GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka P av Sigbjørn Hals
Innhold Litt om GeoGebra... 3 Eksponentiell vekst. Side 45 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 50-52 i læreboka... 4 Kurvediagram. Side 55-56 i læreboka... 6 Gjennomsnitt, typetal, median og spredningsmål. Side 61-70 i læreboka... 9 Histogram. Side 71-73 i læreboka... 10 Forsøk og simuleringer. Side 84-86 i læreboka... 11 Rette linjer. Oppgave 5.22, side 89 i læreboka... 12 Digital løsning av likninger. Side 124-126 i læreboka... 13 Digital løsning av likningssett. Side 130 i læreboka... 15 Lineær regresjon. Side 140-142 i læreboka... 16 Alternativ metode 1:... 16 Alternativ metode 2:... 17 Andregradsfunksjoner. Side 147-148 i læreboka... 18 Nullpunkt, toppunkt og bunnpunkt. Side 149 i læreboka... 19 Momentan vekstfart. Side 166 i læreboka... 20 Polynomregresjon. Side 173 i læreboka... 21 Eksponentialregresjon. Side 175 i læreboka... 23 Potensregresjon. Side 183 i læreboka... 24 2
Litt om GeoGebra Bak i læreboka står det forklart hvordan vi kan finne Iøsninger på noen oppgaver og eksempler med grafiske kalkulatorer. I dette heftet blir det forklart hvordan utvalgte oppgaver og eksempler i læreboka kan løses ved hjelp av GeoGebra. GeoGebra 4.2 kan lastes ned fra www.geogebra.org. Eksponentiell vekst. Side 45 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi løser eksempelet på side 45 med GeoGebra. 12 Vekstfaktoren er 1 = 0,88. 100 x Stoffmengden M i gram etter x år er gitt ved likningen M(x) = 100 0,88. Vi velger å se på utviklingen 10 år fram i tid. Skriv i inntastingsfeltet Mx ( ) = Funksjon[100 * 0.88 ^ x,0,10] og trykk Enter. Still inn aksene ved å peke på dem og dra i dem med dette verktøyet til hele grafen synes, slik figuren nedenfor viser. Høyreklikk på grafen og merk av for Vis navn. Skriv y = 50 i inntastingsfeltet, og trykk Enter. Velg verktøyet Skjæring mellom to objekt, og klikk etter tur på de to grafene. 3
Høyreklikk på skjæringspunktet, velg Egenskaper og velg Verdi i stedet for Navn. Vi ser nå fra figuren overfor at stoffmengden er halvert etter ca. 5,4 år. Søylediagram. Side 50-52 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi løser eksempelet på side 50-52 i med GeoGebra. Skriv inn tallene fra eksempelet til regnearket i GeoGebra, slik figuren øverst på neste side viser. Vi får midtstilt tekst og tall ved å merke kolonnene A og B og så klikke på ikonet som er ringet inn på figuren. 4
Merk tallene i cellene A2 til A7 og lag en liste for disse. Gjenta det samme for cellene B2 til B7. Listene heter nå Liste1 og Liste2. Skriv i inntastingsfeltet: Søylediagram[Liste1, Liste2]. Dra i aksene slik at figuren blir omtrent som på figuren på neste side. For å få teksten langs aksene kan vi gå fram på to måter. 1) Høyreklikk på grafikkfeltet, velg Grafikkfelt1, velg arkfanen xakse og skriv x (Karakterer) i feltet for Navn på aksen. Gjenta det tilsvarende for y-aksen. 2) Bruk verktøyet Sett inn tekst, og skriv inn og plasser den teksten du vil ha langs aksene. Dersom vi ønsker at det skal være mellomrom mellom søylene, skriver vi i inntastingsfeltet:søylediagram[liste1, Liste2, 0.5]. Da blir søylebredden satt til 0,5. 5
Vi kan også endre farge og fyllgrad på søylene. Høyreklikk på søylene som har fått navnene a i algebrafelte. Øk fyllgraden til 100 % i Stil-menyen og skift farge til for eksempel rødt. Kurvediagram. Side 55-56 i læreboka Eksempelet på side 55 starter med årstallet 1950 og slutter med 2000. Dette ville normalt skapt problemer med å få et fornuftig utsnitt av grafen, dersom vi ønsket å se y-aksen. Fra og med versjon 4.0 av GeoGebra går dette fint, og vi unngår at y-aksen forsvinner slik tilfellet er med de grafiske kalkulatorene. 6
Skriv inn tallene i regnearket, slik figuren nedenfor viser. Merk tallene, høyreklikk og velg Lag og Polylinje. Høyreklikk på grafikkfeltet, velg Grafikkfelt 1 og skriv inn det som står på de tre figurene nedenfor. Høyreklikk på et punkt og velg Egenskaper. Klikk på overskriften Punkt, slik alle punktene blir merket. Fjern haken for Vis navn. 7
