Lineær optimering med GeoGebra av Sigbjørn Hals Eksempler fra læreboka Sinus S1 Cappelen, 2007 1
Før vi viser fremgangsmåten for lineær optimering, vil vi vise noen nyttige kommandoer og menyvalg i GeoGebra, brukt på noen andre eksempler i Sinus S1. Eksempel side 67 69 i Sinus S1 Vi har gitt tre linjer med likningene l 1 : 4x + 2y = 10 l 2 : 2x + 4y = 8 l 3 : 3x = 3 a) Tegn linjene i et koordinatsystem. b) Finn skjæringspunktene mellom linjene ved regning. Her vil vi ikke bruke regning for å finne skjæringspunktrene. Det er godt forklart i eksempelet i læreboka. Vi skal derimot tegne linjene og finne skjæringspunktene ved hjelp av GeoGebra. Åpne GeoGebra og skriv 4x + 2y = 10 i inntastingsfeltet. Trykk Enter. Gjenta dette for de to andre linjene. GeoGebra kaller linjene for a, b og c. Vi kan omdøpe linjene til l 1, l 2 og l 3 Høyreklikk på a, velg Gi nytt navn og skriv inn l_1. Gjenta dette på tilsvarende måte for de andre to linjene. Bruk musehjulet til å zoome inn og forstørre figuren. (Dersom du ikke har musehjul, kan du klikke på Hjelp og på Hjelp igjen, for å kunne finne forklaring på norsk om hvilke alternative måter vi kan bruke for å zoome inn og ut.) 2
Klikk på trekanten nede i høyre hjørne på ikonet for punkt på verktøylinja. Velg Skjæring mellom to objekt. Klikk på to av linjene. Gjenta til du har funnet alle skjæringspunktene. 3
Eksempel side 72 73 i Sinus S1 Et område er bestemt av disse fire ulikhetene: x + 2y < 10 2x + y < 11 3x > 3 2y > 4 a) Fargelegg området i koordinatsystemet. b) Finn koordinatene til hjørnene i området. Området er avgrenset av linjene x + 2y = 10 2x + y = 11 3x = 3 x = 1 2y = 4 y = 2 Skriv disse linjene i inntatingsfeltet. Bruk verktøyet Skjæring mellom objekter til å finne hjørnene i firkanten. Bruk verktøyet Mangekant til å fargelegge firkanten. Klikk i A, B, C, D og tilbake igjen i A I algebravinduet kan vi nå lese av koordinatene til hjørnene i firkanten. 4
Eksempel side 79 81 i Sinus S1 Baker Bollerud produserer x kartonger boller og y kartonger lefser. Mel: 3x + 6y 180 Linje: 3x + 6y = 180 Sukker: 1,5x + y 50 Linje: 1,5x + y = 50 Smør: x + y 35 Linje: x + y = 35 Vi må dessuten ha at x og y er positive. Området må ligge i 1. kvadrant. Åpne programmet GeoGebra. Høyreklikk på tegneflaten. Velg Egenskaper La både x-aksen og y-aksen gå fra -10 til 60 Skriv etter tur inn likningene for de tre linjene. Dersom du vil, kan du forandre fargen og tykkelsen på linjene ved å høyreklikke på dem og velge Egenskaper. Vi har valgt å gi linjene nye navn slik at det er lettere å se sammenhengen. Vi gjør dette ved å høyreklikke på likningen for linja i algebravinduet og velge Gi nytt navn. Finn skjæringspunktene mellom linjene slik vi har vist tidligere i dette heftet. Start med origo (skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen.) Tegn en mangekant mellom punktene, slik vi har vist tidligere. 5
Vi kan nå skjule linjene og bare vise selve mangekanten. Det gjør vi ved å høyreklikke på hver av linjene og å ta bort merkingen av Vis objekt. Som vi ser av figuren har vi her kalt hjørnene i mangekanten (det mulige området) med andre bokstaver enn i læreboka. Vi skal nå finne ei nivålinje. Det gjør vi ved å velge en tenkt fortjeneste (på for eksempel 10 000 kroner) og bruke denne til å finne den høyeste nivålinja som er i kontakt med det mulige området. Dersom baker Bollerud tjener 150 kroner per kartong med boller og 210 kroner per kartong med lefser og samlet inntekt er 10 000 kroner, blir likningen for nivålinja 150 x + 210 y = 10 000 Vi vil gjerne kunne variere den samlede inntekten i. Vi starter derfor med å skrive i = 10000 og å trykke Enter. Høyreklikk på uttrykket i = 10 000 i algebravinduet og velg Vis objekt. Vi får da en glider på tegneflaten. Høyreklikk på denne glideren, velg Egenskaper, klikk på Glider og la den gå fra 0 til 10 000 med animasjonstrinn på 50. La bredden være 200. 6
