Representasjonsrom for Hantzsche-Wendtmangfoldigheten. Tony Valle Masteroppgave, våren 2017

Transkript

1 Representasjonsrom for Hantzsche-Wendtmangfoldigheten Tony Valle Masteroppgave, våren 2017

2 Denne masteroppgaven er levert inn under masterprogrammet Matematikk, studieretning Matematikk, ved Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. Oppgaven er normert til 60 studiepoeng. Forsiden viser et utsnitt av rotsystemet til den eksepsjonelle liegruppen E 8, projisert ned i planet. Liegrupper ble oppfunnet av den norske matematikeren Sophus Lie ( ) for å uttrykke symmetriene til differensiallikninger og spiller i dag en sentral rolle i flere deler av matematikken.

3 INNHOLDSFORTEGNELSE 1. Introduksjon Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper Denisjon Homologi Y uttrykt som et CW-kompleks Cellulærhomologi Beregning av randavbildninger Beregning av cellulærhomologien Fundamentalgruppen Representasjoner av fundamentalgruppen Γ representert i SU(2) Γ representert i SO(3) Vektorbunter over Y Stiefel-Whitneyklasser

4 1. INTRODUKSJON Denne oppgaven har som mål å studere Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten gjennom representasjoner av dens fundamentalgruppe. Vi har valgt Hantzsche- Wendt-mangfoldigheten av to grunner; for det første er den en rasjonal homologi 3-sfære, en klasse mangfoldigheter av generell interesse, og for det andre er denne den eneste slike som tillater en at Riemannsk metrikk. Oppgaven består i hovedsak av to deler. Den første modellerer Hantzsche- Wendt-mangfoldigheten som et CW-kompleks og bruker videre denne CWstrukturen til å beregne cellulærhomologien. Utledningen inkluderer en vellykket metodisk beregning av randavbildningene ved hjelp av gradberegninger. Den andre delen handler om å konstruere representasjonsrom, og vi lager to eksempler på slike. På slutten beveger vi oss i retning av konsepter relatert til Floerhomologi, siden dette er en viktig anvendelse av representasjonsrom. Kim A. Frøyshov var veileder for denne oppgaven.

5 2. HANTZSCHE-WENDT-MANGFOLDIGHETEN OG DENS GRUNNLEGGENDE EGENSKAPER 2.1 Denisjon Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten Y er en 3-mangfoldighet som kan konstrueres ved å ta en kvotient av en annen 3-mangfoldighet, og konstruksjonen går som følger. La C være det komplekse planet og S 1 C betegne enhetssirkelen. Mangfoldigheten vi tar utgangspunkt i er 3-torusen T 3 = S 1 S 1 S 1. Vi skal først denere en gruppevirkning fra gruppen G = Z/(2) Z/(2) = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)} på T 3. Elementene i T 3 kan skrives på formen (x, y, z) hvor x, y, z C er slik at x = y = z = 1. Følgende tabell beskriver hvordan G virker på T 3 ( ) (0, 0)(x, y, z) = (x, y, z) (1, 0)(x, y, z) = ( x, ȳ, z) (0, 1)(x, y, z) = ( x, y, z) (1, 1)(x, y, z) = ( x, ȳ, z) Vi ser at for eksempel (1, 1) virker på T 3 ved å speile x og y om realaksen og z om både real- og imaginæraksen. De andre elementene i G virker også ved å foreta en speiling på hver komponent. Vi kan bruke dette til å vise at ( ) oppfyller gruppevirkningsaksiomet g 1 (g 2 a) = (g 1 g 2 )a. For det første observerer vi at speilingene som virker på hver komponent av T 3 er et element i gruppen H = {e, r, i, ri}, der elementet r svarer til speiling om imaginæraksen og i til en speiling om realaksen. På S 1 virker denne gruppen slik at h 1 (h 2 z) = (h 1 h 2 )z er oppfylt. Derfor induserer også produktet H H H en gruppevirkning på S 1 S 1 S 1 = T 3. Det samme må gjelde enhver undergruppe av H H H. Virkningen av G svarer til virkningen av undergruppen {(e, e, e), (ri, i, i), (i, ri, r), (r, r, ri)}. Siden vi nå vet at ( ) er en gruppevirkning kan vi dele T 3 opp i ekvivalensklasser med hensyn på G: a b hvis og bare hvis a = gb for en g G. La T 3 /G betegne kvotientrommet med hensyn på denne partisjonen. Denisjon 1. Y = T 3 /G kalles Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten. Enhver kvotient vil beskrive et topologisk rom, men det er ikke alltid gitt at dette rommet blir en mangfoldighet. Y = T 3 /G oppfyller alle kravene i

6 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 6 et teorem, kjent som kvotientmangfoldighetsteoremet [5, teorem 21.10], som angir en tilstrekkelig betingelse for at et kvotientrom er en mangfoldighet. Her kan man imidlertid se det ved å bruke enklere metoder. Vi legger først merke til at for en gitt g G vil funksjonen f g : T 3 T 3 som tar a ga være kontinuerlig. Følgelig er også fg 1 = f g 1 kontinuerlig, som betyr at avbildningene {f g g G} er homeomorer. Denisjon 2. La G være en gruppe og X et topologisk rom. En virkning fra G på X kalles fri hvis gx x for alle g G \ {e} og x X. En annen måte å si at G virker fritt på X er at avbildningen f g er kspunktfri hvis og bare hvis g e. Hvis gruppevirkningen ( ) skal være fri må det alltid nnes en komponent i (x, y, z) som forandrer seg når man anvender et ikkeidentitetselement. Dette vil for eksempel være tilfellet dersom en av komponentene skifter fortegn. I tabellen ( ) nner vi faktisk at alle operasjonene har en komponent som skifter fortegn. G virker derfor fritt på T 3 Lemma 1. Hvis G virker kontinuerlig på M er q : M M/G en åpen avbildning. Bevis. La U være en åpen mengde i M. Siden f g er åpen for alle g G er V = g G f g(u) åpen i M. Nå holder det å vise at V = q 1 q(u): Hvis x U, er q 1 q(x) = Gx = {gx g G} {gy g G og y U} = V. Omvendt, hvis x V er x = gy for en y U og q(x) = q(y). x q 1 (q(x)) = q 1 (q(y)) q 1 (q(u)). Følgende setning er det som skal til for å vise at Y er en mangfoldighet. Vi vil samtidig gi Y en glatt struktur som gjør den lokalt dieomorf med T 3, der T 3 har produktstrukturen S 1 S 1 S 1. I denne oppgaven betyr glatt at alle koordinattransformasjoner U R n V R n er C. Setning 1. La M være en glatt mangfoldighet og G en endelig gruppe som virker fritt og glatt på M. Da er kvotientrommet M/G en mangfoldighet, og det nnes en unik glatt struktur på M/G slik at kvotientavbildningen q : M M/G er en lokal dieomor. Bevis. Vi viser først at M/G er en mangfoldighet, som vil si at den er Hausdor, annentellbar og lokalt homeomorf med R n. Hvis B er en tellbar basis for M er B = {q(b) B B} en tellbar samling åpne mengder i M/G (Lemma 1). Det holder å vise at enhver åpen U i M/G kan skrives som en union av elementer i B. q 1 (U) er en åpen mengde i M, og kan derfor skrives som en union av basiselementer i B i B. U er følgelig unionen av q(b i ). Nå viser vi at alle punkter x M har en åpen omegn U slik at q U er injektiv. Velg et punkt x M. La funksjonen f x : G M være den

7 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 7 som tar elementet g G til gx. f x er injektiv fordi G virker fritt på M. f tilordner altså hver g G et unikt punkt f x (g) i M. Siden mengden av disse punktene er endelig og M er Hausdor, nnes disjunkte åpne mengder U g slik at f x (g) U g. For alle g G er g 1 U g en åpen omegn om x, så snittet U = g 1 U g g G er også en åpen omegn om x. U oppfyller at q U er injektiv: Hvis x 1, x 2 U og q(x 1 ) = q(x 2 ) må det nnes en g G slik at x 1 = gx 2. gx 2 gu medfører at x 1 gu. Altså er x 1 U gu. Bruker vi inklusjonene U U e og U g 1 U g nner vi at U gu U e g(g 1 U g ) = U e U g som er tom med mindre g = e. Men da er også x 1 = x 2, så q U injektiv. La x M/G, x M være slik at q(x) = x og U være en omegn om x som gjør q U injektiv. Siden q U er kontinuerlig og åpen er q U en homeomor mellom U og q(u). Velg nå et kart ϕ : V ˆV omkring x. Restrikterer vi ϕ og q til U V blir de homeomorer fra U V til ϕ(u V ) og q(u V ) henholdsvis. q(u V ) er derfor en omegn om x som er homeomorf med den åpne mengden ϕ(u V ) R n. Det gjenstår å vise at M/G er Hausdor. For hvert par av punkter x, ȳ M/G kan vi nne x, y M slik at q(x) = x og q(y) = ȳ. Anta x og ȳ er forskjellige. f x : G M, g gx, er som før injektiv, samme gjelder f y : G M. Siden q(f x (g)) = x og q(f y (g)) = ȳ for alle g G, er f x (G) f y (G) =. f x (G) f y (G) er dessuten endelig, så det nnes disjunkte omegn U g om f x (g) og V g om f x (g), disjunkte i forstanden at U g1 V g2 = for alle g 1, g 2 G og U g1 U g2 = V g1 V g2 = for alle g 1 g 2. La W g = U g V g. Da er også W g disjunkte. Ved samme argument som tidligere oppfyller mengden W = g 1 W g g G at q W er injektiv. x, y W fordi gx, gy U g V g = W g, og dermed er x, y g 1 (U g V g ) = g 1 W g. Siden U e og V e er disjunkte omegn om x og y er også U e W og V e W disjunkte omegn om x og y. q er åpen og injektiv i W, og avbilder derfor U e W og V e W til åpne og disjunkte omegn rundt x og ȳ. Y er følgelig Hausdor. Til slutt skal vi legge en glatt struktur på M/G. For hver åpne U M slik at q U er injektiv og for hvert kart (ϕ, V ) som snitter U betrakter vi kart på formen ϕ (q W ) 1 : q(w ) ϕ(w ) der W = U V. Vi vil vise at disse er glatt kompatible. La ((ϕ U )(q U ) 1, q(u)) og ((ψ V )(q V ) 1, q(v )) være to slike kart og velg et punkt x q(u) q(v ).

