17. FEILTEORI 17.1 FEIL I MÅLESAMANHENG

Transkript

1 17. FEILTEORI 17.1 FEIL I MÅLESAMANHENG Dei observasjonar ein gjer er ikkje feilfrie, og heller ikkje dei koordinatane ein nyttar som utgangspunkt. Ein skil mellom tre typar feil: TILFELDIGE-feil er feil som ein på førehand korkje kan seie noko om storleiken eller forteiknet på. Dei fylgjer lover for tilfeldige feil, og er for store observasjonsmateriale normalfordelte. Ein kan seie at dette er "små" feil som ein ikkje kjem unna å gjere. Teoretisk høyrer og grove feil til denne gruppa, etter som det i eit materiale som er normalfordelt skal finnast ein del store feil, men problemet er at grove feil ofte vert overrepresentert, og dei er difor skilde ut i ei eiga gruppe. Fig Feilfrekvens Ein kan og ha einsidig verkande tilfeldige feil. Dette er tilfeldige feil, men resultatet av feilen vil alltid ha same forteikn, eller gå til ei retning. Ved avstandsmåling i ei line med "trappemetoda" vil avvik frå horisontalt måleband (L) vere ein tilfeldig feil, ein kan ha positiv eller negativ Dh (høgd), men avstanden (L') vil ein måle for lang same kva for forteikn Dh har. Fig Trappemåling - systematisk feil. GROVE-feil er observasjonsfeil som skuldast manglande merksemd i høve til det måleoperasjonen krev. Dei er større enn det ein kan vente med dei instrument og metodar ein nyttar. Ein gjer i landmåling fleire kontrollar for å unngå grove feil, t.d.: - måle avstandar minst to gonger - måler alle vinklane i ein trekant, og får kontroll på vinkelsummen. - måler vinklar i fleire satsar, med forskyving av sirkelen etc. Trass i alle slike kontrollar vil nokre grove feil likevel snike seg inn i observasjonsmaterialet, og ein bør difor ha kontrollar i utrekningane slik at ein kan oppdage og eliminere feila før dei påverkar det endelege resultatet. SYSTEMATISKE-feil har den eigenskap at alt før arbeidet tek til skal det vere mogeleg å fiksere dei dersom ein har skaffa seg kunnskap om feilkjelda, og kjenner korleis feilen vert overført. Eit vanleg eksempel på ein systematisk feil er eit måleband som er 1 cm for kort i høve til den påstempla lengda - eksempelvis 19,99m mot 20,00 m. Eller det kan vere ein avstandsmålar med ein feil i målestokken. Systematiske feil kan ein som oftast unngå ved: - å bortskaffe feilen - ved å verifisere instrumentet - å korrigere observasjonane med den storleiken ein veit feilen verkar med på desse - å gjere målingane slik at feila vert eliminert. Ved måling av horisontalvinklar i båe kikkertstillingar og bruk av medeltalet vil til dømes kollimasjonsfeilen verte eliminert. 1

2 17.2 GRANNSEMDA TIL OBSERVASJONAR For tilfeldige feil kan ein nytte vanlege statistiske reknereglar for normalfordelte observasjonsmateriale. Dette nyttar ein seg av for å finne mål for den grannsemd ein har både i observasjonar og i resultata som byggjer på desse. Problemet når ein skal studere feila er at det sanne verdet av ein observert storleik ikkje er kjent. Dersom det var tilfelle, ville ein ha det enkelt, ein kunne ha: - Observasjonsrekkje: o 1, o 2, o 3, o 4, o 5,... o n - Sant verde (for den observerte storleiken) ô - Sanne feil (ô = o 1 + ε 1 ) ε 1, ε 2, ε 3, ε 4, ε 5,... ε n Denne rekkja med feil er eit uttrykk for grannnsemda til observasjonsrekkja av o. Som mål for grannsemd nyttar ein i landmålinga oftast standardavvika σ som er definert ved: