KAPITTEL - ALGEBRA. Regnerekkefølger og regneregler Legg først merke til at: 2( ) = 2 ( ) = 6, ab = a b = b a = ba og a a = a 2 Legg spesielt merke til at : a 2 = a a, ( a) 2 = ( a) ( a) = a 2 og ( a) = ( a) ( a) ( a) = a Eksempel.: Regn ut a) + = + 20 = 2 b) 2( ) = 2(2) = c) ( ) = ( ) = 2 d) 2 2 = 2 2 = e) ( 2) 2 = ( 2) ( 2) = f) 2( ) = + 6 = g) 2( 6) ( 2) = 2( 2) ( 8) = + 2 = 20 Oppgave.: Regn ut a) 2 + ( 2) b) 2( 2) ( ) c) 2 + ( 2) 2 d) 2( 2 2 ) + ( 2) Eksempel.2: Regn ut a) a(a b) 2ab + a 2 = a 2 + ab 2ab + a 2 = ab b) a(b c) c(a b) + b(c a) = ab ac ca + cb + bc ab = 2ac + 2bc c) (a )( + a) = a + a a a = a + a 2 a = a 2 + a Oppgave.2: Regn ut a) (a + ) + a(b ) ab b) 2a(a ) 6(a 2 a) c) a(a b) b( a) + b d) a 2 ( a) 2 + a 2 e) (2 + b)(b )
2. Kvadratsetningene. Kvadratsetning (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2. Kvadratsetning (a b) 2 = a 2 2ab + b 2. Kvadratsetning (a + b)(a b) = a 2 b 2 De tre kvadratsetningene bør du lære deg utenat. Da kan du raskere løse oppgaver der uttrykkene (a + b) 2, (a b) 2 og (a + b)(a b) inngår. Kvadratsetningene utledes slik: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a a + a b + b a + b b = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = (a b)(a b) = a a a b b a + b b = a 2 2ab + b 2 (a + b)(a b) = a a a b + b a b b = a 2 b 2 Eksempel 2.: Regn ut med kvadratsetningene a) (x + 2) 2 = x 2 + 2 2 x + 2 2 = x 2 + x + b) (2x ) 2 = (2x) 2 2 2x + 2 = x 2 2x + 9 Merk at i eksempel 2.b) er: (2x) 2 = 2x 2x = 2 2 x x = x 2 c) (x + 2)(x 2) = x 2 2 2 = x 2 d) (x + )(x ) = (x) 2 2 = 9x 2 6 Oppgave 2.: Regn ut med kvadratsetningene a) (x + ) 2 b) (x ) 2 c) (x )(x + ) d) (2x + )(2x ) Eksempel 2.2: Regn ut med kvadratsetningene a) (2a + b) 2 = (2a) 2 + 2 2a b + b 2 = a 2 + ab + b 2 b) (a 2b) 2 = (a) 2 2 a 2b + (2b) 2 = 9a 2 2ab + b 2 c) (2a b)(2a + b) = (2a) 2 (b) 2 = a 2 9b 2 Oppgave 2.2: Regn ut med kvadratsetningene a) (a + b) 2 b) (a b) 2 c) (a b)(a + b) d) (6x 2y)(6x + 2y)
. Faktorisering ved hjelp av kvadratsetningene Å faktorisere tallet 60, betyr å skrive 60 = 2 2. Vi kan bruke følgende metode for å faktorisere et helt tall: Eksempel.: Faktoriser tallet 20 20 2 20 2 0 7 7 Svar: Faktoriseringen av tallet 20, er: 20 = 2 2 7 Merk at dersom summen av sifrene i et tall er delelig med, så er tallet delelig med. Oppgave.: Faktoriser tallene a) b) 96 Vi kan faktorisere uttrykk ved å bruke kvadratsetningene motsatt vei. Eksempel.2: Faktoriser uttrykkene i førstegradsfaktorer a) x 2 + 6x + 9 = (x + ) 2 = (x + )(x + ) b) x 2 2x + = (x ) 2 = (x )(x ) c) x 2 9 = x 2 2 = (x )(x + ) d) x 2 2 = (2x) 2 2 = (2x )(2x + ) Oppgave.2: Faktoriser uttrykkene i førstegradsfaktorer a) x 2 x + b) x 2 + 0x + 2 c) x 2 6 d) 9x 2 6 Eksempel.: Faktoriser uttrykkene i førstegradsfaktorer a) x 2 x = x(x ) b) ax 2 2a = a(x 2 ) = a(x 2)(x + 2) c) x a 2 x = x(x 2 a 2 ) = x(x + a)(x a) Oppgave.: Faktoriser uttrykkene i førstegradsfaktorer a) x 2 2x b) ax 2 + 2bx c) x 6x d) 2x 2 a 2 c) ax 2 ab 2 d) 8a 2 x 2 2b 2
