TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

Transkript

1 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 8 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8

2 Derivasjon I agens forelesning skal vi se på følgene: 1 Kjerneregelen 2 Deriverte til trigonometriske funksjoner. 3 Deriverte av høyere oren. TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 2

3 Sammensatte funksjoner Hvis f og g er funksjoner efinere vi en sammensatte funksjonen g f ve (g f )(x) = g(f (x)) (forutsatt at f er efinert i punktet x og at g er efinert i punktet f (x)). Eksempel: Hvis f (x) = x 2 1 og g(x) = x 2 så er (g f )(x) = (x 2 1) 2 = x 2 3 efinert for x 3 og x 3. TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 3

4 Kjerneregelen Teorem 6: Kjerneregelen Anta at g er eriverbar i x og at f er eriverbar i g(x). Da er en sammensatte funksjonen f g eriverbar i x og (f g) (x) = f (g(x))g (x). Hvis vi lar u = g(x) og y = f (u), så er y = (f g)(x) og y x = (f g) (x) = f (g(x))g (x) = y u u x. TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 4

5 Bevis for Teorem 6 La u = g(x) og la E(k) = { 0 hvis k = 0, f (u+k) f (u) k f (u) hvis k 0. Da er lim k 0 E(k) = f (u) f (u) = 0, så E er kontinuerlig i 0. For alle k er f (u + k) f (u) = (f (u) + E(k))k. La k = g(x + h) g(x). Da er u + k = g(x) + g(x + h) g(x) = g(x + h), og f (g(x + h)) f (g(x)) = f (u + k) f (u) = (f (u) + E(k))k = (f (g(x)) + E(k))(g(x + h) g(x)). TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 5

6 Bevis for Teorem 6 g(x+h) g(x) Da g er eriverbar i x, er lim h 0 = g (x). Dessuten h er g kontinuerlig i 0, så lim h 0 k = lim h 0 g(x + h) g(x) = 0. Da E er kontinuerlig i 0, er lim h 0 E(k) = lim k 0 E(k) = E(0) = 0. Følgelig er (f g) f (g(x + h)) f (g(x)) (x) = lim h 0 h = lim(f g(x + h) g(x) (g(x)) + E(k)) h 0 h = (f (g(x)) + 0)g (x) = f (g(x))g (x). TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 6

7 Kjerneregelen og e anre erivasjonsregeler Anta at u er eriverbar i x. Da er 1 x ur r 1 u = ru ( ) x, 2 1 = 1 u (forutsatt at u(x) 0), x u u 2 x 1 3 u = x 2 u (forutsatt at u(x) 0), u x 4 x u = u u (forutsatt at u(x) 0). u x TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 7

8 Eksempel 1 x (7x 3)10 = 10(7x 3) 9 (7x 3) x = 10(7x 3) 9 7 = 70(7x 3) 9. TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 8

9 Eksempel 2 ( 3x + x = 1 4 = 1 4 = 1 4 = 3 4 ) 1/4 1 (2x + 1) 3 ( 3x + ( 3x + ( 3x + 1 ) 3/4 1 (2x + 1) 3 x ) 3/4 ( (2x + 1) 3 2x + 1 ( 3x + 1 2x + 1 ) 3/4 ( 3 ) 3/4 ( 1 ( 3x + ) 1 (2x + 1) 3 3 (2x + 1) 4 x ) 6 (2x + 1) 4 ) 2 (2x + 1) 4 ) (2x + 1) TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 9

10 sin x og cos x Vi vil, hvis ikke annet er skrevet, måle vinkler i raianer. La C være enhetssirkelen (sirkelen me raius lik 1 og sentrum i origo) og la A = (1, 0). For x R, la vi P x være punktet på C som har avstan x til A målt langs C i retning mot uret hvis x > 0 og me uret hvis x < 0 (P t = A hvis t = 0). Da er cos x første koorinaten til P x og sin x er annen koorinaten til P x. sin x P x x cos x A TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 10

11 De eriverte til sin x og cos x Teorem 9 sin x = cos x. x Teorem 10 cos x = sin x. x TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 11

12 Bevis for Teorem 9 sin x Det er velkjent at lim = 1 og cos x = 1 2 sin 2 (x/2). x 0 x Det følger at cos x 1 2 sin 2 (x/2) sin y lim = lim = lim sin y = 0. x 0 x x 0 x y 0 y Derfor er sin(x + h) sin x sin x = lim x h 0 h = lim h 0 sin x cos h + cos x sin h sin x h sin x(cos h 1) + cos x sin h = lim h 0 h = lim h 0 sin x (cos h 1) h + cos x sin h h = cos x. TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 12

