Notat : Gruleggede statstkk og troduksjo tl økoometr Gruleggede statstkk Populasjo vs. utvalg Statstsk feres gjør bruk av formasjoe et utvalg tl å trekke koklusjoer (el. slutger) om populasjoe som utvalget er tatt fra. Grulaget for statstsk feres har stt utsprg skllet mellom populasjoe og utvalget. Defsjoer Populasjo: De uverselle megde av alle objekter eller dvder e stude. Utvalg: E udergruppe av populasjoe. Populasjoe represeterer hele gruppe av dvder e forsker eller aalytker er teressert. Dersom v har tlgag tl hele populasjoe vl det utgagspuktet være lte eller ge gru tl å utføre statstsk hypotesetestg. Det vser seg mdlertd både kostbart og tl dels umulg å samle data for hele populasjoe. E mer overkommelg oppgave er å samle data for et utvalg av populasjoe. Estmerg Ie statstkk skller v mellom e estmator og et estmat. E estmator er e fuksjo (ormalt formulert som et matematsk uttrykk eller formel) som brukes tl å estmere e ukjet populasjosparameter. Et estmat er dermot resultatet av de faktske avedelse av estmatore på et bestemt sett av data. Et aet, og ofte brukt, uttrykk for estmat er aslag. Ulke deskrptve mål Belggehetsmål E populasjo ka ha flere teressate parametre. E av dsse parametree er populasjoes gjeomstt eller mddelverd. Gjeomsttet represeterer populasjoes mdtpukt. Ta utgagspukt de stokastske varabele. I e edelg populasjo beståede av dvder fer v populasjosgjeomsttet ved følgede uttrykk μ =, =
hvor μ er populasjosgjeomsttet. Dersom for represeterer et utvalg beståede {,..., } av målger (el. observasjoer) fra e populasjo, fer v gjeomsttet ved = = gtt ved utrykket ovefor er her vår estmator av populasjosgjeomsttet represetert ved μ. Vårt estmat er de faktske tallverde v bereger år v aveder på et utvalg av målger gtt ved:,...,. Gjeomstt er det mest kjete og også det mest brukte belggehetsmålet. Adre kjete mål på belggehet er meda og modus. Spredgsmål Varase er et mål på varasjoe data. Varase bereges som gjeomsttet av de kvadrerte avvk fra gjeomsttet. Formele for varas e edelg populasjo er gtt ved følgede uttrykk σ = ( μ) = Basert på et utvalg av dvder estmerer v σ ved hjelp av s = ( ) = = TSS, Merk forskjelle mellom σ og s. I beregge av σ deler v på. For å få et forvetgsrett estmat på σ må v mdlertd dele på beregge av s. V ser at forskjelle mellom σ og s mker år utvalgsstørrelse ærmer seg populasjosstørrelse. Faktsk vl det være slk at e uedelg populasjo vl s σ år utvalgsstørrelse går mot uedelg. Et ært beslektet begrep tl varas er stadardavvk. Stadardavvket tl varabele er gaske ekelt kvadratrote av varase s = s Mage applkasjoer e statstkk gjør bruk av stadardavvk. Mål på samvarasjo kovaras og korrelasjo Kovarase mellom to stokastske varabler måler hvor mye to varabler varerer samme (tl forskjell fra varas, som måler hvor mye e ekelt varabel varerer seg selv). Med utgagspukt de mest valge otasjoe fer v de estmerte kovarase mellom varablee Y og ved hjelp av følgede uttrykk s = ( Y Y)( ) Y =