8 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 8 Da nnes punkter x U og x V slik at q(x) = q(x ) = x. Det følger av denisjonen til q at x = gx for en g G. Velg nå en åpen omegn U U om x slik at gu V ; en slik nnes ved kontinuitet av g : M M. Den generelt gjeldende likheten qg = q kan nå restrikteres til (q V )(g U ) = q U, noe som medfører at g U = (q V ) 1 (q U ). Dermed er (ψ V )(q V ) 1 ((ϕ U )(q U ) 1 ) 1 = (ψ V ) 1 (q V ) 1 (q U )(ϕ U ) 1 = (ψ V )(g U )(ϕ U ) 1 og denne vet vi er glatt fordi g : M M er glatt. Alle punkter i M/G er inneholdt i et slikt kart, altså utgjør disse kartene en glatt struktur på M/G. Vi viser nå at denne glatte strukturen gjør q til en lokal dieomor. Velg et kart ((ϕ U )(q U ) 1, q(u)). Da er for det første q U : U q(u) M/G en homeomor. Vi er altså i mål hvis vi kan vise at q U og (q U ) 1 er glatte. La x være et punkt i U M og velg et kart (ψ, V ) omkring x slik at V U. Da er (ϕ U )(q U ) 1 (q U )(ψ V ) 1 = (ϕ U )(ψ V ) 1 glatt, som betyr at q U er glatt. Vi kan restriktere ((ϕ U )(q U ) 1, q(u)) til et kart ((ϕ V )(q V ) 1, q(v )) om q(x), og får at (ψ V )(q U ) 1 ((ϕ V )(q V ) 1 ) 1 = (ψ V )(q U ) 1 (q V )(ϕ V ) 1 = (ψ V )(ϕ V ) 1 som betyr at også (q U ) 1 er glatt. q U er dermed en dieomor og q en lokal dieomor. La nå (M/G) 1 og (M/G) 2 være M/G utstyrt med hver sin glatte struktur slik at q 1 : M (M/G) 1 og q 2 : M (M/G) 2 er lokale dieomorer. La id : (M/G) 1 (M/G) 2 være identiteten. For en x = q 1 (x) (M/G) 1, velg omegn U 1, U 2 om x slik at q 1 U1 : U 1 q 1 (U 1 ) og q 2 U2 : U 2 q 2 (U 2 ) er dieomorer. La videre U = U 1 U 2 ; da er fortsatt restriksjonene q 1 U : U q 1 (U) og q 2 U : U q 2 (U) dieomorer. id q1 (U) = (q 2 U )(q 1 U ) 1 : q 1 (U) q 2 (U) er følgelig en dieomor fordi den er en sammensetning av dieomorer. Dermed er id både en homeomor og en lokal dieomor, altså er det en dieomor. (M/G) 1 og (M/G) 2 er følgelig dieomorfe, og må derfor ha samme glatte struktur. Dette viser at det kun nnes én glatt struktur på (M/G) slik at q : M M/G er en lokal dieomor. Kravet om at G skal virke fritt er nødvendig fordi det nnes tilfeller der G virker glatt men ikke fritt på M på en slik måte at M/G ikke er lokalt homeomorf med R n. Ta for eksempel M = S 1 og G = {e, µ} der µ speiler S 1 om imaginæraksen. G virker ikke fritt på M fordi µi = i.

9 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 9 Kvotientrommet M/G blir det man får ved å brette sirkelen i to på midten, altså halvsirkelen bestående av punktene i S 1 med positiv realdel samt ±i. Denne er homeomorf med I = [0, 1] R, og ytterpunktene 0, 1 I har ingen omegn som er homeomorf med en åpen delmengde av R. M/G er derfor ingen mangfoldighet. Vi skal nå gjøre oss bedre kjent med Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten Y ved å beregne noen elementære invarianter, nemlig homologien og fundamentalgruppeen. Vi tar homologien først. 2.2 Homologi For å beregne homologien til Y skal vi modellere Y som et CW-kompleks og regne ut cellulærhomologien til dette komplekset. Istedet for å beskrive et CW-kompleks på Y direkte nner vi en passende delmengde V T 3 som blir avbildet på Y av q, og legger en CW-struktur på denne. Vi sørger for at denne i sin tur avbildes til en CW-struktur på Y Y uttrykt som et CW-kompleks La ζ : R S 1 være gitt ved ζ(x) = e 2πix, p = ζ ζ ζ : R 3 T 3 og V = {p(x, y, z) (x, y, z) [0, 1 2 ] [0, 1] [0, 1 2 ]} (Se gur). Punkt én er å se at q avbilder denne på Y. q er denert av gruppevirkningen ( ) som vi her beskriver med følgende isomor: (0, 0) (e, e, e) (1, 0) (ri, i, i) (0, 1) (i, ri, r) (1, 1) (r, r, ri) Notasjonen er den samme som i forrige av seksjon, altså betegner r speiling om imaginæraksen, i speiling om realaksen, etc. Måten vi går fram på for å vise surjektivitet er å ta et vilkårlig punkt utenfor V og vise at det er ekvivalent med et som ligger i V. Det nnes tre typer punkter utenfor V ; enten ligger første komponent, tredje komponent, eller både første og tredje komponent i nedre halvsirkel. Disse punktene avbildes til V av henholdsvis (0, 1), (1, 1) og (1, 0), og vi er ferdig. Vi skal nå denere en CW-struktur på V. Vi begynner med 0-skjelettet V 0, som skal bestå alle punkter med kun reelle komponenter. Det er i alt 8

10 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 10 slike. For å beskrive resten av cellene innfører vi variablene s, t 1, u (0, 1 2 ) og t 2 ( 1 2, 1). For alle c 1, c 2 { 1, 1} S 1 skal V 1 bestå av V 0 og bildet til s (ζ(s), c 1, c 2 ) t 1 (c 1, ζ(t 1 ), c 2 ) t 2 (c 1, ζ(t 2 ), c 2 ) u (c 1, c 2, ζ(u)) totalt seksten 1-celler. For alle c { 1, 1} lar vi V 2 bestå av følgende ti 2-celler: (s, t 1 ) (ζ(s), ζ(t 1 ), c) (s, t 2 ) (ζ(s), ζ(t 2 ), c) (t 2, u) (c, ζ(t 2 ), ζ(u)) (t 1, u) (c, ζ(t 1 ), ζ(u)) (s, u) (ζ(s), c, ζ(u)) Til slutt lar vi V 3 bestå av (s, t 1, u) (ζ(s), ζ(t 1 ), ζ(u)) (s, t 2, u) (ζ(s), ζ(t 2 ), ζ(u)). Hver celle har dessuten en karakteristisk avbildning som utvider den gitte avbildningen kontinuerlig til å inkludere randen til domenet. Lar vi S, T 1, U [0, 1 2 ] og T 2 [ 1 2, 1] er for eksempel (T 2, U) (0, ζ(t 2 ), ζ(u)) en utvidelse av (t 2, s) (c, ζ(t 2 ), ζ(u)). Et kjent resultat i topologi sier at ingen andre utvidelser kan nnes siden T 3 er Hausdor, følgelig er de unikt denert. Vi trenger de karakteristiske avbildningene senere. Cellene vi har denert dekker hele V : V 3 \ V 2 er alle punkter i V hvor alle komponenter har imaginærdel, V 2 \ V 1 er alle med én reell komponent (dvs. en komponent med imaginærdel lik 0), V 1 \ V 0 alle punkter med to reelle komponenter og V 0 alle med tre reelle komponenter. For alle n- celler, n > 0, ligger randen til cellen i V n 1 fordi randen alltid har minst én reell komponent mer enn det indre. Videre snitter ingen celler av ulik dimensjon nettopp fordi de har forskjellig antall reelle komponenter. Celler av lik dimensjon snitter heller ikke, fordi de reelle komponentene er ulike for de forskjellige cellene. Vi har altså en CW-struktur på V. Alternativt til denne konstruksjonen kan vi lage tre individuelle cellestrukturer i S 1 og uttrykke CW-strukturen som produktstrukturen til disse tre. I dette tilfellet lar vi alle komponentene ha en 0-celle i 1 og -1, forbundet av en 1-celle i øvre halvplan, og så gir vi dessuten midterste komponent en 1-celle i nedre halvplan. At det resulterende produktet sammenfaller med konstruksjonen vi gjorde over er klart fra denisjonen, se [3]. Neste steg er å avbilde dette CW-komplekset til Y og se hva vi får. Observer først at q er injektiv på alle cellene: hver celle er nemlig en delmengde av et kartesisk produkt av tre åpne halvsirkler. Siden hvert ikkeidentitetselement i G speiler en av komponentene om origo, tilhører alle

