HG mars 0 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset. Reglee er stort sett gtt kapttel 5 Løvås, me ltt ufullstedg og usammehegede. Jeg vl derfor dette otatet samle og utfylle de vktgste reglee som må kues, samt g oe eksempler på bruk av dem. Defsjo: V skrver kort X ~ N ( µ, ) for e modell der X er ormalfordelt med forvetg, EX ( ) = µ, og stadardavvk, = var( X) = SD( X). De speselle ormalfordelge N (0, ), kalles stadard ormalfordelg og Løvås bruker symbolkke Gz ( ) = PZ ( z) for de kumulatve fordelgsfuksjoe hvs Z ~ N (0, ). Eksempel: Hvs du for eksempel e oppgave får oppgtt at X ~ N(, ), så følger speselt at EX ( ) = og var( X ) = 4. Regel R (står kke Løvås, me brukes mplstt flere steder): Hvs X ~ N ( µ, ) og Y = a + bx, der a og b er kostater, er også Y ormalfordelt ( ) Y ~ N E( Y ), SD( Y ) = N( a + bµ, b ) (Merk at uttrykkee N tl høyre følger av regler for forvetg og varas kapttel 4.) Eksempler som følger av regel R (sjekk): Hvs X ~ N(, ), er () Y = X ~ N( E( Y ), SD( Y )) = N(, ). X () ~ N, og () 000 3 ~ ( 997, 6) + X N. X µ µ Hvs X ~ N ( µ, ), er Z = ~ N(0, ) (sett a = og R). Av dette får v regel 5.4 Løvås: b =
X µ x µ x µ x µ PX ( x) = P = P Z = G Hvs X ~ N(, ), er, sde PX= ( 0) = 0, 0+ PX ( < 0) = PX ( 0) = G = G = 0,695 Løvås. følge tabell D.3 Regel R. Summer av ormalfordelte varable (regel 5.7 Løvås pressert) La X, X,, X være uavhegge og ormalfordelte varable slk at X ~ N ( µ, ) for =,,,. ( X - ee behøver altså kke å være detsk fordelte). La a, a,, a være vlkårlge kostater. Da er Y= ax + ax + + ax også ormalfordelt: ( ) = ( µ + µ + + ) µ + + + Y~ N EY ( ), var( Y) N a a a, a a a der uttrykkee N tl høyre følger av regler om forvetg og varas kapttel 4. Av regel R følger drekte e vktg regel om gjeomstt av ormalfordelte varable (brukt flere gager kurset, me kke satt opp eksplstt som e regel Løvås). Regel R3. Gjeomsttet av ormalfordelte varable er ormalfordelt. La X, X,, X være uavhegge og detsk ormalfordelte varable slk at X ~ N ( µ, ) for =,,,. Da er Y = X = ( X+ X + + X) også ormalfordelt: ( ) Y~ N EY ( ), var( Y) = N µ, Bevs: R3 følger drekte av R: La R, µ = µ = = µ = µ, = = = = (sde alle fordelgee for X, X,, X er lke, må alle forvetger være lke og alle stadardavvk være lke). La a = a = = a =. Da ser v at Y = X omfattes av regel R, og v ka slutte at Y er ormalfordelt. Parameterverdee de aktuelle ormalfordelge er gtt ved EY ( ) og var( Y ) som er fuet før kapttel 4: EY ( ) = µ og var( Y ) =. Alteratvt, kue ma få fram dsse parameterverdee fra formlee sste uttrykk regel R: aµ + aµ + + aµ = µ + µ + + µ = µ = µ
