bok The Theory of Games and Economic Behavior i Feltet fattet straks stor interesse

Transkript

1 0. Innledning Spillteori som disiplin begynte med publiseringen av Von Neumann og Morgensterns bok The Theory of Games and Economic Behavior i Feltet fattet straks stor interesse og det ble i lfipet av kort tid publisert en mengde resultater. Ved siden avνavρreengod teori for νa beskrive adferd til rasjonelle aktfirer i et marked, kunne spillteori brukes til νa systematisere hva som egentlig forgνar under mer dagligdagse spill som Chickenplay og Poker. Spillteorien satte ogsνa klassiske problemstillinger som Fangenes dilemma inn i en matematisk modell-sammenheng. I Chickenplay kjfirer to stykker mot hverandre i bil og den er mest mann" som svinger unna sist. Fangenes dilemma gνar ut pνa at to fanger avhfires hver for seg. Hvis ingen tilstνar fνar de forholdsvis lav straff begge to. Hvis begge tilstνar fνar de noe hfiyere straff begge to. Hvis bare en tilstνar gνar han fri mens den som ikke tilstνar fνar lang straff. Spfirsmνalet er hva deskal gjfire, tilstνa eller holde munn? Hadde de bare vist hva den andre gjorde::: I dette kompendiet skal vi studere disse spillene nρrmere. Det skal vi gjfire i en generell setting og sνa bruke disse og forskjellige andre velkjente spill som eksempler. Gjennomffiringen vil vρre firedelt. Ffirst skal vi studere νapne spill eller spill med perfekt informasjon uten noen form for lotteri. Det betyr at vi kan beskrive allemulige strategier og derved ha full oversikt over alle mulige forlfip. Hvert forlfip har et utbytte for hver spiller, gjerne i form av ett av to, vinn (=1) eller tap (=0). Spillene beskrives ved beslutningstrρr og vi innffirer begrepet baklengs induksjon" for νa finne lfisninger til spillet, dvs. strategier som for en spiller gir sikker gevinst. Eksempler pνa denne type spill er Nim, Tripp-trapp-tresko og Sjakk(!) De fleste spill lar seg ikke beskrive pνa denne enkle mνaten. I spill hvor vi bruker terning, mynt eller andre innslag av tilfeldigheter, fνar vi en noe mer komplisert situasjon. Ikapittel 2 skal vi introdusere sannsynlighetsteori og se hvordan vi kan inkorporere dette i beslutningstrρrne. Nνa er det ikke lenger mulig νa finne klare vinnerstrategier, men vi kan likevel gjennomffire en analyse hvor vi kommer fram til en verdi for spillet. Denne verdien sier noe om sannsynligheten for at en spiller vinner. Strategier er et sentralt begrep i spillteori. Hvis vi har rene strategier kan vi alltid beskrive spillets forlfip, enten vi tar hensyn til en stokastisk variabel eller ikke. Imidlertid er det ikke alltid slik. Spillere som har flere strategier νa velge mellom kan alltid gjfire et valg, og de vil selvffilgelig ikke informere motspillerne om hva slags strategi de velger. Resultatet av spillet vil dermed ikke bare vρre avhengig av spillerens eget valg av strategi, men ogsνa av motpartens. Og det kan vρre at det hadde lfint seg νa velge en annen strategi hvis man visste hvilken strategi motstanderen valgte. Et godt eksempel pνa et slik spill med imperfekt informasjon (eller lukket spill) er Poker. En strategi kan vρre alltid νa satse sνa mye som kortene tilsier, det vil si at vi satser mye pνa godekort og lite pνa dνarlige kort. En annen strategi kan vρre νa satse motsatt, nettopp for νa skjule hva slags kort man har og derved fνa motstanderen til νa satse sine penger ut fra gale forutsetninger. En slik strategi ville fort bli gjennomskuet og motstanderen ville forholde seg til den nye situasjonen og man var like langt. En god pokerspiller vil imidlertid bruke en blandet strategi. Av og til satse etter kortene og av og til blfiffe. Uforutsigbarheten gjfir at motstanderen ikke vet hva som skjer og hun kan dermed ikke forholde seg rasjonelt til spillerens satsing. 1

2 Dette er et typisk eksempel pνa et spill med imperfekt informasjon. Slike spill kan vi ogsνa sette opp en modell for, men nνa blir det hele selvffilgelig mer komplisert. I vνar gjennomgang skal vi ved siden avνa beskrive denne situasjonen i det som kalles 2 2-spill, dvs spill med to deltakere som hver har to strategier νa velge mellom, ogsνa lete etter sνakalte Nash-likevekter. Dette er strategier som optimaliserer utfallet av spillet for alle deltakerne. Slike likevekter vil i denne situasjonen alltid eksistere og vil pνa enmνate vρre bestemmende for spillernes valg av strategier. Spill av denne typen er Chickenplay, Fangenes dilemma og Slaget mellom kjfinnene. I den siste delen har vi listet opp en del andre spill, sagt noe om hvordan de spilles og dessuten om eventuelle vinnerstrategier. I tillegg har vi plassert spillene i forhold til det generelle landskapet vi har malt innledningsvis, νapne vs. lukkede og strategispill vs. lottreier. Vνar gjennomgang av spillteorien, slik Von Neumann og Morgenstern introduserte den i det nest siste krigsνaret, mνa nfidvendigvis bli noksνa mangelfull. Skal det gjfires grundig vil det mνatte involvere mye matematikk, solide bakgrunnskunnskaper i fikonomi og betydelig mer tid enn vi har til rνadighet. Dette blir derfor bare som en lite glfitt νa regne, men forhνapentligvis kan det gi en innsikt og en interesse for νa se litt mer pνa dette feltet av matematikk, det eneste hvor menneskelig adferd og (ir-)rasjonalitet inngνar som en viktig ingrediens. Vi hνaper heftet kan vρre til glede og nytte og at det kan vρre til hjelp i arbeidet med νa finne nye og lρrerike mνater νa formidle matematikk pνa. Oslo, 15/ Arne B. Sletsjfie 2

