Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra
1 Geogebra for Sigma matematikk 2P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet Geogebra som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk Vg2P», studieforbedredende utdanningsprogram. Bruksanvisningen er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i denne bruksanvisningen som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk 2P, 3. utgave, Gyldendal Undervisning, 2013. I den elektroniske utgaven av bruksanvisningen er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne 10 Potensregning 15 Standardform 21 n-terot 23 Verditabell 50 Oppbygning av regneark 77 Median 80 Gjennomsnitt 82 Standardavvik 87 Histogram 116 Tegne graf 117 Skjæring med aksene 119 Finne når grafen antar en bestemt y-verdi 121 Regne ut funksjonsverdier 123 Finne toppunkt og bunnpunkt 129 Tangent 156 Spredningsdiagram 158 Lineær regresjon 160 Eksponentiell regresjon 163 Andregradsregresjon 167 Potensregresjon 2 Om Geogebra Denne bruksanvisningen omtaler dataprogrammet Geogebra. Versjonen som er brukt er 5.0 2
3 Regning 3.1 Tallregning Du taster inn regnestykker i inntastingsfeltet som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Svaret får du når du trykker enter (linjeskift). Resultatet fra utregningen kommer i algebrafeltet. 3.2 Potenser Programmet bruker cirkumflex ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. Eksempel: Vi skriver inn utregningen 4 + 5 2 3 : I algebrafeltet ser vi at svaret blir 44. 3.3 Standardform Geogebra skriver vanligvis tall på vanlig måte uten bruk av eksponenter eller standardform. Dersom tallene er store kan det være hensiktsmessig å sette programmet til å skrive på standardform. Velg for eksempel «Avrunding > 3 gjeldende siffer» fra Instillinger-menyen. Eksempel: Tallet 1,3 10 29 skrives av Geogebra som «1.300E29» når tre gjeldende siffer er valgt. Å taste inn tall på standardform gjøres ved å taste potensen inn på vanlig måte: Tallet 1,3 10 29 tastes inn som «1.3 10 29». Det går også an å bruke «E». Da taster du slik: «1.3E29». 3.4 n-terøtter Geogebra har ikke noen funksjon for n-terøtter. Du må taste dem inn som potenser i stedet. Da bruker vi at n a = a 1 n, altså for eksempel 4 20 = 20 1 4. Dette taster vi inn med «20 (1/4)» og får 2,11. 4 Funksjoner 4.1 Verditabell For å lage verditabell i Geogebra må vi først definere funksjonen i inntastingsfeltet, før vi lager verditabellen i regnearkdelen av programmet. Eksempel: Vi skal lage verditabell for funksjonen f (x) = 36 0.96 x med x fra 5 til 20. I inntastingsfeltet skriver vi da inn «f(x)=36*0.96 x». I algebravinduet står da funksjonsuttrykket vårt: Samtidig er grafen til funksjonen f tegnet i grafikkfeltet. Det er ikke sikkert grafen er synlig, siden 3
vindusutsnittet kanskje ikke er tilpasset funksjonen vår. Velg nå «Regneark» fra Vis-menyen. Da får du fram regnearket. I første kolonne, kolonne A, skriver du nå inn de x-verdiene du vil ha. I vårt eksempel ville vi ha x fra 5 til 20. Vi skriver derfor inn -5, 0, 5, 10, 15 og 20. Da skal det se slik ut: I celle B1 (øverste celle i andre kolonne) skriver du nå inn «f(a1)». Da blir f ( 5) regnet ut. Deretter markerer du celle B1, tar takk i den blå firkanten i nederste høyre hjørne av celle B1 og drar den ned til celle B6 er markert. Da blir innholdet i celle B1 utvidet til også å gjelde cellene B2 til B6. Da har programmet cell satt B2 til f (0), B3 til f (5) og så videre. Verditabellen er ferdig: 4.2 Graf Å tegne grafen til en funksjon er i prinsippet bare å taste inn funksjonsuttrykket og så tilpasse vinduet ved å dra i aksene. Eksempel: Vi vil lage en rask skisse av grafen til f (x) = x 2. Vi taster inn «f(x)=x 2». Med en gang vi har tastet linjeskift, vises grafen: Nå kan vi endre vindusinnstillingene på flere måter: 1. Vi kan holde shift-knappen inne og dra i aksene. 