Fagdag 2-3mx 24.09.07 Jeg beklager at jeg ikke har fuet oe ye morsomme spill vi ka studere, til gjegjeld skal dere slippe prøve/test dee gage. Istruks: Vi arbeider som valig med 3 persoer på hver gruppe. Det er viktig at oppgavee 6 og 7 blir gjort. Hvis dere ikke rekker alle, så pass på at det ikke er 6 og 7 som utgår! Gruppee leverer referat ie høstferie fra arbeidsoppgaver merket "Referatføres". Pla for dage: Litt teori: Differaser og summer Rekker Et bevis ved hjelp av teorie om differaser og summer Økoomi Bestadproblematikk Eksamesoppgave med variasjoer Rekursjo og datamaskier Geometri - litt repetisjo av gruleggede trigoometri før trigoometri-kapitlet Trekatberegiger Oppgave Litt teori: Differaser og summer Fra aalyse kjeer vi fudametalteoremet: a b f x dx F b F a hvis F x f x Det fies faktisk et helt tilsvarede teorem for summer og differaser av følger: a i A A hvis A i a i Med meer vi differase, altså at a i a i a i og tilsvarede A i A i A i Bevis: A i a i betyr utskrevet at: A i A i a i Da blir summe: a i a a 2 a 3... a A 2 A A 3 A 2 A 4 A 3... A A A A da A 2, A 3,...,A faller bort uderveis! Studer tabelle: av 6 fagdag_2.tex
2 a i a i 2 3 4 5... a i 2 4 7 6 2 2 2 A i 0 3 7 4 25 4... a 3 b 2 c d Vi legger merke til at hvis vi lager differasefølger så miker grade i polyomuttrykk med og hvis vi lager summefølger så øker grade i polyomuttrykk med. Hvis vi ka fie e summefølge A i med feks. regresjo, har vi også fuet summe i A A. Arbeidsoppgaver: a i som Følger Etbevis E geometrisk følge, a a k, er e ekspoetialfuksjo, da vi ka skrive de som a a k k (Form: a b x ) a) Vis at differase av e geometrisk følge, a a a, også er e ekspoetialfuksjo med k som grutall. b) Du ser at vi bare ka multiplisere med et tall år vi fier differase av geometriske følger. Hvis vi går de adre veie, dvs. fier e summefølge A istedefor e differasefølge a, må vi altså dividere med det samme tallet. Bruk dette til å bevise at summe av e geometrisk følge blir 2 Økoomi (Referatføres) a k k. Vi fikk vel ikke behadlet økoomiavedelsee i kapittel godt ok, så her er e økoomisk oppgave: Ole har brukt si digitale kompetase til å spille bort 200000 i pokerspill på Iterett i løpet av e helg. E lokal låehai har låt Ole pegee og gitt Ole valget mellom følgede fire alterativer: ) Betale 300000 om ett år. 2) Betale 30000 i året 0 gager, første beløp skal betales straks. 3) Betale 40000 straks og 40000 om et år. 4) Bli uføretrygdet i løpet av kort tid pga. ødelagte keskåler. Hvilket tilbud bør Ole akseptere hvis ha reger med årlig rete p 4%? 3 Bestadsproblematikk Vi atar at e bestad av e bestemt type hval i starte av år 990 er 2000 dyr, og at bestade øker som e geometrisk følge. Ved e y tellig i starte av år 2000 fier ma ut at bestade er 2438 dyr. Hva har de årlige, prosetvise vekste i bestade vært? 2 av 6 fagdag_2.tex
Hva er det maksimale atall hval vi ka høste i året hvis bestade ikke skal dø ut? Vi atar at vi høster halvparte av det bestade overstiger 2000 dyr hvert år i åree 2000 til 2005 Vis at det rekursive uttrykket for bestade i disse åree da ka skrives b b 0.5 000 Bruk lommeregere (,setipslegered,) til å lage e tabell som viser hvor mye vi høster og størrelse på bestade i åree 2000 til 2005. Hvor mye høstet vi totalt? Bestade vil etter oe år stabilisere seg på et fast atall dyr med dee høstigsstrategie, hva blir dette tallet? Tips: Lommereger og rekursive uttrykk: Sett MODE,Fuc til Seq. Y gir da mulighet til å defiere rekursive uttrykk u og v. Når dette er gjort ka ma rege ut u, u 2 osv. på skjerme. u,0 gir dessute de 0 første leddee i følge. Et viktig trikk dere ka ha mye glede av: Defier v v u og v Mi 0, da vil v være delsummer av u! Med e følge i u får vi altså rekke i v! Det eeste vi må passe på er at v "liggereetter",slikatsummeav0leddiu ligger i v, ikke i v 0! 