3 1. Spillteori Spillteori gνar i korte trekk ut pνa νa studere ulike former for spill, avdekke strategier og lfisninger, avgjfire ut om det finnes mνater νa vinne spillene pνa, og ikke minst νa forstνa hvordan spillene faktisk er bygget opp. Vi skal klassifisere spill pνa to forskjellige mνater, νapne vs. lukkede spill og strategispill vs. lotterier. I et νapent spill (eller spill med perfekt informasjon) har alle spillerne full innsikt i hverandres strategier og legger det til grunn for egne valg. I praksis betyr dette at spillerne gjfir sine trekk annenhver gang og i full offentlighet. De fleste vanlige spill "er av en slik natur. Som oftest er det kompleksiteten og det enorme antall muligheter som gjfir spillene interessante og som sikrer at de ikke blir oppbrukt". Et velkjent eksempel pνa et slikt νapent spill er sjakk. Hvit har til sammen 20 muligheter νa velge mellom til sitt ffirste trekk og sort har det samme i sitt ffirste. Det gir 400 muligheter for νapningsrunden. Fortsetter vi νa telle pνa denne mνaten er det lett νa innse seg at selv ikke den kraftigste datamaskin klarer νa holde styr pνa alle muligheter. Det er imidlertid alltid et endelig antall valg som kan gjfires og i teorien kan vi tenke oss at samtlige var beskrevet og kjent for enhver spiller. I lukkede spill gjfir spillerne sine trekk enten samtidig, eller de gjfir trekkene etter tur med hemmelige strategivalg. Dermed vet ikke den ene spilleren hva den andre kommer til νa gjfire og omvendt. Stein, saks og papir" er et typisk eksempel pνa et slikt spill og her blir psykologisk insikt en sukssessfaktor. Stein, saks og papir gνar ut pνa at to spillere samtidig holder fram hνanda, enten flat (papir), knyttet (stein) eller med to fingre sprikende som i V-tegnet (saks). Saks vinner over papir, papir vinner over stein og stein vinner over saks. Det er kombinasjonen av de to spillerenes valg som avgjfir utfallet. Den andre klassifikasjonen, strategispill vs. lotterier tar hensyn til hvorvidt tilfeldigheter er innbakt i spillet, dvs. om hele eller deler av spillet baserer seg pνa νa kaste mynt, slνa terning, trekke kort eller liknende. Enkelte velkjente spill er rene lotterier, slik som f.eks. Stigespill (et spill hvor hver spiller har en brikke de flytter pνa et 10 x 10 ruters brett i henhold til hvor mange fiyne de fνar pνa terningen. I enkelte ruter fνar man klatre opp noen stiger og i andre ruter mνa man klatre ned noen stiger. Ffirstemann som kommer til toppen vinner). Andre spill fordrer en viss grad av strategivalg, slik som Ludo (hvis man har mulighet kan man velge hvilken brikke man skal flytte). Andre eksempler pνa lotterier er lotterier! Imidlertid er ikke et lotteri som Lotto noe νapent spill. Det er selvffilgelig tilfeldig hvilket tall som trekkes ut, men stfirrelsen pνa gevinsten er avhengig av hvor mange andre som har valgt den samme kombinasjonen. F.eks. er det ukentlig ca som tipper rekka 1,2,3,4,5,6,7 og hvis denne gikk inn ville ffirstepremien vρre ca kroner! For νa beskrive νapne spill kan vi bruke det som kalles grafteori. Dette viser seg νa vρre en effektiv mνate νa systematisere alle muligheter og valg som kan gjfires etter hvert som spillet skrider fram. Grafteorien ble grunnlagt av Euler pνa 1700-tallet (for helt andre formνal) og bestνar i νa studere bestemte figurer, kalt grafer. En graf er en geometrisk figur som bestνar av etantall noder eller hjfirner (gjerne tegnet som svarte prikker: ffl) og et passende antall kanter mellom nodene (tegnet som piler:!). Et eksempel pνa en graf er et kart som beskriver alle Braathens flyruter, slik vi finner det i stolryggen foran dem". Flyplassene er nodene og de rette strekene mellom nodene er kantene. Spillets gang i et νapent spill er beskrevet av etbeslutningstre. Et beslutningstre er en rettet, 3

4 sammenhengende graf uten sykler, dvs. en figur bestνaende av noder og rettede kanter mellom nodene, laget pνa slik mνate at vi aldri gνar i ring. Rettet betyr i denne sammenheng at kantene er piler med et startpunkt og et endepunkt. Beslutningstreet til sjakk ville se ut som en enorm samling av svarte prikker med piler mellom, hvor den ffirste prikken har 20 piler som gνar ut fra den og til nye prikker og hver av disse igjen har 20 piler til enda nye prikker. Antallet piler som gνar ut fra en svart prikk sier noe om hvor mange mulige valg spilleren kan gjfire pνa den stillingen. Nodene i spillet markerer altsνa punkter hvor en av spillerne kan gjfire et valg. En kant markerer en vei fra en node til en annen node. Figur 1 viser en illustrasjon av et beslutningstre for et tenkt spill. ffla. & fflb fflc # # & ffld ffle fflf. # & fflg fflh ffli Figur 1. Eksempel pνa et spilltre En forlfiper ν 0 til en node ν 1 er en node som er slik at det finnes en vei av kanter fra ν 0 til ν 1.Enetterffilger er definert motsatt. I figuren er f.eks. noden a en forlfiper til alle de andre. En initial node er en node uten forlfipere (i vνart tilfelle der hvor spillet starter, dvs. i a) ogenterminal node er en node uten etterffilgere (i figuren er nodene d; g; h; i terminale). Vi kan gi ffilgende karakteristikk av et beslutningstre, og som viser seg νa vρre hensiktsmessig for vνart formνal: (1) Enhver node har maksimalt en forlfiper, og er forbundet med den med en kant. (2) Ingen node etterffilger seg selv. (3) Enhver node har en forlfiper som er en initial node. (4) Et beslutningstre har kun en initial node, kalt treets rot. Et spill er nνa en valgt vei gjennom beslutningstreet, fra rota til en terminal node. (Merk at nνar vi tegner spilltreet lar vi rota vρre pνa toppen og de terminale nodene nederst.) Hfiyden h(ν) til en node ν er det minimale antall kanter fram til en terminal node, mens dybden d(ν) er antallet kanter tilbake til spilltreets rot. Lengden l(g) til et spill G er gitt ved hfiyden til rota ν 0, l(g) =h(ν 0 ). Generelt har vi for enhver node ν l(g)» h(ν)+d(ν) I figur 1 er l(g) = 2, det minste antall kanter fra roten til en terminal node. Spillets gang er bestemt av spillernes valg av strategi. En ren strategi for en spiller er en spesifisering av hvilket valg som skal gjfires i enhver node hvor det er opp til spilleren νa gjfire et valg. Eksempelvis kan vi tenke oss at en pokerspiller alltid velger νa satse i henhold til den matematiske sannsynlighet for at han har de beste kortene. Det vil vρre en ren strategi. Hvis en spiller veksler tilfeldig mellom strategier sier vi at spilleren ffilger en blandet strategi. Dette vil vρre tilfellet hvis pokerspilleren veksler mellom νa holde seg til det 4