Resultatet blir nå som vist på figuren nedenfor. 8
Gjennomsnitt, typetal, median og spredningsmål. Side 61-70 i læreboka Vi ser igjen på karakterfordelingen fra side 50. Last ned og installer verktøyet Statistikk 4.ggt fra nettsidene til Sinus, eller fra www.inter-ped.no/geogebra. Der finner du også et hefte som forklarer i detalj hvordan du går fram for å få dette verktøyet som standardverktøy i GeoGebra. Skriv inn karakterene og frekvensene som vist under kapittelet Søylediagram. Merk tallene i kolonne A, velg Lag og deretter Liste. Gjenta det samme for kolonne B. Disse to listene har nå fått navnene Liste1 og Liste2. Velg verktøyet Statistikk4.ggt, klikk på Liste1 og deretter på Liste2. Vi får nå alle opplysningene vi trenger i algebrafeltet. (Teksten med rød skrift kommer ikke opp i algebrafeltet når vi bruker dette verktøyet.) Variansen er 1,25 2 = 1,56. 9
Histogram. Side 71-73 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi tegner histogrammet i eksempelet på side 71-73 med GeoGebra. På Sinussidene finner du en opplæringsvideo, som viser hvordan vi lager dette histogrammet med dette programmet. Skriv inn grenseverdiene i kolonne A, slik den neste figuren viser. Skriv deretter A2 A1 i celle B2 og kopier denne nedover til og med celle B10. Skriv inn frekvensene fra celle C2 til C10. Skriv C2/B2 i celle D2. Kopier denne nedover til og med celle D10. Lag ei liste av klassegrensene (Liste1) og lag ei ny liste av histogramhøydene i kolonne D (Liste2). Skriv Histogram[ Liste1, Liste2 ] og trykk Enter. For å få et best mulig bilde av histogrammet, kan vi høyreklikke på grafikkfeltet, velge Grafikfelt1 og stille inn verdiene slik figurene nedenfor viser. 10
Slik ser da det ferdige histogrammet ut: Forsøk og simuleringer. Side 84-86 i læreboka Vi vil her vise hvordan vi kan simulere et selvvalgt antall kast med en terning, og oppsummere resultatene for dette. Vi vil også vise hvordan vi kan simulere to kast med to terninger, og vise en fordeling av summen av disse kastene. På Sinussidene finnes også flere interaktive simuleringer i Flash. Last ned GeoGebra-fila Kast med en terning.ggb. Denne finner du på Sinussidene. Still inn antall kast ved å dra i glideren for n, eller ved å skrive for eksempel n = 200 i inntastingsfeltet. Trykk F9 for å oppdatere resultatene. 11
Last ned GeoGebra-fila Sum av to terninger.ggb fra Sinussidene. Still inn antall kast, og trykk F9 for å oppdatere resultatene. Rette linjer. Oppgave 5.22, side 89 i læreboka Her viser vi hvordan vi tegner linja som er beskrevet i oppgave 3.62 i læreboka. For en familie er strømutgiftene i kroner per år gitt ved y = 0,42x + 1200 der x er tallet på kilowattimer. Tegn linja digitalt når x er mellom 0 og 30 000. Skriv Funksjon[0.42x + 1200, 0, 30000] i inntastingsfeltet i GeoGebra, og trykk Enter. Husk å bruke punktum som desimaltegn. Bruk dette verktøyet til å dra i aksene, slik at hele grafen viser. 12
Noen tips: o For å vise x og y langs aksene, høyreklikker vi et sted på grafikkfeltet, velger Grafikkfelt 1, velger fanen x-akse, og skriver x bak Navn på aksen. Deretter gjør vi tilsvarende for y-aksen. o Dersom vi ønsker å vise f(x) = 0.42x + 1200 på grafikkfeltet, høyreklikker vi på grafen og velger Navn og verdi bak Vis. Digital løsning av likninger. Side 124-126 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi kan løse likninger grafisk og ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2. CAS står for Computer Algebra System, og er et verktøy som kan regne med både tall og bokstavuttrykk. Et CAS-verktøy er godt egnet til å løse likninger raskt og effektivt. Vi velger eksempelet på side 124. Løs likningen digitalt. 3 x + 1 = 5 2 2 Grafisk løsning: Skriv y = 3/2x + 1/2 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv y = 5 i inntastingsfeltet. Bruk dette verktøyet til å stille inn aksene, slik at vi tydelig ser skjæringspunktet for grafene. 13
Velg verktøyet Skjæring mellom to objekt, og klikk en gang på hver av de to grafene. Løsning av likningen: x = 3 CAS-løsning: Vi kan kontrollere dette i CAS-delen til GeoGebra 4.2. Skriv inn 3/2x +1/2= 5 og klikk på dette verktøyet for å løse likningen. Løsning av likningen: x = 3 14