σ 2 = lim Σ ε 2 /n dvs. σ = lim Σ ε 2 /n n> n> Problemet vårt er at ein ikkje kjenner det sanne verdet til storleiken ein observerer. Ein må basere seg på estimerte storleikar. Dersom ein observerer ein vinkel fleire gongar, går ein ut frå at medeltalet av like grannsame observasjonar er det mest sannsynlege verdet. Dette er og resultatet minste kvadraters metode gir. Ein kan som eksempel ta ein vinkel som er målt tre gongar, observasjonar o1 - o3. I utjamningssamanheng vil ein stille opp ei likning for kvart observert verde, (o i ) der og feila ved observasjonen kjem til uttrykk, ei feillikning. I dette tilfellet kan ein setje opp at observasjonen pluss ein korreksjon skal vere lik estimert (utjamna) verde (ô): o 1 = 10,2471 o 2 = 10,2478 o 3 = 10,2467 o i + v i = ô Med tre observasjonar kan ein setje opp tre slike likningar med i alt fire ukjende. Tre v i og ein ô. Systemet kan såleis ikkje løysast utan vidare. Ein innfører tilleggskravet vv = minimum som er det ein kallar minste kvadraters metode. Dette gir til resultat det mest sannsynlege verdet for ô ut frå det observasjonsmaterialet ein har. Brukt i vårt eksempel resulterer dette i: v cc vv o 1 + v 1 = ô v1 = ô - o 1 = 1 1 o 2 + v 2 = ô 3 ô = 1 o i / 3 = 10,2472 g v2 = ô - o 2 = o 3 + v 3 = ô v3 = ô - o 3 = 5 25 v = 0 vv= 62 Her har ein nytta ein regel som seier at det mest sannsynlege verdet for ein storleik som er observert med same grannsemd eit vist tal gonger er lik medeltalet av observasjonsrekkja. Dette resultatet stettar kravet om vv = minimum, og er såleis minste kvadraters metode løysinga på eit "enkelt" reknestykke. Ein ser at dette eksempelet gir v = 0. Dette er ein reknekontroll som skal stemme ved all utjamning. (Feil)Kvadratsummen ( vv) av alle utjamningskorreksjonane er eit mål på grannsemda til observasjonane, di større avvika er mellom observasjonar og utjamna verde, di høgare vert feilkvadratsummen og di lågare er grannsemda. Då det er tale om feil på ein estimert storleik, må uttrykket for standardavvik som vart gitt for sanne feil modifiserast noko. For estimerte storleikar kjenner ein ikkje sanne feil (ε), men derimot utjamningskorreksjonar (v-ar), og i staden for talet på observasjonar n må ein i nemnaren nytte talet på målingar som er til overs når den (eller dei) aktuelle storleiken er fastlagd. Ein kallar dette overskytande målingar, uttrykt ved n-e, der n er talet på målingar og e er talet på ukjende element eller storleikar som skal fastleggast. I tilfellet med den målte vinkelen er der ein ukjend storleik som er målt tre gonger. Ein får såleis standardavviket til ein gongs måling av vinkelen. 2

3 σ 0 = ( vv/n-e) = (62/(3-1)) = 31 = 5,6 cc Ein kallar gjerne denne - σ 0 - standardavviket til vektseininga, sidan ein har rekna med tre observasjonar med like stor vekt (like grannsame) og ein har rekna vekta lik ein. Ein definerer det og til å vere standardavviket på ein observasjon med vekt ein. Dersom ikkje observasjonane har same presisjon (er like grannsame), kan dei ulike observasjonane ha ulike vekter, og standardavviket på vektseininga knyter seg då til ein fiktiv observasjon med vekt ein. Dersom ein er interessert i eit uttrykk for grannsemda på medeltalet av observasjonane våre, er den funksjonelle samanhengen mellom standardavvik på ei måling (vektseininga) og standardavviket til medeltalet: σ = σ 0 / n eller n = σ 0 2 / σ 2 Dvs. standardavviket på medeltalet av fleire observasjonar vert redusert med ein faktor lik kvadratrota av talet på observasjonar som ligg til grunn for medeltalet. For eksempelet over med måling av vinkelen får ein: σ 0 = 5,6 cc σ ô = σ 0 / 3 = 3,2 cc Dvs. standardavviket på medeltalet av tre gongers observasjon av vinkelen er 3,2 cc. Dette kan ein vurdere om det er godt nok til det målingane skal nyttast til, eller ein kan eventuelt måle vinkelen fleire gonger for å få eit betre resultat. Eit anna eksempel som ein kunne nytte på "enkel" utjamning er ved måling av tre vinklar i ein trekant. Ein veit at, når ein ser bort frå små avvik som skuldast krum jordoverflate, er vinkelsummen i ein trekant lik 200 g. Dvs α + β + γ = 200 g. Dersom ein gjer ei slik måling og dette ikkje stemmer, må ein korrigere dei observerte vinklane. Ein må, dersom alle vinklane er like grannsamt målte, legge til grunn at det er gjort like store feil i kvar observert vinkel. Ein kan såleis stille opp likninga: vidare er: (α + v α ) + (β + v β ) + (γ + v γ ) = 200 g v α + v β + v γ = (α + β + γ) = Og ut frå det som er sagt om like grannsame observasjonar er: v α = v β = v γ = /3 Ein har såleis funne dei ukjende utjamningskorreksjonane, men kva med standardavviket? Ein ser alt i utgangspunktet at situasjonen her er annleis enn i det førre eksemplet. Kontrollen Σv = 0 høver til eksempel ikkje, og talet på "overskytande" målingar tykkjest vere null sidan alle tre vinklane trengst for å danne vinkelsummen. Men om ein ser på trekanten så er den fastlagd i form når to av vinklane er målt. Ein får ei overskytande måling som gir ein "sløyfefeil". Dette går ut på at ein har fleire observasjonar som skal sluttast saman til eit gitt verde. Ved nivellement i ei lukka sløyfe skal summen av høgdeskilnadene vere null, og avviket seier noko om grannsemda. Avviket gir og høve til å fordele slutningsfeilen slik at observasjonane i sløyfa stemmer. Dette er ein utjamningsmetode som vert nytta m.a. i nivellement. Ein skal ikkje kome noko nærare inn på denne, men observasjonsstandardavvik vert rekna ut frå avviket frå sann vinkelsum. Denne vert: σ 0 = / 3 dersom ein reknar dei tre vinklane for like grannsamt målt. Her vil m 0 svare til grannsemda på vinklane som ein nyttar i rekninga. Desse kan gjerne vere medeltal av fleire gongers observasjon av vinklane, slik at m 0 ikkje treng vere standardavviket til ein gongs måling av ein vinkel. 3

4 17.3 OBSERVASJONAR MED ULIK GRANNSEMD - VEKTER. Både ved måling og utrekning er det vanleg at ein får med storleikar med ulik grannsemd å gjere. Det kan delvis vere at ein til dømes måler vinklar eller retningar med ulikt tal på satsar, eller med ulik grannsame instrument. Ved utrekning av ein storleik, gitt som ein funksjon av fleire måleverde (observasjonar), kan måleverda vere målt med ulik grannsemd. Ein må då sjå til at dei observasjonane som er målt med best grannsemd får mest å seie for resultatet. Dette kan ein gjere ved å gi observasjonane ulike vekter i høve til grannsemda til observasjonane. Grannsemda til ein observasjon er gitt ved den standardavvik den har. Vektene til observasjonane må difor knytast til standardavvika til dei same observasjonane. Høvet mellom vektene for to storleikar kan ein gi ved: 2 σ A p B --- = n = -- 2 σ B p A Med andre ord kan ein seie at