Copula goodness-of-fit testing

Transkript

1 Daniel Berg Universitetet i Oslo & Norsk Regnesentral DET 14. NORSKE STATISTIKERMØTET Sommarøya Juni 2007

2 Outline Lovende tester 2.2 Cpit2-testen

3 C n C ρ C ρν v u v u v u C δ C θ C ξ v u v u v u

4 1. Passer vår modell til dataene? Univariat Anderson-Darling eller QQ-plot Multivariat færre alternativer Grensefordelingen til en copula GoF test avhenger av parameteren p-verdi estimeres via tunge parametriske bootstrap prosedyrer Fokus i litteraturen er nesten utelukkende bivariat

5 GoF tester Cpit2-testen 2. Flere teknikker har blitt foreslått: Diskretisering av sannsynlighets rommet (binning) Multivariat glatting Dimensjonsreduksjon Konstruksjoner for å teste for en spesifikk copula Generelle tester for å teste enhver copula

6 GoF tester Cpit2-testen 2.1 Lovende tester n{c n (u) C θn (u)}, u = u 1,..., u d, n{k n (u) K θn (u)}, K(t) = P(C(u) t), n{l n (u) L θn (u)}, L(t) = P( d i=1 u i t), Rosenblatt s transformasjon test for uavhengighet.

7 GoF tester Cpit2-testen Eksempel på K n -plott t K(t) t Figure: Eksempel på K-plot (t K(t), 95% ci)

8 GoF tester Cpit2-testen 2.2 Cpit2-testen (Berg and Bakken, 2007) n observasjoner av en d-dimensjonal vektor X Pseudo-observasjoner Z U(0, 1) d Rosenblatt s transformasjon (cpit) basert på Z V Teste V for uavhengighet

9 GoF tester Cpit2-testen 2.2 Cpit2-testen Breymann et al. (2003): W G = d i=1 Φ 1 (V i ) 2 Two problems: 1. Vekt funksjonen Φ 1 ( ) for ekstrem - problem for liten n 2. Oppdager ikke radiell asymmetri (Φ 1 (0.2) 2 = Φ 1 (0.8) 2 ) Rosenblatt s transformasjon på V H W B = d i=1 Γ V (V (i) ; α) Γ H (H i ; α) Eksempler på Γ(X ): Φ 1 (X ) 2, X 0.5, (X 0.5) α, α = (2, 4,...) Spesialtilfelle: Γ V (X ) = Φ 1 (X ) 2 og Γ H (X ) = 1

10 W v2 Outline GoF tester Cpit2-testen 2.2 Cpit2-testen W B = d i=1 Φ 1 (V (i) ): v1

11 W v2 Outline GoF tester Cpit2-testen 2.2 Cpit2-testen W B = d i=1 V (i) 0.5 : v1

12 W v2 Outline GoF tester Cpit2-testen 2.2 Cpit2-testen W B = d i=1 V (i) 0.5 H i 0.5 : v1

13 3. (1/3) H 0 H 1 B 2,0 C n K n L n Gauss Gauss Student t Clayton Gumbel Student t4 Gauss Student t Clayton Gumbel Clayton Gauss Student t Clayton Gumbel Gumbel Gauss Student t Clayton Gumbel Table: Styrke (%) til copula GoF tester, d = 2, n = 100, τ = 0.5.

14 3. (2/3) H 0 H 1 B 2,0 C n K n L n Gauss Gauss Student t Clayton Gumbel Student t4 Gauss Student t Clayton Gumbel Clayton Gauss Student t Clayton Gumbel Gumbel Gauss Student t Clayton Gumbel Table: Styrke (%) til copula GoF tester, d = 5, n = 200, τ = 0.25.

15 3. (3/3) H 0 H 1 B 2,0 C n K n L n Gauss Gauss Student t Clayton Gumbel Student t4 Gauss Student t Clayton Gumbel Clayton Gauss Student t Clayton Gumbel Gumbel Gauss Student t Clayton Gumbel Table: Styrke (%) til copula GoF tester, d = 5, n = 1000, τ = 0.15.

16 4. GoF test basert på to estimatorer av θ, f.eks. n{ρ 1 (ρ n ) τ 1 (τ n )} Hvilken effekt har parameter estimator på styrken til en test: n{cn C ρ 1 (ρ n)} vs. n{c n C τ 1 (τ n)} Lokal styrke ved små pertubasjoner fra H 0 : Q δn = (1 δ n )C + δ n D, δ n = δ/ n, δ n Hvilken effekt har bootstrap parametre på styrken til en test. Kan vi finne optimale valg (tommelfinger regler)? FGoF?

17 H n n{cn C θ } τ 1 (H 0 = Clayton) Clayton Frank Gumbel-Hougaard Gaussian n{cn C 0 } n{cn C ρ} n{cn C τ } n{cn C PL } n{cn C 0 } n{cn C ρ} n{cn C τ } n{cn C PL }

18 5. Flere gode tester, dimensjonsreduksjon mest lovende, spesielt for høyere dimensjoner Cpit2-testen, basert på Rosenblatt s transformasjon Styrke sammenligning: n{c n C θn } svært god Mye spennende å jobbe videre med TITAN cpus - ikke mulig foruten!

19 References Contact Referanser Berg, D. and H. Bakken (2007). A copula goodness-of-fit test based on the probability integral transform. Submitted. Breymann, W., A. Dias, and P. Embrechts (2003). Dependence structures for multivariate high-frequency data in finance. Quantitative Finance 1, 1 14.

20 References Contact Contact details Daniel Berg, Universitetet i Oslo & Norsk Regnesentral, daniel@danielberg.no