2. Vi kan velge passende zoom-nivå fra menyen vi får opp ved å høyreklikke på grafikkfeltet. 3. Vi kan velge «Forstørr»-verktøyet fra verkøymenyen ytterst til høyre. 4. Vi kan bestemme eksakt hvilke verdier vi vil ha på aksene, se forklaring nedenfor. For å tegne en rask skisse i Geogebra er ofte de første alternativene tilstrekkelige. For å tegne en graf nøyaktig er det imidlertid nødvendig å bestemme eksakt hvilke verdier som skal være på aksene. Eksempel: Vi skal tegne grafen til funksjonen f (x) = 0,0215 x 2 + 0,87x + 2,10 for x mellom 0 4
og 45. Eksempelet er hentet fra side 116 i læreboka. 1. Vi lager en verditabell over funksjonen med x fra 0 til 45, se forklaring ovenfor. 2. Vi leser av hvilke y-verdier som passer. I verditabellen ser vi at y minst må være 3 og aldri er over 11. Vi vil derfor la y være mellom 3 og 11. Vi lar x være mellom -3 og 45. (Strengt tatt er det tilstrekkelig å la x og y gå fra 0, men da vil ikke aksene bli synlige.) 3. Vi velger «Innstillinger», «Avansert» og trykker deretter på «Innstillinger Grafikkfelt». Under fanen «Basis» setter vi «x-min» til 3, «x-maks» til 45, «y-min» til 3 og «y-maks» til 11. Da blir grafen vår slik: 4.3 Utregning på grafen 4.3.1 Finne y når du kjenner x Om vi skal finne funksjonsverdien av en bestemt verdi a av x, taster vi inn f (a). Eksempel: Vi lar f være f (x) = 0,005 x 2 + 0,28x, som i eksempel 2 på side 120 i læreboka. Vi taster inn f (60) i inntastingsfeltet. Algebrafeltet viser oss da at a = 34,8, altså har vi at f (60) = 34,8. 4.3.2 Skjæringspunkt med aksene Skjæringspunktene med y-aksen finner du ved å regne ut f (0), se ovenfor. Skjæringspunktene med x-aksen kalles nullpunkter. Du finner nullpunktene til en graf f ved å skrive «Nullpunkt[f]» i inntastingsfeltet. Eksempel: Vi skal finne nullpunktene til funksjonen f (x) = 0,0215 x 2 + 0,87x + 2,10. Vi skriver inn «Nullpunkt[f]» i inntastingsfeltet. Algebrafeltet ser da slik ut: Dette betyr at nullpunktene har koordinatene A( 2,28, 0) og B(42,75, 0). Dersom en funksjon ikke har noe nullpunkt, vil Geogebra skrive «udefinert». Eksempel: La f (x) = x 2 5x 12. Vi skal finne funksjonens nullpunkter. Vi taster inn f (x) og skriver «Nullpunkt[f]». Algebrafeltet ser da slik ut: 5
Dette betyr at f ikke har noen nullpunkter. Noen funksjonstyper trenger et forslag fra deg hvor programmet skal lete etter nullpunkt. Eksempel: La f være funksjonen f (x) = 2, 3 x 6. Vi skal finne eventuelle nullpunkter. Av grafen ser vi at nullpunktet ligger til høyre for x = 1. Vi taster derfor inn «Nullpunkt[f, 1]». Algebrafeltet viser at nullpunktet er A(2,15, 0). 4.3.3 Finne x når du kjenner y Vi skal finne når en funksjon f har oppnådd en bestemt verdi b. Dette kan gjøres på flere måter. Vi velger å gjøre det ved å tegne inn en rett linje y = b og så finne skjæringspunktet mellom denne linja og grafen. Eksempel: Vi skal finne når den rette linja y = 0,32x + 65 får verdien y = 200. Eksempelet er hentet fra side 119 i læreboka. Vi legger først inn funksjonen f (x) = 0,32x + 65. Deretter legger vi inn funksjonen g(x) = 200. Vi tegner grafen til de to funksjopnene, se ovenfor. Til slutt finner skjæringspunktet mellom disse funksjonene ved å skrive «Skjæring[f, g]». Da ser algebrafeltet slik ut: Dette betyr at f (x) = 200 når x = 422. 4.3.4 Finne topp- og bunnpunkter Vi skal finne toppunktet på grafen til f (x) = 0,015 x 3 + 0,29x 2 1,39x + 4, hentet fra eksempel 3 på side 122 i læreboka. Vi legger inn funksjonen og skriver inn «Ekstremalpunkt[f]». Da ser vinduet slik ut: Dette betyr at koordinatene til toppunktet er (9,71, 4,11). Dersom programmet ikke klarer å finne ekstremalkpunktene automatisk, må du angi kommandoen på en litt annen måte. Vi leser av at x-verdien til toppunktet ligger mellom x = 9 og x = 12. Så skriver vi inn «Ekstremalpunkt[f, 9, 12]». 6