høvet mellom vektene er omvendt proporsjonalt med høvet mellom variansane (standardavvik kvadrata) til dei same storleikane. For ein observert storleik A med gitt standardavvik σ A vert då vekta: p A = 1/σ A 2. Føresetnaden her er at standardavvika er gitt same eining. At ein storleik er målt fleire gonger med ulik grannsemd kvar gong, må ein sjølvsagt ta omsyn til når ein skal rekne medeltalet av observasjonane og standardavviket til dette. Ein kan ta utgangspunkt i den tidlegare målte vinkelen, men måle den ein gong til, denne gongen i fem satsar (mot tre sist), instrumentet treng heller ikkje vere det same sidan ein fastlegg standardavviket til medeltalet ut frå observasjonane. Ein kan no ha fått ei observasjonsrekkje slik: o 1 = 10,2467 v 1 = 6 v = 0 o 2 = 10,2480 v 2 = -7 o 3 = 10,2474 ô = 10,2473 v 3 = -1 vv = 106 σ Ô = 2,3 cc o 4 = 10,2475 v 4 = -2 o 5 = 10,2469 v 5 = 4 σ 0 = 5,1 cc Dersom ein skal rekne det samla medeltalet for alle observasjonane av vinkelen, må ein ta omsyn til at det er ulik grannsemd. I staden for det enkle medeltalet av observasjonar med lik vekt (ô = o/n), må ein no få med vektene i uttrykket. Det generelle uttrykket for medeltal etter vekt er: (p- er vekta) ô = (o p) / p I teljaren summerer ein produkta av observasjon og vekt, i nemnaren summerer ein vektene. I dette tilfellet har ein fyrst teke medeltalet av tre observasjonar som har medeltal 10,2472 g med standardavvik (på medeltalet) 3,2 cc, deretter fem observasjonar med medeltal 10,2473 g standardavvik 2,3 cc. Det samla medeltalet vert når ein set vektene omvendt proporsjonale med standardavvika i kvadrat (variansane): 10,2472 (1/3,2 2 ) + 10,2473 (1/2,3 2 ) ô = = = 10,24726 (1/3,2 2 ) + (1/2,3 2 ) 0, NB! Kravet til reknegrannsemd er stort for å få mange nok signifikante siffer i resultatet. Dette medeltalet kunne ein og finne ved å gå på einskildobservasjonane dersom ein kunne anta at dei kvar for seg var like grannsame. Ein vil då få ei rekkje med åtte observasjonar, og får: ô = o / n = 81,9781 / 8 = 10,24726 σ 0 = 4,93 cc σ ô = 1,86 cc I dette siste tilfellet kunne ein nytte dei tidlegare nytta uttrykka for å finne grannsemda til medeltalet, medan ein for vekta medeltal må ta med vektene i feilkvadratsummen slik at: σ 0 = pvv/(n-e) som kan reknast ut på grunnlag av utjamningskorreksjonane direkte, eller ein kan nytte eit direkte uttrykk for pvv: 4

5 og dermed for standardavviket pvv = po 2 - ( po) 2 / p σ 0 = (( po 2 - ( po) 2 / p)/(n-e)) Ein nyttar dette uttrykket for utrekning av standardavviket, men for å få enklare rekning og god reknegrannsemd kan ein gjere noko med talstorleikane. Ein ventar å få ut eit uttrykk i storleik sekund (0,1 milligon), og kan difor ikkje rekne med gon. Ein kan nytte sekunddelane av siffera. Dvs. ein reduserer 10,2472 til 72 og 10,2473 til 73. Dette vil gi identiske resultat og i det tidlegare utførde reknestykket for medeltalet. (Ein kunne og nytta 1 og 3 og fått identiske resultat) Ein må sjølvsagt etterpå leggje den konstanten ein har redusert med til medeltalet (her 10,24). po 2 = (10,24)72 2 * 1/3,2 2 + (10,24)73 2 * 1/2.3 2 = 1513,622 ( po) 2 / p) = (72 * 1/3, * 1/2,3 2 ) 2 = 433,9252 p = 1/3, /2,3 2 = 0, og dermed: pvv = 1513, ,9252 / 0, = 0, og for standardavviket: σ 0 = (0, / (2-1)) = 0,25 cc og standardavviket til medeltalet: σ ô = 0,25 / p = 0,47 cc Ein legg