11 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 11 punktene i et slikt produkt ulike G-ekvivalensklasser. Dette impliserer at q er injektiv på de ulike cellene. For å se at q sender celler av ulik dimensjon til disjunkte celler i Y kan vi bruke at antallet reelle komponenter i et punkt i T 3 ikke forandres hvis man anvender et element fra G. Siden celler av ulik dimensjon har ulikt antall reelle komponenter vil deres bilder være disjunkte i Y. Enkelte celler av lik dimensjon vil overlappe i Y, men som vi skal se er alle disse overlappene fullstendig. Leser vi av tabellen for gruppevirkningen G nner vi at 0-cellen (1, 1, 1) er ekvivalent med ( 1, 1, 1), (1, 1, 1) og ( 1, 1, 1). De re andre 0-cellene er tilsvarende ekvivalente, så vi får to 0-celler i Y. Så over til 1-cellene: eneste gruppeelement som ikke speiler førstekomponenten til (ζ(s), c 1, c 2 ) er (r, r, ri). De re 1-cellene på denne formen avbildes altså til to ulike 1-celler i Y. Tilsvarende blir 1-cellen (c 1, c 2, ζ(u)) slått sammen med (i, ri, r)(c 1, c 2, ζ(u)). Hver 1-celle på formen (c 1, ζ(t 1 ), c 2 ) eller (c 1, ζ(t 2 ), c 2 ) er G-ekvivalent med tre andre på samme form, fordi (ri, i, i), (i, ri, r) og (r, r, ri) skifter fortegn på henholdsvis første, tredje, og første+tredje komponent. V 1 avbildes altså til seks ulike 1-celler i Y. 2-cellene i Y beskriver vi med følgende tabell: e 2 1 : q(ζ(s), ζ(t 1), 1) q((r, r, ri)(ζ(s), ζ(t 1 ), 1)) e 2 2 : q(ζ(s), ζ(t 2), 1) q((r, r, ri)(ζ(s), ζ(t 2 ), 1)) e 2 3 : q(1, ζ(t 1), ζ(u)) q((i, ri, r)(1, ζ(t 1 ), ζ(u))) e 2 4 : q( 1, ζ(t 1), ζ(u)) q((i, ri, r)( 1, ζ(t 1 ), ζ(u))) e 2 5 : q(ζ(s), 1, ζ(u)) e 2 6 : q(ζ(s), 1, ζ(u)) Vi har altså seks 2-celler i Y. De to 3-cellene (ζ(s), ζ(t 1 ), ζ(u)) og (ζ(s), ζ(t 2 ), ζ(u)) avbildes hver for seg fordi deres ekvivalente punkter i T 3 har negativ imaginærdel i enten første eller andre komponent, og er derfor ikke med i V. Det er følgelig to 3-celler i Y Cellulærhomologi Metoden vi skal bruke for å beregne homologien til Y er hentet fra [3]. Den går ut på å beregne homologien til et enklere kjedekompleks enn det ordinære (singulære), basert på en gitt CW-struktur. Den forenklede homologien til CW-komplekset kalles cellulærhomologien, men den er kanonisk isomorf med den ordinære singulærhomologien. Vi gjengir ikke ordlyden til de aktuelle resultatene fra [3], fordi de inneholder en del notasjon som virker unødvendig kompliserende å innføre. Istedet gir vi en fri framstilling som skal dekke det praktiske.

12 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 12 Kjedekomplekset til cellulærhomologien er en følge abelske grupper {C k } k=0 med homomorer d k beskrevet i følgende diagram... d 4 d 3 d C3 2 d C2 1 d C1 0 C0 0 der d k 1 d k = 0 for alle k > 0. For alle k er C k er en fri abelsk gruppe med generatorer i en-til-en korrespondanse med k-cellene i CW-komplekset. For eksempel er i dette tilfellet C 3 den abelske gruppen generert av to elementer, fordi Y har to 3-celler. Hver d k er i sin tur bestemt av bildet til generatorene, og jobben som foreligger består hovedsaklig i å bestemme disse. Homologien til kjedekomplekset er som vanlig H k = Ker(d k )/Im(d k+1 ). Nå tar vi frem igjen de karakteristiske avbildningene som vi nevnte tidligere. Hvis Φ : D k Y er den karakteristiske avbildningen til en k- celle e k og D k betegner randen til D k, kalles Φ D k festeavbildningen til e k. Legg merke til at festeavbildningen til en gitt k-celle alltid har bilde i Y k 1, hvis k > 0. Man kan se dette ved å løfte til T 3 gjennom q og telle antallet reelle komponenter. La oss begynne med beskrivelsen av hvordan d 3 avbilder en generator i C 3. Vi kaller 3-cellen som svarer til q(ζ(s), ζ(t 1 ), ζ(u)) = q(p(s, t 1, u)) for e 3 1 og q(ζ(s), ζ(t 2 ), ζ(u)) = q(p(s, t 2, u)) for e 3 2. Hvis V 1 = [0, 1 2 ] [0, 1 2 ] [0, 1 2 ] og V 2 = [0, 1 2 ] [ 1 2, 1] [0, 1 2 ], kan den karakteristiske avbildningen til e3 i uttrykkes som sammensetningen V i R 3 p T 3 q Y og vi kaller denne Φ 3 i, i = 1, 2. De tilhørende festeavbildningene kaller vi ϕ 3 i. Siden randen til V i er homeomorf med en kuleoverate S 2 kan festeavbildningene formuleres som en komposisjon S 2 Vi ϕ 3 i Y 2 For hver 2-celle i Y lar vi qj 2 : Y 2 S 2 være kvotientavbildningen som kollapser Y 2 \ e 2 j. En av disse satt sammen med forrige avbildning gir 2 ij : S 2 S 2 Meningen er at vi skal beregne den såkalte graden til hver 2 ij. Generelt kan enhver kontinuerlig avbildning f : S n S n tilordnes et heltall deg f, kalt graden til f. Når vi har funnet deg 2 ij for alle i og j, er d 2 gitt ved den "cellulære randformelen" [3, s.140]: Setning 2 (Den cellulære randformelen). d k (e k i ) = j deg( k ij )ek j deg 2 ij kommer vi frem til ved å beregne det som kalles lokal grad i punktene ( 2 ij ) 1 (y), for en y qj 2(e2 j ). Merk at for en slik y er inversbildet

13 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 13 en endelig mengde {x 1,..., x m }. Hvis vi betegner den lokale graden til k ij i x l med deg k ij x l er deg k ij gitt ved følgende formel [3, s.136] deg k ij = m deg k ij x l l=0 Vi angir nå regnereglene vi trenger for å nne den lokale graden i et punkt. Første regel er at den lokale graden er ±1 i alle punkter (dette fordi 2 ij er lokalt injektiv i x l ). For å bestemme fortegnet skal vi se hva 2 ij gjør med avbildninger av typen {σ : D k S k σ kontinuerlig og injektiv} hvor D k betegner en lukket ball i R k med radius 1. Disse funksjonene fordeles nemlig naturlig inn i to ekvivalensklasser med hensyn på "homeotopi": σ 1 σ 2 hvis det nnes en kontinuerlig H : S k I S k slik at H(x, 0) = id S k(x), f(x) = H(x, 1) er en homeomor, og σ 2 = f σ 1. Fortegnet til den lokale graden kan nå beregnes slik: Vi tar utgangspunkt i en σ, som representerer ekvivalensklassen [σ]. x l har en omegn U S k slik at k ij U er injektiv. Vi velger nå et element σ [σ] slik at σ (D k ) U, og ser på [ k ij σ ]. Hvis [σ] = [ k ij σ ] er deg k ij x l = 1, ellers er deg k ij x l = 1. Denne verdien er veldenert, det vil si, enten er [ k ij σ ] = [σ], eller så er [ k ij σ ] [σ] for alle valg av σ [σ]. Den andre regelen er at for en speiling µ : S n S n om et (hyper)plan gjennom origo vil [µσ] [σ]. Hvis vi aksepterer dette som fakta har vi alt vi trenger for å nne de lokale gradene Beregning av randavbildninger Vi begynner med å bestemme d 3. Det første vi gjør er å identisere S 2 med randen til [0, 1 2 ]3. Vi denerer så avbildninger ψ 2 i : [0, 1 2 ]3 Vi R 3 der ψ1 2(s, t, u) = (s, t, u) og ψ2 2 (s, t, u) = (s, t + 1 2, u). Festeavbildningene til e 3 i kan nå uttrykkes som ϕ 3 i = qpψi 2 Videre kan alle karakteristiske avbildninger Φ 2 j faktoriseres gjennom en ϕ3 i : La ι U, ι O, ι V, ι H, ι F, ι B : [0, 1 2 ]2 [0, 1 2 ]3 parametrisere de seks atene i [0, 1 2 ]3 slik: ι U (s, t) = (s, t, 0) ι O (s, t) = (s, t, 1 2 ) ι V (s, t) = (0, s, t) ι H (s, t) = ( 1 2, s, t) ι F (s, t) = (s, 0, t) ι B (s, t) = (s, 1 2, t)