Vi skriver nå i inntastingsfeltet: 150 x+210 y = i og trykker Enter. Flytt på glideren for i. Vi ser da at vi får den største inntekten når nivålinja går gjennom punktet D på figuren. Vi får at den maksimale inntekten er 6750 kroner. Dette oppnår vi når x = 10 og y = 25. Baker Bollerud bør produsere 10 kartonger boller og 25 kartonger lefser. Da er inntekten 6750 kr. 7
Eksempel side 83 87 i Sinus S1. x = areal i m 2 brukt til tomater. y = areal i m 2 brukt til agurker. Maks areal er 400 m 2 Gartneren investerer 50 kr per m 2 med tomater. Gartneren investerer 100 kr per m 2 med agurker. Maks investering er 35000 kr. Gartneren må bruke 1 time per m 2 på arbeidet med tomatene. Gartneren må bruke 0,5 time per m 2 på arbeidet med agurkene. Maks tid til arbeid er 330 timer. Arealbegrensning: x + y 400 Linje: x + y = 400 Kapitalbegrensning: 50 x +100 y 35 000 Linje: 50 x +100 y = 3 5000 Tidsbegrensning x + 0,5 y 330 Linje: x + 0,5 y = 330 Vi må dessuten ha at x og y er positive Området må ligge i 1. kvadrant Åpne programmet GeoGebra. Høyreklikk på tegneflaten. Velg Egenskaper. La både x-aksen og y-aksen gå fra -50 til 450. Skriv inn likningene for de tre linjene. Dersom du vil, kan du forandre fargen og tykkelsen på linjene ved å høyreklikke på dem og velge Egenskaper. 8
Vi har valgt å gi linjene nye navn slik at det er lettere å se sammenhengen. Vi gjør dette ved å høyreklikke på likningen for linja i algebravinduet og velge Gi nytt navn. Finn skjæringspunktene mellom linjene slik vi har vist tidligere i dette heftet. Start med origo (skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen.) Tegn en mangekant med hjørner i punktene slik vi har vist tidligere. Det er lett å regne ut arbeidstimene og arealbruken i hvert av punktene. Inntekten er avhengig av overskuddet per m 2 for tomater og for agurker. Tabellen for arbeidstimer og arealbruk i hvert av punktene er slik: Punkt Arbeidstimer: Arealbruk (m 2 ): A 0 0 B 330 330 C 330 400 D 250 400 E 175 350 Vi kan skrive fast og dynamisk tekst med GeoGebra. Den faste (statiske) teksten får vi fram ved å først klikke på ikonet for tekst. Deretter klikker vi et sted på tegneflaten, skriver inn teksten mellom hermetegn og klikker Bruk. Etterpå kan vi flytte rundt på teksten om vi er i Flytt-modus. OBS: Det går ikke an å klikke inne i en mangekant, men du kan flytte teksten oppå mangekanten etterpå. 9
Vi kan også lage dynamisk tekst, som blir oppdatert automatisk. Start med å skrive Tomatfortjeneste = 200 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv deretter Agurkfortjeneste = 200 og trykk Enter. Høyreklikk på hver av disse fortjenestene i algebravinduet og velg Vis objekt. Vi får da en glider på tegneflaten for hvert objekt. Høyreklikk på gliderne, velg Egenskaper, klikk på Glider og la dem gå fra 0 til 300 med animasjonstrinn på 10. Vi kan nå lage en dynamisk tekst som blir oppdatert etter hvert som vi flytter på gliderne. Klikk tekstikonet og klikk deretter på et sted på tegneflaten. Skriv inn teks og formler slik det blir vist i bildet under. 10
Legg merke til mellomrommene. Disse er nødvendige for å få luft mellom tekst og formler. For å få til formelen for punkt C, skriver du: Inntekt i D = +(Tomatfortjeneste*100+Agurkfortjeneste*300)+ kr. Fullfør dette for alle punktene. 11