merke til at ein her heile vegen har fått ulike resultat. Dette kan i fyrste omgong synast merkeleg, men ved nærare ettertanke kan dette forklarast. I det fyrste tilfellet har ein i alt åtte observasjonar, og standardavviket til vektseininga er knytt til enkeltmålingane. I det siste tilfellet er det to meir grannsame observasjonar ein jamfører, og vektseininga er ein fiktiv observasjon med vekt ein. Det at standardavviket til medeltalet vert så mykje mindre i det siste tilfellet kjem av at ein ved å dele opp i to utrekningar har gøymt ein del av feila som eigentleg skulle vere med. Dersom dette var eit reelt tilfelle, ville denne siste reknemåten vere positivt feil, dersom føresetnader som same instrument etc var fylt ved båe målingane INNSATS AV MÅLEARBEID Når ein skal løyse eit måleoppdrag, bør ein disponere målingane slik at grannsemda til resultatet vert optimal etter måleinnsatsen. Innsatsen av målingane kan disponerast: - etter erfaring - innsikt - intuisjon - etter vurdering av feilverknad (feilforplanting) dvs. korleis feil i dei ulike observasjonane forplantar seg til den/dei storleikane som skal fastleggast (resultatet). Grannsemda som ein her talar om er todelt, det er dels grannsemda til dei utførde observasjonane, og dels grannsemda til storleiken (-ane) som skal fastleggast. Ein kan kalle dette eit optimeringsproblem. Ein vil: a) ha ei mest mogeleg rasjonell disponering av målearbeidet med tanke på verknaden av feila. b) ha den mest rasjonelle (optimale) utforminga av løysinga av eit aktuelt problem. Feilteorien hjelper oss til å finne ut korleis feil i målingane forplantar seg til resultatet. Det kan hjelpe oss til å leggje opp arbeidet slik at målefeila verkar så lite inn som mogeleg, og gjere at kritiske storleikar kan verte observert så nøye som råd. 5

6 17.5 FEILFORPLANTING - FORPLANTING AV MÅLEFEIL Det er ved fastlegging av storleikar som ikkje kan målast direkte at ei feilforplantingsanalyse kan nyttast. Ein kan ta utgangspunkt i eit klassisk eksempel, jfr. fig Avstanden mellom A og B skal målast, og ein har berre måleband til rådvelde. Mellom A og B renn det ei elv som ein ikkje kan måle over. Avstanden må difor fastleggast ved å måle lengda på ei hjelpeline, ei basisline AC på figuren. Ein måler AC = b, og vinklane α og β. Med sinusproporsjonen kan ein setje opp eit uttrykk for den søkte sidelengda. x b = sin(200 - (α + β)) sin(β) Som ordna gir: Fig Sideoverføring, AC til AB b x = sin(α + β) sin(β) Generelt skal ein fastleggje ein storleik y på grunnlag av målte storleikar: y = f(o 1, o 2, o 3, o 4, o 5, o 6... o n ) Ein vil undersøkje korleis feil i dei observerte storleikane (o-ane) vert overført til den søkte y. Ein tek utgangspunkt i dei sanne verda av o (Ô) og dei sanne feila (ε), med samanhengen o 1 + e 1 = ô 1, dvs observert storleik pluss sann feil er lik sant verde. Det er ikkje noko i vegen for å nytte estimerte verde - dvs dei statistisk mest sannsynlege i denne utleiinga. Ein startar med å setje dei sanne verda for observasjonane inn i uttrykket for funksjonssamanhengen for y: y = f(o 1 + ε 1, o 2 + ε 2,..., o n + ε n ) Dette uttrykket som er ein funksjon av storleikar som er gitt små tillegg kan utviklast med taylor-rekkjer, ein får: δf δf δf y = f(o 1, o 2, o 3,...o n ) ε ε ε n δo 1 δo 2 δo n Dette kan ein gjere etter som ein ser på feila som små. Det skal