5 korrekte, matematisk sett, og νa blfiffe, dvs. satse uten νa ha dekning for det i kortene i hνap om νa knekke motspillerene. I tillegg til νa ha klarlagt hva hver spiller kan gjfire i hver enkelt av sine noder, mνa vi sette en verdi pνa hver terminal node, et utbytte. Dette er en smart mνate νa oversette begrepene vinne7tape til tall. Utbyttet kan f.eks. vρre -1 for tap, 0 for uavgjort og +1 for vinn. Ikke-terminale noder har ogsνa sin verdi som vi etterhvert skal se ligger i intervallet [ 1; 1]. Vi skal alltid anta at alle spillerne velger optimale strategier for νa prfive νa vinne. I tillegg antar vi at spillene vνare er nullsum-spill, dvs. spill der summen av utbyttene i hver node er 0. Hvis en spiller har verdien +1 i en node (og altsνa hel sikkert vinner spillet, sνa vil den andre spilleren ha verdien -1 og helt sikkert tape. Vi skal ofte velge νa lautbyttene ligge i intervallet [0; 1], der 0 betegner tap og 1 betegner seier. I dette tilfellet vil summen av spillverdiene i et null-sum-spill vρre 1. Spilleksempel 1; Forenklet Nim To og to elever spiller sammen. De fνar utlevert en fyrstikkeske med fyrstikker. Fyrstikkene legges i en haug pνa bordet. Spillerne trekker annen hver gang. Spillerne kan trekke enten 1, 2 eller 3 fyrstikker. Den som tar den siste fyrstikken har vunnet. Det er lett νa seathvis det er 4 fyrstikker igjen har den som ikke er i trekket vunnet. Tilsvarende for 8, da er det umulig for nestemann ikke νa legge forholdene til rette for at hans motstander kan fjerne fyrstikker slik at det blir 4 igjen. Fortsetter vi pνa samme mνate ser vi det νa etterlate seg et antall fyrstikker som er delelig med 4 er en sikker mνate νa vinne spillet. La oss for enkelthet skyld anta at vi starter med 5 fyrstikker. Hver node gis navn etter hvor mange fyrstikker som er igjen. Spillets rot kalles dermed 5 og de terminale nodene gis alle navnet 0. Merk at vi ikke identifiserer noder med samme navn nνar de opptrer pνa forskjellige steder i spilltreet. En node kan dermed huske" sin forhistorie, noe som i mange sammenhenger gjfir systematiseringsarbeidet mye enklere. I 5. # & II # & I # & II 0 1 Figur 2. Utdrag av spilltre for forenklet Nim Spiller I begynner og 5 er derfor en I-node. Noder av odde dybde er II-noder, de med jevn dybde er I-noder. Verdien i de terminale nodene er enten 1 eller -1, alt etter hvem som vinner. I figur 2 er de terminale nodene markert med 1, dvs 1 fyrstikk igjen. Da har vi selvffilgelig ikke lenger noen valgsituasjon og verdien i disse nodene er 1 pνa I-linjene og -1 pνa II-linjene. En strategi for spiller I er nνa etvalg blant alle etterffilgerne i enhver I-node. (Den nullen som er tatt med i nederste linje har egentlig ikke noe i treet νa gjfire, all den stund I allerede er i en terminal node i forlfiperen. Grunnen til at den stνar der er 5

6 for nettopp νa markere at spiller I har muligheten til νa avgjfire spillet til sin fordel i linja over.) La y vρre en terminal node for et nullsum-spill G. Vi gir y en spillverdi H I (y) gitt som gevinsten i y for spiller I. Siden spillet er et nullsum-spill, vil gevinsten for spiller II vρre gitt ved H II (y) = H I (y). Definer nνa en spillverdi for en vilkνarlig node x ved: ρ maxi H H I (x) = I (ν i ) min i H I (ν i ) hvis x er en I-node hvis x er en II-node der fν j g j2j er mengden av etterffilgere til x. Gjentar vi denne prosedyren slik at vi stadig reduserer lengden av undertreet vi studerer, vil vi tilslutt kunne beregne verdien til den initiale noden x 0. Dette tallet kaller vi spill-verdien til G. En konsekvens av konstruksjonen er at spiller I har en sikker vinnerstrategi hvis spillverdien til G er H I (x) = 1, og tilsvarende for II hvis H I (x) = 0. Hvis I har en vinnerstrategi betyr det at i enhver I-node sνa finnes en etterffilgende II-node med spillverdi 1. Spiller I velger selvffilgelig alltid en slik. Pνa den annen side vil alle etterffilgere etter en II-node som inngνar i en vinnerstrategi ha spillverdi 1. Spiller II mνa derfor velge en node hvor han helt sikkert taper. Det vi her har beskrevet kalles Zermelos algoritme eller baklengs induksjon", og gir oss en enkel oppskrift pνa hvordan vi kan beregne spillverdien til et spill og dermed si noe om utfallet av et spill der alle aktfirene opptrer konsekvent etter mνalsettingen om νa vinne spillet. Spilleksempel 1; Forenklet Nim, fortsetter Vi kan bruke Zermelos algoritme til νa beregne spillverdien til forenklet Nim med 5 fyrstikker. Vi har gitt de terminale nodene verdien 1 eller -1 avhengig av om de er I-noder eller II-noder. I hver node bruker vi oppskriften over og vi forflytter" pνa denne mνaten 1-ere og (-1)-ere oppover i spilltreet. I # & II # & I # & II Figur 3. Samme som figur 2, men hver node er indeksert med spillverdien De tre II-nodene 2,3 og 4 av dybde 1 har verdi -1, -1 og +1 og dermed fνar rota verdi +1. Dermed har spillet spillverdi +1, noe som betyr at spiller I har en sikker vinnerstrategi, slik den er beskrevet over. (Formelt sett skal en strategi ogsνa angi hva somskal gjfires i noder med 4n fyrstikker, ogsνa for spiller I, men det har ingen betydning for vinnerstrategiene og ethvert valg er like bra.) Hvis spillverdien til et spill er 1 eller -1 sier vi at spillet har vinnerstrategier. Det betyr at det finnes en strategi for f.eks. spiller I som sikrer at hun vinner spillet. I praksis 6

7 betyr dette at i enhver I-node x, sνa finnes minst én etterffilger med verdi +1 og det finnes tilstrekkelig mange II-noder hvor alle etterffilgerne har verdi +1. Som vi har sett er forenklet Nim et slikt spill. 7

8 2. Sannsynlighetsteori Vi skal se pνa noen begreper og resultater fra sannsynlighetsteori og som vi har bruk for. Anta at vi slνar en terning. Det er 6 mulige utfall og vi kaller mengden Ω=f1; 2; 3; 4; 5; 6g for utfallsrommet. Delmengder av Ω kalles for utfallsmengder, utfall eller hendelser. La S = P(Ω) vρre mengden av alle utfallsmengder (mengden P(M) av alle delmengder av en mengde M kalles ofte potensmengden til M og vi har jp(m)j =2 jm j. Notasjonen jm j betyr antall elementer i mengden M). Et sannsynlighetsmνal er en funksjon P : P(M)! [0; 1] med egenskaper: (i) P (;) =0; P (Ω) = 1 (ii) P (F [ G) =P (F )+P (G) nνar F G = ; (disjunkte utfall). Funksjonsverdien P (F ) tolkes som sannsynligheten av utfallsmengden F. Vi sier at to hendelser er stokastisk uavhengige hvis den ene ikke er pνavirket av den andre og motsatt. For uavhengige hendelser har vi formelen P (F G) =P (F )P (G) F.eks. er det νa slνa kronogmynt to ganger etter hverandre og νa fνa mynt i begge kast to uavhengige hendelser. Vi lar F vρre mynt i ffirste kastet og G mynt iandrekastet. Utfallet F G er da mynt i begge kastene. Sannsynlighetene P (F ) for νa fνa mynt i ffirste kast og P (G) for νa fνa mynt i andre kast er begge 1 og sannsynligheten for νa fνa mynt i 2 begge kastene er i henhold til formelen 1 1 = Eksempel A Hva er sannsynligheten for νa fνa minst én 6-er nνar vi slνar to terninger etter hverandre? Lfisning. La W 1 vρre utfallet 6-er i ffirste kast og W 2 tilsvarende i andre. La L 1 og L 2 vρre de motsatte hendelsene, dvs. henholdsvis 1; 2; 3; 4; 5 i ffirste kast og 1; 2; 3; 4; 5i andre kast. Vi skal beregne P (W 1 [W 2 ). Svaret blir ikke P (W 1 ) P (W 2 ), nettopp fordi hendelsene ikke eruavhengige. Derimot har vi at W 1 W 2 (6-er i begge kast), W 1 L 2 (6-er i ffirste kast, men ikke i andre) og L 1 W 2 (6-er i andre kast, men ikke i ffirste) er disjunkte hendelser og 6-er i minst ett kast er gitt som unionen av dem: W 1 [W 2 =(W 1 W 2 ) [ (W 1 L 2 ) [ (L 1 W 2 ) som ved νa bruke produktformelen og egenskap (ii) gir P (W 1 [W 2 )=P (W 1 W 2 )+P (W 1 L 2 )+P (L 1 W 2 ) = =