4.3.5 Finne likningen for tangent Vi tar utgangspunkt i funksjonen f (x) = 0,0197 x 3 + 2,5x 2 1,3x + 65 fra side 128 i læreboka. Vi skal finne tangenten til grafen til f for x = 15. Vi legger inn funksjonsuttrykket. Så skriver vi inn «Tangent[15, f]»: Så likningen til tangenten blir y = 60,4x 365. 4.3.6 Finne momentan vekst Vi tar utgangspunkt i funksjonen f (x) = 0,0197 x 3 + 2,5x 2 1,3x + 65 fra side 128 i læreboka. Vi skal finne den momentane veksten til f for x = 15, altså f (15). Vi skriver rett og slett inn «f'(15)». I algebrafeltet står det nå at f (15) = 60,4. 5 Arbeid med regneark Geogebra inneholder et forenklet regneark. Du kan få gjort det meste i dette regnearket. Det finnes imidlertid også egne programmer som er laget spesielt for regneark. Dersom du kjenner et slikt fra før, kan det være hensiktsmessig å bruke det i stedet. Et regneark kan i mange situasjoner forenkle arbeidet i matematikken. For det første kan du dele opp inntasting og utregning, slik at det blir enklere å feilsøke enn om du regner med papir eller lommeregner. For det andre finnes det effektive metoder for å bygge opp regneark, slik at du sparer inntasting. Som eksempel på hvordan vi bygger opp et regneark, går vi her gjennom regnearket på side 50 i boka. Vi starter med å taste inn kolonneoverskriftene. Der overskriftene er for lange, viser Geogebra bare starten av teksten. Da ser regnearket vårt slik ut: Vi skal taste inn stigende tall fra 1 til 6. Når det er såpass få tall, er det raskest å taste inn manuelt. Når det er mange, lønner det seg å få progammet til å gjøre det. Vi øver på det siste: Vi taster inn 1 og 2 i cellene A2 og A3. Deretter markerer vi de to cellene. Vi tar tak i nedre høyre hjørne og drar det ned til vi har fylt seks rader. 7
Vi taster inn frekvensene i kolonne B. Under frekvensene vil vi summere. Da skriver vi «=SUM[B2:B7]», og programmet summerer for oss. Legg merke til at vi bruker et likhetstegn i starten av kommandoen slik at programmet skal forstå at vi skriver inn en kommando og ikke vanlig tekst. Nå skal vi lage kolonnen for kumulativ frekvens. Den første verdien er rett og slett første frekvens. Vi setter derfor celle C2 til «=B2». Resten av cellene i kolonne C skal være summen av cellen over og cellen til venstre, altså summen av kumulativ frekvens til nå og frekvensen på denne linja. Da setter vi celle C3 til «=C2+B3». Deretter markerer vi celle C3 og utvider cellen til å gjelde hele kolonnen ved å dra i nedre høyre hjørne. Da ser det slik ut: Neste kolonne er relativ frekvens. Hver celle skal settes til frekvensen, i kolonne B, dividert med summen av frekvensene, celle B8. Hvis vi gjør som ovenfor og setter celle D2 til «=B2/B8», vil ikke de neste cellene få referanse til B8 når vi utvider. De vil referere til B9, B10, B11 og så videre. For å unngå dette, må vi låse referansen til celle B8. Det gjør vi ved å sette tegnet «$» inni referansen, slik «=B2/$B$8». Da kan vi utvide også denne cellen til å gjelde hele kolonnen. Hvis du dobbeltklikker på cellene, vil du kunne se hvilken kommando som står der. Kontroller for eksempel at celle D5 inneholder «B5/$B$8». Tabellen din skal nå se slik ut: Kolonnen for relativ kumulativ frekvens er omtrent lik den for relativ frekvens, men med den forskjellen at det er den relative frekvensen fra kolonne C vi dividerer med B8. Vi setter celle E2 til «=C2/$B$8» og utvider cellen til hele kolonnen. (Vi får samme resultat om vi utvider kolonne D til å omfatte kolonne E.) Da ser det slik ut. 8
