TMA4100 Matematikk 1 Høst 2014

Transkript

1 Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 Høst 014 Løsningsforslag Øving Økningen i uksen, F, kan approksimeres som se sie 131 i boka F F = F r r = 4kr3 r. Relativ økning i F kan viere approksimeres me F F 4kr3 r kr 4 = 4 r r. Vi er ute etter relativ økning i raius, r, et vil si r r r r 1 F 4 F. Relativ økning i rate skal være 10%, altså F F r r 1 0,10 = 0,05. 4 = 0,10. Dette gir Altså må raius øke me omlag,5% for at raten skal øke me 10%. La oss avslutte me et talleksempel. La k = 1 og r 1 = 1. Da er F 1 = kr1 4 = 1. Vi øker r me,5% til r = 1,05. Da er F = kr 4 = 1,1038, altså en økning på 10,38%. Vår approksimasjon er altså ganske go..8.8 Fra Teorem 1, sie 140 i boka, vet vi at fx er stigene i intervaller er f x > 0 og synkene i intervaller er f x < 0. Ulikheten f x > 0 gir f x = 3x 1. 3x 1 > 0 3x > 1 x > 4. Vi har at x > 4 når x < og x >. Alternativt kan vi skrive x >. Viere er f x < 0 når x <, et vil si når < x <. Konklusjon: fx er stigene på intervallene, og,.. september 014 Sie 1 av 6

2 fx er synkene på intervallet,..8. Funksjonene f og g er i følge antakelsene i en generaliserte mielverisetningen The Generalize Mean-Value Theorem båe kontinuerlige på [a, b] og eriverbare på a, b. De oppfyller erfor antakelsene i mielverisetningen Mean-Value theorem. Derfor er et riktig å si at for en c mellom a og b. Tilsvarene kan man si at fb fa = b af c gb ga = b ag c for en c mellom a og b. Men: Vi må anta forskjellig punkt c i e to tilfellene. Derfor har vi her brukt c når vi anvener mielverisetningen på g. Det er her beviset i oppgaven feiler, fori man er antar c = c. Dersom vi skulle følge fremgangsmåten presentert i oppgaven vil vi ene opp me følgene resultat. Det nnes punkter c og c, begge mellom a og b, slik at fb fa gb ga = f c g c..9.8 Dette uttrykket lar seg ikke skrive på eksplisitt form y = yx. Derfor eriverer vi implisitt. Vi bruker også proukt- og kjerneregelen for erivasjon. Vi starter me venstre sie, Så tar vi høyre sie, x x + y = x x + y + x = 1 x 1 + y + x = x + y + 8 xy = 8 xy = 0 x + y x x + y x + y 1 + x + y. xy + x y = y x. Deretter setter vi venstresien lik høyresien og ganger me x + y for å forenkle uttrykket, x x + y = y x x + y x + y + x + x = y x + y x x + y.. september 014 Sie av 6

3 Til slutt løser vi for, x + x x + y = y x + y x x y 1 x + x + y = y x + y x x 1 + x + y = y x + y + 1 3x = y x + y x x 1 +. x + y.9.1 Ligningen for tangentlinjen til en kurve i et gitt punkt x 0, y 0, er gitt som y = mx x 0 + y 0. Stigningstallet, m, er gitt som en eriverte av y me hensyn på x i punktet x 0, y 0. Dette kan skrives som m = x,y=x0,y 0. Den oppgitte kurven lar seg ikke skrive på eksplisitt form. Derfor eriverer vi implisitt. y x + y + 1 = x 1 x + y + 1 = y x 1 y x 1 x = y yx 1 y 1 0 x y x 1 y = x 1. Vær spesielt oppmerksom på erivasjonen av y. Her må vi behanle y som en kjerne sien vi eriverer me hensyn på x, slik at vi får y = y og ikke bare y. Dersom vi hae ønsket å nne uttrykt ve x og y, måtte vi nå ha løst ette uttrykket for. Deretter kunne vi ha funnet m ve å sette inn for x, y =, 1. i ette punktet, kan vi sette inn for x og y før vi Men sien vi kun er interessert i løser for. Dette gir = = 1 4 = = 1.. september 014 Sie 3 av 6