14 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 14 Da er Φ 2 1 (s, t) = qp(s, t, 0) = ϕ3 1 ι U(s, t) Φ 2 2 (s, t) = qp(s, t + 1 2, 0) = ϕ3 2 ι U(s, t) Φ 2 3 (s, t) = qp(0, s, t) = ϕ3 1 ι V (s, t) Φ 2 4 (s, t) = qp( 1 2, s, t) = ϕ3 1 ι H(s, t) Φ 2 5 (s, t) = qp(s, 0, t) = ϕ3 1 ι F (s, t) Φ 2 6 (s, t) = qp(s, 1 2, t) = ϕ3 1 ι B(s, t) Indeksene til ι står for under, over, venstre, høyre, foran og bak. Her er tanken at x-aksen går fra venstre mot høyre, y-aksen går forfra og bakover, og z-aksen går nedenfra og opp. Lemma 2. La q1 n : Y n S n, kvotienten som kollapser komplementet til e n 1 være gitt. Da kan kvotientene qi n deneres entydig gjennom likningen q n i Φ n i = q n 1 Φ n 1 Bevis. La ˆq i n : Y n S n være en kontinuerlig avbildning som kollapser komplementet til e n i. Da nnes x 0, x 0 Sn slik at ˆq 1 n e n : en 1 1 Sn \ {x 0 } og ˆq i n e n : e n i i S n \ {x 0 } er homeomorer. Φn 1 (0, 1 og Φ n 2 )n i (0, 1 er i sin tur 2 )n homeomorer ned på e n 1 og en i. Sammensetningen S n \ {x 0 } ˆqn i e n 1 i e n i Φ n i (0, )n (0, 1 Φ n 1 (0, 1 2 )n 2 )n e n i ˆq n 1 e n 1 S n \ {x 0 } er følgelig også en homeomor, kall den f. Vi utvider f til en bijeksjon h : S n S n ved å legge til at h(x 0 ) = h(x 0 ). Vi vil vise at h er en åpen avbildning, for da må også h 1 være åpen ved symmetri. I så fall er qi n = hqi n kontinuerlig, og oppfyller dessuten likningen qi nφn i = q1 nφn 1 fordi og x [0, 1 2 ]n x (0, 1 2 )n q n 1 Φ n 1 (x) = x 0 = h(x 0) = hˆq n i Φ n i (x) = q n i Φ n i q n i Φ n i (x) = hˆq n i Φ n i (x) = f ˆq n i Φ n i (x) = q n 1 Φ n 1 (x) der siste likhet følger av denisjonen til f. Hvis U S n \ {x 0 } er åpen, er h(u) = f(u) åpen i Sn \ {x 0 }, fordi f er åpen. Siden S n \ {x 0 } er åpen i S n, er h(u) = h(u) (S n \ {x 0 }) også åpen i S n. Det gjenstår bare å vise at h avbilder åpne omegn om x 0 til åpne mengder. La U være en åpen omegn om x 0. C = Sn \U er kompakt fordi det er en lukket delmengde av et kompakt rom (S n er kompakt). C er fremdeles kompakt i ethvert underrom A av S n hvis C A, så spesielt er C en kompakt delmengde av S n \ {x 0 }. Siden h(c) = f(c), f : Sn \ {x 0 } Sn \ {x 0 } er kontinuerlig, og kontinuerlige funksjoner avbilder kompakte mengder på kompakte mengder, er h(c) en kompakt delmengde av S n \ {x 0 }. Når en delmengde er kompakt i et underrom av S n må den også være kompakt i S n. h(c) er følgelig kompakt i S n. Videre er S n Hausdor, så enhver kompakt delmengde er lukket. Altså er S n \ h(c) = h(u) åpen, og vi er ferdig. For å se at qi n er unik observerer vi først at qi n er entydig gitt på e n i Y 2. Resten av punktene i Y 2 skal avbildes til ett punkt, og bare ett punkt på S n er ledig. Den resulterende avbildningen blir derfor identisk med qi n.

15 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 15 La heretter D n identiseres med [ 1 8, 3 8 ]n [0, 1 2 ]n og ι n : [ 1 8, 3 8 ]n [0, 1 2 ]n være inklusjonsavbildningen. La σ = ι U ι 2 : D 2 S σ = q 2 1ϕ 3 1ι U ι 2 = q 2 1Φ 2 1ι 2 : D 2 S 2 er injektiv. Hvis [ 2 11 σ] [σ], erstatter vi q2 1 med ˆq2 1 = µq2 1, og får at [ 2 11σ] = [ˆq 2 1ϕ 3 1σ] = [µq 2 1ϕ 3 1σ] [q 2 1ϕ 3 1σ] [σ] [ 2 11σ] = [σ] der µ betegner en speiling av S 2. Resten av qi 2 denerer vi som i lemmaet over, nemlig slik at qi 2Φ2 i = q2 1 Φ2 1. Festeavbildningene ϕ 3 i sender det indre i hver av de seks sidene til [0, 1 2 ]3 bijektivt på en 2-celle i Y 2. For hvert valg av i og inklusjon ι $ vil altså ϕ 3 i ι $ι 2 avbildes injektivt inn i nøyaktig én 2-celle. La qj 2 være den ene avbildningen som gjør qj 2ϕ3 i ι $ι 2 injektiv og ikke konstant. Sammenlikner vi [qj 2ϕ3 i ι $ι 2 ] med [ι $ ι 2 ] nner vi den lokale graden til qj 2ϕ3 i = 2 ij i punktet ι $( 1 4, 1 4 ). Alle andre punkter i S 2 som avbildes til 2 ij ι $( 1 4, 1 4 ) må ligge i andre ater, så det er ikke mer å beregne for paret (ϕ 3 i, ι $). Det nnes to festeavbildninger og seks sideinklusjoner, så vi har i alt tolv lokale grader å beregne. Første steg er å identisere hvilken 2-celle som blir truet av ϕ 3 i ι $, for hvert par (ϕ 3 i, ι $). Vi kjenner seks av de, nemlig de som inngår i denisjonen av Φ 2 j ; disse treer naturligvis e2 j. At Φ2 j svarer til et par fremgår av denisjonen, for eksempel svarer Φ 2 3 til (ϕ3 1, ι V ). De seks parene vi ikke har identisert er (ϕ 3 1, ι O), (ϕ 3 2, ι O), (ϕ 3 2, ι V ), (ϕ 3 2, ι H), (ϕ 3 2, ι F ) og (ϕ 3 2, ι B). Vi gjennomfører en av beregningene som demonstasjon: ϕ 3 1 ι O(s, t) = qpψ 2 1 ι O(s, t, 1 2 ) = qp(s, t, 1 2 ) = qp((r, r, ri)(s, t, 1 2 )) = = qp(s, t, 0) = qpψ 2 1 ι U(s, t ) = ϕ 3 1 ι U(s, t ) = Φ 2 1 (s, t ) Her er s = 1 2 s og t = 1 2 t. Tabellen under viser alle resultatene samlet. ϕ 2 ι O (s, t) = ϕ 1 ι U (s, t ) = Φ 1 (s, t ) [(r, r, ri)] ϕ 1 ι O (s, t) = ϕ 2 ι U (s, t ) = Φ 2 (s, t ) [(r, r, ri)] ϕ 2 ι V (s, t) = ϕ 1 ι V (s, t ) = Φ 3 (s, t ) [(i, ri, r)] ϕ 2 ι H (s, t) = ϕ 1 ι H (s, t ) = Φ 4 (s, t ) [(i, ri, r)] ϕ 2 ι F (s, t) = ϕ 1 ι F (s, t) = Φ 6 (s, t) ϕ 2 ι B (s, t) = ϕ 1 ι B (s, t) = Φ 5 (s, t) Tallet som angir dimensjonen til funksjonene ble utelatt for å gjøre tabellen mer leselig. Vi trenger en ting til før vi kan slå fast hva de lokale gradene er. Neste tabell inneholder dette. µ z ι O (s, t) = µ z (s, t, 1 2 ) = ι U(s, t) µ yz ι F (s, t) = µ yz (s, 0, t) = ι U (s, t) µ y µ yz ι B (s, t) = µ yz µ y (s, 1 2, t) = ι U(s, t) µ xy µ yz ι V (s, t) = µ yz µ xy (0, s, t) = ι U (s, t) µ x µ xy µ yz ι H (s, t) = µ yz µ xy µ x ( 1 2, s, t) = ι U(s, t)