. Brøkregning Brøken a betyr det samme som a b (a delt på b). Over brøkstreken har vi b Teller telleren og under brøkstreken har vi nevneren: Regneregler i brøkregning: a Regel c = a c b d b d a Regel 2 c = a d = a d b d b c a Regel + b = a+b c c c = ad b c bc Nevner (Legg merke til at: a c = a c = a c b b b ) Her kaller vi c for fellesnevner. Eksempel.: Regn ut og forkort brøken mest mulig a) 6 = 6 = 2 = 2 = 9 9 2 2 2 2 2 b) 2 = 2 = 2 2 2 = 2 2 2 = 2 Skal vi legge sammen brøker med ulike nevnere, må vi utvide brøkene slik at de får samme nevner. I neste eksempel er fellesnevneren 6. c) 2 + = 2 2 + 6 = + 6 = + 6 = 2 2 2 6 6 6 6 6 6 d) 2 ( 2 ) = 2 2 2 = 6 = 6 6 6 = 6 0 = 0 = Oppgave.: Regn ut og forkort brøken mest mulig a) 0 b) 2 c) + + 6 6 2 2 d) 2 ( ) Eksempel.2: Regn ut og forkort brøken mest mulig a) (2 ) ( 6 ) = (2 ) ( 2 2 6 ) = (8 ) (2 6 ) = 6 = 6 = 2 b) ( 2 ) ( 2 ) = ( 2 2 2 ) ( 2 2 2 ) = ( 2 6 ) ( 2 ) = 6 = 6 = 6 = 2 2 2 = 2 2 2 = 2 0
Oppgave.2: Regn ut og forkort brøken mest mulig a) 2 2 ( 6 2 ) b) ( 6 2 ) ( 2 ) c) ( 2 ) (2 ) d) ( 2 ) (2 2 ) Eksempel.: Skriv de brudne brøkene enklere a) b) 2 2 + 2 = ( 2 ) 2 ( 2 ) 2 = 2 2 2 6 = 2 2 2 9 = 2 = ( +) = (2 + 9+60 ) 2 = = 69 0 2 Her har vi ganget med fellesnevneren til alle brøkene både i telleren og nevneren. Oppgave.: Skriv enklere 2 a) 2 b) 2 7 0 6 2 Eksempel.: Regn ut og forkort brøkene a) + a b = b + a a b a b ab a b b a ab = b+a (a b) ab = a+b a+b ab = 2b ab = 2 a b) + 2 = x+ x x 2 = x +x+ 2 (x+)(x ) = (x ) (x+)(x ) + 2x 2 (x+)(x ) = (x+) 2 (x )(x+) (x+)(x ) 2(x ) (x+)(x ) = 2 x+ Oppgave.: Regn ut og skriv brøkene så enkelt som mulig a) a b 8b a 2ab b) a 2a 2 + 2a c) x + x2 8x x+2 x 2 x 2
Eksempel.: Forkort brøkene a) 2x2 x x 2 = 2x(x 2) x 2 = 2x b) x2 = (x 2)(x+2) = x 2 x+2 x+2 c) x 2 = (x )(x+) = x x 2 +2x+ (x+)(x+) x+ d) x = ( x) = x x e) x2 9 x = (x+)(x ) (x ) = (x+)(x ) x = (x + ) = x Oppgave.: Forkort brøkene a) a ab 2ab b) 2x+0 x 2 2 c) x x2 x 2 x+6 d) x x + x e) x2 x 9x. Potenser Tallet 8 = 2 2 2. Vi skriver tallet 8 som en potens med grunntall 2 slik: 2, fordi 8 er tallet 2 ganget med seg selv tre ganger. Videre er =, fordi «opphøyd i fjerde» er tallet ganget med seg selv fire ganger. Potens = grunntall eksponent Potensregler: ) a n a m = a n+m ) (a b) n = a n b n 2) a n = an m ) am ) (a n ) m = a n m ( a b )n = an b n Definisjoner: ) a 0 = 2) a n = Vi skal først vise noen eksempler på bruk av potensreglene og vise hvorfor vi har definisjon ) og 2). a n
Eksempel.: Regn ut a) 2 2 2 = (2 2 2) (2 2) = 2 2 2 2 2 = 2 2 2 2 2 = 2 Vi ser det er raskere å bruke regel ): 2 2 2 = 2 +2 = 2 b) 2 = 2 2 2 2 2 = 2 2 2 = 2 2 2 2 2 Vi ser det er raskere å bruke regel 2): 2 2 = 2 = 2 2 c) ( 2 ) = ( ) ( ) ( ) = = 6 Vi ser det er raskere å bruke regel ): ( 2 ) = 2 = 6 d) = = = Vi ser det er raskere å bruke regel 2) først, og deretter definisjon 2): = = = = = e) 2 2 = 2 Bruker vi regel 2, får vi at: = 2 2 = 2 0 =. Vi ser her at det er fornuftig å definere at 2 0 =, og derfor har vi definisjon. f) 6 2 9 2 = (2 )2 = 22 2 = 22 2 = 2 2 ( 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 = 2 0 = = 8 Når vi har potenser med ulike grunntall i samme regnestykke, som i eksempel f), er det lurt å gjøre om grunntallene slik at vi får flest mulig potenser med samme grunntall. Oppgave.: Regn ut a) 6 2 7 b) 2 d) ( 2 ) ( )2 e) 2 2 2 2 2 c) (2 2 ) (2 ) 2 8 f) ( 2 ) ( 2 2 ) 2
