KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: Mtemtikk EMNENUMMER: REA4 og REA4f EKSAMENSDATO:. ugust 9 KLASSE:. klssene, ingenørutdnning og fleing. TID: kl. 9... FAGANSVARLIG: Hns Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5(innkl. forside og sider formelrk TILLATTE HJELPEMIDLER: John Hugn: Formler og tbeller. INNFØRING MED PENN, evt. trkkblnt som gir gjennomslg. Ved innlevering skilles hvit og gul besvrelse og legges i hvert sitt omslg. Oppgvetekst, kldd og blå kopi beholder kndidten. Husk kndidtnummer på lle rk.
Eksmen i Mtemtikk. ugust 9 Oppgve Regn ut den deriverte f ( når f( =e. Oppgve Regn ut den deriverte g ( når g( = sin( +cos(. Oppgve I figuren under er et utsnitt v grfen til en funksjon f, uten oppgitt funksjonsuttrkk, tegnet øverst i midten. Nedenfor er det smme utsnittet for grfen til 4 ndre funksjoner, g, h, i og j (lle med nullpunkt for =. En v grfene under er grfen til den deriverte v f, f (. Hvilken v funksjonene er dette? En v grfene under er grfen til integrlfunksjonen F ( = f(t dt. Hvilken v funksjonene er dette? Svrene skl begrunnes, det gies ingen poeng for riktig gjetting med gl eller ingen begrunnelse! f( - - - - - g( - h( - - - - - - - - - - - - i( j( - - - - - - - - - - - -
Eksmen i Mtemtikk. ugust 9 Oppgve 4 Regn ut grensene π sin( cos(/ og π sin 4 ( cos 4 (/. Oppgve 5 Bruk substitusjonen u = + cos( til å regne ut det ubestemte integrlet sin( +cos( d Oppgve 6 L F være det fltestkket i plnet vgrenset v ksen og grfen til funksjonen f gitt ved f( =. Regn ut volumet v det legemet som frmkommer når F roteres om ksen. Oppgve 7 En kontinuerlig funksjon definert for > oppfller følgende differensillikning med tilleggsbetingelse: Regn ut et funksjonsuttrkk for. Oppgve 8 Regn ut det bestemte integrlet + =, ( =. rctn( d. Utregningen skl vises, blnt nnet er et skritt på vegen å skrive integrnden som produktet rctn(. Oppgve 9 L n være et positvit heltll og definer R n = n i= n ( + i n Finn ekskt verdi v n R n. Hint: Forsøk åsepå summen som en Riemnnsum for en funksjon på intervllet. Lkke til.
Eksmen i Mtemtikk. ugust 9 Formelrk. Derivsjon og integrsjon (to sider. Derivsjonsregler f, g, u og v er deriverbre funksjoner., b og r er konstnter. Generelle derivsjonsregler f f f + bg f + bg Lineritet u v u v + u v Produktregelen u v u v u v v Kvotienttregelen 4 f(u( f (u u ( Kjerneregelen Den deriverte v spesielle funksjoner f( f ( 5 + b Spesielt f( = + b: b = 6 r r r Også omr er negtiv eller en brøk 7 sin( cos( 8 cos( sin( 9 tn( +tn ( Alterntiv: tn( =/ cos ( e e ln( rcsin( Mer generelt: ln( =/ rctn( +
Eksmen i Mtemtikk. ugust 9 4 Integrsjonsregler Generelle integrsjonsregler 4 f + bg d = u v d = uv f(u( u ( d = fd+ b u vd f(u du gd Lineritet Delvis integrsjon Substitusjon Integrlet v spesielle funksjoner 5 6 7 8 d = + C Integrsjon v konstnt r d = r+ r+ + C r (Se for r = cos( d = sin( +C sin( d = cos( +C e d = e + C d = ln( +C d = rcsin(+c d = rctn(+c + Bestemte integrler 4 Hvis f( er kontinuerlig og F ( =f( er b f( d =[F (] b = F (b F (. 5 Integrsjon over smmenstt område, A er disjunkt union v intervllene [, c] og[d, b]: c b b c b f( d = f( d + f( d. Spesielt f( d = f( d + f( d. A 6 Ombtting v grenser: 7 Substitusjon: b d b f( d = f(u(u ( d = b f( d. u(b u( f(u du. c Helt slutt!
