Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel
Innhold 1 Om Excel 4 1.1 Utvide området kopiere celler....................... 4 1.2 Vise formler i regnearket........................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning................................... 5 2.2 Regnerekkefølge................................ 5 2.3 Tallet π..................................... 5 2.4 Minne og variabler.............................. 5 2.5 Kvadratrot.................................... 6 2.6 Parenteser.................................... 6 2.7 Brøk....................................... 6 2.8 Store og små tall................................ 7 2.9 n-terøtter.................................... 7 2.10 Potenser..................................... 7 3 Funksjoner 7 4 Lineær regresjon 7 5 Sannsynlighetsregning 9 5.1 Simulering................................... 9 6 Økonomi 10 6.1 Budsjett..................................... 10 6.2 Regnskap.................................... 13 6.3 Lån........................................ 17 6.3.1 Serielån................................. 17 6.3.2 Annuitetslån med et fast årlig beløp................ 20 6.3.3 Annuitetslån over et visst antall år................. 22 2
Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet Microsoft Excel som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg1P», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk 1P, 3. utgave, Gyldendal Undervisning, 2013. I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 12 Tallregning og regnerekkefølge 2.1 23 Kvadratrøtter 2.5 24 Store og små tall 2.8 70 Tegne rett linje 3 70 Skjæring av grafer 3 76 Lage verditabell 3 78 Tegne graf 3 80 Toppunkt 3 84 Lineær regresjon 4 85 Lineær regresjon 4 178 Budsjett 6.1 180 Regnskap 6.2 191 Serielån 6.3.1 192 Annuitetslån (beløp) 6.3.2 195 Annuitetslån (år) 6.3.3 3
1 Om Excel Dette heftet omtaler dataprogrammet Microsoft Excel. Versjonen som er brukt er 12.2, men forklaringene her burde passe til de fleste versjoner av Excel. Excel kan klare mange av oppgavene et digitalt verktøy i matematikk i skolen skal kunne, men hovedstyrken ligger for 1Ps del i økonomi. 1.1 Utvide området kopiere celler Den kanskje viktigste egenskapen til et godt regnearkverktøy i 1P er evnen til å utvide informasjonen i noen få celler til å gjelde et større område. Eksempel: Vi skal skrive inn tallene 5-gangen i en tabell. Vi starter med å skrive inn 0 og 5 i hver sin celle slik: Så markerer vi de to cellene. Når vi nå flytter musepekeren til nederste høyre hjørne av det markerte området, endrer den seg til et svart kryss. Vi tar tak i krysset og utvider det markerte området. Regnearkprogrammet kopierer da informasjonen fra de merkede området til å gjelde det nye området slik: En slik utvidelse av området kan gjøres med nesten hva som helst. Du kan skrive «Mandag» i en celle. Utvider du den, fyller programmet ut resten av ukedagene. Tilsvarende kan vi gjøre med månedsnavnene. Når vi opererer med cellereferanser i formler, vil også en slik utvidelse av området være effektivt. Når vi vil kopiere innholdet i en celle til flere uten at programmet skal endre verdien i det utvidede området, hender det at vi først må lage to identiske celler og utvide dem. 1.2 Vise formler i regnearket Til vanlig viser Excel deg verdiene av formlene du har laget, altså vanlige tall. Om du i stedet vil se formlene, trykker du ctrl-j. Når du vil ha visning med verdier igjen, trykker du ctrl-j en gang til. (I OS X må du velge Preferences > View > Show formulas.) 4
