Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfg Mtemtikk Ukeoppgver uke 43 I løpet v uken blir løsningsforslg lgt ut på emnesiden http://www.hig.no/toel/llmennfg/emnesider/re4 Substitusjon. Oppgve Bruk den oppgitte substitusjonen til å regne ut følgende ubestemte integrler: ) (x +4) 4 x dx, u= x x +4 b) x 3 + dx, u = x3 + c) xe x / dx, u = x / d) x dx, u =ln(x) ln(x) Oppgve Regn ut følgende bestemte integrler, ved hjelp v (bl..) den oppgitte substitusjonen: 3 ) (x +) xdx, u= x + b) dx, u =x (x ) 3 c) e) / 4 sin(πt) dt, u =πt d) π/4 sin (x)cos(x) dx, u =sin(x) x + x dx. Denne er nok litt vnskeligere, men prøv med u = x. Flere oppgver om substitusjon etter 3 oppgver med fundmentlsetningen. Oppgve 3 Deriver funksjonene: (Hint: Fundmentlsetningen, del ) ) F (x) = x t tdt b) G(x) = x π/ sin(t) t dt c) H(x) = x e t dt Hint: Kjerneregelen må brukes. Oppgve 4 Lineriser funksjonen F (definert for x > ) gitt som integrlfunksjonen F (x) = rundt punktet med koordinter (4,F(4)). x 4 e t t dt
Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. Bruk resulttet til å finne en tilnærmingsverdi for F (6). Hint : Husker du ikke formelen for linerisering? Forsøk om du kn finne den ut fr formelsmling, under Tylorrekker med spesiltilfellet n =. Hint : Ikke prøv å løse oppgven ved å regne ut integrlet, F er ingen elementær funksjon. Oppgve 5 Bruk L hopitls regel til å regne ut grensen Oppgve 6 lim x x cos(t ) dt e x Regn ut følgende ubestemte integrler: ) x dx b) (x +) xe x dx c) cos (x) dx, u =x. Hint: Bruk en omskrivning v formelen cos(x) =cos (x). Oppgve 7 Finn ekskt verdi v følgende bestemte integrler. ) c) d) e) f) x + dx b) π/3 sin(t) +cos(t) dt π/ sin 5 (t) dt Hint: Skriv sin 5 (t) =sin 4 (t)sin(t) = ( sin (t) ) sin(t) ogbruku =cos(t). x dx, Hint: = e ln() π cos(x) e sin (x) dx. Hint: Hvis du ikke bruker metoden med å substituere i grensene klrer du neppe denne. ln() e x ln(e x +) e x + dx Hint: Substituer først med u = e x +. Etterhvert trenger du en substitusjon til. Oppgve 8 Du skl integrere funksjonen f definert ved med litt hjelp underveis: f(x) = x ( x ) ) Bruk substitusjonen x =sin(t) med( π/ t π/). Vis t d er f(x) cos (t) dt. Hv er t(x), det vil si t som funksjonsuttrykk i x?
Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. 3 b ) Bruk formelen cos(t) =cos (t)+ til åomskrivecos (t), og integrer dette uttrykket. Tilbkesubstituer for åfå et uttrykk for integrlet. c) Bruk så formelen sin(t) = sin(t)cos(t) tilå omskrive uttrykket til en form som ikke inneholder sinus eller cosinus. d ) Regn ut det bestemte integrlet f(x) dx. Ser du hvordn du kunne funnet dette svret ved hjelp v geometri, uten å integrere? Hint: Sirkel Oppgve 9 Som ved derivsjon og ubetemte integrler hr vi lineritet, t summer kn integreres ledd for ledd og konstnter settes utenfor integrlet: b b b kf(x)+lg(x) k f(x) dx + l g(x) dx Følgende oppgve er for dem som føler t de tåler en del teori: Et bevis, direkte fr definisjonen v bestemte integrler, er i grove trekk: b kf(x)+lg(x) dx () = lim n n i= kf(x i )+lg(x i ) (b) = lim n k n i= f(x i )+l n i= g(x i ) (c) = k lim n n i= f(x i )+l lim n n i= b b g(x i ) (d) = k f(x) dx + l g(x) dx Likhetene () og (d) er fr definisjonen v integrl fr Riemnnsum. Sjekk for deg selv t du forstår det. Likheten (c) er egenskp ved grenser, som bl.. er lineære. Likheten (b) er en velkjent omforming fr lgebr i en (ntgelig) ukjent innpkning. Sjekk likhet (b) ved å gjøre omformingen i spesiltilfellene n =ogn =3skrevetutsom summer med +, og overbevis deg om t den gjelder generelt. 6..9, Hns Petter Hornæs