Løsning, eksmen i Mtemtikk. ugust 9 Oppgve Produktregelen (fg = f g + fg med kjerneregelen med kjerne u = på ndre fktor: Oppgve f ( = e + e u ( =e e =( e Kjerneregelen med kjerne u = og kvotientregelen: Oppgve g ( = d sin(u du +cos(u du cos(u( + cos(u sin(u( sin(u = d ( + cos(u = cos(u+cos (u+sin (u ( + cos(u = cos(u+ ( + cos(u = +cos(u = +cos( Den deriverte er positiv der f( ervoksende,detvilsitilvenstrepåfiguren og til høre for. Den deriverte er negtiv i området i midten der f er vtgende. Bre j( hr dette fortegnsmønsteret. Siden F ( =f( ogf( påhele utsnittet er F ( voksende (ikke vtgende på hele utsnittet. Bre g( er voksende over lt. Oppgve 4 Siden sin(π =ogcos(π/ = er dette et ( uttrkk og L hopitls regel kn brukes. I nevneren brukes kjerneregelen med kjerne u = / ogu =/: π sin( cos(/ = ( L Hopitl = π cos( sin(/ = cos(π sin(π/ = / = sin 4 ( ( sin( 4 Merk t cos 4 (/ = = u 4 med u =sin(/ cos(/. cos(/ Siden funksjonen gitt ved f(u =u 4 er kontinuerlig (et polnom går grensen inn i f : Oppgve 5 π ( sin( 4 ( = cos(/ π sin( 4 = 4 =6. cos(/ Med u =+cos( er (husk kjerneregelen!: du/d = sin( du =sin( d. Høresiden v dette finnes i integrnden (tellerne multiplisert med d og ersttte med venstresiden, mens nevneren erstttes med u: sin( +cos( d = u du = ln u + C = ln( + cos( + C
Løsning, eksmen i Mtemtikk. ugust 9 Oppgve 6 Du kn direkte bruke volumformelen V = π b d som står i formelsmling, eller eventuelt begrunne/vise denne ved skivemetoden. Horisontl vgrensning v F er integrsjonsgrensene og b, og de er der kurven skjærer ksen: V = π Oppgve 7 = ( = L = {, }. [ ( d = π + 4 d = π 4 + 5 5 π (( + 5 == π 5 + 6 = π Denne difflikningen er lineær (på formen + P ( = Q(, og kn løses ved å multiplisere med den integrenede fktoren ρ( =e P ( d : P ( d = d =ln( Vi bruker ikke integrsjonskonstnten C her, og behøver ikke bsoluttverditegn d > i følge oppgveteksten. Dermed er den integrerende fktoren ρ( =e ln( =, som multipliseres inn i hvert ledd: + = ( = = d = + C = + C = + C. Setter så inn =og = i den llmenne løsningen for å bestemme C: ] = = + C C =. Det vil si t den prtikulære løsningen er = + Oppgve 8 Her må det selvsgt substitueres med u =, som gir du = d Øvre grense er d u = = ognedregrenseu = =. du = d. rctn( d = rctn(u du = rctn(u du Dette integrlet er delvis integrsjon, fg du = fg f gdu.velgf =rctn(u så f (u = /( + u. D må duvelgeg (u =så g(u =u: = ([u rctn(u] u +u du
Løsning, eksmen i Mtemtikk. ugust 9 Det siste integrlet løses med en n substitusjon, z =+u med dz/du =u dz = udu. Øvre grense er d z =+ ( = 4 og nedre grense z =+ =: = ([u rctn(u] 4 = ( rctn( z dz = (( rctn( rctn( [ln z ]4 (ln(4 ln( =rctn( ( (ln 4 / ln ( / Siden tn(π/ = (6 9 treknt, er rctn( = π/. Dessuten er ln( = og 4 / = 4=,så...= π ln ( = π ln( Oppgve 9 Jfr. hintet: Hvis vi deler inn ksen mellom og i n like deler blir bredden på disse Δ = n. Midtpunktene i disse Δ bitene blir d + n, + n,...,+i n,...,,+n = n n, ltså verdiene i prentesen i nevneren. Vi kn d sette i = i n, og kn d skrive summen som R n = n i= ( i n = n i= ( n i n = i= Δ. ( i Nå er denne på riktig form for en Riemnnsum som konvergerer mot integrlet Regner så ut dette integrlet: n R n = d = R n = n [ ] = 4 d [ ] = ( 4 + = 9