Oppgave 6.14 Du arbeider i 7. 8. klasse og du vil bruke oppgave 6.13 til å arbeide med formalisering. Lag en oppgavetekst der du først lar eleven regne ut lønn etterhvert som du varierer antall brosjyrer. Led dem videre til å utvikle/se sammenheng med funksjonsformelen. Vær nøye med å skrive denne oppgaven ut slik du vil legge den fram for elevene. 6. Eksponentiell modell Når vi har arbeidet med den rette linja har vi tenkt additivt, vi har lagt til like stor verdi for like lange tidsintervall (-verdier). I en eksponentiell modell tenker vi multiplikativt, vi multipliserer med like stor verdi for like lange tidsintervall (-verdier). Arbeidsoppgave Oppgaven under kan arbeides med av barn fra. 3. klasse og oppover til studenter. Den er hentet fra materialet: Leik med tall, Caspar forlag. KAPITTEL 6 79
Kan du finne en formel som forteller deg hvor mange mus det er til en hver tid? Fremstill dette grafisk. Sammenlign veksten du ser her med lineær vekst, hvordan vil du beskrive denne veksten? Dette er en modell for hvordan en musefamilie vokser. Har du noen innvendinger mot modellen? Hvilke spørsmål tror du en 4. klassing vil stille til en slik modell? Hvordan kan du med utgangspunkt i denne oppgaven arbeide med matematiske modeller sammen med elever? oooooo I modell B side 68 la vi til grunn en tanke om like stor prosentvis økning hvert år. At noe vokser med en fast prosent er det samme som at noe vokser eksponentielt. Vi finner det neste tallet i tabellen ved å gange med et fast tall. (Her aktualiseres potensreglene, se kapitel 1.6) La oss si at vi tipper at elevtallet har vokst med 10 % årlig i denne perioden. Vi får da følgende tabell (tallene er avrundet til nærmeste hele tall.): År etter 1989 0 1 3 4 5 Antall elever 110 11 133 146 161 År etter 1989 6 7 8 9 10 Antall elever 177 195 14 36 59 Vi ser at dette ikke var så dum gjetting. Tallene i tabellen får vi fram ved prosentregning som under: o.s.v. Etter 1 år : + Etter år: 110 + Etter 3 år: 11+ Etter 10 år: 36 + 10 110 10 11 10 36 10 = 110 = 11 = 133 = 59 80 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE
Vi kan også se dette slik: 110 1 10 1 1 = + = + = 11, 10 11 110 110 1 10 110 1 1 = + = + = 110 11, = ( 11, ) 11, = 11, 10 ( ) = 133 11 11 1 10 11 1 1 = + = + = 11 11, = 11, 10 11, 1,1 o.s.v ( ) = 59 36 36 1 1 = + = 36 1+ = 36 11, = 11, 11, 11, 10 10 3 9 10 Det betyr altså at vi finner elevtallet etter et visst antall år ved å ta startverdien, og gange med 1,1 like mange ganger som vi har år. Elevtallet etter 7 år vil da være: 11 7,. Ser vi på elevtall som en funksjon av tiden får vi følgende funksjonsforskrift: f( ) = 11,, der er antall år etter 1989. Vi tegner funksjonens graf: f() 00 4 6 8 10 Generelt kan alle eksponentialfunksjoner skrives på formen: f( ) = ka KAPITTEL 6 81
Her er k er startverdien, i vårt eksempel elevtallet i 1989, a er konstanten vi ganger med hver gang og er den uavhengige variable, ofte tid. Når noe vokser med en fast prosent, f.eks 6, får vi: a = 1+ 6 eller a = 106, I elevtall-eksempelet kan vi tenke oss at denne utviklingen også hadde pågått før 1989. Vi kan da finne elevtallet i 1988 ved å dele elevtallet i 1989 på 1,1: = 90, 9 91. 11, Vi kan finne elevtallet for 1987 ved å ta tallet i 1988 å dele på 1,1, som altså må bli det samme som tallet i 1989 delt på 11, : Elevtallet i 1987: 91 11, = = = 8, 6 83 11, 11, 11, Dette kan også skrives = 11,, slik ser vi at eksponentialfunksjoner kan ha definisjonsmengde som også omfatter negative 11, tall. Slik vil det altså være mulig å fortsette. (Se kapittel 1.6 for regler for potensregning.) Oppgave 6.15 En harebestand bestod i 1985 av 5000 dyr. Bestanden har økt med 4 % i året fram til i dag. Tegn dette inn i et koordinatsystem. Se på mengden av harer som funksjon av tiden, og finn en formel som beskriver denne utviklingen. Hva vil du si om definisjons- og verdimengde her? Vi tenker oss at denne bestanden også i årene før 1985 vokste på samme måte. Finn ut hvor stor bestanden var i 1980 og i 1975. oooooo I slike tilfeller er det også aktuelt å spørre om når veksten har nådd et gitt punkt, f.eks. når vil ha 350 elever hvis denne utviklingen fortsetter?, når vil harebestanden være fordoblet? o.s.v. Det vi da leter etter er -en i uttrykket 11, = 350. Likninger hvor den 8 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE
ukjente forekommer i eksponenten kalles eksponentiallikninger. For å løse disse eksakt trenger vi logaritmer, her nøyer vi oss med å prøve oss fram og å lese av på grafen. Vi går tilbake til elevtall-eksempelet, og ser at 10 % årlig økning er litt for mye hvis vi skal ha 50 elever i 1993. Hva kan vi gjøre for å finne den korrekte prosenten? Vi vet utfra formelen for eksponentiell vekst at a = 50. a repesenterer her 1+ p, der p er den årlige prosentvise veksten. Det er altså denne a-en (og p-en) vi må bestemme. Vi får følgende likning hvor a er ukjent: 10 a = 50 eller a 10 50 = =, 5 Vi må finne ut hvilket tall som ganget med seg selv 10 ganger gir,5. Dette finner vi ved å ta 10.-roten av begge sider i ligningen, slik: 10 10 a = 10, 5 eller a 1096,. Vi bruker kalkulator for å finne 10.-roten av et tall. p At a = 1096, betyr: a = 1+ = 1096,, altså p = 9, 6. Det vil si at elevtallet har økt med 9,6 % i året i 10 år. 10 Oppgave 6.16 Innbyggertallet i Storvik var i 1975 350, i 1990 var det økt til 600. Vi antar at veksten har vært eksponentiell, finn ut hvor mange prosent det har økt med årlig. Hvis denne økningen fortsetter, hvor mange innbyggere vil det da være i Storvik i år 000? La oss anta at det også i årene før 1975 var en slik økning. Hvor stort var da innbyggertallet i 1968? Lag en graf som illustrerer denne sammenhengen. Når vil innbyggertallet passere 0? (Se på grafen.) Eksempel 6.3 Vi har til nå sett på eksempler der noe øker med en fast prosent. Vi kan også ha tilfeller der noe avtar med en fast prosent. En bil koster ny 160 000, kr. Vi regner med at verdien faller med 15 % i året. Vi skal finne bilens verdi etter tre år. Vi finner følgende sammenheng som viser verdien et gitt antall år etter utgangspunktet: f( ) = 160000 0, 85, der angir antall år. KAPITTEL 6 83
Vi finner da at verdien etter 3 år er 98 60,. Vi tegner graf: 00 000 000 10 15 oooooo Generelt har vi at når noe, k, synker med en fast prosent, f.eks 6 % per enhet, får vi følgende sammenheng: 6 f( ) = k 1 = k 0, 94 Ser vi på det generelle uttrykket for eksponentialfunksjoner, f( ) = ka, ser vi: når noe øker med en fast prosent vil a være større enn 1, det vokser fortere og fortere når noe avtar med en fast prosent blir a et tall mellom 0 og 1, det avtar mest i starten, saktere etter hvert. Dette vil gi følgende grafer. (Å se på a mindre enn 0 er meningsløst.) a>1 0<a<1 84 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE
Vekstfaktor Oppgave 6.17 Vi ser på en tabell over folketallet i Skråma kommune. Det har i en periode fra 1970 og framover økt med 4 % i året. År her angir antall år etter 1970. År 0 1 3 4 5 Folketall 30 000 31 00 3 448 33 746 35 095 36 500 År 6 7 8 9 10 Folketall 37 960 39 478 41 057 4 699 44 407 År 11 1 13 14 15 Folketall 46 184 48 031 49 95 51 950 54 08 År 16 17 18 19 0 Folketall 56 189 58 437 60 774 63 05 65 733 Hva blir forholdet mellom folketallet i 1975 og 1970? Se videre på forholdet mellom folketallet i 1980 og 1975, hva blir det? Hvilken konklusjon vil du trekke? Kan du gjette deg til forholdet mellom folketallet i 1983 og 1978? Velg en annen tidsforskjell enn 5 år og se hvordan dette blir. oooooo For å finne folketallet om ett år i oppgaven over, tar vi årets tall og multipliserer med 1,04. Dette kan vi gjøre uansett hvor i tabellen vi går inn. Hvis vi ønsker å finne folketallet etter et gitt antall år, f.eks. 5, gjør vi det samme. Vi tar folketallet et år og multipliserer med 1,17. Da finner vi folketallet 5 år senere. Vi kaller det tallet vi multipliserer med for vekstfaktor, og sier at til samme tidsrom hører samme vekstfaktor. Vi er ofte interesserte i doblingstiden (eller halveringstiden) for en funksjon. I Skråma blir folketallet fordoblet etter i underkant av 18 år, det betyr at etter nye 18 år vil befolkningen ha økt til 10 000 (hvis veksten fortsetter på samme måte). Altså: Til tidsrommet 18 år hører vekstfaktoren. Oppgave 6.18 Gå tilbake til elevtalleksempelet side 83, finn doblingstida her. Finn vekstfaktoren som hører til tidsrommet 3 år. KAPITTEL 6 85