2 Regning 2.1 Tallregning For at Excel skal tolke det du skriver som et regnestykke, må du starte med likhetstegn. Så taster du inn regnestykker omtrent som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Svaret får du når du trykker enter (linjeskift). 2.2 Regnerekkefølge Vanlig regnerekkefølge er innebygd i programmet. Så vi kan taste rett inn slik det står. Utregningen 4 + 5 2 3 taster vi inn som det står, men med likhetstegn først, og avslutter med enter. Programmet bruker cirkumflex ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. Legg merke til at Excel tolker 1 2 som ( 1) 2 = 1, mens de fleste vanlige lommeregnere tolker det som (1 2 ) = 1. Vi må derfor passe spesielt godt på fortegn i utregninger og angi ønsket regnerekkefølge med parenteser. I utregningen 7 ( 4 2 5 ( 3)) 2 må vi taste slik: 2.3 Tallet π For å skrive inn π, taster vi «pi()». 2.4 Minne og variabler Det er ikke minne i et regneark som på en lommeregner. Istedet er det i regneark vanlig å la utregningen stå og i stedet referere til tidligere utregninger om man trenger svarene seinere. Eksempel: La oss si at du har regnet ut (4 + 5) 2 3 og fått 72. Om du så vil gange dette med π, går du til en ny celle, skriver likhetstegn, klikker på den cella du hadde utregningen i og taster «pi()». Da har vi fått multiplisert det forrige svaret, 72, med π. 5
2.5 Kvadratrot For å regne ut kvadratroten av et tall, bruker du kommandoen «rot()». Så dersom vi taster inn «=rot(4)» og trykker enter, får vi verdien 2. 2.6 Parenteser Når vi skriver for hånd, skriver vi ofte brøker og kvadratrottegn uten parenteser, da vi er enige om hvordan de skal regnes ut. For eksempel er 5 + 7 2 3 = 12 6 = 2 Slike brøker taster vi inn ved at vi bruker slår parenteser om tellere og nevnere og bruker deletegn. Dersom vi taster (5 + 7)/(2 3), gir programmet oss 2 til svar. 2.7 Brøk Brøker taster du inn med vanlig deletegn i stedet for brøkstrek. Pass på å slå parenteser om telleren og nevneren dersom de består av flere ledd. Skal vi for eksempel regne ut 2 + 3 3 8 7 3 slår vi parenteser om den første telleren og den siste nevneren slik: (2 + 3)/3 8/(7 3). Svaret blir oppgitt kun som desimaltall, altså her 0,333. Ved utregning av brudden brøk er det også nødvendig å bruke parenteser. Skal vi regne ut brøken 1 2 1 3 taster vi det inn med parenteser rundt telleren og nevneren i hovedbrøken slik: (1/2)/(1/3) og får 1,5 til svar. 6
2.8 Store og små tall Når tallene er svært store eller svært små, skriver programmet dem på standardform. Eksempel: Når vi regner ut 24 000 000 5630, får vi: Dette betyr 1,3512 10 11. Du velger selv om du taster inn på standardform eller ikke. Skal du taste inn 24 000 000, kan du velge å taste «2,4 10 7». 2.9 n-terøtter Excel har ikke noen funksjon for nte-røtter. Du må regne med nte-røtter som potenser med brøkeksponenter. 2.10 Potenser Potenser tastes inn med cirkumflex,. Vi regner ut 2 5 ved å taste 2 5. Vi får 32 til svar. 3 Funksjoner Program for regneark er lite egnet til funksjonsanalyse. Vi anbefaler at du i stedet bruker et program som er laget for graftegning og funksjonsanalyse. 4 Lineær regresjon Vi legger inn x-verdiene og y-verdiene i hver sin rad. Så setter vi inn et punktdiagram og velger «Legg til trendlinje». Eksempel: Vi har følgende verditabell, hvor x er antall år etter år 1990 og y er utslipp i millioner tonn. Tabellen ser slik ut i Excel: x 0 5 10 12 13 14 15 16 y 868 735 566 548 512 475 448 421 7