4 Dette er nå en eriverte i punktet, 1, så for å være helt nøyaktige bør vi skrive m = = 1 x,y=x0,y 0. Vi er nå klare til å sette opp ligningen for tangentlinjen til kurven i punktet, 1, y = 1 x 1 = 1 x..9.8 Vi starter me å nne skjæringspunktene mellom ellipsen og hyperbelen. Hvis vi løser ligningen for ellipsen me hensyn på y får vi y = b 1 x a. Vi setter ette inn i ligningen for hyperbelen og løser me hensyn på x, x 1 A b B x a = 1 x 1 A + b a B = 1 + b B x a B + b A = A a B + b A a x = A a B + b A a a B + b A = A a B + b a B + b A. Observer nå at x 0 for alle a, b, A og B. Det må vi også kreve for at ligningen skal ha en løsning vi kan ikke ta kvaratroten av noe negativt. Vi setter så inn uttrykket for x inn i uttrykket for y og får at y = b 1 A B + b a a B + b A = b B + b A A B A b a B + b A = b B a A a B + b A. Tilsvarene som i ste, må vi kreve at y 0 for at vi skal ha en løsning. Vi ser at nevneren er positiv for alle a, b, A og B, mens vi må kreve at a A for at telleren skal være positiv. Antakelsen fra oppgaven om at a A er altså nøvenig for å sikre oss at vi faktisk har løsninger, et vil si at kurvene skjærer hveranre. Det neste steget er å nne uttrykk for stigningstallet til tangentlinjene til e to kurvene. Stigningstallet er som vi husker lik. Ingen av kurvene er gitt på eksplisitt form, så vi eriverer implisitt. Vi starter me ellipsen, x a + y b = 1 x y + a b = 0 b a x + y = 0 = b a x y.. september 014 Sie 4 av 6

5 For hyperbelen får vi x A y B = 1 x y A B = 0 B A x y = 0 = B x A y. La m e = b y være stigningstallet til tangentlinjen til ellipsen, og m h = B y være stigningstallet til tangentlinjen til hyperbelen. For at e to tangentlinjene skal stå normalt på hveranre må vi ha at se sie 99 i boka a x Satt inn for m e og m h får vi m e = 1 m h. b x a y = A y B x b a x = A B y. Vi setter nå inn uttrykkene for x og y som beskriver skjæringspunktene, for å sjekke om ligningen ovenfor er tilfrestillt i isse punktene. b A a B + b a a B + b A = A b B a A B a B + b A. Vi stryker alle like faktorer og står igjen me eller B + b = a A a b = A + B. Dette er lik en anre antakelsen i oppgaven, og vi har vist at tangentlinjene til kurvene i skjæringspunktene står normalt på hveranre. A x.10.8 Vi starter me å ele opp integralet i to le, 1 + cos 3 x cos x = 1 cos x + cos x. Vi vet at se sie 115 i boka sin x = cos x, og tan x = 1 cos x.. september 014 Sie 5 av 6

6 1 Altså er sin x en antieriverte til cos x, og tan x en antieriverte til cos x. Derme har vi at 1 + cos 3 x cos x = 1 cos x + cos x = tan x + sin x + C. Vi må huske å legge til integrasjonskonstanten, C, fori vi har å gjøre me et ubestemt integral Vi følger samme fremgangsmåte som i forrige oppgave, og starter me å ele opp integralet i to le, 6x 1 6x Vi vet at = 3 x 3 3x = 3 = 6 3 x 1 3 = x 1 3, og = x x 4 3 = x 4 3. x 4 3. Altså er 3 x 3 en antieriverte til x 1 3, og 3x 1 3 en antieriverte til x 4 3. Derme har vi at 6x 1 = 6 x x 4 3 = 6 3 x 3 6 3x C = 9x x 1 9x x C = + C = + C. x 1 3 x 1 3. september 014 Sie 6 av 6