Mtemtikk for IT Prøve løsigsforslg Torsdg 7 oktober 06 7 oktober 06 Oppgve ) Fi ved hjelp v shetstbeller om de to følgede smmestte utsg er logisk ekvivlete: i) p q ii) q p q) Utsg i): q p q S S F F S F S S F S F F F F S F p p q q Utsg ii): p q p q) q p q) S S F S F F S F S F S S F S F S F F F F S S F F q Vi ser t siste koloe i disse to tbellee er like Følgelig: Uttrkkee er logisk ekvivlete b) Gitt følgede smmestte, logiske utsg: p q p)) Bruk lovee for logisk ekvivles gitt på vedlgte rk) til å forekle uttrkket og fie ut hvilket v følgede utsg det er logisk ekvivlet med: i) p q ii) p iii) p q
p q p)) p q p)) p q p) p q p) Lov om impliksjo ) De Morgs lov ) på de tterste egsjoe Ivolusjoslove 7) De Morgs lov ) p q p) p q p) p p q) p Ivolusjoslove 7) De kommuttive lov ) på uttrkket ie i pretese Absorpsjoslove 6) Oppgve Gitt to komplekse tll z i og w i ) Fi z w z w i i ) ) i) i) i) i) i i i i 5 i 5 i b) Skriv tllet w på ekspoetilform Du k her h tte v e v følgede: cos 6 cos cos Vi vet t for z bi så er r b og cos her må vi i tillegg gjøre e r betrktig v hvilke kvdrt tllet ligger i) Dette gir: r cos eller
Side både reldel og imgiærdel er positive, må tllet ligge i første kvdrt, og vikele er følgelig Altså: w e i Oppgve Bruk iduksjosbevis til å vise t følgede gjelder for lle Z = {,,, }: 8 Bsistri, = : Vestre side: Høre side: Vi ser t vestre side er lik høre side Bsistri er følgelig O Iduksjostri: At t det gjelder for = k, ltså t 8 k k Dette klles iduksjoshpotese Vi skl vise t dersom det gjelder for = k så gjelder det også for = k + Vi udersøker dette ved å sette i = k + i uttrkket vi skl bevise, og deretter bette iduksjoshpotese: 8 k k k De k første leddee på vestre side k vi, bsert på iduksjoshpotese, skrive k, og vi får d: k k k k k k k Her ser vi t slik t vestre side blir k k Videre er k slik t også høre side blir Vi ser ltså t vestre side er lik høre side Følgelig hr vi vist t dersom uttrkket gjelder for = k så gjelder det også for = k + Side vi hr vist t det gjelder for =, hr vi d vist t det gjelder for lle Oppgve Gitt følgede differesligig: 5
) Fi e geerell løsig for de tilhørede homogee differesligige De tilhørede homogee differesligige er: 0 De krkteristiske ligige for dee, er: 0 De krkteristiske røttee løsige v de krkteristiske ligige), er derfor: ) 6 De geerelle løsige, som jo er gitt ved B A, er følgelig h B A B A ) ) ) b) Fi e prtikulær løsig for de ihomogee differesligige gitt i oppgve, og gi også hv de geerelle løsige v de ihomogee ligige blir Vi må forsøke oss med e løsig på smme form som høre side i de ihomogee ligige Vi prøver med: Dette gir og Setter vi så dette i i differesligige, får vi 5 Deler vi å hele ligige på får vi 5 som etter utregig gir 0 dvs 5 0 og ltså
E prtikulær løsig er følgelig p) De geerelle løsige v differesligige er følgelig h) p) A B ) c) Bestem kosttee som igår i de geerelle løsige ved hjelp v strtbetigelsee og, og gi løsige som du d får Strtbetigelse 0 7 0 7 gir: ltså dvs A B ) 0 A B 7 0 A 7 B B 7 Strtbetigelse gir: ltså A B ) A B Setter vi å i t får vi A B som vi ft v de første strtbetigelse, smt t 8, B B 8 som, etter t vi hr ordet de, gir B 8 8 og ltså B 8 Vi fier d A B Løsige v differesligige med de gitte strtbetigelsee blir ltså ) 5
Oppgve 5 At t Z Gitt følgede predikter: P Smbolet ) : betr «deler ikke») Q ) : er et oddetll ) Forklr hvorfor Q) er et predikt og ikke et utsg Et utsg er e setig som er s eller us Et predikt er e setig som ieholder e vribel, og setiges shetsverdi er vhegig v vribeles verdi Her ieholder setige vribele, og setiges shetsverdi er vhegig v verdie til Setige er derfor et predikt Vi hr også to utsg bsert på prediktee ovefor: ) P ) Q )) ) Q ) P )) b) Skriv utsgee og med ord Forklr også hvorfor utsg k bevises ved å bevise utsg ) For lle hele tll er det slik t hvis ikke deler så er et oddetll ) For lle hele tll er det slik t hvis er et prtll så vil dele Utsg ) er det kotrpositive utsget til utsg ) Disse er logisk ekvivlete, og derfor vil det å bevise utsg ) også bevise utsg ) c) Bevis utsg Vi skl ltså bevise t Hvis er et prtll så vil dele At t et prtll Vi k d skrive hvor er et heltll D vil Side Følgelig vil dele ) er et heltll, er også Z) et heltll gger et heltll vil være delelig med 6