1. Marker verditabellen og velg Sett inn > Diagrammer. Litt avhengig av hvilken versjon av Excel du bruker, får du nå mulighet til å velge hvilken type diagrammer du vil sette inn. Velg Punkt > Punktdiagram (Punktdiagram med bare indikatorer). 2. Da skal du få opp et koordinatsystem med punktene tegnet inn. 3. Høyreklikk på et av punktene i koordinatsystemet ditt og velg «Legg til trendlinje». Da får du opp et vindu hvor du kan gjøre innstillinger for regresjonen. Velg «Lineær». Velg «Vis formel i diagrammet». (Om nødvendig klikker du 8
først på «Type» og velger «Lineær» og så trykker du på «Valg»/«Innstillinger» og velger «Vis formel i diagrammet».) Da skal diagrammet se omtrent slik ut: Altså er regresjonslinja y = 27,9x + 868,3. 5 Sannsynlighetsregning 5.1 Simulering Du kan bruke funksjonene «tilfeldig()» og «tilfeldigmellom()» til å simulere tilfeldige hendelser. Funksjonen «tilfeldig()» gir et tilfeldig tall mellom 0 og 1. Funksjonen «tilfeldigmellom(x; y)» gir deg et tilfeldig heltall som er større eller lik x og mindre enn eller lik y. Det er mulig å bruke dette til å simulere enkle uniforme modeller. Eksempel: Vi skal simulere terningkast. Vi skriver inn «tilfeldigmellom(1; 6)». Da får vi et tilfeldig tall større enn eller lik 1 og mindre enn eller lik 6. Vi markerer cellen og utvider området til andre celler ved å dra i nederste høyre hjørne: Hver gang vi ber Excel om å kalkulere alle verdier på nytt, får vi nå et nytt uttrekk av tilfeldige tall mellom 1 og 6. 9
6 Økonomi 6.1 Budsjett Som eksempel på hvordan vi setter opp et budsjett, skal vi lage et husholdningsbudsjett for Nina og Per som beskrevet på side 178 i læreboka. Først skriver vi opp venstre kolonne, som består av de forskjellige kategoriene/postene i budsjettet. Deretter bygger vi opp kolonnen for januar. Først skriver vi inn lønn for Nina og Per, altså 15 000 og 28 000. Så klikker vi på cellen for «Sum inn», celle B6. Vi trykker på symbolet for autosummering «Σ». Programmet skriver da «=SUMMER(B3:B5)», som betyr at programmet gjetter at du vil summere B3 til B5: Dette er riktig, og vi bekrefter med enter. Dersom programmet foreslår feil området, kan vi angi riktig området ved å markere området med musa. Ofte foreslår programmet riktig område. Slik fortsetter vi: Vi legger inn sum faste utgifter i B9. Deretter legger vi inn utgiftspostene i B10 til B14. Vi klikker på B15 («Sum variable utgifter»), klikker på Σ. Her foreslår programmet å summere B9 til B14. Vi skal imidlertid ikke ha med B9, og markerer B10 B14 selv: 10
Når vi trykker enter, blir B15 summen av de variable utgiftene. Posten «Sum utgifter» skal nå være summen av postene for faste utgifter, celle B9, og variable utgifter, B15. Vi klikker på B16, taster et likhetstegn og skriver inn «B9+B15»: Tilsvarende lar vi posten for resultat være differansen mellom sum inntekter og sum utgifter ved å sette B18 til «=B6-B16». Då får vi dette: Nå skal vi bygge opp budsjettet for resten av perioden. Vi markerer hele januar, altså cellene B2 til B18. Vi tar tak i nederste høyre hjørne av området og utvider 11
seks kolonner mot høyre. Da har vi fått postene for januar kopiert til resten av månedene: Så fortsetter vi med å oppdatere de postene i februar juni som ikke er lik januar. De faste utgiftene er litt forskjellige, i tillegg til strøm og diverse. Dessuten er junilønna større. Da får vi dette budsjettet: Strengt tatt er vi ferdig nå. Dersom du ønsker at tallene dine skal bli mer lesbare, kan du nå markere alle tallene i budsjettet. Høyreklikk på det valgte området og velg «Formater celler». Der trykker du på «Tall», velger «Bruk 1000-skilletegn ()» 12