4 Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. Fsit, Substitusjon. Oppgve ) Med u = x +4eru =x slik t du dx =x du =xdx. Dermed kn fktorene xdx i integrlet erstttes med du, mensx + 4 inne i prentesen erstttes med u: (x +4) 4 x dx= u 4 du = 5 u5 + C = 5 (x +4) 5 + C b) Med u = x 3 + er u =3x så du =3x dx. Dette står ikke helt ferdig i integrnden, med x fr telleren og dx er tilsmmen x dx. Vedå dividere du med 3 får vi 3 du = x dx, så 3 du settes inn for x dx, mens nevneren erstttes med u: x x 3 + u 3 du = 3 ln u + C = 3 ln x3 + + C c) Med u = x,eru = x slik t du/ x x du, ogxdx står ferdig i integrnden ved åtx en som er første fktor og slå smmen med dx: xe x / e u du = e u + C = e x / + C d) Med u =ln(x) eru =/x slik t du//x du = dx/x som er ferdig i integrnden etter en liten omskriving: Oppgve x ln(x) ln(x) x u / du =u / + C = ln(x)+c ) u = x + gir du = xdx som kn omformes til du = xdx (siden xdx står ferdig i integrnden). Substitusjon også i grensene: Øvre grense, ØG, u = + = 3 og nedre grense, NG, u = +=: 3 [ (x +) u du = ] 3 3 u3 = 9 (7 8) = 6 6 b) Med u =x erdu =dx du/, NG = =,ØG= 3 =5: 3 5 [ (x ) 3 u 3 du = ] 5 4 u = 4 5 4 = 4 = 6 5 c) Med u =πt er du =πdt dt = du, NG=π =,ØG=π π = π:...= π π sin(u) du = π [ cos(u)]π = ( cos(π) ( cos())) = π π ( ( ) + ) = π
Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. 5 d ) Setter u =sin(x), du =cos(x) dx, NG= sin() =, ØG = sin(π/4) = /: π/4 sin (t) cos(t)dt = / u du = [ ] / 3 u3 = ( ) ( ) 3 3 / = 3 3 3 = 3 3 = e) u = x, du = x dx xdu =udu,øg= =,NG= 4 =. Dessuten er x = u : 4 x + x u du= u + u +u du =[ln +u ] =ln(3) ln() =ln9/4 Oppgve 3 Vi behøver ikke utføre integrsjonene først, t derivsjon og integrsjon er motstte regnerter er i denne smmenheng slik (Fundmentlsetningen i nlysen, del, (lærebok s. 366, formel (7)): ) F (x) =x x b) G (x) = sin(x) x c ) Bruker kjerneregelen med H(u) = u et dt, medh (u) =e u,ogu = x med u (x) = H (x) =H (u) u = e u x = e( x) x = ex x x : Oppgve 4 Formelen for linerisering er P (x) =f()+f ()(x ). Her er =4,mensf må erstttes med F. Vi hr t F () =F (4) = 4 4 e t /t dt =, siden øvre og nedre grense er like. Vi finner F (x) ved fundmentlsetninfen for nlysen (del ) direkte som integrnden, med t erstttet med x, så F (x) =e x /x. Dermed er F () =F (4) = e 4 /4=e /4=/4. Dette gir linerisering P (x) =+ 4 (x 4) P (x) = 4 x Inærhetenvx =4erP (x) F (x). For x =6får vi F (x) P (6) = 4 6 =/ =.5 (Vi kn regne ut F (6) ved numerisk integrsjon, f.eks. i Mple. Vi finner d F (6) =.58.) Oppgve 5 Siden et integrl med smme verdi i øvre og nedre grense er, og e = =girdirekte innsetting et ( ) uttrykk. Vi kn d bruke L Hopitls regel. Telleren er en integrlfunksjon med integrnden som derivert: Oppgve 6 lim x x cos(t ) dt e x = ( ) L Hopitl cos(x ) = lim x e x = cos() e = = ) Substituer med u = x +, som gir du = xdx du = xdx som står ferdig i integrnden: x (x +) u du = u du = u +C = u +C = (x +) + C
