Sigbjørn Hals, 11.08.1 Parallellseksjon 4G Hefte nr. Tips, triks og løysingar til oppgåver og utfordringar Innhald GeoGebra som talknusar... Tok Fermat feil?... Matematisk drodling... 3 Visualisering av matematisk endring med GeoGebra... 5 Facebook... 5 Mus og ugler... 6 Utforsking, hypotesar og bevis... 8 Artig samanheng mellom areal av trekantar... 8 Forenkla ve -bevis... 9 Vinn ein bokpremie!... 11 Har du god fantasi?... 1 1
Sigbjørn Hals, 11.08.1 GeoGebra som talknusar Tok Fermat feil? For å teste om eit tal er primtal, kan vi skrive gå fram på fleire måtar: Metode 1: Skriv inn talet i eit CAS-felt og trykk på verktøyet for faktorisering. For dei tre neste Fermat-tala får vi då: 5 1 er altså ikkje eit primtal. Fermat tok feil. Metode : Skriv ErPrimtal[ talet ] i eit CAS-felt og trykk Enter. For dei tre neste Fermat-tala får vi då:
Sigbjørn Hals, 11.08.1 Matematisk drodling a) Systemet i drodlinga: b) Alle tala i diagonalen er primtal. c) Likninga er y x x 17. Her er (x og y) heile positive tal. Nokre vil heller skrive denne likninga som E(n) = n - n + 17. E-en er til ære for Leonard Euler (1707-1783). Han var den første vi kjenner til som presenterte denne formelen, som gjev primtal for mange heiltalsverdiar av n. Denne likninga kan vi finne på fleire måtar. Ein måte er å bruke regresjon: Tal nr. 1 3 4 5 6 7 8 Systemtal 17 19 3 9 37 47 59 73 Brukar vi polynomregresjon av andre grad, får vi likninga f ( x) x x 17, avhengig av kva for metode vi brukar. y x x 17 eller 3
Sigbjørn Hals, 11.08.1 d) Vi vel skrivemåten n - n + 17. Så kan vi for eksempel gå fram på denne måten for å sjekke om dette uttrykket er eit primtal for ulike verdiar av n: o Lag ein glidar med heile tal frå og med 0 til og med 0. o Still inn glidaren på n = 0. o Skriv n - n + 17 i eit CAS-felt, og klikk på verktøyet for å faktorisere. o Still på glidaren, slik at n aukar. Ein lett måte å gjere dette på, er å klikke på glidaren på grafikkfeltet, og så bruke høgre piltast på tastaturet. o Vi får bare primtal som svar frå og med n = 0 til og med n = 16. Når n = 17, får vi dette resultatet: o 17 17 17 er sjølvsagt 17 = 89, som ikkje er eit primtal. Brukar vi hurtigverktøyet for regresjon, får vi likninga y = x - x + 17. Dåp kan vi setje inn ulike verdiar for x, og får 89, som ikkje er eit primtal, dersom vi set inn x = 17. Vi får 89 på diagonalen i drodlinga, dersom vi held fram med systemet. Det vil derfor ikkje alltid vere primtal langs denne diagonalen. 4
Sigbjørn Hals, 11.08.1 Visualisering av matematisk endring med GeoGebra Dei to neste oppgåvene er utforma litt forskjelleg. Facebook-oppgåva kan utførast av elevar på ungdomstrinnet, og krev ikkje spesielt stor kjennskap til GeoGebra frå før. I denne oppgåva blir elevane rettleia fram steg for steg. Oppgåva om mus og ugler krev kjennskap til differensiallikningar og retningsdiagram. Dette er læreplanmål i R- kurset på vg3. Her får elevane mindre hjelp Ingen av desse oppgåvene gjev særleg rom for kreativitet og utforsking, slik dei er utforma. Poenget her er å vise korleis GeoGebra kan brukast til å visualisere endring. ("Matematikk i aksjon." ) Facebook a) Vi har teikna grafen for utviklinga av Facebook-brukarar på figuren nedanfor. Svar: Likninga: y = 0x + 00 passar best med punkta. b) Sidan stigningstalet er 0, blir det 0 millionar fleire Facebook-brukarar kvar månad, ut frå denne modellen. Svar: Det blir 0 millionar fleire Facebook-brukarar kvar månad. c) Vi ser frå figuren at linja for y = 1000 skjer linja for y = 0x + 00 når x = 40. 40 månader etter april 009 er i august 01. 5