16 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 16 µ yz er speilingen om planet y = z og µ xy speilingen om planet x = y. Vi beregner nå to av de lokale gradene som demonstrasjon og lister opp resten ι V (s, t) = q 2 3 ϕ3 2 ι V (s, t) = q 2 3 Φ2 3 (s, t ) = q 2 1 Φ2 1 (s, t ) = q 2 1 ϕ3 1 ι U(s, t ) = 2 11 ι U(s, t ) = 2 11 (s, t, 0) = 2 11 µ y(s, t, 0) = 2 11 µ yι U (s, t) Av dette følger det at [ 2 23ι V ι 2 ] = [ 2 11µ y ι U ι 2 ] [ι U ι 2 ] = [µ xy µ yz ι V ι 2 ] = [ι V ι 2 ] Så deg 2 23 ι V = 1. Et eksempel til: 2 11 ι O(s, t) = q 2 1 ϕ3 1 ι O(s, t) = q 2 1 ϕ3 1 ι U(s, t ) = 2 11 ι U(s, t ) = 2 11 µ xµ y ι U (s, t) så deg 2 11 ι O = 1. [ 2 11 ι Oι 2 ] = [ 2 11 µ xµ y ι U ι 2 ] = [ι U ι 2 ] = [µ z ι O ι 2 ] [ι O ι 2 ] ( ) Denne matrisen oppsummerer alle gradene til 2 ij. Rad nummer i inneholder bildet til e 3 i C 3 og kolonne j inneholder koesienten til e 2 j C 2. Vi har med andre ord at d 3 (e 3 1) = e 2 3 e e 2 5 e 2 6 og d 3 (e 3 2 ) = d 3(e 3 1 ). For å beregne gradene til 1 ij følger vi samme oppskrift; S1 identiseres med [0, 1 2 ]2 og vi denerer følgende inklusjoner til kantene på S 1 : ι U (t) = (t, 0) ι O (t, t) = (t, 1 2 ) ι V (t) = (0, t) ι H (t, t) = ( 1 2, t) Vi lar videre ϕ 2 j = Φ2 j [0, 1 2 ]2 1-cellene. for j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tabellen under navngir e 1 1 : q(p( t, 0, 0)) e : q(p( t, 2, 0)) = q(p( t 1, 2, 1 2 )) = q(p( t 1, 0, 2 )) e 1 3 : q(p( 0, t, 0)) e : q(p( 2, t, 0)) 1 = q(p( 2, t, 0)) = q(p( 0, t, 0)) 1 = q(p( 0, t, 2 )) = q(p( 1 2, 1 t, 2 )) 1 = q(p( 2, t 1, 2 )) = q(p( 0, t 1, 2 )) e 1 5 : q(p( 0, 0, t)) e : q(p( 2, 0, t)) 1 = q(p( 0, 2, t 1 )) = q(p( 2, 1 2, t ))

17 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 17 t er forkortelse for t De karakteristiske avbildningene uttrykkes som følger: Φ 1 1 (t) = qp(t, 0, 0) = ϕ2 1 ι U(t) Φ 1 3 (t) = qp(0, t, 0) = ϕ2 1 ι V (t) Φ 1 5 (t) = qp(0, 0, t) = ϕ2 5 ι V (t) Φ 1 2 (t) = qp(t, 1 2, 0) = ϕ2 1 ι O(t) Φ 1 4 (t) = qp( 1 2, t, 0) = ϕ2 1 ι H(t) Φ 1 6 (t) = qp( 1 2, 0, t) = ϕ2 5 ι H(t) q1 1 : Y 1 S 1 deneres slik at [q1 1ϕ2 1 ι Uι 1 ] = [ι U ι 1 ], og for i = 2, 3, 4, 5, 6 denerer vi qi 1 slik at qi 1Φ1 i = q1 1 Φ1 1 er oppfylt. Neste trinn i prosedyren er å uttrykke ϕ 2 i ι $ ved hjelp av Φ 1 j. ϕ 1 ι U (t) = Φ 1 (t) ϕ 2 ι U (t) = Φ 2 (t) ϕ 1 ι O (t) = Φ 2 (t) ϕ 2 ι O (t) = Φ 1 (t) ϕ 1 ι V (t) = Φ 3 (t) ϕ 2 ι V (t) = Φ 4 (t ) [(ri, i, i)] ϕ 1 ι H (t) = Φ 4 (t) ϕ 2 ι H (t) = Φ 3 (t ) [(ri, i, i)] ϕ 3 ι U (t) = Φ 3 (t) ϕ 4 ι U (t) = Φ 4 (t) ϕ 3 ι O (t) = Φ 4 (t ) [(r, r, ri)] ϕ 4 ι O (t) = Φ 3 (t ) [(r, r, ri)] ϕ 3 ι V (t) = Φ 5 (t) ϕ 4 ι V (t) = Φ 6 (t) ϕ 3 ι H (t) = Φ 5 (t ) [(i, ri, r)] ϕ 4 ι H (t) = Φ 6 (t ) [(i, ri, r)] ϕ 5 ι U (t) = Φ 1 (t) ϕ 6 ι U (t) = Φ 2 (t) ϕ 5 ι O (t) = Φ 2 (t ) [(r, r, ri)] ϕ 6 ι O (t) = Φ 1 (t ) [(r, r, ri)] ϕ 5 ι V (t) = Φ 5 (t) ϕ 6 ι V (t) = Φ 5 (t ) [(i, ri, r)] ϕ 5 ι H (t) = Φ 6 (t) ϕ 6 ι H (t) = Φ 6 (t ) [(i, ri, r)] ι U kan faktoriseres gjennom ι $ og speilinger av S 1 : µ y ι O (t) = µ y (t, 1 2 ) = ι U(t) µ xy ι V (t) = µ xy (0, t) = ι U (t) µ xy µ x ι H (t) = µ xy µ x ( 1 2, t) = ι U(t) La oss beregne deg 1 35 ι V og deg 1 43 ι O deg 1 35 ι V = ι V (t) = q 1 5 Φ1 5 (t) = q1 1 Φ1 1 (t) = 1 11 ι U(t) [ 1 35 ι V ι 1 ] = [ 1 11 ι Uι 1 ] = [ι U ι 1 ] = [µ xy ι V ι 1 ] [ι V ι 1 ] 1 43 ι O(t) = q 1 3 Φ1 3 (t ) = q 1 1 Φ1 1 (t ) = 1 11 ι U(t ) = 1 11 µ xι U (t) [ 1 43 ι Oι 1 ] = [ 1 11 µ xι U ι 1 ] [ι U ι 1 ] = [µ y ι O ι 1 ] [ι O ι 1 ] deg 1 43 ι O = 1. Generelt er det et enkelt mønster her. Hvis vi betrakter avbildninger 1 ij ι O og 1 ij ι V, skifter fortegnet én gang. Hvis ϕ i ι V (t) = Φ 1 j (t ) skifter det

18 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 18 en gang til. Vi kan med andre ord lese gradene direkte ut av forrige tabell, og resultatet ser slik ut: Rad i svarer til bildet av e 2 i og kolonne j inneholder koesientene tilhørende e 1 j. For eksempel vil dette si at d 2(e 2 1 ) = e1 1 e1 2 e1 3 + e1 4. Til slutt nner vi d 1, også denne ved å følge samme prosedyre: S 0 = [0, 1 2 ]1 = {0, 1 2 }, ϕ1 i = Φ1 i [0, 1 og ι 2 ]1 H, ι V : D 0 S 0 er simpelthen gitt ved Vi gir navn til 0-cellene: ι V (0) = 0 ι H (0) = 1 2 e 0 1 : q(p( 0, 0, 0)) e : q(p( 0, 2, 0)) q(p( 1 2, 0, 0)) q(p( 1 2, 1 2, 0)) 1 q(p( 0, 2, 1 2 )) q(p( 0, 0, 1 2 )) q(p( 1 2, 1 2, 1 2 )) q(p( 1 2, 0, 1 2 )) De karakteristiske avbildningene er Φ 0 1 (0) = qp(0, 0, 0) = Φ1 1 (0) = ϕ1 1 ι V (0) Φ 0 2 (0) = qp(0, 1 2, 0) = Φ1 2 (0) = ϕ1 2 ι V (0) og vi denerer q 0 j på samme måte som tidligere. Følgende relasjoner gjelder ϕ 1 ι V (0) = qp(0, 0, 0) = Φ 1 (0) ϕ 1 ι H (0) = qp( 1 2, 0, 0) = Φ 1(0) ϕ 2 ι V (0) = qp(0, 1 2, 0) = Φ 2(0) ϕ 2 ι H (0) = qp( 1 2, 1 2, 0) = Φ 2(0) ϕ 3 ι V (0) = qp(0, 0, 0) = Φ 1 (0) ϕ 3 ι H (0) = qp(0, 1 2, 0) = Φ 2(0) ϕ 4 ι V (0) = qp( 1 2, 0, 0) = Φ 1(0) ϕ 4 ι H (0) = qp( 1 2, 1 2, 0) = Φ 2(0) ϕ 5 ι V (0) = qp(0, 0, 0) = Φ 1 (0) ϕ 5 ι H (0) = qp(0, 0, 1 2 ) = Φ 2(0) ϕ 6 ι V (0) = qp( 1 2, 0, 0) = Φ 1(0) ϕ 6 ι H (0) = qp( 1 2, 0, 1 2 ) = Φ 2(0) og ι V (0) = µ x ι H (0). Vi beregner deg 0 22 ι H: 0 22 ι Hι 0 (0) = q 0 2 ϕ1 2 ι Hι 0 (0) = q 0 2 Φ0 2 ι 0(0) = q 0 1 Φ0 1 ι 0(0) = 0 11 ι V ι 0 (0) [ 0 22 ι Hι 0 ] = [ 0 11 ι V ι 0 ] = [ι V ι 0 ] = [µ x ι H ι 0 ] [ι H ι 0 ]

