Π) N(Π) = i=1 n ( ) Mi m i (i i 1 ) i=1 n n (M i m i )( i i 1 ) < ε ( i i 1 ) = ε( ), og sien ε kn gjøres så liten vi vil, må venstresien være 0, og erme er f integrerr. Uniform kontinuitet er presis hv vi trenger for å finne en prtisjon me en nevnte egenskpen. Nå som vi vet t kontinuerlige funksjoner er integrerre, kn vi lett vise nlysens funmentlteorem. Men først tr vi for oss en nnet klssisk resultt: Setning 4 (Integrlregningens mielverisetning). Dersom f [, ] R er kontinuerlig, så finnes et tll (, ) slik t f() = f() ( ). i=1 Bevis. Vi setter M = sup { f() [, ] } og m = inf { f() [, ] }. D er m( ) f() M( ), for M( ) og m( ) er henholsvis øvre og nere trppesum tilsvrene prtisjonen {, } (me re ett intervll). I følge ekstremlverisetningen finnes u, v [, ] slik t f(u) = m og f(v) = M. Altså er f(u) 1 f() f(v), og erfor vil mellomverisetningen 2 grntere eksistensen v et tll mellom u og v slik t og me et er eviset ferig. f() = 1 f(), (7) Nvnet «integrlregningens mielverisetning» kommer v t uttrykket på høyresien v (7) kn etrktes som en mielveri v f over intervllet [, ]. I or sier setningen ltså t mielverien v f over intervllet nts som veri for f et ste i intervllet. 2 Mellomverisetningen er en irekte konsekvens v skjæringssetningen, 5.2.1 i Klkulus. Den kn etrktes som et spesiltilfelle v Korollr 5.2.2 er h er en konstnt funksjon. 4
Teorem 5 (Anlysens funmentlteorem; Klkulus 8.3.3). Ant t f [, ] R er kontinuerlig. D er funksjonen F () = f(t) t en ntierivert til f på [, ]. Bevis. Vi viser kontinuiteten først. Dersom 0, [, ] me 0, så følger et fr (4) og integrlregningens mielverisetning t F () F ( 0 ) = 0 f(t) t = f(s) ( 0 ) for en s mellom 0 og. Men fori f er kontinuerlig på [, ], er f egrenset, et vil si f(s) M for en konstnt M. Derme er F () F ( 0 ) M 0, og ut fr et er kontinuiteten svært lett å evise. 3 Deretter viser vi t F er eriverr i (, ), me F () = f(). Ant (, ). Vi finner F () F () f() = 1 f(t) t f() = f(s) f() for en s mellom og. I en siste likheten hr vi enyttet integrlregningens mielverisetning. Nå enytter vi kontinuiteten v f: Ant ε > 0 er gitt, og velg δ > 0 slik t s < δ f(s) f() < ε. Dersom < δ, er også s < δ, og erme følger v regningen over t F () F () f() < ε. Det viser t F er eriverr i, me F () = f(). Korollr 6. Ant t F [, ] R er kontinuerlig på [, ], og t et finnes en kontinuerlig funksjon f [, ] R slik t F () = f() for (, ). D er F () = F () + f(t) t for lle [, ]. Bevis. Definer G [, ] R ve G() = F () + f(t) t. I følge funmentlteoremet er G kontinuerlig på [, ] og eriverr i et inre, me G () = f(). Altså er G () = F (), så G() = F () + C for en konstnt C. Setter vi inn =, får vi umielrt t C = 0, og så er eviset ferig. Formuleringen v korollret kn virke unøig infløkt. Vi ønsker heller å skrive et på en kortere formen F () = F () + F (t) t, er et forutsettes t F eksisterer og er kontinuerlig på [, ]. Dette er helt i oren i et (vnlige) tilfellet er F kn utvies 4 til en eriverr funksjon over et åpent intervll (, ) [, ]. Men selv om u ikke hr en slik utvielse, går et r ersom u tolker F () og F () som ensiige eriverte. Disse er efinert slik: F ( + F () F () ) = lim, F ( F () F () ) = lim. + 3 Gjør et! Betingelsen F () F ( 0 ) M 0 er for øvrig kjent som Lipshitz-kontinuitet. 4 I mnge tilfeller er jo F gitt ve en formel som gir mening også utenfor [, ]. 5
Tillegg: Litt om iskontinuerlige integrner. Det viser seg t vi kn slkke litt på krvene til kontinuitet i Setning 3 og Teorem 5. Her er et enkelt (og gnske nyttig) eksempel på et. Setning 7. Ant t f [, ] R er egrenset i [, ] og kontinuerlig i (, ). D er f integrerr på [, ], og funksjonen F () = f(t) t er en ntierivert til f på [, ]. Når vi gir opp kontinuiteten v f i enepunktene, tvinges vi i steet til å nt egrensethet. Men et er også tilstrekkelig. Bevis. Ant t f() M for lle [, ]. For ethvert elintervll [, ] [, ], kn vi ruke prtisjonen me re ett elintervll til å vise t f() M ( ) og f() M ( ), og erfor f() f() 2M ( ). Nå ntr vi t 0 < ε < 1 ( ), og estimerer enne iffernsen over [, ]: 2 +ε ε f() f() = f() + f() + f() +ε +ε ε +ε ε f() f() f() 2Mε + 0 + 2Mε = 4Mε, er ulikheten kommer ve å etrkte iffernsen mellom termene som står rett over hvernre i e to første linjene. Nullen i miten kommer v t f er kontinuerlig på [ + ε, ε], og erfor integrerr over et intervllet. Sien ε kn gjøres så liten vi ønsker, må erfor f() f() = 0 (iffernsen kn jo ikke være negtiv), så f er integrerr over [, ]. Formelen for en eriverte v integrlet vises på nøyktig smme vis som Teorem 5. ε Korollr 8. Dersom f [, ] R er egrenset, og kontinuerlig for lle [, ] me unntk v et enelig ntll punkter, så er f integrerr på [, ] Viere er funksjonen F () = f(t) t kontinuerlig på [, ], og F () = f() i lle punkter (, ) er f er kontinuerlig. Bevis. Kominer Setning 7 og Korollr 2. En funksjon som er kontinuerlig overlt unnttt i et enelig ntll punkter klles stykkevis kontinuerlig ersom en hr ensiige grenser i hvert iskontinuitetspunkt. Slike punkt klles sprngiskontinuiteter. Det er formoentlig klrt t en stykkevis kontinuerlig funksjon efinert på [, ] er egrenset, så Korollr 8 kn nvenes på slike funksjoner. Generelt kn mn vise t en egrenset funksjon er integrerr hvis og re hvis mengen v iskontinuitetspunkter hr mål null. Det vil føre for lngt å gå inn på hv et etyr her. 6