Hvis vi ønsker det, kan vi summere kolonne D og kontrollere at summen blir 1, slik vi har gjort ovenfor. 6 Median For å finne medianen, legger vi inn alle dataene våre og bruker kommandoen «=Median[]». Inni parentesene legger vi inn området dataene er lagt inn, for eksempel «=Median[B1:AE1]». Dette gjør du ved å ha markøren mellom parentesene og så klikke og dra over alle cellene med dataene i. 7 Gjennomsnitt 7.1 Gjennomsnitt når alle dataene er oppgitt Gjennomsnittet regner vi ut med kommandoen «=Middelverdi[]». Mellom parentesene skriver vi inn området datene ligger i, for eksempel «=Middelverdi[A1:A6]». Plasser markøren mellom parentesene. Så klikker du og drar over alle cellene du vil ha gjennomsnittet av. 7.2 Gjennomsnitt i frekvenstabell Dersom dataene er oppgitt i en frekvenstabell er det lettest å regne ut gjennomsnittet selv. Vi setter opp dataene i to kolonner. Så lar vi cellene i den tredje kolonnen være produktet av cellene i de to første. Tast inn tabellen. Klikk i første celle til høyre for tabellen (C2). Tast inn «=», klikk på celle A2, tast inn «*», klikk på celle B2, tast linjeskift. Utvid cellen til hele kolonnen (til C7). 9
Til slutt summerer du kolonne B og C. Gjennomsnittet er nå summen av kolonne C dividert med summen av kolonne B, altså «=C9/B9». Da skal tabellen din se ut som figuren nedenfor. 8 Standardavvik 8.1 Standardavvik når alle dataene er oppgitt Vi finner standardavviket med komandoen «=Standardavvik[]». Inni parentesene angir du området for dataene, akkurat som for gjennomsnittet. 8.2 Standardavvik i frekvenstabeller Med en frekvenstabell, er det best å regne ut standardavviket selv. 1. Regn ut gjennomsnittet som beskrevet over. 2. La celle D2 være «=B2*(A2-$B$10) 2». (Pass på at referansen til B10 er låst slik at det blir «$B$10».) 3. Utvid D2 til hele kolonne D, altså til D7. 4. Summer kolonne D (sett D9 til «=SUM[D2:D7]»). 5. Standardavviket er kvadratroten av D9 dividert med B9. Det får du med «=sqrt(d9/b9)». 10
9 Histogram Geogebra lager histogram med kommandoen «Histogram[liste1,liste2]», der «liste1» er en liste av klassegrenser og «liste2» er en liste av histogramhøyder. I Geogebra lager du en liste av tallene 1, 2 og 3 ved å sette krøllparenteser rundt dem og komma mellom slik: {1, 2, 3}. Eksempel: Vi vil lage et histogram for denne frekvenstabellen: [0, 1 2 [1, 2 4 [2, 4 3 Først regner vi ut klassegrenser og histogramhøyder: Klassebredde Histogramhøyde [0, 1 2 1 0 = 1 2/1 = 2 [1, 2 4 2 1 = 1 4/1 = 4 [2, 4 3 4 2 = 2 3/2 = 1,5 Listen over klassegrensene blir {0, 1, 2, 4}. Listen over histogramhøydene blir {2, 4, 1,5}. Legg merke til at listen med klassegrenser alltid har ett element mer enn listen med frekvenser. I Geogebra skriver jeg nå inn «Histogram[{0, 1, 2, 4},{2,4,1.5}]». Da får jeg histogrammet på figuren under. Når det er mange klasser, er det lurt å bruke regneark og lage listene til histogrammet derfra. Eksempel: Vi skal lage histogrammet på side 87 i læreboka. Først legger vi inn klassegrensene og frekvensene fra side 86 i regnearket, jfr. figuren nedenfor. Så lager vi en ny kolonne hvor vi regner ut klassebredden. Vi setter celle D2 til «=B2-A2». Deretter utvider vi D2 til D12. Da skal det se slik ut: 11
Neste trinn er å lage en ny kolonne med histogramhøydene. Vi setter celle E2 til «=C2/D2». Deretter utvider vi E2 til E12. Da skal tabellen se slik ut: Nå kan vi lage listene til histogrammet. Vi markerer alle cellene A2 til A13. Vi høyreklikker og velger «Lag liste». I algebravinduet ser vi at listen er lagd, nemlig L 1 = {0, 6, 16, 20, 25, 30, 50, 60, 67, 70, 80, 100}. Vi gjør det samme med cellene E2:E12, vi markerer dem, høyreklikker på dem og velger «Lag liste». Da gir algebravinduet vårt $L_2=\{58443.33, 60234, 53291.75, 54508.8, 63033, 66052.65, 57302, 36933.14, 32058, 31305.7, 10281.65\}\). Nå kan vi lage histogrammet. Vi skriver inn «Histogram[ L 1, L 2 ]». Vi stiller inn vinduet slik at vi får x fra 0 til 100 og y fra 0 til 70\ 000. Da blir histogrammet som på figuren under. 10 Spredningsdiagram Når vi lager en liste med punkter i Geogebra, blir punktene automatisk representert som et spredningsdiagram i grafikkfeltet. For å lage en liste med punkter legger vi verditabellen inn i regnearket i programmet, markerer verditabellen, høyreklikker på området og velger «Lag liste 12