19 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 19 Alle andre beregninger vil se nesten identisk ut; man nner at 0 ij ι $(0) = 0 11 ι V (0), som betyr at [ 0 ij ι $ι 0 ] = [ι V ι 0 ], og denne er lik [ι $ ι 0 ] hvis og bare hvis $ = V. Resultatet blir altså slik: Det er lurt å kontrollere utregningene vi har gjort ved å sjekke at d k 1 d k = 0 for alle k > 0. Hvis man går igjennom alle randavbildningene vil man nne at dette er tilfellet Beregning av cellulærhomologien Homologien til Y er nå H k (Y ) = Ker(d k )/Im(d k+1 ) for k = 3, 2, 1, 0. H 3 (Y ) er enkel; Im(d 4 ) = 0 og Z Ker(d 3 ), n n(e e3 2 ), er en isomor. Altså er H 3 (Y ) Z d 2 er uttrykt ved matrisen Vi skal nne en annen mengde generatorer for C 2 slik at d 2 blir triangulær og Im(d 3 ) = (e 2 3 e2 4 + e2 5 e2 6 ) blir utspent av én generator. La ẽ2 6 = e 2 3 e2 4 + e2 5 e2 6. Siden ẽ2 6 = d 3(e 3 1 ) er d 2(ẽ 2 6 ) = d 2d 3 (e 3 1 ) = 0. Med hensyn på {e 2 1, e2 2, e2 3, e2 4, e2 5, ẽ2 6 } blir d

20 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper Her betyr radekvivalens. elementer: Matrisene over svarer til bildet av følgende e 2 1 e 2 e 2 1 e 2 2 e 2 e e 2 e2 1 e 2 1 ẽ 2 3 e 2 e 2 5 e e 2 e 2 4 e2 e e2 1 ẽ e 2 5 e e2 e ẽ 2 5 e 2 6 ẽ 2 4 e 2 2 e2 + e e2 ẽ e 2 6 ẽ 2 4 ẽ 2 4 e2 3 ẽ 2 6 ẽ ẽ 2 6 Vi har at (ẽ 2 1, ẽ2 2, ẽ2 3, ẽ2 4, ẽ2 5, ẽ2 6 ) = (e2 1, e2 2, e2 3, e2 4, e2 5, e2 6 ) fordi e 1 = ẽ 1 e 2 = ẽ 4 ẽ 1 2ẽ 3 e 3 = ẽ 3 e 4 = ẽ 5 + ẽ 3 e 5 = ẽ 2 + ẽ 1 e 6 = ẽ 2 + ẽ 1 ẽ 5 ẽ 6 Matrisen til {ẽ 2 1, ẽ2 2, ẽ2 3, ẽ2 4, ẽ2 5, ẽ2 6 } er triangulær. Kjernen til d 1 er derfor lett å beregne med hensyn på disse generatorene: Anta 0 = d 2 ( 6 a i ẽ 2 i ) = i=1 6 a i d 2 (ẽ 2 i ) for a i Z. Siden ẽ 2 1 er eneste generator som treer e1 1 C 1 og i=1 6 a i d 2 (ẽ 2 i ) = 0 = i=1 må a 1 = 0. Siden a 1 = 0, er ẽ 2 2 eneste generator som treer e1 2 C 2. Dermed må også a 2 = 0. Vi nner tilsvarende at a 3, a 4 og a 5 er lik 0. Dette viser at Ker(d 2 ) (ẽ 2 6 ). På den annen side er d 2(ẽ 2 6 ) = 0, så (ẽ2 6 ) Ker(d 2), som vil si at Ker(d 2 ) = (ẽ 2 6 ) = Im(d 3). Følgelig er H 2 (Y ) = 0 For å nne H 1 (Y ) beregner vi først kjernen til d 1. Man ser lett at e 1 1, e1 2, e 1 3 e1 6, e1 4 e1 6 og e1 5 e1 6 avbildes til 0. Vi viser at alle elementer i kjernen kan genereres av disse. La a 1 e a 6e 1 6 Ker(d 1). 6 i=1 0e 1 i

21 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 21 0 = d 1 (a 1 e a 6e 1 6 ) = = d 1 (a 3 e a 6e 1 6 a 3(e 1 3 e1 6 ) a 4(e 1 4 e1 6 ) a 5(e 1 5 e1 6 )) = = d 1 ((a 3 + a 4 + a 5 + a 6 )e 1 6 ) = (a 3 + a 4 + a 5 + a 6 )(e 0 1 e0 2 ) a 6 = a 3 a 4 a 5 a 1 e a 6e 1 6 = = a 1 e a 2e a 3(e 1 3 e1 6 ) + a 4(e 1 4 e1 6 ) + a 5(e 1 5 e1 6 ) Altså er a 1 e a 6e 1 6 (e1 1, e1 2, e1 3 e1 6, e1 4 e1 6, e1 5 e1 6 ). Vi navngir disse generatorene ẽ 1 i slik at ẽ1 i = e1 i for i = 1, 2 og ẽ1 i = e1 i e1 6 for i = 3, 4, 5. Vi ønsker nå å uttrykke Ker(d 1 ) ved hjelp av en annen generatormengde, nemlig en som tillater en enkel beskrivelse av Im(d 2 ). Etter litt prøving og feiling viser det seg at følgende ê 1 i vil fungere: Rad nummer i beskriver hvordan ê 1 i kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av ẽ 1 j. For eksempel er ê1 3 = ẽ1 1 ẽ ẽ1 4. Det er lett å verisere at alle ẽ 1 i kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av ê 1 j, så (ê1 1, ê1 2, ê1 3, ê1 4, ê1 5 ) = (ẽ 1 1, ẽ1 2, ẽ1 3, ẽ1 4, ẽ1 5 ). Im(d 2 ) er generert av d 2 (ẽ 2 i ) for i = 1, 2, 3, 4, 5. Generatorene d 2(ẽ 2 i ) er lineært uavhengige fordi 0 = 5 5 a i d 2 (ẽ 2 i ) = d 2 ( a i ẽ 2 i ) i=0 i=0 motsier at Ker(d 1 ) = (ẽ 2 6 ). d 2(ẽ 2 i ) uttrykt ved ẽ1 j ser slik ut: Målet er å omforme disse generatorene til multipler av ê 1 j. Allerede har vi

22 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 22 at d 2 (e 2 4 ) = ê1 4 og d 2(e 2 5 ) = ê1 5. De tre andre omformer vi slik: Det er mulig å radredusere den siste matrisen tilbake til den første. Radene i første og siste matrise genererer altså samme undergruppe av C 1. Følgelig er Im(d 2 ) = (4ê 1 1, 4ê1 2, ê1 3, ê1 4, ê1 5 ), og dermed H 1 (Y ) = (ê 1 1, ê 1 2, ê 1 3, ê 1 4, ê 1 5)/(4ê 1 1, 4ê 1 2, ê 1 3, ê 1 4, ê 1 5) Z/4 Z/4 2.3 Fundamentalgruppen Vi skal beregne fundamentalgruppen π 1 (Y ) ved å nne universaloverdekningen til Y og beskrive den tilhørende gruppen av dekktransformasjoner. [3, Setning 1.39] sier nemlig at disse gruppene er isomorfe, forutsatt at Y er veisammenhengende og lokalt veisammenhengende. Siden Y er et CWkompleks vil begge betingelsene være oppfylt dersom Y er sammenhengende [3, s.523, kommentar etter A.4]. Y er sammenhengende fordi den er det kontinuerlige bildet av det sammenhengende rommet T 3 gjennom q : T 3 Y. Denisjon 3. Paret (Ỹ, π) kalles et overdekningsrom av Y hvis π : Ỹ Y er en surjektiv og kontinuerlig avbildning som oppfyller følgende betingelse: for alle punkter x Y nnes en omegn U om x slik at π 1 (U) = α I U α hvor U α er åpne, disjunkte mengder og π Uα for alle α I. : U α U er en homeomor Universaloverdekningen Ỹ av Y er det overdekningsrommet som oppfyller at fundamentalgruppen π 1 (Ỹ ) er triviell. I dette tilfellet vil Ỹ = R3 fordi vi har følgende: p : R 3 T 3 denert i forrige seksjon er produktet av overdekningsavbildningene ζ : R S 1 og er derfor en overdekningsavbildning. Alle punkter x T 3 har en omegn U slik at q U er injektiv, og fordi G virker fritt på T 3 medfører dette at gu U = for alle g G.