Som det fremgår av uttrykket, kovarase mellom Y og er postv år avvket: (egatv) samtdg som det er e tedes tl at også avvket: Y Y er postv er postv (egatv). Sagt med adre ord, kovarase mellom de to varablee er postv dersom varablee har e tedes tl å følge hveradre. Postv kovaras ka grafsk llustreres på følgede måte: 0.0 0.08 A B 0.06 0.04 y 0.0 0.00-0.0 Y -0.04-0.06 C D -0.06-0.04-0.0 0.00 0.0 0.04 0.06 0.08 0.0 x Merk at mesteparte av observasjoee befer seg kvadratee B og C. Motsatt har v at kovarase mellom Y og er egatv år avvket: Y er postvt (egatvt) samtdg som det er e tedes tl at også avvket: Y er egatvt (postvt). Med adre ord: Kovarase mellom de to varablee er egatv dersom de to varabler har e tedes tl å gå mot hveradre. Grafsk ser det slk ut: 0.0 0.08 A B 0.06 0.04 y 0.0 0.00-0.0 Y -0.04-0.06 C D -0.0-0.08-0.06-0.04-0.0 0.00 0.0 0.04 0.06 x 3
V ser å at mesteparte av observasjoee er å fe kvadratee A og D. Dersom kovarase mellom Y og er ær ull, da vl v se at observasjoee fordeler seg okså jevt alle kvadratee dagrammet. Merk også at kovarase mellom e varabel og seg selv er lk varase. Dette ka v ekelt vse ved hjelp av følgede utregg s = ( )( ) = = ( ) = = s Kovarase er et mye brukt mål e statstkk. Det vser seg mdlertd at kovarase er oe begreset som deskrptvt mål. I prakss vl det ofte være vaskelg å vurdere omfaget av samvarasjo mellom to varabler basert på kovarase alee. For å komme rudt dette problemet, skalerer v kovarase på følgede måte: r Y ( Y Y)( ) sy s s s s = = = Y Y hvor r er korrelasjoe mellom Y og. Korrelasjo er et stadardsert mål slk at, Y r ; Y + hvor r dkerer e perfekt egatv sammeheg mellom Y og, mes dkerer e Y = r =+ Y perfekt postv sammeheg. r = 0 dkerer ge sammeheg mellom de to varablee. Y Itroduksjo tl økoometr Hva er Økoometr? I all hovedsak hadler økoometr om hvorda v ka tallfeste og teste økoomske sammeheger ved hjelp av økoomske data. Sagt ltt aerledes: Heskte med økoometrsk aalyse er å tlege seg kuskap om økoomske sammeheger ved hjelp av data. Målet med økoometrske aalyser (el. regresjosaalyser) er å udersøke forholdet mellom e avhegg varabel (også kalt resposvarabel) og e eller flere uavhegge varabler (også kalt predktorer eller forklargsvarabler). De matematske modelle som beskrver dette forholdet er regresjoslgge. E regresjoslgg eholder e eller flere ukjete regresjosparametre (el. koeffseter) som kytter de uavhegge varabler tl de avhegge. Parametree ka estmeres fra gtte realsasjoer av de avhegge og uavhegge varabler modelle. Fra teor tl empr med et eksempel Formulerge av de matematske modelle dkteres hovedsak av økoomsk teor og skt problemstllge som øskes udersøkt. Eksempel: 4
La oss ta utgagspukt kaptalverdmodelle (modelle bør være kjet for studeter som har tatt et troduksjoskurs fasell økoom). De teoretske formulerge av modelle er gtt ved ( ) ( ) E r = rf + β E r rf j j m, ( ) hvor E r er forvetet avkastg tl eedel j (for eksempel e aksje eller et aksjefod), rf er j avkastge på e rskofr vesterg, er eedeles systematske rsko og E r j forvetede avkastg. De emprske formulerge av modelle ser slk ut: R rf = α + β R rf u jt t j j + mt t t β ( ) m er markedets Legg merke tl at de emprske formulerge på flere måter skller seg fra de teoretske. Blat aet ser v at de emprske formulerge holder koeffsete α. I de teoretske formulerge er α lk 0. I tllegg ser v at de emprske formulerge eholder et felledd. Dette felleddet fager opp de uke varasjoe avkastge tl eedel j. De uke varasjoe utgjør varasjo avkastge som kke ka tlskrves varasjoe markedsportefølje. De teoretske formulerge er e modell for forvetet avkastg og har dermed kke oe felledd. Felleddet represeterer dermed de usystematske rskoe kyttet tl avkastge eedel j. 5