9 Sannsynligheten for νa fνa minst én 6-er i to kast er altsνa 11. Vi kunne ogsνa ha beregnet 36 dette ved νa sepνa 1 P (L 1 L 2 ), dvs. komplementet til νa ikkefνa 6inoenavkastene. Vi har 1 P (L 1 L 2 )=1 P (L 1 ) P (L 2 )= = Hva sνa med P (F G) hvis hendelsene ikke eruavhengige? Forνa lfise problemet innffirer vi begrepet betinget sannsynlighet. Vi skriver P (GjF ) som betyr sannsynligheten for at G inntreffer nνar vi vet at F inntreffer. Det gir oss, nesten pr. definisjon formelen P (F G) =P (F ) P (GjF ) Denne er selvffilgelig symmetrisk i F og G og vi fνar Bayes regel: P (F ) P (GjF )=P (G) P (F jg) Eksempel B Hva er sannsynligheten for νa fνa minst en 6-er og at summen av terningene blir 9 nνar vi slνar to terninger etter hverandre? Lfisning. La F : Vi slνar minst én 6-er og G: Summen av terningene er 9. Det er lett νa seatav36mulige utfall, sνa er det 4 som gir sum 9 6+3; 5+4; 4+5; 3+6 og P (G) = 4 = 1.Toav disse inneholder en 6-er sνa sannsynligheten for at vi slνar minst 36 9 én 6-er nνar vi vet at summen er 9 blir P (F jg) = 1. Dermed fνar vi at sannsynligheten for 2 νa slνa minst en 6-er og at summen blir 9 blir nemlig de to hendelsene 6+3 og 3+6. Eksempel C P (F G) =P (F jg) P (G) = = 1 18 Ffilgende oppgave er gitt: En boks inneholder en gull- og to sfilvmynter. To mynter er trukket tilfeldig fra boksen. En medhjelper ser pνa myntene som er trukket ut uten at du fνar se. Han velger en av myntene og viser den til deg. Den er av sfilv. Til hvilken odds ville du satse med medhjelperen at den andre er av gull? Til hvilken odds ville du satse hvis den mynten du ser er valgt tilfeldig fra det uttrukne paret? Lfisning. LaF vρre hendelsen: Gullmynten er blant de to ffirst uttrukne myntene, og G: Medhjelperen trekker ut en sfilvmynt. Vi er ute etter P (F G), dvs. sannsynligheten for at den andre av detomyntene er av gull. (Hvis vi ffirst trekker ut en sfilv- og en gullmynt, og deretter trekker ut sfilvmynten, vil den gjenvρrende vρre av gull.) Vi deler 9

10 opp i de to situasjonene i teksten. Dersom medhjelperen helt sikkert velger ut en sfilvmynt, (noe han alltid kan gjfire), sνa er de to hendelsene uavhengige og P (G) = 1. Det gir oss P (F G) =P (F ) P (G) = 2 3 1=2 3 Merk at komplementet til F er at den ene mynten vi velger νa legge igjen er av gull. Sannsynligheten for det er 1 og P (F )=1 1 = 2. Det vil altsνa stνa segνa satse inntil 2 til , dvs. at du satser 2 og hvis du vinner fνar du 3 tilbake. I det andre tilfellet vil hendelsene F og G ikke vρreuavhengige, og vi mνa bruke betinget sannsynlighet. Det er noksνa opplagt at P (GjF )= 1. Dersom gullmynten var 2 blant de to ffirst uttrukne, sνa hadde medhjelperen én gull- og én sfilvmyntνa velge mellom. Et tilfeldig valg gir 1 sannsynlighet for gullmynt. Det gir oss dermed 2 P (F G) =P (F ) P (GjF )= = 1 3 og vi bfir ikke satse mer enn 1 til 3. La oss til slutt i dette kapittelet ta opp trνaden fra kapittel 1 og se litt mer pνa spillverdier. La x 2 G vρre en node i et spill G, ennodehvor det ikke er opp til noen av spillerne νa velge strategi, men derimot et lotteri. I praksis betyr det at en av spillerne skal slνa en terning, kaste en mynt eller liknende. La y 1 ;:::;y r betegne nodene som ffilger etter x. Vi kan f.eks. tenke oss at terningkast 1 bringer oss til node y 1, terningkast 2 til node y 2, osv. Hvis det var spiller I som slo terningen vil alle y-nodene vρre I-noder. Her mνa I gjfire et valg av strategi. Hvis spillet var ludo vil et typisk strategivalg vρre νa bestemme seg for hvilken brikke som skal flyttes. Anta nνa at vi har funnet en spillverdi i hver av nodene y i, for spiller I gitt ved H I (y i ). Da kan vi beregne spillverdien i noden x ved ffilgende formel H I (x) = X i P (y i )H I (y i ) hvor P (y i ) er sannsynligheten for νa havneinodey i. Vi beregner altsνa detveide gjennomsnitt av spillverdiene i alle etterffi)lgende noder. Ved νa veksle mellom denne algoritmen og algoritmen ρ maxi H H I (ν i ) hvis x er en I-node I (x) = min i H I (ν i ) hvis x er en II-node beskrevet i forrige kapittel kan vi beregne spillverdien til spillet G, gitt som spillverdien til roten til spillet G. Vi kan se pνa etrent regneeksempel uten νa beskrive noe spill. Gitt et spilltre som i figur 4 under. Vi antar at alle etterffilgere i enhver node er like sannsynlige, dvs at ingen av spillerne tenker, men bare velger tilfeldig mellom de mulighetene de har. De terminale nodene er gitt tilfeldige verdier. ffl 1 6. & ffl 1 ffl # # & ffl 1 ffl ffl +1. # & ffl +1 ffl +1 ffl 1 10