Sigbjørn Hals, 11.08.1 Svar: Det blir 1 milliard Facebook-brukarar i august 01. d) Vi kan endre på aksane ved å dra i desse med dette verktøyet. Vi skriv så inn y = 7000, og ser at denne linja kryssar linja for y = 0x + 00, når x = 340. Det er i august 037. Svar: Det blir 7 milliardar Facebook-brukarar i august 037. e) Svar: Det er ikkje rimeleg å forlenge modellen så lenge. Vi veit ikkje kor mange menneske som er på jorda i 037, kor stor del av desse som ev. kunne hatt tilgang til Internett, eller om Facebook er eit aktuelt verktøy i 037. Mus og ugler a) y står for talet på mus, og y' står for endringa av talet på mus kvar månad. Dersom det var 00 mus og ingen ugler, ville veksten vere 100 mus den første månaden, fordi 1 00 100. Neste månad ville veksten vere på 150 mus, fordi 1 300 150. Uglene et 15 mus 30 450 mus kvar månad. Likninga blir då slik når vi kallar talet på månader x: y' 0,5y 450 b) For å lage eit retningsdiagram i GeoGebra, skriv v: Retningsdiagram[0.5*y - 450]. Vi skriv altså bare det som står på høgre sida av differensiallikninga y = 0,5y - 450. OBS. Hugs punktum som desimalteikn i GeoGebra. (På grunn av ein midlertidig feil i GeoGebra, er retningsdiagrammet nedanfor teikna med Autograph. Då må vi skrive inn y' - 0,5y = -450.) 6
Sigbjørn Hals, 11.08.1 c) Vi ser utviklinga av talet på mus direkte ut frå retningsdiagrammet og integralkurvene som er teikna inn. i. Dersom det er 600 mus i starten, vil talet på mus minke, slik at dei er utrydda etter litt over månader. ii. Dersom det er 900 mus i starten, vil musebestanden halde seg stabilt på dette talet i tida framover. iii. Dersom det er 100 mus i starten, vil talet på mus auke rask ut frå denne modellen. d) For å løyse differensiallikninga y' 0,5y 450, skriv vi i eit CAS-felt: LøysODE y' 0.5y 450. e) Startar vi med y = 600 når x = 0, er c 1 = -300. (600 1 c 900 c 300.) 1 1 x Då blir likninga y 900 300 e, som gjev y = 0 når x = l (3),. Musebestanden døyr då ut etter, månader, slik retningsdiagrammet viser. Startar vi med y = 900 når x = 0, får vi at c 1 = 0, fordi (900 1 c 900 c 0.) 1 1 0 e 1 1. Då blir likninga y = 900, som er likevektslinja for denne situasjonen. Vi kan tenkje oss fram til denne løysinga fordi uglene et 450 mus kvar månad. 1 Då må vi starte med 900 mus for at talet på nyfødde mus 900 skal vere lik talet på mus som forsvinn (450) kvar månad. Startar vi med y = 100 når x = 0, er c 1 = 300. (100 1 c 900 c 300.) 1 1 x Då blir likninga y 900 300 e, som vil gje ein sterk eksponentiell vekst, slik retningsdiagrammet viser. f) Modellen er mangelfull, fordi han ikkje tar med at nokre mus vil døy av alderdom og andre årsaker enn uglene. Modellen tar heller ikkje med reduksjon i veksten på grunn av matmangel, når det blir mange dyr. 7
Sigbjørn Hals, 11.08.1 Utforsking, hypotesar og bevis Artig samanheng mellom areal av trekantar a) Areala av trekantane ABC, GHA, IDB og EFC er like store! Vi kan gjerne bruke dette verktøyet til å måle areala. Då får vi tekstane som er vist på figurane nedanfor. Areala av trekantane er òg viste i algebrafeltet. b) Vi vil her vise at arealet av trekanten ABC er like stort som arealet av trekanten CEF. Bevisa for dei andre trekantane er nøyaktig tilsvarande. ACF BCE 90. Då er ACB ECF 180. Det er det same som at ECF 180 ACB. I 1T-kurset lærer vi at sin( v) sin(180 v). Då er sin( ACB ) sin( ECF ). 8
Sigbjørn Hals, 11.08.1 Vi finn eit uttrykk for arealet av trekantane ABC og ECF med arealsetninga: Arealet av trekanten ABC = 1 CA CB sin( ACB). Arealet av trekanten ECF = 1 CF CE sin( ECF ). Vi veit at: CA = CF, CB = CE og at sin( ACB ) sin( ECF ). Då er verdien av dei to uttrykka like, og areala av dei to trekantane er like store. a) Teikn grafen til f når k = 3. -bevis Lag ein glidar ved å klikke på dette verktøyet. Klikk deretter på grafikkfeltet, der vi vil ha glidaren. La glidaren gå frå 1 til 5, med animasjonssteg 0.1. Still inn glidaren slik at k = 3. Skriv i inntastingsfeltet: Funksjon[k*(1 - x ), -1, 1] og trykk Enter. 9