Oppgave 6.19 5 14-åringer starter en sykkelklubb. De reparerer sykler, reiser på sykkelturer og arbeider med trafikkspørsmål. De finner ut at de vil verve medlemmer og organisere en større klubb. De setter seg som mål at hvert medlem skal verve 3 nye medlemmer pr. kvartal. De vil i første rekke sette en grense på 0 medlemmer. Ved frafall vil de ha en venteliste å plukke av. a) Utviklingen går slik det første året: Måned Jan Febr Mars April Mai Juni Ant. medl. 5 1 5 60 69 83 Måned Juli Aug Sep Okt Nov Des Ant. medl. 10 40 65 76 95 304 Vis denne utviklingen grafisk i et koordinatsystem. Finn gjennomsnittlig vekst pr. måned. Vis det grafisk. Bruk grafen til å vise når veksten var under eller over gjennomsnittet. Forklar hvordan du ser dette. b) Gå tilbake og se på barnas målsetting. Uttrykk ønsket medlemstall som funksjon av tiden med utgangspunkt i denne målsettingen. Sett opp funksjonsformelen og tegn grafen i det samme koordinatsystemet som i a). Hva kalles en slik funksjon? Har denne funksjonstypen noen særegenheter? I noen perioder er veksten høyere enn planlagt, i andre er den lavere. Vis dette grafisk. Hvor lang tid ville de brukt på å nå målsettingen sin dersom de hadde klart å følge oppsatt skjema? Vis at du kan bruke det du kan om vekstfaktor til å finne medlemstallet om fem år og ti år dersom en slik utvikling hadde blitt slik de ble. c) Vi ser at barna burde vært mer realistiske og valgt en annen modell som sin målsetting. Hvilken modell ville du satt opp for den utviklingen som viste seg å være realistisk? Gi funksjonsformel og vis grafisk. Hva kalles en slik funksjon? Har denne noen særegenheter? Hvor lang tid ville det tatt før de etter en slik plan hadde 0 medlemmer? Finn dette grafisk og ved regning. Barna brukte ikke det matematiske språket i sin målsetting, de brukte dagligspråk: «Hvert medlem verver tre nye hvert kvartal». Sett slikt språk på den siste funksjonen du har valgt som modell. 86 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE
Oppgave 6.0 (utsatt årsprøve kvartårskurs Bergen Lærerhøgskole 1987) a) I 1987 har kaffeprisene gått ned. I en butikk vil vi finne at en pose kaffe kostet 16, kr. pr. 1/1 og at prisen 1/11 var sunket til 8, kr. Vi ber deg ta utgangspunkt i følgende modell: Prisen har sunket jevnt, med det mener vi at den har sunket med like stort beløp per tidsenhet. Se på prisen som en funksjon av tiden, tegn graf og gi funksjonsformel. (Råd: bruk måned som enhet på tidsaksen.) Bruk denne modellen og finn prisen per 1/ og 1/5, grafisk og ved regning. b) Ta utgangspunkt i prisen du fant per 01.0 i a), hvor stor er nedgangen i prosent fra 1/1 til 1/? Kall denne prosentsatsen n. La oss si at prisen hadde utviklet seg etter en annen modell: prisen avtar med n % per mnd. Tegn graf og gi formel for denne funksjonen. Sammenlign de resultatene du finner her med resultatene du kom fram til i a). Vi har bedt deg arbeide med to typer funksjoner, en i a) og en i b). Hvilke kjennetegn har disse? c) Som sagt: Prisen sank fra 16, til 8, kr. på disse 10 månedene. Hvor mange prosent ville den ha sunket med per måned hvis vi velger å anta en like stor prosentvis nedgang per måned, og vi tar utgangspunkt i at den sank med 50 % på 10 mnd.? d) Du underviser i 7. klasse. Elevene har organisert sparing i denne klassen, de betaler av lommepengene sine og får inn penger til ulike tiltak. De har satt seg et stort mål; om to år skal pengene brukes (Resten av rammen avgjør du selv.) Vis hvordan du vil bruke denne bakgrunnen til å arbeide med sentrale begrep innenfor funksjonslæra. Det må være et mål at disse begrepene skal være nyttige for elevene i denne situasjonen. KAPITTEL 6 87