3 a + a + + a = + + + = = = Bevs slutt. Eksempler på bruk av R-R3: Ata X og Z er uavhegge og ormalfordelte der X ~ N(, ) og Z ~ N (0, ). F PY< ( 0) der Y = X Z. Løsg: I følge regel R er Y ormalfordelt (sett for eksempel X = X, X = Z, a =, a = og = ). Parameterverdee fer v som EY ( ) = 0= og regel 4.7 var( Y) = var( X) + var( Z) = 4 + = 5 Dermed er Y ~ N(, 5), og det adre eksemplet etter regel R gr: PY ( < 0) = PY ( 0) = G = G(0,45...) = 0,6736 (altså ltt 5 mdre e sasylghete fuet ovefor (= 0,695) for at X selv får egatv verd. Mao. å trekke fra (eller legge tl) Z på X-e er som å tlføre støy på X.). Ata X, X,, X er uavhegge og detsk ormalfordelte med X ~ N(, ) for =,,,. For e vlkårlg har v fra R3 at gjeomsttet er ormalfordelt, X ~ N,. Sde spredge dee fordelge avtar med, er det rmelg å forvete at sasylghete for at X skal få egatve verder øker med. Dette bekreftes av tabell uder. Som før bruker v det adre eksemplet etter R og fer: PX ( < 0) = G = G hvorav, følge tabell D.3 Løvås (sjekk tallee!), Tabell Gjelder hvs hver X er N(-, ) fordelt PX< ( 0) 0,50 0,695 5, 0,8686 0,58 0,949 0,4 0,9875 30,74 0,9969 50 3,54 > 0,9990
4 Egeskape tl gjeomsttet som er beskrevet regel R3 bygger på forutsetge at ekeltobservasjoee er ormalfordelte. Dette er tlsyelatede e sterk forutsetg som bare utaksvs er realstsk prakss. Imdlertd, hvs atall observasjoer () kke er for lte (v bør ha 0 som e tommelfgerregel), vl koklusjoe at gjeomsttet er ormalfordelt fortsatt gjelde tlærmet uasett hvlke fordelg ekeltobservasjoee er trukket fra. Dette er det berømte setralgreseteoremet (kjet sde 6-7-hudretallet). Løvås serverer setralgreseteoremet to versjoer, regel 5.8 og 5.9, samlet regel R4 edefor. Dette betyr eksemplet ovefor at, selv om v kke vet oe mer om fordelge tl X utover at EX ( ) = og var( X ) =, så ka v lkevel slutte at X er tlærmet N, PX ( < 0) G = G fordelt år 0, slk at (merk at de første lkhete er erstattet med ) og tabell ka hvert fall delvs fylles ut: Tabell. PX< ( 0) år hver X har e vlkårlg fordelg med forvetg og stadardavvk. PX< ( 0) 0,50 ------- 5, ------- 0,58 ------- 0,4 0,9875 30,74 0,9969 50 3,54 > 0,9990 Merk at v her kke ka ag oe verder for ( 0) PX< tlfellee =, 5 og 0 ute at v vet mer om fordelge tl ekeltobservasjoee. Det er også verdt å merke seg at tlærmelse tl ormalfordelge blr bedre og bedre dess større er.
5 Regel R4 Setralgreseteoremet La X, X,, X være uavhegge varabler fra samme sasylghetsfordelg (kke ødvedgvs ormalfordelg!) med forvetg, EX ( ) = µ, og stadardavvk, var( X ) =. Hvs er stor ( 0 ases valgvs tlstrekkelg), gjelder X ~ N EX ( ), var( X) = N µ, tlærmet (a) (regel 5.8) ( ) tlærmet (b) (regel 5.9) Y= X + + X ~ N( EY ( ), var( Y) ) = N( µ, ) Merk at (b) (regel 5.9) stregt tatt er overflødg år v har tlgag tl (a) og regel R. For, hvs X er tlærmet N µ, fordelt, følger (hvorfor?) av regel R at Y = X også er tlærmet ormalfordelt: tlærmet Y ~ N ( E( X ), var( X ) ) = N ( E( X ), var( X ) ) = N µ, = N ( µ, ). I tllegg tl dsse reglee er regel 5.0 Løvås vktg som vser at ormalfordelge ofte (kke alltd) ka brukes som tlærmg tl bomske, hypergeometrske og posso-fordelger. Jeg skrver kke opp de regele her, me oppfordrer studetee tl å øve seg på å bruke de. Speselt vktg kapttel 6. Forhåpetlgvs vl presserge av reglee ovefor gjøre dette lettere.