S1 kapittel 4 Funksjoner Løsninger til kapitteltesten i læreboka 4.A a f ( ) 0,5 3 4 b Fra grafen leser vi av at nullpunktene til grafen er og 4. For å finne nullpunktene løser vi likningen f ( ) 0. 0,5 3 4 0 0,5 1 4 ( 3) ( 3) 4 0,5 4 3 1 Bunnpunktet ligger på symmetrilinja f (3) 0,5 3 3 3 4 0,5 ( 3) 3. 0,5 Bunnpunktet til grafen har koordinatene (3, 0,5). Ashehoug Undervisning www.lokus.no Side 1 av 6
4.B 1 f ( ) 1 a En brøk er ikke definert når nevneren er null. f ( ) er derfor ikke definert for = 1. Definisjonsmengden er derfor alle verdier for i intervallet,1 1,. b Når er mindre enn 1, men nærmer seg 1, går funksjonsverdien mot. Når er større enn 1, men nærmer seg 1, går funksjonsverdien mot. Loddrett asymptote for grafen er derfor = 1. Funksjonsverdien nærmer seg når går mot eller. Vannrett asymptote for grafen er derfor y =. 4.C a b Fra grafen leser vi av nullpunktene 1,91, 0,71 og,0. Grafen til f har toppunkt i ( 0,87, 5,06). Grafen til f har bunnpunkt i (1,54, 1,88). Elevene kan ved hjelp av digitale hjelpemidler legge inn grafer til g() ved ulike verdier for a. De kan så beskrive det de observerer. Ashehoug Undervisning www.lokus.no Side av 6
4.D a Fordi verditapet regnes med en fast prosent av en verdi som blir lavere for hvert år. 8,5 b Vekstfaktoren blir 1 0,915. 100 Etter år er verdien gitt ved V ( ) 900 000 0,915. V () 900 0000,915 753 50 Etter to år er verdien 753 500 kr. 5 V (5) 900 0000,915 577 9 Etter fem år er verdien 577 00 kr. d Hvis verdien av maskinen synker med 40 %, er verdien 540 000 kr. Da setter vi opp 900 000 0,915 540 000 540 000 0,915 0, 60 900 000 lg 0,60 5,75 lg 0,915 Det tar 5,75 år før verdien av maskinen har sunket med 40 %. 4.E b Vi lar svare til 1987. Så legger vi -verdiene inn i liste 1 og alderen (y-verdiene) i liste. Med vårt digitale verktøy finner vi følgende regresjonslinje: y 0,174 5, 05 Korrelasjonskoeffesienten r = 0,998 viser at punktene tilnærmet ligger på en rett linje. Stigningstallet viser økningen i alder på førstegangsfødende per år. Førstegangsfødende blir altså 0,174 år eldre for hvert år som går. d 33 gir y 0,174 33 5, 05 30,8. Etter denne modellen vil gjennomsnittsalderen for førstegangsfødende i 00 være 30,8 år. 63 gir y 0,174 63 5, 05 36, 0. Etter denne modellen vil gjennomsnittsalderen for førstegangsfødende i 050 være 36,0 år. Det skulle bety at gjennomsnittsalderen for førstegangsfødende hadde økt med 10,9 år fra 1987 til050. Sannsynligvis representerer ikke modellen fra oppgave b en god modell på lang sikt. Ashehoug Undervisning www.lokus.no Side 3 av 6
4.F a Vi legger antall enheter i liste 1 og kostnadene y i liste på vårt digitale verktøy. Vi finner da følgende andregradsmodell for kostnadene: K( ) 0,860 97,1 4575 b Inntektsfunksjonen er gitt ved I( ) 50. Overskuddet er gitt ved O( ) I ( ) K ( ) 50 0,860 97,1 4575 0,860 15,9 4575 Vi tegner grafen til O() og finner toppunktet. For at overskuddet skal bli største mulig, må bedriften produsere 89 enheter. Da blir overskuddet 1 kr. 4.G a Vi lar = 0 svare til 1950. Vi legger folketallet i Afrika i liste 1, folketallet i Europa i liste og folketallet i Sør-Amerika i liste 3. Vi benytter vårt digitale verktøy til å finne den regresjonsfunksjonen som passer best. Da finner vi Afrika: yafrika 171,06 Korrelasjonskoeffisienten er 1,00, som betyr at grafen passer perfekt med punktene. Europa: y Europa 0, 0655 6,93 545 Korrelasjonskoeffisienten er 0,998, som betyr at grafen passer perfekt med punktene. Sør-Amerika: ysør-amerika 7, 9 151 Korrelasjonskoeffisienten er 0,998, som betyr at grafen passer nesten perfekt med punktene. Ashehoug Undervisning www.lokus.no Side 4 av 6
b Vi setter 171,06 1000. 171, 06 1000 1000 1,06 4,6083 17 lg 4,6083 59,5 lg1, 06 Folketallet i Afrika passerer en milliard etter a. 59 år, dvs. i løpet av 009. For å finne når folketallet i Europa og Sør-Amerika blir likt, tegner vi grafen for y og for y. Så finner vi skjæringspunktet mellom de to grafene. Europa Sør-Amerika Vi leser fra grafene at det tar a. 75 år før folketallet i de to verdensdelene er likt. Etter disse modellene betyr det at folketallet i Europa og Sør-Amerika blir likt i a. 05. Ashehoug Undervisning www.lokus.no Side 5 av 6
4.H a Fra grafen leser vi av at skjæringspunktet mellom grafen til f og grafen til g er (4,47, 847). b f ( ) g ( ) 6001,08 15000,88 600 1,08 1500 0,88 600 0,88 600 0,88 1, 08 1500 0,88 600 1,08,5 0,88 1, 73,5 lg,5 4,47 lg1, 73 f 4,47 (4,47) 6001,08 846,6 Skjæringspunktet mellom grafene til f og g er (4,47, 847). Ashehoug Undervisning www.lokus.no Side 6 av 6