6 Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. b) u = x, som gir du =xdx du = xdx: xe x eu du = eu + C = ex + C c) cos(x) =cos (x) cos (x) = + cos(x). Substituer etterhvert med u =x, du/ =dx: cos (x) + cos(x) dx + cos(x) = x + cos(u) du = x + 4 sin(u)+c = x + 4 sin(x)+c Oppgve 7 ) u =x +,du =dx, ØG:u = +=3ogNG:u = +=: 3 x + u du = [ln u ]3 = (ln(3) ln()) = ln(3) b ) Setter u =+cos(t), du = sin(t) dt, ØG=+cos(π/3) = + /, NG = + cos() = : π/3 sin(t) 3/ +cos(t) dt = u du = [ln u ]3/ =ln() ln(3/) = ln(4) ln(3) = ln(4/3) c) Vihrtsin (t) = cos (t), og dermed sin 5 (t) =sin (t)sin (t)sin(t) =( cos (t)) sin(t). Setter u =cos(t), du = sin(t) dt, ØG=cos(π/) =, NG = cos() = : π/ sin 5 (t) dt = ( u ) du = u + u 4 du = [ u 3 u3 + ] 5 u5 = 8 5 d) x = ( e ln()) x = e ln()x. u =ln()x, du =ln()dx, ØG=ln(),NG=ln(): ln() [ ] x ln() ln() eu du = ln() eu = ln() eln() ln() e = ln() e ) Substituer med u =sin(x) som gir du =cos(x) dx. NG: u = sin() =. ØG:= u =sin(π) =: π cos(x) e sin (x) Når nedre og øvre grense er like er integrlet null! e u du = Merk t du ikke klrer å regne ut e u du med ntiderivsjon, dette er ingen elementær funksjon. Likevel ble det enkelt i dette tilfellet. f) u = e x +gir du = e x dx som vi får ved åbrukee x fktoren fr telleren smmen med dx. NG : u = e +=.NG:u = e ln() +=3. ln() e x ln(e x +) e x + 3 ln(u) u du
Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. 7 Merk t vi nå knbetrktedettesometheltnyttintegrlogglemmetdetvrmedenx opprinnelig. Dette er en v fordelene med å substituere i grensene, vi slipper å nøste oss bkover i regnestykket ved innsetting v grensene. Dette integrlet løses som i siste oppgve i oppgve. Vi substituerer med v =ln(u) som gir dv du = u dv = du, som finnes i integrnden. u NG: v =ln(3).øg:v =ln() = ln(3) ln() vdv= [ ] ln(3) v = ( ln(3) ln() ) ln() Svret kn forenkles litt slik: ( ln(3) ln() ) = (ln(3) ln())) (ln(3) + ln())) = ( ) 3 ln ln(6). Oppgve 8 ) Ved åbrukex =sin(t) hrvidx/dt =cos(t) cos(t) dt. Videre er f(x(t)) = sin (t) = cos (t) =cos(t) (sidencos(t) for π/ t π/). Ved å sette inn dette i integrlet får vi f(x) cos(t) cos(t) dt = cos (t) dt Vi hr videre ved å bruke omvendte funksjoner t t =rcsin(x) (merk t definisjonsområdet til t er vlgt slik t dette stemmer). b) Vi får omskriving cos (t) = + cos(t). Integrlet v dette løses ved en ny substitusjon, u =t med dt = du:... = + cos(t) dt = 4 + 4 cos(u) du = 4 u + 4 sin(u)+c. Tilbkesubstituerer u = t = rcsin(x): x rcsin(x)+ sin( rcsin(x)) + C 4 c ) Vi hr sin(rcsin(x)) = x og cos(rcsin(x)) = x (vist bl.. i heftet om inverse trigonometriske funskjoner. Vi får dermed t integrlet er x rcsin(x)+ sin(rcsin(x)) cos(rcsin(x))+c = rcsin(x)+x x + C d) f(x) ( rcsin() + ) ( rcsin( ) + ) ( ) ( ) = rcsin() + ( rcsin() ) = rcsin() = π. Siden en sirkel med sentrum i origo og rdius hr likning x + y = y = x,er grfen til f(x) øvre hlvsirkel. Integrlet er relet v denne, dvs π = π/.
8 Ukeoppgver, uke 43, i Mtemtikk, Substitusjon. Oppgve 9 Tr bre med tilfellet n =her: i= kf(x i )+lg(x i )=(kf(x )+lg(x )) + (kf(x )+lg(x )) = k (f(x )+f(x )) + l (f(x )+f(x )) = k i= f(x i )+l i= g(x i ) Hns Petter Hornæs