11 Figur 4. Eksempel pνa et spilltre med spillverdier Spillverdien, eller verdien til rota, er som vi ser 1, dvs. at det er litt stfirre sannsynlighet for at spiller II vinner enn at spiller I vinner. 6 En funksjon som til ethvert utfall gir oss en verdi (et reelt tall) X :Ω! R kalles en stokastisk variabel. Funksjonen kan f.eks. vρre 5 for mynt og -4 for kron. Variablen gir oss en gitt verdi for hver hendelse. Vi kan beregne forventningsverdien til en (diskret) stokastisk variabel X, betegnet EX, ved formelen EX = X kp(x = k) hvor vi summerer over alle verdier av k der P (X = k) 6= 0. Hvis vi beregner gjennomsnittsverdien til X i mange uavhengige hendelser, vil de store talls lov" presis gi oss forventningsverdien. I eksemplet over vil forventningsverdien bli EX = ( 4) 1 2 = 1 2 > 0 hvilket betyr at i det lange lfip ville vi tjene pνaνa inngνa enavtale der vi vant 5 kroner for hver mynt og tapte 4 for hver kron. For fivrig ingen overraskelse! En stokastisk variabel X :Ω! R er i spillteorien et lotteri og verdiene X(!),! 2 Ω, kalles gevinst eller utbytte. Forventet utbytte av et lotteri er dermed gitt som summen av alle mulige utbytter multiplisert med sannsynligheten for akkurat det utbyttet. Eksempel D Det finnes en (kanskje) velkjent variant av Eksempel C. Pνa enkelte TV-stasjoner har ffilgende konsept vρrt brukt i underholdningsfiyemed. En publikummer (spilleren) skal velge blant tre lukkede luker (eller dfirer eller kister). Bak to av lukene er det en banan og bak den tredje noe adskillig mer verdifullt. Spilleren vet ikke hva som er hvor og velger pνa mνafνa. I steden for νa νapne den valgte luka sier programlederen at han skal gi spilleren litt hjelp og νapner en av de gjenvρrende lukene. Programlederen vet hvor bananene er og velger alltid en slik. Dermed er det to uνapnede luker igjen og spilleren fνar valget mellom νa holde pνa sitt valg eller bytte. Av (u-)kjente grunner velger de aller fleste νa stνa pνa sitt valg. (Sannsynligvis oppfatter man det som hipp som happ hvilken man velger og da er det tryggest νa stνa ved det opprinnelige valget) Programlederen νapner den valgte luken og spenningen utlfises. Skulle spilleren ha byttet? Lfisning. Spilleren skulle ha byttet. Hvis vi setter verdien pνa utbyttet til U = 1 for den verdifulle gevinsten og U = 0 for bananen kan vi beregne forventet utbytte i de to tilfellene, at spilleren bytter eller at han ikke bytter. Vi antar ffirst at han ikke bytter. Det er uansett to muligheter for innledende valg. F: Luka skjuler en banan og G: luka skjuler toppgevinsten. Ved et tilfeldig valg har vi P (F )= 2 og P (G) = 1, siden det er 2 bananer. 3 3 Det gir forventet utbytte E ikkebytte = U F P (F )+U G P (G) = =

12 Hvis vi bytter blir det motsatt E bytte = U F P (G) +U G P (F )= = 2 3 fordi at hvis spilleren bommet til νa begynne med og programlederen har avdekket den andre bananen, sνa inneholder den andre luka som er igjen helt sikkert toppgevinsten. Mao. hvis spilleren bytter dobles sjansen for vinne toppgevinsten. Spilleksempel 2; Duell Dette eksemplet er relativt voldelig i sin natur, men vi er selvffilgelig kun interessert i sannsynlighetsbetraktninger og vi ser helt bort fra de moralske sidene ved spillet. To duellanter gνar mot hverandre. Hver av dem er bevρpnet med en pistol ladd med kun en kule. Sannsynligheten for νa treffe motstanderen fiker jo nρrmere de kommer hverandre. Det avgjfirende spfirsmνalet blir nνar man skal fyre av. Skyter man for tidlig og bommer, kan motsatnderen komme helt innpνa ffir han skyter. Skyter man for seint fiker sannsynligheten for at man allerede er truffet av motstanderens kule. La D vρre startavstanden mellom duellantene. For en gitt avstand 0» d» D er sannsynligheten for at I (henholdsvis II) treffer gitt ved P I (d) (henholdsvis P II (d)). For begge aktfirene er det selvffilgelig optimalt νa skyte i det fiyeblikk det νa skyte framfor νa la vρre gir en optimal sannsynlighet for νa overleve. For spiller I er sannsynligheten for νa overleve hvis han skyter gitt ved P I (d). Sannsynligheten for νa overleve hvis han lar vρre er maksimalt 1 P II (d) (fordi det kunne vρre at II umiddelbart fyrte av). Han bfir altsνa skyte dersom P I (d) 1 P II (d) eller P I (d) +P II (d) 1 Vi fνar nfiyaktig samme betingelse for spiller II hvilket betyr at begge to fyrer av nνar avstanden er slik at P I (d) +P II (d) =1 dvs. nfiyaktig samtidig, uavhengig av om de er gode eller dνarlige skyttere. Dette eksempelet har mange anvendelser. En fotballspiller som kommer alene mot keeper. Nνar skal han finte og nνar skal keeper gjfire sitt utfall? 12

13 3. Spill der utfallet er avhengig av hva motstanderen gjfir Vi skal se pνa det spesielle tilfellet der vi har to aktfirer og hver aktfir har to forskjellige strategier. Dette er en generell setting som vil dekke flere av vνare klassiske eksempler, slik som Fangenes dilemma, Chickenplay og Poker. Dette kapitlet kan kanskje oppfattes som teknisk komplisert. Fortvil ikke, det er mulig νa hoppe over det og gνa rett pνa kapittel 4. I et to-spiller-spill med to strategier for hver spiller har vνare to spillere hver sin utbyttematrise, vi skriver dem a11 a A 12 b11 b = ; B 12 = a 21 a 22 b 21 b 22 hvor A er utbytte-matrisen for spiller I, og B er utbytte-matrisen for spiller II. Blandede strategier for de to spillerene er entydig bestemt av sannsynlighetene x og y for at spillerne velger sin ffirste rene strategi (og derfor sannsynlighet 1 x og 1 y for den andre rene strategien). Utbyttet for de to spillerne er dermed gitt ved for spiller I, og H 1 (x; y) =XAY T =(x 1 x)a y 1 y =(a 11 a 12 a 21 + a 22 )xy +(a 12 a 22 )x +(a 21 a 22 )y + a 22 H 2 (x; y) =XBY T =(x 1 x)b y 1 y =(b 11 b 12 b 21 + b 22 )xy +(b 12 b 22 )x +(b 21 b 22 )y + b 22 for spiller II. Siden sannsynlighetene x og y oppfyller 0» x; y» 1 fνar vi at utbyttefunksjonene blir funksjoner pνa enhetskvadratet, og vi skal forsfike νa finne likevektspunktene. Vi skal ffirst finne de tillatte situasjonene for spiller I. Siden H 1 er lineρr i hver variabel er en nfidvendig og tilstrekkelig betingelse for at (x; y) er et likevektspunkt at H 1 (1;y)=(1 0)AY T» H 1 (x; y) H 1 (0;y)=(0 1)AY T» H 1 (x; y) og tilsvarende for andre koordinaten. Hvis vi setter a 11 a 12 a 21 + a 22 = A; a 22 a 12 = a fνar vi likningene A(1 x)y a(1 x) =(Ay a)(1 x)» 0 13

14 Axy ax =(Ay a)x 0 og de tillatte situasjonene for spiller I er lfisningene til disse to ulikhetene innenfor enhetskvadratet [0; 1] [0; 1]. Ved νa splitte opp mulighetene og νa sette ff = A a fνar vi ffilgende lfisning, nνar vi antar at A>0: Hvis A<0 fνar vi de motsatte ulikhetene. Hvis A =0fνar vi ulikhetene x =0 gir y» ff x =1 gir y ff 0 <x<1 gir y = ff a(1 x)» 0; ax 0 Dette gir oss lfisning x =0;yfritt valgt for a 0 x =1;yfritt valgt for a» 0 x; y fritt valgt for a =0 Det siste tilfellet betyr at alle situasjoner er tillatte. Tilsvarende gjfir vi for spiller II. Vi setter b 11 b 12 b 21 + b 22 = B; b 22 b 21 = b og vi fνar nfiyaktig samme lfisning med den forskjell at vi bytter om x og y og erstatter ff med fi = B b. Dermed har vi to grafer i x; y-planet som beskriver de tillatte situasjoner for de to spillerene. Likevektsituasjoner finner vi i skjρringspunktene mellom de to grafene,dvs. Figur 5. A>0, B<0 Vi skal se pνa noen kjente eksempler pνa dentype spill vi her har beskrevet. 14