med punkter». Eksempel: Vi skal lage spredningsdiagrammet fra side 156 i læreboka, altså med utgangspunkt i følgende verditabell: x 1 2 5 7 8 y 2 5 5 4 6 Vi legger verditabellen inn i regnearket i Geogebra, jfr. figuren under. Vi markerer verditabellen og høyreklikker på verditabellen. Der velger vi «Lag liste med punkter». I algebravinduet under «Avhengige objekter» står det nå «liste1 = \{(1, 2), (2, 6), (5, 5), (7, 4), (8, 6)\}». Dessuten er punktene plottet i et spredningsdiagram. Punktene har fått navn P 1, P 2 og så videre, jfr. figuren nedenfor. Det kan være nødvendig å gjøre tilpasninger av vindusutsnittet i grafikkfeltet, se beskrivelsen ovenfor. 11 Regresjon Regresjon i Geogebra gjøres ved at vi legger inn verditabellen i et regneark og kjører en regresjonsanalyse på tabellen. Til slutt velger vi den regresjonstypen som passer til situasjonen. 11.1 Lineær regresjon Eksempel: Vi skal foreta lineær regresjon på verditabellen på side 158 i læreboka, altså tabellen 26 93 32 132 36 156 37 146 38 172 42 179 43 176 44 180 Først legger vi verditabellen inn i regnearket. Deretter markerer vi tabellen og velger «Regresjonsanalyse»-verktøyet. Vi klikker på «Analyser» og får opp et spredningsdiagram: 13
Vi velger nå «Lineær» under «Regresjonsmodell». Da får vi tegnet opp regresjonslinjen og funksjonsuttrykket: Programmet viser at regresjonkurven har funksjonsuttrykk y = 4,8x 24,48. 11.2 Eksponentiell regresjon Eksponentiell regresjon utføres på samme måte som lineær regresjon ovenfor, men med «Eksponenitell» eller «Eksponentiell 2» i stedet for «Lineær». Eksempel: Vi skal utføre regresjonen på side 160 i læreboka. 1. Vi legger inn verditabellen i regnearkvinduet. 2. Vi markerer verditabellen og velger verktøyet «Regresjonsanalyse». Vi klikker på «Analyser». 3. Vi velger regresjonsmodellen «Eksponentiell 2». Nedenfor finner ser du en figur som viser hvordan Geogebra-vinduet ser ut etter denne regresjonen. 14
Som vi kan se fra algebravinduet, blir uttrykket for regresjonskurven f (x) = 40,31 e 0,35x 11.3 Andregradsregresjon Andregradsregresjon utføres på samme måte som lineær regresjon ovenfor, men vi velger «Polynom» i stedet for «Lineær». Vi velger deretter grad «2» i nedtrekksmenyen nedenfor «Polynom» for å få å bruke en andregradsfunksjn, et polynom av andre grad, som modellfunksjon. (Dersom vi bruker «3» i stedet, får vi en tredjegradsfunksjon til svar.) Eksempel: Vi utfører regresjonen på side 162 og 163 i læreboka. 1. Vi legger inn verditabellen i regnearkvinduet. 2. Vi markerer verditabellen og velger verktøyet «Regresjonsanalyse». Vi klikker på «Analyser». 3. Vi velger regresjonsmodellen «Polynom» og velger «2». Nedenfor finner ser du en figur som viser hvordan Geogebra-vinduet ser ut etter denne regresjonen. Som vi kan se, blir uttrykket for regresjonskurven f (x) = 0,01 x 2 + 0,23x + 0,34 11.4 Potensregresjon Potensregresjon utføres på samme måte som lineær regresjon ovenfor, men vi velger «Potens» i stedet for «Lineær». Eksempel: Vi utfører regresjonen på side 167 i læreboka. Vi legger inn verditabellen i 15
regnearkvinduet, markerer tabellen og velger Regresjonsanalyseverktøyet. Vi velger «Potens» og får omtrent følgende bilde: Vi ser at regresjonskurven har funksjonsuttrykket f (x) = 2 x 0,5 16