Par-copula konstruksjoner: Et fleksibelt verktøy for å modellere multivariat avhengighet

Transkript

1 Par-copula konstruksjoner: Et fleksibelt verktøy for å modellere multivariat avhengighet Foredrag for Norsk ASTIN-gruppe (NAG) Lysaker, 14. November, 2010 Kjersti Aas Norsk Regnesentral Innhold Innledning Copulas Par-copula dekomposisjoner 1

2 Innledning Ekstremverdier Totalindeksen på Oslo Børs fra til Daglige relative endringer Black Monday Finanskrisen

3 Simultane ekstremverdier Internasjonale aksjer Norske aksjer Haleavhengighet Med haleavhengighet menes avhengighet mellom ekstreme verdier av to eller flere variable. La X ~ F X og Y ~ F Y. Haleavhengigheten mellom X og Y er da definert ved 3

4 Endringer i ulike oljepriser HSFO Brent Værskader i Frankrike

5 Problemstilling For ingen av disse problemene finnes det en kjent parametrisk multivariat fordeling som modellerer de to variablene på en god måte. Må lete etter et annet verktøy. Copulas 5

6 Z Z X X Copula En mulig framgangsmåte er å splitte opp en multivariat fordeling i marginalfordelinger for hver av variablene, pluss en avhengighetsstruktur som knytter alle variablene sammen. Avhengighetsstrukturen kalles en copula. Store Norske Leksikon: Copula betyr bånd, forbindelse, brukes i grammatikken om former av verbet åværesom forbinder subjekt og predikatsord eller ledd. Hvordan framkommer en copula? Hvis vi tar denne og dividerer med produktet av marginalfordelingene Y X Bivariat normal tetthet density Univariate normal (0,1) tettheter density får vi Denne figuren viser tettheten til en bivariat Gaussisk copula Y X 6

7 Z Z Verdi Verdi Copula + marginalfordelinger 1 Hvis vi tar denne. og multipliserer med produktet av to nye fordelinger Kreditt Tetthet Tetthet Operasjonell får vi Y Y X X beta-fordeling lognormal fordeling Dette er en ukjent, men lovlig multivariat fordeling definert ved hhv. en beta- og en lognormal marginalfordeling og Gaussisk copula. Mer formelt Definisjon: En copula er en multivariat fordeling C med uniformt fordelte marginaler U(0,1) på [0,1]. For en vilkårlig multivariat tetthet f korresponderende til en kontinuerlig multivariat fordeling F med kontinuerlige marginalfordelinger F 1, F n har vi at der er en n-dimensjonal copulatetthet 7

8 Fleksibilitet Man kan definere marginalene og copulaen uavhengig av hverandre, og allikevel være sikret å få en ekte fordeling. Det betyr at man har en mye større fleksibilitet enn det man har ved bruk av velkjente multivariate fordelinger. Effekt av ulik copula 8

9 Alle problemer løst? Nei.. Hvis vi har et problem med flere enn to variable vil det være stor sannsynlighet for at ingen av de kjente parametriske copulaene passer, fordi ulike bivariate par har ulike avhengighetsstrukturer. Vi trenger mer fleksible copulastrukturer. Par-copula dekomposisjoner 9

10 Innhold Hvordan kommer vi fram til en par-copula dekomposisjon? Simulering fra par-copula dekomposisjoner Inferens for par-copula dekomposisjoner Praktiske eksempler Hvordan kommer vi fram til en par-copula dekomposisjon? 10

11 Par-copula dekomposisjon (I) Betingede fordelinger kan også representeres ved hjelp av copulas. For to stokastiske variable X 1 og X 2 har vi og for tre stokastiske variable X 1, X 2 og X 3 Av dette følger for alle j: Pair-copula decomposition (III) Vi kaller en slik representasjon for en par-copula dekomposisjon 11

12 Eksempel I: Tre variable En tre-dimensjonal par-copula dekomposisjon er gitt ved Eksempel II: Fem variable For en fem-dimensjonal tetthet er en mulig pair-copula dekomposisjon: Det er imidlertid hele 240 forskjellige dekomposisjoner i det fem-dimensjonale tilfellet.. 12

13 Vines Vi trenger verktøy for å holde orden på alle disse dekomposisjonene. Bedford and Cooke (2001) og (Kurowicka and Cooke, 2004) har introdusert en grafisk modell for dette, som de kaller regulære vines (R-vines). Vi skal se på to spesialtilfeller av R-vines: C- og D-vines. Forskjellen på de to modellene er at de dekomponerer tettheten ved hjelp av to ulike regler. Tetthetsuttrykk C-vine tetthet D-vine tetthet 13

14 Fem-dimensjonal C-vine Hver kant i hvert tre representerer en par-copula Kantene i tre j er nodene i tre j+1 Nivåer Fem-dimensjonal D-vine 14