15 Spilleksempel 3a; Fangenes dilemma Vi antar at spillerene er to kriminelle som er arrestert og skal avhfires hver for seg. Det er ingen bevis mot dem, og dom og straffeutmνaling avhenger direkte av eventuelle tilstνaelser. Hvis begge tilstνar vil begge fνa 8 νar fengsel. Hvis ingen tilstνar slipper de med 1νar. Hvis en tilstνar og den andre tier, sier loven i dette landet at den som tilstνar gνar fri, mens den andre fνar 10 νar. Dette gir utbytte-matriser A = ; B = Her har vi A = 1 (og derfor stfirre enn 0), a = 1 og dermed ff = 1. Tilsvarende for spiller B. Tillatte strategier for spiller A er pνa formen (1;y) og for spiller B pνa formen (x; 1). Eneste likevektspunkt blir da (1; 1), som betyr at begge tilstνar. Spilleksempel 3b; Almenningens tragedie I dette spillet antar vi at to bfinder deler en almenning, i tillegg til at de har sin egen personlige jord. Pνa almenningen er det lite, men veldig nρringsrikt gress. Hvis gresset blir spist helt ned et νar, tar det flere νar ffir det er tilbake. Dette vil skje hvis begge bfindene slipper dyra sine ut pνa almenningen. Hvis bare en av dem gjfir det, blir ikke trνakket sνa stort, og almenningen vil vρre like fruktbar allerede νaret etter. Dette gir oss ved passende valg av utbytte-koeffisienter, A = 1 0; 8 ; B = 1; 5 1; 1 1 1; 2 0; 8 1; 1 som gir A =0; 1, a =0; 3ogff = 1. Tilsvarende fνar vi for spiller II. Likevektspunktet blir 3 x = y = 1, mao. hver bonde velger med sannsynlighet 1 νaikke bruke almenningen. 3 3 En aktuell variant av dette spillet er de internasjonale klimaforhandlingene. Her er det like mange spillere som det er land i verden. Alle har et visst utslipp av CO 2, og de som vil bli rikere mνa slippe ut mer. Atmosfρren tνaler imidlertid ikke atallefiker sine utslipp. Nνar norske myndigheter sier at en liten fikning hos oss gir en enda mindre relativ fikning pνa verdensbasis er for sνa vidt dette riktig. Men dette er et valg av strategi for νa fike utbyttet og det er ingen grunn til νa tro at ikke de andre landene ffilger samme strategi. Dermed bρrer det ut i uffiret. Om man da ikke kommer fram til en internasjonal klimaavtale. I sνafall er det et kooporativt spill og det blir ikke behandlet her. Spilleksempel 3c; Poker Et at verdens mest berfimte spill er kortspillet Poker. For ikke νa gjfire tingene mer komplisert enn de trenger νa vρre, skal vi foreta noen forenklinger. Imidlertid skal vi bevare essensen i spillet. Poker spilles normalt av flere spillere, men vνar ffirste forenkling er νa anta at vi bare har to deltakere. Siden den ene vinner det den andre taper er Poker et null-sum-spill. Pokerspill begynner alltid med at hver spiller fνar utdelt 5 kort. Antallet mulige kombinasjoner, eller hender som de kalles i Poker, er Ett hovedpoeng ved Poker er at mengden av hender er lineρrt ordnet, dvs gitt to forskjellige, sνa er alltid den ene bedre 15

16 enn den andre eller motsatt. Det betyr at vi ved νa fνa utdelt en hνand egentlig trekker et tall mellom 1 og Vi kaller denne tallmengden S. Poker gνar dermed ut pνa at spiller i trekker et tall s i 2S og den vinner som har det hfiyeste tallet. Imidlertid er det flere vesentlige momenter i Poker. Det inngνar ogsνa kjfipslνaing med penger. Etter at kortene er utdelt, dvs. tallene er trukket begynner spillerne νa by. Ffirste spiller νapner og deretter kan de andre gjfire en av tre ting. De kan by over og spillet gνar videre til nestemann, de kan se", dvs at budet er akseptert og begge legger fram sine kort. Beste kort vinner potten. Eller de kan kaste seg. Da taper de de pengene de allerede har lagt i potten og fνar ikke delta videre. Den mest opplagte strategien i dette spillet ville vρre νa by hfiyt ved gode kort og lavt ved dνarlige kort. Hvis alle spillerne var like godeikombinatorikk og sannsynlighetsregning, ville pengene dermed bare skifte eiere avhengig av utdelte kort, dvs. tilfeldig valgt tall. I det lange lfip ville alle sitte igjen med det de startet med. Det som gjfir Poker fascinerende er selvffilgelig innffiringen av enny strategi, nemlig blfiffing". Blfiffing er νa gjfire det motsatte av det som er beskrevet over. Ved dνarlige kort byr spilleren hfiyt, for νa fνa motstanderen til νa tro at han har gode kort og derved kaste kortene. Den blfiffende spilleren ville dermed vinne potten uten nfidvendigvis νa hade beste kortene. Tilsvarende kan man by lavt pνa godekort, for νa gi motstanderen inntrykk av at man har dνarlige kort og dermed fνa motstanderen til νa by hfiyt for sνaνaseogνa vinne potten fordi egen hνand er bedre enn motstanderens. En god spiller blander selvffilgelig disse to strategiene pνa en slik mνate at det er uforutsigbart for motstanderen νa vite hvilken strategi som brukes. I Von Neumann og Morgensterns klassiske bok Theory of Games and Economical behavior"er denne forenklede form for Poker beskrevet i detalj, og vi henviser til denne for et dypere studium. Spilleksempel 3d; Chickenplay: To unge gutter skal vise ei jente hvem som er tfiffest. De kjfirer rett mot hverandre med bil. Den som svinger unna er chicken"og vinner (i dette spillet) ingen jentes gunst. Ved νa gjfire ulike valg for koeffisienter i utbytte-matrisen vil det opptre ulike likevektssituasjoner. Vi skal ikke gνa i detalj her, men overlater det til leseren νa gjfire bνade vurderingene og utregningene. Spilleksempel 3e; Tokortsspill med to strategier: Vi kan implementere disse variasjonene over Fangenes dilemma som spill vi kan spille. Hver spiller har to kort, A og B. Uten νa informere motspilleren velger begge to ett av kortene. Deretter offentliggjfir begge spillerene sine valg samtidig. Poenggivingen kan vρre som ffilger Valg Poeng I II I II A A 1 0 A B 0 1 B A 0 1 B B

17 Figur 6. Likevektspunktet er i dette tilfellet gitt ved ff = fi = 1, dvs. at vi veksler mellom kort 2 A og B med lik sannsynlighet for hver av dem. Men, pass pνa, her er det mulig νa vinne ved νa bruke psykologisk innsikt. 17