Eksempel.2: Regn ut a) a b2 c a b c 6 = a ( ) b 2 c 6 = a b c = a b c b) (2 a2 ) (2 2 a ) 2 = 2 a 6 2 a 6 = 27 a0 = (2 a 2 ) 2 2 2 a 2 2 a 27 2 a 0 = 2 a = 2 a Alternativt: (2 a 2 ) (2 2 a ) 2 (2 a 2 ) 2 = 2 + 2 a 6+ = 2 a = 2 a Oppgave.2: Regn ut a) 2 x ( 2 x ) 2 b) x2 y d) (x y) y x y e) (2 x 2 2 ) (2 x 2 ) (x y 2 ) (2 x ) f) c) (a2 b) a b 2 6 x 2 y 6 (2 x y 2 ) Standardform Vi skriver veldig store og veldig små tall på standardform for å gjøre det enklere å regne med slike tall. Standardform skrevet generelt: a 0 n, der 0 < a < 0 Eksempel.: Skriv tallene på standardform a) 200 =,2 0000 =,2 0 b) 0,02 =,2 00 =,2 0 2 Oppgave.: Skriv tallene på standardform a) 80000000 b) 0,00086 Eksempel.: Regn ut og skriv svaret på standardform a) 2000000 0,000006 =,2 0 7 6,0 0 6 =,2 6,0 0 7 6 = 7,2 0 = 72 b) 200000 0,02 6000 =,2 06 2, 0 2 6 0 =,2 2, 6 0 6 2 = 0,6 0 =,6 Oppgave.: Regn ut og skriv svaret på standardform a) 00000 0,00000 b) 80000 0,002 c) 0000 0,000 0000
6. Kvadratrøtter a betyr kvadratroten av det positive tallet a. Vi definerer a som det positive tallet som er slik at a a = ( a) 2 = a Vi har to regneregler for kvadratrøtter: a b = a b og a b = a Eksempel 6.: Skriv så enkelt som mulig a) 8 = 2 2 2 = 2 2 2 = ( 2) 2 2 = 2 2 b) 8 = 2 = 2 = 2 = 2 c) Legg merke til forskjellen mellom: 2 6 = 9 = og 2 6 = = d) 8 = 2 2 2 = 2 6 2 2 2 Eller: 8 2 6 = 8 2 6 = 8 2 6 = 2 = 2 = 2 b Oppgave 6.: Skriv så enkelt som mulig a) 0 b) 08 c) 8 8 d) 6 e) 2 8 2 Eksempel 6.2: Skriv så enkelt som mulig når a > 0. a) 7a 2 = a a = a a = a = a b) 6 ( 2) = 6 6 2 = 2 2 2 2 2 2 = 2 2 2 = 8 2 = 6 Oppgave 6.2: Skriv så enkelt som mulig a) 2 ( 8 2) b) 2 a 2, a > 0. c) 2 ( 7 8) d) 20 a2 a 0, a > 0.
Eksempel 6.: Skriv så enkelt som mulig a) 2 ( 2 2 ) = 2 2 = 2 = 2 2 b) 8+2 2 2 = 2 2+2 2 2 = 2 2 = c) x = ( x+2)( x 2) = x 2, x > 0. x+2 x+2 Oppgave 6.: Skriv så enkelt som mulig, når a > 0. a) 6 ( 8a+ 8a ) b) 0a c) ( 2 ) ( 2 + a ) d) 2 2 a+ Røtter av n-te grad Tredjeroten av 27 skriver vi slik: 27 =, fordi = 27. Fjerderoten av 6 skriver vi slik: 6 = 2, fordi 2 2 2 2 = 6. 2 Kvadratroten av,, er egentlig det samme som andreroten av fire,. Når vi regner med røtter av n-te grad, kan vi skrive det slik: = 2 27 = 27 6 = 6 n Generelt har vi at: a m = a m n Eksempel 6. a) 8 8 8 = 8 8 8 = 8 + + = 8 = 8 = 8 b) Tredjeroten av tallet 8 er: 8 c) Fjerderoten av tallet 8 er: 8 = 8 = (2 ) = 2 = 2 = 2 = 2 = 8 = ( ) = = = = Oppgave 6.: Regn ut a) 2 2 2 2 b) 6 c) 2
Eksempel 6.: Regn ut a) 8 b) 6 8 = 2 = 2 2 2 = ( 2 ) = 2 2 2 = 2 +2 = 2 = 2 = 2 = ( 2 ) = ( 2 ) = 2 c) a 6 a = a 2 a a a 6 = a 2 + 6 = a 6 + 6 2 6 = a 2 2 = a = a Oppgave 6.: Regn ut a) 27 9 b) 6 27 c) 2 2 d) 8 8 e) x2 6 6 x x