. november, MAT A: Mppeeksmen Løsningsforslg Oppgve ) Vi bruker produktregelen: f (x) x rctn x + x + x Siden x og rctn x hr smme fortegn, og x ldri er negtiv, er f (x) positiv overlt, bortsett fr t f (). Ifølge Korollr..5 i Klkulus er f strengt voksende på hvert v intervllene (, ] og, ). For å vise t f er strengt voksende på hele R, er det d nok å vise t hvis x < og x >, så er f(x ) < f(x ). Men det følger v t f er strengt voksende på hvert v intervllene (, ] og, ). Det gir nemlig t f(x ) < f() og f() < f(x ), og følgelig er f(x ) < f(x ). Mplegrfen ligger på egen fil. b) Vi bruker delvis integrsjon med u rctn x og v x. D er u +x og v x, og vi får: x rctn x dx x rctn x x + x dx Vi innfører nå y + x som ny vribel. D er dy x dx, og vi får: x + x dx y dy ( y y ) dy (y ln y ) + C ( + x ln( + x )) + C Setter vi dette inn i uttrykket ovenfor, får vi: x rctn x dx x rctn x ( + x ln( + x )) + C x rctn x x + ln( + x ) + C siden vi kn inkorporere leddet i C-en.
c) Vi observerer først t f() rctn() π. Følgelig er g( π ). Vi bruker setning 7.. i Klkulus: g ( π ) f () rctn() + + π + π + Oppgve ) Figuren ligger på egen fil. Arelet er gitt ved A π sin x dx Jeg løser først det ubestemte integrlet I sin x dx siden dette integrlet dukker opp flere steder senere i oppgvesettet. Bruker delvis integrsjon med u sin x, v sin x, som gir u cos x og v cos x: I sin x dx sin x cos x + cos x dx sin x cos x + ( sin x) dx sin x cos x + x I + C Løser vi denne ligningen for I, får vi Setter vi inn grensene, ser vi t A π I sin x cos x + x + C sin x dx b) Volumet til omdreiningslegemet er gitt ved sin x cos x + x ] π π π V π x sin x dx Vi løser integrlet ved delvis integrsjon. Setter vi u x og v sin x, får vi u og v sin x cos x + x (husk integrsjonen ovenfor). Dette gir: π x sin x dx x x sin x cos x + π sin x + x ] π ] π π ( sin x cos x + x ) dx π π π
Dermed er π V π x sin x dx π π π c) Både teller og nevner går mot, så vi kn bruke L Hôpitls regel: lim x + sin x rcsin(x ) lim sin x cos x x + lim x cos x x sin x x + x x I dette uttrykket er de to første fktorene ufrlige og går begge mot. Den tredje fktoren er et -uttrykk som vi kjenner fr før, og som også hr grenseverdi (husker du ikke dette, er det lett å bruke L Hôpitls regel en gng til: lim sin x x + x lim cos x x + ). Dermed hr vi lim x + sin x rcsin(x ) Oppgve skip π fyr x x v 5 x ) Ved å bruke t sin π og cos π ovenfor. Ved definisjonen v tngens er d, får vi målene på figuren tn v x 5 + x x x + b) Vi deriverer begge sider v ligningen tn v x x+ med hensyn på t. Først venstresiden: d (tn v) dt cos v v (t) og så høyresiden: ( ) d x (x + ) x dt x + (x + ) x (t) (x + ) x (t) Disse uttrykkene må være like, så: cos v v (t) (x + ) x (t) Løser vi denne ligningen for x (t), får vi: x (x + ) (t) v (t) cos v
c) Vi må først finne ut hvor lng x er når v π. Vi setter v π inn i ligningen tn v x x+ : tn π x x + Løser for x og får x 5. Vi setter nå x 5, v π og v inn i formelen for x (t): x (5 + ) (t) cos π (5 + ) 7. Skipet seiler ltså med en frt på c. 7 knop (dvs. nutiske mil per time). Oppgve ) Siden f (x) > for lle x, er f strengt voksende. Det betyr t f er injektiv, og følgelig hr f en omvendt funksjon g. For å utlede formelen, delvis integrerer vi med u f(x) og v. D er u f (x) og v x. Dette gir b b f(x) dx xf(x)] b xf (x) dx bf(b) f() b xf (x) dx Vi skifter nå vribel i det siste integrlet ved å sette y f(x). D er x g(y) (der g er den omvendte funksjonen til f) og dx f (x) dx. Vi ser dessuten t når x, så er y f(), og når x b, er y f(b). Dermed hr vi: b xf (x) dx f(b) f() g(y) dy Kombinerer vi dette med uttrykket ovenfor, får vi den ønskede formelen: b f(x) dx bf(b) f() f(b) f() g(y) dy b) Vi skl bruke formelen ovenfor med f(x) rcsin x. D er g(y) sin x. Vi ser også t f() og f( ) rcsin( ) π. Dermed hr vi rcsin( x) dx π Vi vet fr oppgve ) t π sin y dy π π sin y dy sin y cos y + y + C sin y dy
Følgelig er π sin y dy sin y cos y + y + C ] π Dermed er + π 8 + π rcsin( x) dx π ( 8 + π ) 8 π c) Figuren nedenfor viser t rektngelet med sider b og f(b) kn deles inn i tre deler. Området A under grfen hr rel b f(x) dx, området A til venstre for grfen hr rel f(b) f() g(y)dy (tenk på den geometriske tolkningen v omvendte funksjoner), og rektngelet A nederst i venstre hjørne hr rel f(). Følgelig er bf(b) b f(x) dx + f(b) f() g(y) dy + f() Snur vi om på denne, får vi formelen vi er på jkt etter. Et helt tilsvrende resonnement viser t vi får den smme formelen om > b. f(b) (b, f(b)) A A f() (, f()) A b 5