18 4. Andre eksempler pνa spill I dette kapitlet skal vi se pνa en del eksempler pνa ulike spill. Noen av dem er velkjente fra dagliglivet mens andre er mindre kjent. Grunnen kan kanskje vρre at de er laget for anledningen. De spillene vi beskriver her skal oppfylle tre kriterier: 1. De skal vρre lette νa lρre seg og enkle νa spille, 2. De mνa vρre morsomme for elevene νa spille, 3. De mνa bρre i seg et matematisk innhold som elevene kan forstνa. Et viktig poeng i denne sammenheng er at de spillene vi refererer til kun er eksempler. Enhver lρrer kan med fordel lage sine egne spill, enten pνa egen hνand eller sammen med sine elever. Spilleksempel 4; Nim med to bunker To og to elever spiller sammen med fyrstikker. Fyrstikkene fordeles pνa to bunker med vilkνarlig antall fyrstikker i begge bunkene. Spillerne trekker annen hver gang og de kan trekke sνa mange fyrstikker de vil, men bare fra én bunke. Den vinner som trekker den siste fyrstikken. Beskrivelse av vinnerstrategi. Dette er et rent strategispill med full νapenhet. Det er ikke mulighet for uavgjort, dvs det finnes vinnerstrategier for en av spillerne. En generell vinnerstilling vil vρre to bunker med like mange fyrstikker. Strategien er da νa gjfire det samme som motspilleren. Dermed kan man uansett motstanderens trekk opprettholde vinnerstillingen. Til slutt vil motspilleren vρre tvunget til νa ta resten av den ene bunken og han har tapt spillet. Spilleksempel 5; Nim med flere bunker To og to spiller sammen med fyrstikker. Fyrstikkene fordeles pνa et passende antall bunker med et vilkνarlig antall fyrstikkerihver. Spillerne trekker annen hvergangogdekan trekke sνa mange fyrstikker de vil, men kun fra én bunke. Den som tar den siste fyrstikken vinner spillet. Beskrivelse av vinnerstrategi. Nok en gang et rent strategispill med full νapenhet, men med en vanskeligere tilgjengelig algoritme for νa vinne. Men her kommer beskrivelsen: Gjfir om antall fyrstikker i hver bunke til totallsystemet. Summer modulo 2 de forskjellige antallene som om tallene skulle vρre vektorer, (1-ere,2-ere,4-ere,8-ere, osv). Hvis summen blir null-vektoren har vi en vinnerstilling. I praksis kommer vi oss inn i en vinnerstilling pνa ffilgende mνate. Tell opp hver bunke i totallsystemet og legg sammen som vektorer modulo to. Hvis vi ikke er i en vinnerstilling fνar vi et svar, helt sikkert forskjellig fra null. Gjfir om dette svaret fra vektor til tall og fjern et passende antall fyrstikker fra en av bunkene. Eksempel: Tre bunker med 8, 5 og 3 er ingen vinnerstilling. I totallsystemet skrives disse tre tallene som 1000, 101 og 11. Summen blir 1112 som ikke kun bestνar av partall. Fjerner vi derimot 2 fra den stfirste bunken blir antallene 6 (110), 5 (101) og 3 (11). Tilsammen 222 og vi har en vinnerstilling. Uansett hva motstanderen gjfir nνa vil det dukke opp et oddetall i summen. La oss f.eks. anta at motstanderen tar 2 fra den stfirste bunken. De tre tallene blir da 4 (100), 5 (101) og 3 (11), som gir sum 212. Fjerner vi 2 fra den minste bunken blir summen 202, som er en ny vinnerstilling. 18

19 I begge disse eksemplene finnes entydige vinnerstrategier. Det betyr at spillene er likeveltsspill, spill der det finnes likevektstilstander. Likevektstilstanden er presis vinnerstrategien. Ethvert annet valg for spiller I gir lavere (eller lik) forventet utbytte, mens for spiller II sνa vil alle valg gi samme utbytte, dvs alle valg gir mindre eller likt utbybtte og vi ser at dette passer med definisjonen av likevekt. Spilleksempel 6; Sjakk To og to spiller sammen. Spillet foregνar pνa et brett med 16 brikker. Brikkene ::: Beskrivelse av vinnerstrategi. Selv om dette er et rent strategispill med full νapenhet, og det derfor finnes et fullstendig spilltre, er det ikke like lett νa beskrive eventuelle vinnerstrategier. Hvis vi kunne gjfire det ville alle terminale noder ha verdi -1, 0 eller +1. Det samme ville vρre tilfelle (i henhold til Zermelos algoritme) for rota, dvs. spillverdien. Sνa vidt vites er denne spillverdien forelfipig ukjent. Spilleksempel 7; Ffirstemann til 100 To spillere spiller mot hverandre. Ffirstemann slνar terningen og legger sammen fiyne. Hun kan holde pνa sνa lenge hun vil, men fνar hun 1 taper hun alle poengene i denne runden og turen gνar over til andremann. Hun kan ogsνa bestemme seg for νa stoppe. Da beholder hun poengene sine (fra denne runden) og legger dem til det hun har opparbeidet fra tidligere runder. Ffirstemann til 100 (eller en annen verdi man blir enige om) vinner. Beskrivelse av en optimal strategi. Det er mulig νa regne ut en optimal strategi for νa fνa flest mulig poeng i en runde. Anta at vi har N poeng. Spfirsmνalet er om vi skal stoppe eller slνa en gang til. Slνar vi 1 (sannsynlighet 1 )fνar vi 0 poeng, slνar vi n =2; 3; 4; 5; 6 6 (sannsynlighet 1 for hvert tall) fνar vi N + n poeng. Forventet poengsum etter neste kast 6 blir da (N +2)+:::+ 1 6 (N +6)= 1 (5N + 20) 6 Betingelsen for at det lfinner seg νa fortsette νa slνa er at 1 6 (5N + 20) N dvs. N» 20. Det betyr at har vi fρrre enn 20 poeng skal vi fortsette, har vi flere skal vi stoppe og for N = 20 spiller det ingen rolle. I spillets gang holder ikke dette resonnementet, vi mνa ogsνa forholde oss til motspillerens poengsum. Generelt bfir vi slνa litt mer hvis vi ligger under og litt mindre hvis vi ligger over. Regningene blir fort noksνa komplisert og vi skal ikke gνa i detalj. Dette er et kombinert lotteri/strategispill med full νapenhet. Spilleksempel 8; Bfirs To spillere spiller mot hverandre. Spillebrettet bestνar av tre ruter pνa rad og med et hjemmeomrνade i hver ende. Hver spiller starter med 1000 (fiktive) kroner og en brikke plasseres i den midterste ruta. Spillet begynner med at hver spiller satser av sin beholdning. Belfipet skrives opp pνa en lapp (uten at motspilleren ser det). Deretter offentliggjfires 19