Digital løsning av likningssett. Side 130 i læreboka VI vil her vise hvordan vi løser et likningssett grafisk og ved hjelp av CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2. y = 0,89x + 150 y = 1.39x + 50 Likningssett av typen som står på side 129-131 i læreboka kan løses på nøyaktig tilsvarende måte. Grafisk løsning: Skriv inn y = 0.89x + 150 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Husk punktum som desimaltegn. Skriv inn y = 1.39x + 50 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Still inn aksene med dette verktøyet. Velg Skjæring mellom to objekt og klikk først på den ene og så på den andre grafen. De to abonnementene koster like mye dersom Mari ringer i 200 minutter hver måned. Begge abonnementene koster da 328 kr. CAS-løsning: Klikk på dette ikonet for å kontrollere og beholde inntastinger. Skriv inn y = 0.89x + 150 i linje 1 i CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2. Skriv inn y = 1.39x + 50 i linje 2 i CAS-verktøyet. 15
Merk begge de grå feltene 1 og 2 til venstre for inntastingene. Klikk på dette ikonet for å løse likningssettet. De to abonnementene koster like mye dersom Mari ringer i 200 minutter hver måned. Begge abonnementene koster da 328 kr. Lineær regresjon. Side 140-142 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi kan finne likningen for den rette linja som passer best til punktene som står i tabellen på side 140 i læreboka. Det er flere måter vi kan gjøre dette på, i tillegg til den som er beskrevet i læreboka. Dette gjelder både for GeoGebra 4.2 og senere versjoner. Alternativ metode 1: Åpne regnearket og skriv inn tallene, slik de står i læreboka. Merk tallene, høyreklikk og velg Lag og Lag liste med punkt. Still inn aksene ved å dra i dem med dette verktøyet til alle punktene vises. Dersom vi ikke ønsker at navnene på punktene skal vises, kan vi høyreklikke på et punkt på grafikkfeltet, velge Egenskaper, klikke på overskriften Punkt, og så fjerne haken foran Vis navn. Vi kan også velge å bare vise første kvadrant i koordinatsystemet. Det gjør vi ved å merke av for Bare i positiv retning for x- og y-aksen. 16
Vi velger så verktøyet Beste tilpasset linje fra menyen, og drar et rektangel over punktene. Vi får da likningen -6512x +275y = 616975. Vi kan høyreklikke på denne i algebrafeltet, og omforme den til y = 23,7x + 2243,5 Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge er y = 23,7x + 2244 Alternativ metode 2: Skriv inn tallene i regnearket, slik det er beskrevet i læreboka, og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. Velg Lineær fra nedtrekksmenyen for ulike regresjonsmodeller. 17
OBS! Legg merke til at y-aksen er kuttet, slik at aksene ikke krysser hverandre i origo. Med avrunding til 1 desimal, blir likningen y = 23,7x + 2243,5. Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge er y = 23,7x + 2244 Andregradsfunksjoner. Side 147-148 i læreboka 2 Vi vil her vise hvordan vi avgrenser grafen til funksjonen f, gitt ved f( x) = x 4x+ 3, for x-verdier mellom -1 og 5, og hvordan vi lager en verditabell digitalt med GeoGebra. Skriv inn Funksjon[x 2-4x + 3, -1, 5] og trykk Enter. Det var tilsvarende måte vi avgrenset lineære grafer i kapittel 5. Tips: Du får eksponenten 2 ved å holde nede Alt-tasten og trykke 2. Klikk på Vis og merk av for Regneark. Skriv inn x-verdiene i kolonne A. (Her kan vi spare litt arbeid ved å skrive inn de to første x-verdiene, merke disse og så dra nedover med musetasten til vi har fått med 5.) Skriv f(a1) i celle B1, trykk Enter og kopiere denne nedover til og med celle B7. 18
Nullpunkt, toppunkt og bunnpunkt. Side 149 i læreboka Her skal vi vise hvordan vi kan finne nullpunktene og bunnpunktet til funksjonen f gitt ved f(x) = x 2-4x + 3. Skriv inn f(x) = x 2-4x + 3 og trykk Enter. Skriv Nullpunkt[f] og trykk Enter. Skriv Ekstremalpunkt[f] og trykk Enter. Dersom vi ønsker å vise koordinatene til disse punktene, i stedet for navnene, høyreklikker vi på et punkt, velger Egenskaper, merker overskriften Punkt, og skifter fra Navn til Verdi. Da får vi viste koordinatene til alle punktene samtidig. Disse koordinatene vises nå både i algebrafeltet og på figuren i grafikkfeltet. 19