og velger 0 desimaler. Da ser budsjettet slik ut: 6.2 Regnskap Som et eksempel på hvordan vi kan sette opp et regnskap, skal vi sette opp regnskapet for Nina og Per for januar, som beskrevet i læreboka på side 180. Først taster vi inn første kolonne. Vi legger inn så inn inngående saldo og inntekter, samt faste utgifter fra budsjettet. Da ser regnskapet slik ut: 13
Så skal vi taste inn beløpene fra de forskjellige kvitteringene. Det er mulig å taste summene rett inn i passende celler, slik det er beskrevet i eksempel 9 på side 180 i boka. Når det er mange kvitteringer (bilag), kan det imidlertid være lurt å bruke et ekstra regneark til hjelp. Vi beskriver det her: Vi oppretter et nytt regneark, evt. gjør vi utregningen nedenfor resten av regnskapet på samme ark. Vi lager kolonneoverskrifter som passer til postene i regnskapet: Deretter taster vi inn bilagene og fører beløpene inn i riktig kategori. Til slutt summerer vi hver kolonne for seg. Da ser det slik ut: 14
Så går vi tilbake til det opprinnelige regnskapet. For hver av postene i regnskapet refererer vi nå til regnestykket vi nettopp lagde: Vi klikker på cellen for dagligvarer (celle B11), taster likhetstegn, går til regnearket hvor vi tastet inn bilagene, klikker på summen for dagligvarer og trykker enter. Da kommer vi tilbake til regnskapsoversikten og summen for dagligvarer er på plass. Om vi dobbeltklikker på celle B11 nå, ser vi at den refererer til det andre regnearket. Om det andre regnearket har navnet «bilagsføring», ser det slik ut: Slik fortsetter vi med de andre postene under variable utgifter. For å summere variable utgifter, klikker vi på celle B16 og trykker på AutoSum («Σ»). Vi aksepterer forslaget om å summere B11 B15. Da ser regnskapet vårt slik ut: Nå lar vi B6 (sum inntekter) være summen av B4 og B5, mens B17 (sum utgifter) lar vi være summen av B9 (faste utgifter) og B16 (variable utgifter). Så setter vi resultatet (B20) til å være differansen mellom sum inntekter og sum utgifter, altså «=B6 B17». Til slutt lar vi saldo ut være summen av saldo inn og resultatet, altså «=B19+B20». Da er vi ferdige med regnskapet: 15
Når regnskapet er ført, er det naturlig å utføre en avviksanalyse hvordan avviker regnskapet fra budsjettet? Først fører vi regnskapstallene inn i samme regneark som budsjettet: 16
Så oppretter vi en kolonne for avvik. For inntekter er avviket regnskapstallet minus budsjettallet. For utgifter er det motsatt budsjett minus regnskap. Da får vi dette: Altså tjente Per og Nina 2000 kroner mer enn de hadde budsjettert med. Dessuten brukte de mindre på dagligvarer og klær/sport enn budsjettert. 6.3 Lån Vi viser hvordan vi lager en nedbetalingsplan for serielån og annuitetslån. 6.3.1 Serielån Som eksempel på serielån, lager vi nedbetalingsplan for lånet i eksempel 20 side 190 i læreboka, altså om Fatima som kjøper bolig. Vi starter med å sette opp låneinformasjonen fra oppgaven: 17
Deretter lager vi nedbetalingsplanen. Den består av én linje per termin med opplysninger om saldo i starten av terminen («Lån»), renter, avdrag, totalbeløpet for terminen og saldo i slutten av terminen («Restlån»): I første termin er lånebeløpet det samme som i starten. Vi setter derfor cellen lånebeløpet til «=B2». I de neste terminene er lånebeløpet lik restlånet i forrige termin. Avdraget er lånebeløpet dividert med totalt antall innbetalinger. Antall innbetalinger er produktet av antall terminer per år og nedbetalingstiden. Altså setter vi cellen for avdrag til «=B2/(B3*B4)». Renta regnes av lånebeløpet i starten av terminen og er derfor produktet av B5 og B9, dividert med antall terminer per år, siden den