20 innsatsene. Den som har hfiyest verdi vinner denne runden og flytter brikken ett hakk nρrmere seg. I neste runde sitter hver spiller pνa 1000 kroner minus det de satset i ffirste runde. Det satses pνa samme mνate en gang til. Nok en gang kan den som har hfiyeste bud flytte brikken ett hakk i sin retning. Den har vunnet som ffirst klarer νa fνa brikken inn pνa sitt hjemmomrνade. Bfirs er et rent strategispill, og helt lukket. Det er mulig νa bruke avansert spillteori til νa beregne likevektsituasjoner for spillet. Vi skal ikke komme inn pνa det her. Spilleksempel 9; Primo Primo" er et enkelt, men veldig instruktivt terningsspill. To spillere slνar med en terning og ffirstemann som fνar 5 eller 6 vinner. Dette er et rent lotteri og vi kan regne ut spillverdien. Ved νa slνa sammen en del av tallene fνar vi to muligheter for spiller I, vinne ved νa slνa 5 eller 6, dvs. spillverdi 1 med 1 sannsynlighet, eller at spillet gνar videre med 3 2 sannsynlighet (1,2,3 eller 4). Spiller II har nνa 1 sannsynlighet for νa vinne, og med sannsynlighet for at I ikke har vunnet allerede i ffirste runde, er sannsynligheten for at spiller II vinner 2. Da har vi brukt opp = 5 og det er 4 sannsynlighet for at I fνar slνa igjen. Spiller I har 1 4 = 4 sannsynlighet for νa vinne i denne runden, osv. Fortsetter vi regningene ser vi at spiller I har og spiller II har G = ::: ::: = 2 3 G sannsynlighet for νa vinne. Tilsammen har vi at G + 2 G = 1, dvs. G = 3 =0; 6 som betyr 3 5 at sannsynligheten for νa vinne er i spiller I sin favfir. Urettferdig kaller barn dette. ffl G # & G = 2H ffl 1 ffl H. # H = 2 G ffl G ffl 0 Figur 7. Utdrag av spilltre for Primo, spillverdier pνaffirt som indekser Figur 7 viser en noe annerledes mνate νa beregne spillverdien. Vi lar nνa spillverdiene variere i intervallet [0; 1]. Det betyr at den ene spilleren vinner pνa verdien 1, mens den andre vinner pνa 0. Spillverdi 1 skulle bety at de har like stor sjanse for νa vinne. 2 Figuren tar utgangspunkt i at hvis begge spillerne har slνatt en gang og ingen har oppnνadd 5 eller 6, sνa starter egentlig spillet pνa nytt og mνa da ha samme spillverdi. Dermed blir oppgaven νa lfise likningen G = 2 3 ( 2 3 G ) = 4 9 G

21 dvs. G = 3 som er det samme som vi fikk over. 5 Vi kan bfite pνa urettferdigheten i dette spillet ved νa endre pνa reglene og spille modifisert Primo". Reglene er som i Primo, bortsett fra at spiller II vinner pνa 4,5 og 6 (og ikke bare 5 og 6). Spiller I har fordelen av νa begynne, mens spiller II har flere muligheter til νa vinne. Som over, sνa holder det νa sepνa spilltreet for ffirste runde, siden spillet repeterer seg selv videre dersom ingen vinner i denne runden. Spilltreet ser ut som antydet i figur 8, men merk at vi nνa er tilbake til verdi +1 for seier og -1 for tap. Verdien i roten og i den ene (kvasi-)terminale noden begge er G. Dette gir G = ( 1 ( 1) + 1 G) eller G =2 2+2G hvilket betyr at G = 0 og de to spillerene har samme sannsynlighet for νa vinne. ffl G # & G = 2 H ffl 1 ffl H. # H = 1 G + 1 ( 1) 2 2 ffl G ffl 1 Figur 8. Utdrag av spilltre for rettferdigfisert Primo, spillverdier pνaffirt som indekser En annen visuell mνate νa framstille dette er som en tabell med 6 ganger 6 ruter, som vist i figur 9. Rute (m; n) tilsvarer at spiller I slνar m iffirstekast og spiller II ffilger opp med en n. (Vi lar II slνa selv om I har vunnet i ffirste kast, dette betyr ingenting for utregningene). De to nederste radene, med ialt 12 ruter, svarer til at spiller I vinner i ffirste kast, mens de 4 3 rutene i fiverste hfiyre hjfirne reflekterer at II har vunnet. De gjenstνaende 12 rutene svarer til at spillet gνa videre (og vi er nfiyaktig like langt). Like mange vinnerruter til hver spiller betyr at sannsynligheten for νa vinne fordeler seg II II II 2 II II II 3 II II II 4 II II II 5 I I I I I I 6 I I I I I I Figur 9. Tilsvarende kunne vi gjort for Primo, da ville vi fνatt ffilgende tabell: 21

22 II II 2 II II 3 II II 4 II II 5 I I I I I I 6 I I I I I I Figur 10. Det er lett νa se at fordelingen bli 12-8, dvs i prosent. Et interessant spfirsmνal er hva som skjer hvis det er 3 spillere, hvorav ffirstemann vinner pνa 5 og 6, andremann vinner pνa 4,5,6. Hva er vinnertallene til tredjemann hvis vinnersjansene skal vρre helt jevnt fordelt? Vel, ffirstemann har i sitt ffirste kast 1 sjanse 3 til νa vinne, andre mann tilsvarende ( 2 1 )ogdamνa tredjemann i rettferdighetens navn 3 2 ogsνa fνa det. For νa fνa til det mνa hun vinne uansett, ( 1 p = 1 gir p = 1), altsνa pνa tallene 3 3 1,2,3,4,5,6. Spilleksempel 10; Lotto Et spill med stor oppmerksomhet er pengespillet Lotto. dette er et rent lotteri, men det er ikke riktig. Man skulle kanskje tro at Som et spill mellom mange spillere foregνar Lotto ved at hver spiller bestemmer seg for en av et gitt antall mulige tallkombinasjoner (i den norske varianten av spillet ca. 5 millioner) og putter et visst pengebelfip (for tiden kr. 3) ipotten. Det telles opp hvor mange som har hver tallkombinasjon (eller deler av dem, for de mindre gevinstene). En tallkombinasjon trekkes ut og sνa fordeler de som har tippet denne kombinasjonen hele potten mellom seg. I det statlige norske lotto-spillet er hver kombinasjon hver uke spilt av 0 til ca tippere, med et gjennomsnitt pνa 4. Dette gir store variasjoner i toppgevinsten. Det er lukketheten av spillet som gir disse variasjonene. Hvis alle hadde visst hva de andre tippet ville det ha pνavirket vνare valg. Variasjonene over dette spillet vil vise det. I en klasse kan vi spille en forenklet variant. Alle elevene satser (fiktivt) 1 krone pνa et tall fra 1 til 6. En terning avgjfir hvilket tall som vinner. Dermed fνar vi en situasjon hvor de andre valg av strategier (mao. av tall) pνavirker egen forventet gevinst i spillet. Vi kan variere dette spillet. Reglene er som tidligere, men vi νapner for ulike mνater νa trekke vinnertallet. Tre varianter kan vρre 1) Helt tilfeldig 2) Tendenstrekning, dvs de forskjellige tallene veies i henhold til hvor mye de er spilt. 3) Majoritetsvalg, det mestspilte tallet trekkes. En skjematisk oppsummering av de ulike spilleksemplene kan illustreres med ffilgende bilde. Plasseringene er ikke entydige, men kun gjort som en litt upresis illustrasjon. 22

23 νapent νapent/lukket Lukket Strategispill Nim, Sjakk Bfirs, FD Strategi/lotteri Primo, 100 Kortspill Lotteri Stigespill Lotto Figur 11. De spillene vi har gjennomgνatt i dette heftet er bare et lite utvalg av alle de mulige spill som finnes (og som ikke finnes enda). Spill egner seg godt som pedagogisk hjelpemiddel i ulike fag i skolen, ikke minst i matematikktimene. Men det er ingen grunn til νa begrense seg til de som her er presentert, snarere tvert i mot. Det er bνade morsomt og lρrerikt for bνade elever og lρrere νa lage sine egne spill. Det kan vρre lurt νa ffirst tenke gjennom hva man finsker seg for deretter νa skreddersy reglene til det behovet man har. Det er bare νa bruke fantasien og νa prfive seg fram. kanskje reglene kan bli til mens man spiller? 23