4 Eksamesoppgave (Privatisteksame våre 2006) (Referatføres) I tabelle edefor har vi skrevet opp de første oddetallee slik at atall oddetall som står i hver rad, stemmer med ummeret på rade. I rad 3 står det altså 3 påfølgede oddettall. Rad Oddetall Summe av oddetallee i rad 3 2 35 8 2 3 3 79 27 3 3 4...... 5 6 a)skrivavogfylluttabelle. Atall oddetall til samme i de første radee kaller vi m. Daerm 2 3.... b) Bruk formele for summe av e aritmetisk rekke, og vis at summe 3 5... 2m av de m første oddetallee er m 2. c) Bruk det du har fuet til å vise: 3 2 3 3 3... 3 2 3... 2 3 av 6 fagdag_2.tex
Eller uttrykt på e ae måte: i i 3 i i 2 2 2 2 2 4 4 4 2 3 4 2 d) Ut fra teorie om at differaser blir e grad lavere og summer e grad høyere, vet vi at summe av kubikktallee er et uttrykk av fjerde grad. (Se siste del av c)!) Bruk regresjo på lommeregere (STAT, CALC, 7:QuartReg) til å fie uttrykket for summe av kubikktallee, og kotroller at du får det samme som i c). Dee oppgave er forøvrig bevist geometrisk i oppgave.259 i oppgavesamlige av arabere al-karaji som levde rudt 000 e.kr. 5 Rekursjo og datamaskier/lommeregere Datamaskier og lommeregere behersker ikke aet e de fire regigsarter, så hvorda i allverde klarer de å rege ut kvadratrøtter, trigoometriske fuksjoer, ekspoetialfuksjoer og logaritmefuksjoer? Svaret er at de bruker tilærmiger basert på kovergete tallfølger hvor ma bare treger de fire regigsartee i utregigee. Prise ma betaler for dette er at ma må rege ut flere ledd i tallfølgee rekursivt, me gjetagelser er oe lommeregere og datamaskier er rimelig flike til. Det å fie gode tilærmigstallfølger er e del av disiplie Numeriske Metoder i matematikke og vi skal ta oe eksempler her. (Vi kommer tilbake til dette stoffet seere i år, er bladt aet evt i slutte av kapittel 4.) a) Heros formel Hero (ca. 00 f.kr.) fat e formel som kue brukes til å fie kvadratrøtter, defiert rekursivt på dee måte: u startverdi u u 2 u N der N er tallet vi skal fie kvadratrote av. Vi prøver med 2 og setter derfor N 2. På lommereger ka vi gjøre slik: 0.4(As 2/As).5 ENTER.46666667 ENTER.4425686 ENTER.4423562 ENTER.4423562 Det kovergerer altså til 0 siffers øyaktighet allerede i 6te ledd! 4 av 6 fagdag_2.tex
Prøv med adre startverdier og se om det gjør oe forskjell. Bruk MODE, Seq og legg i Heros formel i u og bruk lommeregere til å fie e følge som kovergerer mot feks. 7. b) Det gylde sitt og adregradsligiger Det gylde sitt, 5 0.680339887 fremkommer ved å dele et lijestykke i to deler; x 2 og a. Forholdet mellom delee ( a x ) skal være som forholdet mellom e del og hele lijestykket( x a a ): a x a x a x 2 ax a 2 0 med løsigee:- a a2 4a 2 5 a 2 2 Da blir a x 5 5 (Forkaster egativ løsig.) 2 2 Vi omformer forholdet: x a a a x x a x a Ka skrives som adregradsligig, 2 0, me vi velger å gjøre oe mye morsommere, vi lager e såkalt kjedebrøk ved å stadig sette i i uttrykket for seg selv:... Dette tilsvarer de rekursivt defierte tallfølge: a startverdi a a Bruk lommereger til å vise at dee følge kovergerer mot 5 2 0.68033988 (Idirekte har vi her vist at kjedebrøker og rekursive tallfølger også ka brukes til å fie løsiger av adregradsligiger.) Geometri 6 Trekatberegiger (Referatføres) Vi vet at e trekat er fullstedig defiert hvis vi kjeer: 3sider 2 sider og e vikel 2 sider og mellomliggede vikel 2 sider og vikel motståede til e av de oppgitte sidee sideogtovikler To vikler med e felles side To vikler og e side som ikke er felles Diskuter i gruppe hvorda dere ka rege ut alle resterede vikler og sider i trekater som er defiert på hver av måtee i puktee over. Oppsummer dee diskusjoe ved å lage e pe, systematisk og ryddig oversikt over det dere kom frem til. 7 Oppgave (Referatføres) 5 av 6 fagdag_2.tex
Fi alle vikler i firkate i figure uder og fi til slutt arealet av firkate. 6 av 6 fagdag_2.tex