oppgitte renta er årlig rente. Totalbeløpet er summen av avdrag og rente, altså «=C9+D9». Restlånet er lånebeløpet i starten av terminen minus avdraget, altså «=B9 D9». Slik ser nedbetalingsplanen ut når vi har laget første linje: Vi skal nå kopiere informasjonen fra termin nr. 1 til resten av terminene. Da må vi først gjøre noen justeringer i formlene. Dersom vi nå markerer linja og utvider nedover ved å dra i nederste høyre hjørne, vil en rekke av cellereferansene bli feil. Alle referanser til informasjon til celler høyere opp enn nedbetalingsplanen blir feil. De referansene må derfor låses. Det gjøres ved at man skriver inn dollartegn ($) i referansen. Referansen «B2» låses slik: «$B$2». Vi går gjennom alle formlene i første linje av nedbetalingsplanen og låser alle referanser til celler over nedbetalingsplanen. Nå kan vi markere hele første linje og utvide området nedover. Til slutt må vi justere cellen for lånebeløp i starten av terminen. I alle linjer unntatt første linje, settes formelen til siste celle i forrige linje av nedbetalingsplanen. Gangen i dette blir denne. 1. Bygg opp første linje i nedbetalingsplanen. 2. Lås alle referanser til celler ovenfor nedbetalingsplanen med dollartegn. 3. Marker første linje og utvid den én linje nedover ved å dra i det nederste høyre hjørnet av området. 18
4. Endre lånebeløpet, altså cellen i kolonne B, i andre linje i nedbetalingsplanen til å referere til restlånet i første linje. 5. Marker andre linje i nedbetalingsplanen og utvid området nedover til du har fått like mange linjer som antall terminer lånet skal betales ned. Restlån i nederste linje skal da være 0. Om en følger denne framgangsmåten, vil nedbetalingsplanen med formler se slik ut: Med tall blir nedbetalingsplanen slik: 19
6.3.2 Annuitetslån med et fast årlig beløp En nedbetalingsplan for annuitetslån lages på omtrent samme måte som en for serielån, jfr. avsitt 6.3.1 over. Som eksempel, bruker vi eksempel 21 side 192 i læreboka. Først legger vi inn låneinformasjonen fra oppgaven. Deretter bygger vi opp nedbetalingsplanen omtrent som for serielån. Forskjellen ligger i at terminbeløpet er oppgitt, mens avdraget derfor blir differansen mellom terminbeløp og rente. 1. Lag første linje i nedbetalingsplanen slik: 20
(a) «Lån» er lånebeløpet i starten («=B2»). (b) Rentene er produktet av rentefoten og lånebeløpet i denne terminen, dividert med antall terminer per år («=(B9*B5)/B4»). (c) Terminbeløpet er oppgitt («=B6»). (d) Avdraget er terminbeløpet minus rentene («=E9 C9»). (e) Restlånet er lånebeløpet minus avdrag («B9 D9»). 2. Lås alle referanser til celler høyere opp enn nedbetalingsplanen. 3. Marker første linje og utvid den én linje nedover ved å dra i det nederste høyre hjørnet av området. 4. Endre lånebeløpet i andre linje i nedbetalingsplanen til å referere til restlånet i første linje. 5. Marker andre linje i nedbetalingsplanen og utvid området nedover til restlånet i nederste linje er null eller lavere. I siste linje i nedbetalingsplanen lar du avdraget ha samme størrelse som terminbeløpet. Da bli restlånet i siste linje null. Nedbetalingsplanen med formler blir da slik: Med tall ser nedbetalingsplanen slik ut: 21
6.3.3 Annuitetslån over et visst antall år Nå vi vi kjenner nedbetalingstiden, blir totalbeløpet beregnet slik at det skal passe med antall nedbetalinger. Vi vet derfor hvor mange rader i nedbetalingsplanen vi trenger. Eksempel 22 på side 194 i læreboka lager vi på samme måte som vist ovenfor i avsnitt 6.3.2. Når vi utvider nedbetalingsplanen, vet vi at vi skal ha 20 rader. 22