15 Betingede fordelingsfunksjoner De betingede fordelingsfunksjonene beregnes som (Joe, 1996): Argumentene på nivå j bestemmes fra copulaene på nivå j-1. For spesialtilfellet der v er univariat, og x og v er uniformt fordelte på [0,1], har vi at Byggesteiner De bivariate copulaene trenger ikke å være fra samme parametriske familie. Den resulterende multivariate fordelingen er gyldig selv om copulaene er av ulik type. En kan for eksempel kombinere følgende copulatyper: Normal (ingen haleavhengighet) Student s t (øvre og nedre haleavheng.) Clayton (nedre haleavhengighet) Gumbel (øvre haleavhengighet) 15

16 Simulering fra par-copula dekomposisjoner Uniforme variable I praktiske anvendelser er det vanlig å modellere marginalfordelinger og avhengighetsstruktur hver for seg. I resten av denne presentasjonen antar jeg derfor for enkelthets skyld at vi jobber med multivariate fordelinger med uniforme marginalfordelinger, dvs. f(x i )=1 og F(x i )=x i for alle i. 16

17 Simuleringsprosedyre (I) For både C- og D-vines simulerer vi n avhengige uniforme [0,1] variable som følger: Simuler w i ; i=1,,n uavhengig uniforme på [0,1] Sett Simuleringsprosedyre (II) Prosedyrene for C-vines og D-vines skiller seg på hvordan F(x j x 1,x 2,,x j-1 ) beregnes: For C-vines beregnes F( ) som mens F( ) for D-vines beregnes som 17

18 Simuleringsalgoritme for C-vines Den såkalte h-funksjonen er sentral.. Eks: 2D Gaussisk copula Tetthet h-funksjon Invers av h-funksjonen 18

19 Inferens for par-copula dekomposisjoner Tre step Estimeringsprosedyren for en par-copula dekomposisjon består av følgende trinn: 1. Valget av en bestemt faktorisering. 2. Valget av hvilke copulatyper som skal inngå. 3. Estimering av parameterne til de valgte copulaene. I denne presentasjonen tar vi kun for oss punkt 3. Dette betyr ikke at de to andre trinnene er mindre viktige! Vi jobber for tiden med trinn 1. Valg av copulatyper kan for eksempel gjøres ved hierarkisk goodness-of-fit testing. 19

20 Beregning av log-likelihood Likelihooden må optimeres numerisk Ser at h-funksjonen kommer inn her også. Praktiske eksempler 20

21 To eksempler Nedbørsdata Aksjekurser Nedbørsdata 21

22 Nedbørsdata Daglige data fra til (2065 observ.) Gumbel D-vine Gumbel-copulaen ser ut til å passe best for alle par Den mest vanlige 4-dimensjonale Gumbelcopulaen har kun en parameter. Tilpasser en D-vine med en 2-D Gumbel-copula for alle par. På nivå 1 velger vi parene med høyest verdi for Kendall s tau: 22

23 Datasett C VS C SN C NH S V N S H N Nivå I Ser at mesteparten av avhengigheten i dataene er blitt modellert på nivå I. C VN S C SH N C VH SN Nivå II F(N S) F(H N) F(H SN) Nivå III F(V S) F(S N) F(V SN) Parameterverdier Gumbel copula: Param δ VS δ SN δ NH δ VN S δ SH N δ VH NS Har at: Value Den estimerte Gumbel D-vinen blir ikke forkastet med goodness-of-fit testen foreslått av Genest og Rémilliard (2005) (p-verdien er 0.089). δ=1 in den bivariate Gumbel copulaen betyr uavhengighet. 23

24 Aksjekurser Aksjeavkastninger BP: British Telecom XOM: Exxon Mobile DT: Deutsche Telecom FT: France Telecom Log-avkastninger filtrert med GARCHmodell for å fjerne avhengighet i tid. Daglige data fra til (852 observ.) 24

25 t-d-vine t-copulaen ser ut til å passe best for alle par Tilpasser en D-vine med en 2D t-copula for alle par. På nivå 1 velger vi parene med høyest verdi for Kendall s tau: Parameterverdier t-copulaen har to parametere, ρ og ν. Med liten ρ og høy ν begynner man å nærme seg uavhengighet t-d-vinen blir ikke forkastet med goodness-of-fit testen foreslått av Genest og Rémilliard (2005) (p-verdien er ). 25

26 Sammendrag Sammendrag Par-copula-dekomposisjoner er en fleksibel struktur for å konstruere multivariate fordelinger. Simulering og parameterestimering er enkelt, men tar tid for høyere dimensjoner. Vi (og andre) har testet par-copula-dekomposisjoner for ulike anvendelser, og de ser ut til å gjøre det bra sammenlignet med konkurrerende metoder. 26