13 Bevis for Teorem 10 Det er velkjent at sin(π/2 x) = cos x og cos(π/2 x) = sin x. Det følger at x cos x = sin(π/2 x) = cos(π/2 x) = sin x. x TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 13

14 Eksempel 3 ( x 2 sin( x) ) = 2x sin( x) + x 2( cos( x) ) 1 x 2 x = 2x sin( x) x 3/2( cos( x) ). ( ) cos x = x 1 sin x (1 sin x)( sin x) ( cos x) cos x (1 sin x) 2 = sin x + sin2 x + cos 2 x (1 sin x) 2 = sin x + 1 (1 sin x) 2 = 1 1 sin x TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 14

15 De eriverte til tan x og cot x tan x = sin x. Det følger at cos x x tan x = sin x x cos x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x cot x = cos x. Det følger at sin x x cot x = cos x x sin x = sin2 x cos 2 x sin 2 x = cos x cos x sin x( sin x) cos 2 x = 1 cos 2 x = sec2 x. = sin x( sin x) cos x cos x sin 2 x = 1 sin 2 x = csc2 x. TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 15

16 Eksempel 4 x (3x + cot(x/2)) = 3 + ( csc2 (x/2)) 1 2 = csc2 (x/2). TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 16

17 De eriverte til sec x og csc x sec x = 1. Det følger at cos x x sec x = 1 x cos x = sin x 1 cos 2 x = sin x = sec x tan x. cos 2 x csc x = 1. Det følger at sin x x csc x = x 1 sin x = cos x 1 sin 2 x = cos x sin 2 x = csc x cot x. TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 17

18 Eksempel 5 ( ) 3 = (3 csc(2x)) = 6 csc(2x) cot(2x). x sin(2x) x TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 18

19 Eksempel 6 La oss finne tangenten og normalen til kurven y = tan(xπ/4) i punktet (1, 1). Stigningstallet til tangenten til kurven y = tan(xπ/4) i punktet (1, 1) er y x = π x=1 4 sec2 (xπ/4) = π π x=1 4 sec2 (π/4) = 4 cos 2 (π/4) = π 2 så tangenten er linjen y = π 2 (x 1) + 1 = π 2 x + 1 π 2. Stigningstallet til normalen er 1 π = 2, så normalen er linjen π 2 y = 2 2 (x 1) + 1 = x π π π TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 19

20 Deriverte av høyere oren Hvis en eriverte til funksjonen f også er eriverbar, kan man efinere en anreeriverte (eller obbelteriverte) til f som en eriverte til en førsteeriverte. Vi bruker følgene notasjon for en anreeriverte f (x) = x x f (x) = 2 x f (x) = 2 y 2 x = y = Dxf 2 (x) = Dxy. 2 2 Tilsvarene kan man efinere en treje og fjere efinerte, og så viere. Vi bruker følgene notasjon for en n-te eriverte. f (n) (x) = n x n f (x) = n y x n = y (n) = D n x f (x) = D n x y. TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 20

21 Eksempel 7 La f (x) = x = (x 2 + 1) 1/2. Da er f (x) = 2x(1/2)(x 2 + 1) 1/2 = x(x 2 + 1) 1/2. Og Og f (x) = (x 2 + 1) 1/2 + x(2x)( 1/2)(x 2 + 1) 3/2 = (x x 2 )(x 2 + 1) 3/2 = (x 2 + 1) 3/2. f (3) (x) = 2x( 3/2)(x 2 + 1) 5/2 = 3x(x 2 + 1) 5/2. TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 21

22 Eksempel 8 La f (x) = 1 1+x = (1 + x) 1. Da er f (x) = (1 + x) 2, f (x) = 2(1 + x) 3 og f (x) = 6(1 + x) 4. Det synes at f (n) (x) = ( 1) n n!(1 + x) n 1 er n! = n (og 0! = 1). Vi vil vise at et er tilfellet ve å bruke inuksjon: For n = 0 er f n (x) = f (x) = (1 + x) 1 = ( 1) n n!(1 + x) n 1. Anta at f (n) (x) = ( 1) n n!(1 + x) n 1. Da er f (n+1) (x) = ( 1) n n!( n 1)(1 + x) n 2 = ( 1) n+1 (n + 1)!(1 + x) n 2. Det følger a at f (n) (x) = ( 1) n n!(1 + x) n 1 for alle n = 0, 1, 2, TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 8, sie 22