Vekstfaktor Fagstoff Listen [1] Hvis folketallet i en by vokser med 5 % hvert år i perioden 1995 til 2015, så sier vi at folketallet har en eksponentiell vekst i disse årene. Eva setter 10 000 kroner på en konto i banken og lar dem stå der i åtte år. Renta er 6,0 % per år. Vi sier at beløpet i banken vokser eksponentielt disse årene. Generelt: Når en størrelse har samme prosentvise endring over flere perioder av samme lengde, for eksempel over flere år, har vi eksponentiell vekst. Kari kjøper ny bil til kroner 600 000 og verdien av bilen avtar med 15 % per år de første 10 årene. Vi har også nå en prosentvis endring over flere perioder av samme lengde, og altså eksponentiell vekst.dette rimer ikke helt med vår oppfatning av vekst, for her avtar verdien for hvert år.i matematikken løser vi dette ved å si at vi har negativ vekst. Når vi skal løse problemer knyttet til eksponentiell vekst, får vi bruk for å løse eksponentiallikninger. Det er likninger hvor den ukjente opptrer som eksponent i en potens. For å løse eksponentiallikninger uten bruk av digitale hjelpemidler får vi bruk for å løse logaritmelikninger. Vi starter med en kort repetisjon av prosentregning og spesielt hvordan vi regner med vekstfaktor. Vi forutsetter at du fra ungdomsskolen husker at prosent betyr hundredel. Vekstfaktor Eksempel 1 En vare koster 1 500 kr. Så stiger prisen med %. Hva blir ny pris på varen? En måte å regne på er slik: Ny pris = 1500 kr + 1500 kr = 1875 kr Ved å sette 1 500 utenfor en parentes, blir regningen slik: 1500 + 1500 = 1500 1 + Tallet 1 + = 1, kalles vekstfaktoren. = 1500(1 + 0, ) = 1500 1, = 1875 Du Processing finner ny math: pris 55% ved å multiplisere gammel pris med vekstfaktoren.
Eksempel 2 Vi tar igjen for oss en vare som koster 1 500 kr. Hva blir ny pris etter et avslag på %? En måte å regne på er slik: Ny pris = 1500 kr - 1500 kr = 11 kr Ved å sette 1 500 utenfor en parentes, blir regningen slik: 1500-1500 = 1500 1 - = 1500(1-0, ) = 1500 0, 75 = 11 Tallet ( 1 - ) = 0, 75 kalles også i dette tilfelle for vekstfaktoren. Du ser igjen at du finner ny pris ved å multiplisere gammel pris med vekstfaktoren. Når du skal øke en verdi med p %, blir vekstfaktoren 1 +. p Når du skal redusere en verdi med p %, blir vekstfaktoren p 1 -. I begge tilfeller må du multiplisere gammel verdi med vekstfaktoren for å få ny verdi. Ved bruk av vekstfaktor kan du også raskt finne ny pris når det skjer flere prosentvise forandringer etter hverandre.
Eksempel 3 En vare som kostet 500 kr blir først satt opp med 12 %, for så å bli satt ned med 30 %. Hva blir ny pris. Pris etter prisøkning 500 1, 12 = 560 kr Pris etter prisreduksjon (500 kr 1, 12) 0, 70 = 500 1, 12 0, 70 = 392 kr Hva er vekstfaktoren her? Eksempel 4 Eva setter 10 000 kr i banken. Rentefoten er 3 % per år. Hvor mye har beløpet vokst til dersom det står åtte år i banken? Løsning Etter åtte år har beløpet vokst til 10 000 kr 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03 1,03=10 000 kr 1,038=12 668 kr Ved CAS i GeoGebra Eksempel 5 Adam setter 5 000 kr i banken. Rentefoten er 2,0 % per år. Hvor lenge må pengene stå i banken før det står 5 500 kr på kontoen? Løsning Vi kan sette opp følgende likning hvor x er tiden pengene må stå i banken 5 000 1,02x=5500 En slik likning kalles en eksponentiallikning fordi den ukjente opptrer som eksponent i en potens. En slik likning kalles en eksponentiallikning fordi den ukjente opptrer som eksponent i en potens.
Vi kan løse likningen med CAS i GeoGebra Pengene må stå i banken i nesten fem år før det står 5 500 kroner på kontoen. For å løse eksponentiallikninger uten å bruke et digitalt verktøy, trenger vi å lære litt om logaritmer. Eksempel 6 Vi antar at innbyggertallet i Småby vokser med 1,5 % hvert år. Det bor i dag 13 000 personer i Småby. Hvor mange år går det før innbyggertallet er 15 000? Vi finner vekstfaktoren 1+1,5=1,015 Vi kan sette opp og løse følgende eksponentialikning ved CAS i GeoGebra Innbyggertallet vil være 15000 om snaue 10 år. Eksempel 7 Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 % hvert år siden den var ny, og Kari regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene. Vekstfaktoren blir 1-10=0,90 Hvor mange år vil det gå før bilens verdi er halvert? Bilens verdi V(x), x år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved V(x)=200000 0,90x For å finne ut hvor mange år det går før bilens verdi er halvert, kan vi sette opp og løse følgende eksponentiallikning ved CAS i GeoGebra Verdien til bilen er halvert etter 6,6 år. Eksempel 8 Prisen på en vare er satt ned med 15 %. Varen koster nå 1700 kroner. Hva kostet varen før prisen ble satt ned?
Løsning Den nye prisen på kroner 1700 ble regnet ut ved at den opprinnelige prisen ble multiplisert med vekstfaktoren. Vekstfaktoren blir da 1-15=0,85 Vi kaller opprinnelige prisen for x og setter opp en likning x 0,85=1700x 0,850,85=17000,85 x= 17000,85 x=2000 Varen kostet 2000 kroner før prisen ble satt ned. Ved å løse likningen ser du at den opprinnelige prisen er lik den nye prisen dividert med vekstfaktoren. Dette gjelder alltid. Det er altså ikke nødvendig å regne med likning for å finne opprinnelig verdi. Du finner opprinnelig verdi ved å dividere ny pris med vekstfaktoren