Sigbjørn Hals, 11.08.1 b) Lag eit "tangent-rektangel" ABDE, slik figuren nedafor viser. Kva er forholdet mellom arealet av rektangelet og arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen? For å rekne ut arealet under grafen, skriv vi i inntastingsfeltet: Areal_1 = Integral[f, -1, 1]. Då får arealet namnet Areal 1. For å teikne rektangelet og finne arealet av dette, kan vi gå fram slik: o Skriv Nullpunkt[f] for å finne skjeringspunkta mellom grafen til f og x-aksen. o Skriv x = -1 og trykk Enter. Skriv x = 1 og trykk Enter. o Skriv y = k og trykk Enter. (Grafen til f har toppunkt når x = 0. f(0) = k.) o Finn skjeringspunktet mellom desse tre linjene ved å bruke verktøyet Skjering mellom to objekt. o Lag rektangelet ved hjelp av mangekantverktøyet. Arealet av rektangelet blir vist i algebrafeltet. Vi kan gje arealet av rektangelet nytt namn ved å høgreklikke på m g 1=, velje Gje nytt namn og så skrive Areal_. Då får arealet av rektangelet namnet Areal. c) Kva er forholdet mellom arealet av rektangelet og arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen? Vil forholdet som du fann i oppgåve b vere det same for alle verdiar av k? 6 3 Forholdet mellom areala er 4 10
Sigbjørn Hals, 11.08.1 Skriv Forholdet = Areal_/Areal_1. Vi ser då at forholdet mellom areala 3 blir 1,5 uansett kva verdi vi stiller inn for k. d) Kan du bevise at dette stemmer for alle verdiar av k? Breidda av rektangelet er, og høgda er k. Areal blir då k. Areal 1 = 1 1 1 1 1 3 k ( k) k k 4k ( k kx ) dx kx x ( k ) ( k ) 3 3 3 3 3 3 Areal Areal 1 k 6 3 4k 4 3 Vinn ein bokpremie! a) Ved hjelp av mangekantverktøyet i GeoGebra, kan vi finne at summen av areala av dei raude firkantane er 8 gongar så stor som arealet av den rettvinkla trekanten i midten. b) Dette beviset har eg altså ikkje klart å finne fram til enno. Den første som sender eit bevis som eg kan forstå til sigbjorn.hals@sfj.no, vil få tilsendt ein fin bokpremie! 11
Sigbjørn Hals, 11.08.1 Har du god fantasi? a) Ved hjelp av GeoGebra (og litt fantasi ) kan vi finne at summen av kvadrata av dei tre lengdene er konstant. Altså: AP BP CP konstant. b) For å bevise dette, kan vi plasser trekanten ABC i eit tredimensjonalt koordinatsystem, med A i (k, 0, 0), B i (0, k, 0) og C i (0, 0, k). Punktet P har då koordinatane (x, y, z). Trekanten og den innskrivne sirkelen vil no ligge i eit plan gjennom A, B og C. Dette planet har likninga x + y + z = k. Vi tenkjer oss vidare ei kule med sentrum i origo, og med ein radius r, som er slik at tangeringspunkta mellom sidene i trekanten ABC og den innskrivne sirkelen ligg på kuleoverflata. Desse tangeringspunkta har vi kalla D, E og F. Den innskrivne sirkelen er då skjeringskurva mellom planet og kuleoverflata. Kula har likninga x + y + z = r. (Ved hjelp av pytagorassetninga kan vi k rekne ut at. k r OF AF Då får vi at konstanten r. Det viktigaste her er likevel at x + y + z = r er konstant. Det får vi bruk for seinare i beviset.) 1
Sigbjørn Hals, 11.08.1 Vi kan no bruke avstandsformelen til å finne eit uttrykk for A:(k, 0, 0), B:(0, k, 0), C:(0, 0, k) og P:(x, y, z). x y z k og x y z r. AP BP CP. AP ( x k) ( y 0) ( z 0) x kx k y z AP x kx k y z BP ( x 0) ( y k) ( z 0) x y ky k z BP x y ky k z CP ( x 0) ( y k) ( z 0) x y z kz k CP x y z kz k AP BP CP ( x kx k y z ) ( x y ky k z ) ( x y z kz k ) AP BP CP 3( x y z ) k( x y z) 3k AP BP CP 3r k 3k 3r k konstant Dersom vi brukar resultatet vi fann tidlegare, at 3k 5k k r, får vi AP BP CP 3r k k konstant 13