23 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 23 Det følger at q en overdekningsavbildning [3, s.72]. Fra [7, s.341, oppgave 4] følger det nå at også π = qp : R 3 Y er en overdekningsavbildning fordi q er endeligaket. Siden vi har funnet universaloverdekningen π : R 3 Y går vi videre til å bestemme dekktransformasjonene. En dekktransformasjon er en homeomor f : Ỹ Ỹ slik at π f = π. Se på følgende tre homeomorer av R 3 : Disse er dekktransformasjoner fordi τ(x, y, z) = ( x, 1 y, 1 z) σ(x, y, z) = (1 x, y, 3 2 z) ρ(x, y, z) = ( 1 2 x, 1 2 y, z) πτ(x, y, z) = q( ζ(x), ζ(y), ζ(z)) = q((ri, i, i)(ζ(x), ζ(y), ζ(z))) πσ(x, y, z) = q( ζ(x), ζ(y), ζ(z)) = q((i, ri, r)(ζ(x), ζ(y), ζ(z))) πρ(x, y, z) = q( ζ(x), ζ(y), ζ(z)) = q((r, r, ri)(ζ(x), ζ(y), ζ(z))) der de siste tre kan omskrives til q(ζ(x), ζ(y), ζ(z)) = π(x, y, z). Vi ønsker å vise at ethvert element i dekktransformasjonsgruppen til π : R 3 Y kan uttrykkes som en sammensetning av τ, σ og ρ. Dette gjør vi ved å vise at det for alle (x, y, z) π 1 (π(0, 0, 0)) nnes en γ τ, σ, ρ (den fri gruppen generert av τ, σ og ρ) slik at γ(0, 0, 0) = (x, y, z); her bruker vi altså at det høyst nnes én dekktransformasjon som tar et gitt punkt til et annet gitt punkt. Siden π(x, y, z) = qp(x, y, z) = 0 er p(x, y, z) = gp(0, 0, 0) for en g G. Av forrige utregning ser vi at gp(0, 0, 0) = pτ(0, 0, 0) hvis g = (ri, i, i) gp(0, 0, 0) = pσ(0, 0, 0) hvis g = (i, ri, r) gp(0, 0, 0) = pρ(0, 0, 0) hvis g = (r, r, ri) og gp(0, 0, 0) = p(0, 0, 0) hvis g = (e, e, e). La nå λ {τ, σ, ρ, id R 3} være transformasjonen som oppfyller at pλ(0, 0, 0) = gp(0, 0, 0). pλ(0, 0, 0) = gp(0, 0, 0) = p(x, y, z) (x, y, z) λ(0, 0, 0) Z 3 Heltallstranslasjonene er med i (τ, σ, ρ) fordi τ 2 (x, y, z) = (x+1, y, z), σ 2 (x, y, z) = (x, y 1, z) og ρ 2 (x, y, z) = (x y, z + 1). La (k, l, m) Z 3 være elementet som oppfyller at (x, y, z) λ(0, 0, 0) = (k, l, m). Da er (x, y, z) = λ(0, 0, 0) + (k, l, m) = τ 2k σ 2l ρ 2m λ(0, 0, 0) Sammensetningen τ 2k σ 2l ρ 2m λ (τ, σ, ρ) tar følgelig 0 til (x, y, z). Merk forøvrig at enhver dekktransformasjon kan skrives unikt på denne formen, fordi valget av både λ {τ, σ, ρ, id R 3} og (k, l, m) Z 3 var entydig i konstruksjonen over.

24 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 24 Teorem 1. Y har fundamentalgruppe Γ = τ, σ, ρ στ = ρ, τσ 2 τ 1 = σ 2, στ 2 σ 1 = τ 2, τ 2 σ 2 = σ 2 τ 2, τ 2 ρ 2 = ρ 2 τ 2, σ 2 ρ 2 = ρ 2 σ 2 Bevis. Problemet ligger i å nne en tilstrekkelig mengde relasjoner. Vi vet vi har nok hvis vi kan skrive ethvert uttrykk om til formen τ 2k σ 2l ρ 2m λ; se bemerkningen like før teoremet. Det første vi kan gjøre er å observere at τ 2k, σ 2l og ρ 2m kommuterer, så de siste tre relasjonene i teoremet er klare. Vi legger nå opp følgende algoritme: Anta vi har et element i τ, σ, ρ på "redusert form", det vil si at vi ikke har to påfølgende potenser av hverken τ, σ eller ρ i uttrykket, og ingen identitet. Denne antakelsen medfører ingen tap av generalitet fordi ethvert element i τ, σ, ρ er lik et element på redusert form. Nå skriver vi ut elementet ved å ikke tillate noen potenser på "kompakt form", for eksempel skriver vi τ 3 om til τ 1 τ 1 τ 1. Deretter begynner vi med symbolet lengst til venstre. Hvis dette og symbolet like til høyre er forskjellige skriver vi produktet av disse om til formen τ 2k σ 2l ρ 2m λ og fortsetter videre fra λ. Hvis symbolet er identisk med symbolet til høyre, skriver vi produktet av disse om til en andrepotens og går videre til neste symbol. Algoritmen terminerer idet det ikke nnes ere symboler til høyre for symbolet vi har kommet til. Siden første tilfelle reduserer antall symboler til høyre for gjeldende posisjon med 1 og andre tilfellet reduserer antall symboler til høyre med 2, er algoritmen garantert å terminere. Resultatet av algoritmen blir et produkt av partallspotenser med en eventuell førstepotens helt til høyre. Ved kommutativitet av partallspotensene kan vi rydde opp uttrykket og skrive det på formen τ 2k σ 2l ρ 2m λ som ønsket. Vi har med andre ord nok relasjoner dersom vi kan skrive produktet av alle par av τ, σ, ρ, τ 1, σ 1 og ρ 1 på formen τ 2k σ 2l ρ 2m λ. Vi skal vise at relasjonene til Γ oppfyller dette, men vi burde først sjekke at de oppgitte relasjonene faktisk er korrekte: στ(x, y, z) = σ( x, 1 y, 1 z) = ( 1 2 x, 1 2 y, z) = ρ(x, y, z) τσ 2 τ 1 (x, y, z) = τ( x, y, 1 z) = (x, 1 + y, z) = σ 2 (x, y, z) στ 2 σ 1 (x, y, z) = σ(2 x, y, 3 2 z) = ( 1 + x, y, z) = τ 2 (x, y, z) Nå bruker vi relasjonene i denisjonen av Γ til å beregne produktet av alle par av τ, σ og ρ:

25 2. Hantzsche-Wendt-mangfoldigheten og dens grunnleggende egenskaper 25 ρτ = (στ)τ = στ 2 (σ 1 σ) = τ 2 σ ρσ = ρσ(ττ 1 ) = ρ(ρ)τ 1 = ρ 2 (τ 2 τ) = τ 2 ρ 2 τ στ = ρ σρ = σ(στ) = σ 2 τ τσ = τσ(στ 1 τσ 1 ) = (σ 2 )τσ 1 = σ 2 τ(ττ 1 )σ 1 = σ 2 τ 2 (στ) 1 = = τ 2 σ 2 ρ 1 = τ 2 σ 2 ρ 2 ρ τρ = τ(στ) = (τ 2 σ 2 ρ 2 ρ)τ = τ 2 σ 2 ρ 2 (τ 2 σ) = σ 2 ρ 2 σ Alle produkt på formen µ 1 λ, µλ 1 og µ 1 λ 1 følger av disse seks. For det første er µ 1 λ = µ 2 (µλ), og resultatet følger. µλ 1 kan håndteres ved å først observere at for alle ν, λ {τ, σ, ρ}, ν λ, er νλ = τ 2k σ 2l ρ 2m µ hvor µ ν, λ; dette kommer fram av utregningene over. Dermed er µλ 1 = τ 2k σ 2l ρ 2m ν. Til slutt har vi at µ 1 λ 1 = µ 2 µλ 1, og vi har nettopp sett at µλ 1 lar seg omskrive til ønsket form.

