Eksame R, Våre 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver fuksjoe gitt ved f x x cos 3 x b) Bestem itegralee 1) 5x e ) x dx 6x dx x 1 c) Løs differesiallikige 3 y y år y 0 d) 1) Bruk formlee cos u v cosucosv siusiv cos u v cosucosv siusiv til å vise 1 cosucosv cos u v cos u v ) Bruk 1) til å fie et uttrykk for cos x. Bestem itegralet cos x dx
e) I dee oppgave får du bruk for de geerelle sammehege b a F x dx F b F a Tabelle edefor viser oe fuksjosverdier for fuksjoee f, g og h. x fx gx hx 3 0 6 6 1 7 4 4 8 Det opplyses i tillegg at f x gx og h x g x. Bruk tabelle og tilleggsopplysigee til å fie itegralee 3 1) 1 3 f x dx ) h x dx
Oppgave Vi har gitt puktee A 3,0,, B 0,,0 og 1, 1,4 a) Bestem AB AC. C. b) Fi e likig for plaet som går gjeom puktee A, B og C. E rett lije l går gjeom puktet P 5,4,4 og står vikelrett på plaet. c) Vis at e parameterframstillig for l er x5t y 4 t z 4 t Fi skjærigspuktet mellom l og xz - plaet. Vi lar Q være et vilkårlig pukt på lije l. d) Bestem volumet av pyramide ABCQ uttrykt ved t. e) Bestem koordiatee til Q slik at volumet av pyramide ABCQ blir 4.
Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Alle hjelpemidler er tillatt, med utak av Iterett og adre verktøy som tillater kommuikasjo. Oppgave 3 Du skal studere løsige til differesiallikige y y 6 y 0 5 5 a) Bruk løsige til de karakteristiske likige til å vise at de geerelle løsige til differesiallikige er 0,x y e C six Dcos x, der C og D er kostater. 3 b) Du får oppgitt at y 0 5 og y 0. 4 Forklar at løsige av differesiallikige da ka skrives 0,x y 5e six cos x (Du ka få bruk for at 3 3 si og cos ) 4 4
Oppgave 4 0,x Fuksjoe f er gitt ved a) Teg grafe til f. f x 5e six cos x, x 0, 15 b) Bestem ved regig ullpuktee til f. c) Vis ved regig at 0,x cos 3si f x e x x d) Teg fortegslije til f x 6,164, 1,754 og 0,499.. Bruk dee til å vise at fuksjosverdiee til toppuktee er e) Skriv fx på forme 0,x f x Ae si x, der A og er kostater. x Fuksjoee p og q er gitt ved i pukt e) over. p x Ae q x Ae 0, 0,x og, der A er kostate du fat f) Forklar at qx f x px. Teg grafee til p og q i samme koordiatsystem som grafe til f.
Oppgave 5 Vi vil studere flere egeskaper ved fuksjoe 0,x 5 si cos f x e x x år defiisjosmegde er 0,. a) Forklar at det -te ullpuktet til f ka skrives på forme x,356 1 der 1 b) Hva slags tallfølge daer ullpuktee? Hvor mage ullpukter får vi hvis x 0,30? c) De tre første fuksjosverdiee til toppuktee på grafe til f er gitt i oppgave 4d). Alle disse daer også e tallfølge. Vis at dee tallfølge er geometrisk, og fi det femte leddet i tallfølge. Vi summerer y - koordiatee til alle toppuktee til høyre for origo. d) Vil de rekke vi får, kovergere år x? Fi evetuelt summe av de uedelige rekke.
Oppgave 6 Du skal svare på ete alterativ I eller alterativ II. De to alterativee teller like mye ved vurderige. (Dersom besvarelse di ieholder deler av begge alterativee, vil bare det du har skrevet på alterativ I, bli vurdert.) Alterativ I Et lodd med masse m er festet i e fjær som er festet i vegge. Når loddet er i ro, er det i likevektsstillig. Se figur 1. Figur 1 Vi trekker loddet ut fra likevektsstillige, gir det et puff bort fra likevektsstillige, og setter dermed i gag e svigebevegelse fram og tilbake. Se figur og figur 3. Avstade fra likevektsstillige til loddet ved tidspuktet t er yt. Se figur. Figur Tida t er målt i sekuder, og målt i desimeter. yt er I horisotal retig virker to krefter på loddet: E kraft fra fjæra som er proporsjoal med yt E friksjoskraft fra uderlaget som er proporsjoal med farte vt yt Akslerasjoe til klosse er at vt Figur 3
Vi setter yt y, vt v og at a. Newtos. lov vil da gi følgede likig bv ky m a der b, k og m er positive kostater. a) Vis at dee likige ka omformes til b k y y y 0 m m Vi setter b 1,0 Ns/m, k,6 N/m og m,5 kg. b) Vis at du får differesiallikige 6 y y y 0 5 5 Bestem et uttrykk for yt år du får oppgitt at y 0 =5 og 3 y 0. 4 c) d) Forklar at det går like lagt mellom hver gag loddet passerer likevektsstillige. Vis at det maksimale utslaget y på samme side av likevektsstillige miker med 71,5 % fra et utslag til det este.
Alterativ II Summe av de første leddee i e rekke er gitt ved S k 1 3 4... k1 a) Forklar at S 1. Fi S 8. Summe av de første leddee i e ae rekke er gitt ved S k 1 8 7... k1 3 3 b) Bruk digitalt verktøy til å udersøke hvor mage ledd rekke må ha for at summe av rekke skal være større e 15 000. Det er blitt påstått at 1 3... 3 3 3 1 c) Bevis formele over ved iduksjo.(spørsmål c) teller som to delspørsmål.) 4 d) Forklar at 3 3 3 1 3... 1 3...