I GeoGebra 4.2, kan vi også finne nullpunktene i CAS-delen. Det gjør vi slik: Skriv inn Nullpunkt[x 2-4x + 3] i CAS-delen, og trykk Enter. Nullpunkt: x = 1 og x = 3 Momentan vekstfart. Side 166 i læreboka Her vil vi vise hvordan vi finner den momentane vekstfarten når x = 2 for funksjonen f gitt ved f(x) = x 2-2x + 4. Den momentane vekstfarten er det samme som stigningstallet til tangenten i et bestemt punkt. Dette er også det samme som den deriverte til funksjonen i det bestemte punktet. I dette kurset skal vi ikke lære om den deriverte, men vi kan likevel benytte oss av denne sammenhengen for å finne den momentane vekstfarten digitalt. Vi viser både hvordan vi finner stigningstallet til tangenten i et punkt, og en mer direkte måte for å finne den deriverte i det aktuelle punktet.. Vi skriver den deriverte av funksjonen f som f '( x) og den deriverte når x = 2 som f '(2). Stigningstallet til tangenten: Skriv inn f(x) = x 2-2x + 4 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Still inn aksene slik at et passende utsnitt av grafen viser. 20
Skriv deretter Tangent[2, f] og trykk Enter. Stigningstallet til tangenten er 2 når x = 2. Vekstfarten er 2 når x = 2 Den deriverte i punktet: Skriv inn f(x) = x 2-2x + 4 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv f '(2) og trykk Enter. Vi får svaret i algebrafeltet som a = 2. (GeoGebra starter fremst i alfabetet når programmet gir navn til resultat i form av tallverdier.) Vekstfarten er 2 når x = 2 Polynomregresjon. Side 173 i læreboka Framgangsmåten for regresjon med GeoGebra 4.0 er grundig beskrevet i heftet Kurvetilpasning (regresjon) med GeoGebra 4. Her viser vi framgangsmåten for det menybaserte hurtigregresjonsverktøyet som finnes i GeoGebra 4.0 og senere versjoner. Skriv inn tallene i regnearket og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. Velg Polynom og grad 3. 21
I figuren ovenfor har vi valgt 3 gjeldene siffer. Det kan vi gjøre ved å klikke på Innstillinger, velge Avrunding og så velge antall desimaler eller antall gjeldende siffer. Den beste tredjegradsfunksjonen er gitt ved 3 2 f( x) = 0,000088x 0,0146x + 0,223x + 39,6 Vi ser at grafen stiger mot høyre når x er større enn ca. 103. Det betyr at andelen som arbeider i primærnæringene skulle øke igjen fra ca. år 2003. Det er ikke riktig, så vi må være forsiktige med å trekke modellen for langt i forhold til det vi har grunnlag for. For å regne ut hvor stor andel av befolkningen som arbeidet i primærnæringene i 1930, skriver vi inn 30 i ruta bak x = og trykker Enter. Vi kan selvsagt gjøre det samme for 1960, ved å skrive inn 60 i ruta, og trykke Enter. Ut fra modellen arbeidet 35,5 % i primærnæringene i 1930 og 19,3 % i 1960. Dette stemmer godt med de faktiske opplysningene. 22
Eksponentialregresjon. Side 175 i læreboka Skriv inn tallene i regnearket og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. Velg Eksponentiell. Den eksponentialfunksjonen som passer best er: A x 158,0 1,315 x ( ) = For å finne antallet mobilabonnenter 1. januar 2001 og 1. januar 2006, skriver vi først inn 11 (2001 er 11 år etter 1990) i ruta for x, og trykker Enter. Deretter skriver vi inn 16 og trykker Enter igjen. Vi kan da lese av antallet mobilabonnement i tusen for de to aktuelle årene, ut fra modellen. Se kommentar om gyldigheten av modellen i læreboka. 23
Potensregresjon. Side 183 i læreboka Alternativ metode til den som er beskrevet i læreboka: Skriv inn tallene i regnearket og merk dem. Velg Regresjonsanalyse fra menyen som hører til regnearket. Velg Potensregresjon 3.226 Den beste potensfunksjonen er T( x) = 0.000877 x. Ut fra modellen skulle tallet på fasttelefonabonnenter 1. januar 2001 være 1 309 000 og 1. januar 2006 skulle det være 2 997 000. Se kommentarer på side 185 i læreboka om hvordan modellen stemmer med de faktiske tallene. 24