26 3. REPRESENTASJONER AV FUNDAMENTALGRUPPEN Vi skal studere representasjoner av fundamentalgruppen π 1 (Y ) = Γ i C 2 og R 3. Idéen med representasjoner er i utgangspunktet at vi oversetter hvert element i en uoversiktlig gruppe til en rotasjon av C n eller R n, fordi disse kan være enklere å regne med. I dette tilfellet er det Γ vi ønsker å representere. Oversettelsen fra den uoversiktlige gruppen til gruppen av rotasjoner er uttrykt ved en homomor. Man kan videre være selektiv på hvilke typer rotasjoner man ønsker å representere gruppen i. Vi skal først representere Γ i undergruppen SU(2) av de todimensjonale komplekse rotasjonene, og deretter undergruppen SO(3) av de tredimensjonale reelle rotasjonene. Målet er å identisere alle representasjoner av Γ i disse gruppene. 3.1 Γ representert i SU(2) SU(2) betegner gruppen av todimensjonale, orienteringsbevarende unitære matriser. Denne er isomorf med gruppen av enhetskvaternioner Sp(1). Vi kommer til å benytte kvaternioner fordi de gjør utregningene litt enklere. Kvaternionalgebraen H er en redimensjonal reell algebra med basis (1, i, j, k). Produktene mellom basiselementer er denert slik at 1 er den multiplikative identiteten og i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = ji = k, jk = kj = i og ki = ik = j. Vi kaller 1-komponenten til et kvaternion for realdelen og resten for imaginærdelen. Som med komplekse tall kan man konjugere et element i H ved å skifte fortegnet til imaginærdelen. Dener nå H 0 = {(ai + bj + ck) H a, b, c R} og la den være utstyrt med samme vektorprodukt og indreprodukt som R 3. La videre S(H 0 ) = {q H 0 q = 1} Neste setning oppsummerer diverse grunnleggende egenskaper ved kvaternionene som vi antar er kjent, så vi gir dem her uten bevis. Setning 3. La q betegne q konjugert. (i) q q = qq = 1 (ii) q Sp(1) q = cos θ + w sin θ for en w S(H 0 ) (iii) z, w S(H 0 ) zw = z, w + z w.

27 3. Representasjoner av fundamentalgruppen 27 Lemma 3. La p, q Sp(1). pq = qp hvis og bare hvis det nnes w S(H 0 ) og u, v R slik at p = cos u + w sin u og q = cos v + w sin v. Bevis. Anta først at p = cos u + w sin u og q = cos v + w sin v. Ved punkt (iii) i forrige setning er w 2 = w, w = 1. Vi har derfor ved alminnelig kompleks aritmetikk at pq = cos(u + v) + w sin(u + v) = qp. Anta omvendt at q = cos u + w sin u og p = cos v + z sin v for w, z S(H 0 ). qp = cos u cos v + z cos u sin v + w sin u cos v + wz sin u sin v pq = cos v cos u + w cos v sin u + z sin v cos u + zw sin v sin u Disse er like dersom (wz zw) sin u sin v = 0. wz zw = ( w, z + w z) ( z, w + z w) = w, z + w z + w, z + w z = 2w z Denne er lik 0 hvis og bare hvis z = ±w. I tilfellet z = w er p = cos v w sin v = cos( v) + w sin( v), og i det andre tilfellet kommer p på riktig form direkte. Ellers får vi (wz zw) sin u sin v = 0 dersom sin u = 0 eller sin v = 0. Hvis sin v = 0 er p = 1 = cos 0 + w sin 0, og hvis sin u = 0 er q = 1 = cos 0 + z sin 0. Alle tilfeller resulterer altså i at p og q kommer på ønsket form, og vi er ferdig. Vi søker nå å nne alle homomorer h : Γ Sp(1). Mye av arbeidet er gjort hvis vi bestemmer hvilke måter den abelske undergruppen (τ 2, σ 2, ρ 2 ) Γ kan avbildes inn i Sp(1). Nøkkelresultatet vi tar utgangspunkt i er at enhver abelsk undergruppe må avbildes på en abelsk undergruppe. I forrige lemma kom vi frem til at de abelske undergruppene av Sp(1) er på formen S 1 w = {cos v + w sin v v R} for en w S(H 0 ). Disse er isomorfe med enhetssirkelen S 1 C hvis man lar w korrespondere med i C. La oss se hva vi kan si om h(τ), h(σ) og h(ρ), gitt at h(τ 2 ), h(σ 2 ), h(ρ 2 ) S 1 w. Anta h(τ) = cos v + z sin v. Da er h(τ 2 ) = h(ττ) = h(τ)h(τ) = cos(2v) + z sin(2v) og denne ligger i S 1 w hvis og bare hvis z = w eller sin(2v) = 0. Hvis sin(2v) 0 er z = w og h(τ) S 1 w. Hvis sin(2v) = 0, er h(τ) lik 1, 1, z eller z. Tilsvarende analyse gjelder h(σ) og h(ρ). Det gjenstår å bestemme hvilke kombinasjoner av disse som respekterer relasjonene i Γ; for eksempel skal vi ha at h(ρ) = h(στ) = h(σ)h(τ) fordi στ = ρ. Akkurat

28 3. Representasjoner av fundamentalgruppen 28 denne relasjonen sier faktisk at h(ρ) er gitt av h(τ) og h(σ). Det er med andre ord nok å undersøke alle kombinasjoner av h(τ) og h(σ). La først h(τ), h(σ) S 1 w. Vi har at h(σ 2 ) = h(τσ 2 τ 1 ) = h(τ)h(σ 2 )h(τ 1 ) = h(τ)h(τ 1 )h(σ 2 ) = h(ττ 1 σ 2 ) så h(σ 2 ) = h(σ 2 ). Følgelig er h(σ 2 ) = ±1, fordi h(σ 2 ) = h(σ 2 ) = h(σ 2 ) 1 = h(σ 2 ) som betyr at h(σ 2 ) er reell. ±1 er de eneste punktene i S 1 w med kvadrat lik 1 og ±w er de eneste med kvadrat lik 1. Vi har altså inntil re mulige verdier for h(σ). Fra relasjonen στ 2 σ 1 = τ 2 får vi ved tilsvarende argument at h(τ) {±1, ±w}. Da er h(ρ) = h(σ)h(τ) S 1 w, og de siste tre relasjonene er dermed oppfylt fordi h(τ), h(σ) og h(ρ) ligger i en abelsk undergruppe. Vi får altså i alt 16 homomorer. Anta nå at h(τ) S 1 w og h(σ) / S 1 w. Vi antar fortsatt at h(σ 2 ) S 1 w, så h(σ) er fremdeles et element i enten S(H 0 ) eller {±1}. ±1 er utelukket fordi ±1 S 1 w. La h(τ 2 ) = cos v + w sin v og h(σ) = z. Relasjonen στ 2 σ 1 = τ 2 impliserer at h(σ)h(τ 2 )h(σ) = h(τ 2 ). Dette kan skrives om til cos v w sin v = cos v + w sin v = z(cos v + w sin v) z = cos v + zw z sin v hvor vi har likhet enten hvis zw z = w eller sin v = 0. Første tilfelle er det samme som at zw = wz, og fra punkt (iii) i Setning 3 kan vi dedusere at dette er ekvivalent med w, z = 0. Vi sjekker at slike h(t) og h(σ) oppfyller resten av relasjonene. h(τσ 2 τ 1 ) = h(σ 2 ) vil alltid være tilfredsstilt fordi h(σ 2 ) = h(σ 2 ) = 1, og 1 kommuterer med h(τ). Også h(τ 2 ) og h(ρ 2 ) kommuterer med 1 = h(σ 2 ). Det gjenstår bare å sjekke at h(τ 2 ρ 2 ) = h(ρ 2 τ 2 ). h(ρ 2 ) = (h(σ)h(τ)) 2 = (z cos v + zw sin v) 2 = 1 + z(zw + wz) cos v sin v Siden w, z = 0 medfører at zw+wz = 0, er h(ρ 2 ) = 1, og 1 kommuterer med h(τ 2 ). w, z = 0 er altså nok til å respektere alle relasjonene i Γ. Den andre muligheten vi hadde var at sin v = 0. I dette tilfellet er h(τ 2 ) = ±1, og alle øvrige relasjoner er åpenbart oppfylt fordi h(τ 2 ) og h(σ) 2 kommuterer med alt. Hvis h(τ) og h(σ) bytter roller får vi akkurat samme betingelse, og utledningen er helt identisk (bortsett fra at h(ρ 2 ) nå blir lik 1 + (zw + wz)z cos v sin v istedet, men dette forandrer ikke den videre argumentasjonen). Det siste tilfellet er at h(τ), h(σ) / S 1 w. I så fall ligger hver av de i enten S(H 0 ) eller {±1}, hvor ±1 er utelukket fordi {±1} S 1 w. Alle elementer i S(H 0 ) har kvadrat lik 1, så h(τ) 2 = h(σ) 2 = 1. Nå er det lett å se at alle relasjoner er oppfylt, fordi 1 kommuterer med alt og er sin egen invers.