og vere med ledd av andre grad, men dei er utelatne då dei vert svært små. Ein kan forenkle dette uttrykket til: δf δf δf ^y = y ε ε ε n δo 1 δo 2 δo n = y + ε y δf δf δf der e y = --- e e e n δo 1 δo 2 δo n Dette kallar ein forplantingslova til målefeila, og den syner at totalverknaden av målefeila er lik summen av verknaden til dei einskilde feila. For at denne lova skal gjelde må feila vere så små at dei kan reknast som differensielle storleikar. I det aktuelle eksempelet vårt er funksjonssamanhengen: 6

7 b x = sin(α + β) sin(β) Derivasjon av dette uttrykket er noko vanskeleg, og for å forenkle litt tek ein den naturlege logaritma, og deretter deriverer: ln x = ln b + ln sin(α + β) - ln sin(β) x dx = - δb + x(cotg(α + β) -cotg(β))δβ + x cotg(α + β) δα b Ein kan no sjå på dei differensielle tillegga som feil, ein erstattar d-ledda med e-. Vinklane i dette uttrykket er gitt i radianar. Ein vil erstatte desse med vinklar i gradmål, og nyttar α rad = α / ρ g. x ε β ε α ε x = - ε b + x(cotg(α + β) - cotg(β)) -- + x cotg(α + β) -- b ρ g ρ g Her er mao. ε x feil på x, ε b feil på b osv. Ein kan illustrere vidare med eit taleksempel. b = 300 m β = 5 g α = 100 g (tilsvarar x = 3811,86 m) Ein set inn tala i uttrykket og får: ε x (cm) = 12,71 ε b (cm) - 7,66 ε β (cc) - 0,047 ε α (cc) Ein ser av dette at ein feil på 1 cm på b vil resultere i 12,7 cm feil på x. Tilsvarande vil ein feil i vinkelen β på eit sekund resultere i ein feil på 7,66 cm, medan den same feilen på α berre gir ca 0,5 mm feil. Ein kan ut frå dette slutte at sida b må målast så nøye som råd, det var det vel intuitivt lett å sjå, men verre er det utan vidare å sjå at vinkelen β må målast vel 150 gonger meir grannsamt enn a for at dei skal gi same yting til totalfeilen. Ein må med andre ord i dette tilfellet konsentrere måleinnsatsen om sida b og vinkelen β. I meir komplekse situasjonar, ikkje minst ved utrekning av koordinatar er slike grannsemdsvurderingar vanskeleg å gjennomføre, ikkje minst av di funksjonssamanhengane vert så vanskelege. Ein skal likevel i det fylgjande sjå på ein metode som kan nyttast for å gjere dette. 7

8 18. SAMANHENGEN MELLOM OBSERVASJONAR OG KOORDINATAR 18.1 VINKELOBSERVASJONAR Som eit enkelt eksempel kan ein sjå på to framskjeringar, jfr. fig. 18. Fig alt. A: Enkel framskjering av P Fig alt B: Framskjering frå tre stasjonar. Problemet ved framskjering er å finne skjeringspunktet mellom liner (strålar) med gitte retningar (retningsvinklar) i planet ut frå vinkel-observasjonar i dei gitte punkta til andre gitte punkt. Ingen av observasjonane er feilfri, og det vil gjere at koordinatane til punktet ein skal fastleggje vil få ein viss feil. Med berre to retningar kan ein ikkje seie noko om storleiken til denne feilen, sjølv om ein ved å gå ut frå ei viss uvisse i vinkelobservasjonane kan seie noko om sannsynleg tverravvik for kvar retning i punktet. Dersom ein i tillegg observerer i eit tredje punkt (alt. b), vil ein få ei tredje retning til fastlegginga av P. Denne vil neppe treffe same skjerings-punktet som dei to andre, men lage ein trekant. Ein kan slutte at ein stad innanfor denne trekanten vil sannsynlegvis P ligge, ein har fått ein feiltrekant, jfr. fig Storleiken til denne kan ein nytte som eit mål for grannsemda til fastlegginga av P, men ein har framleis ikkje funne dei beste koordinatane for punktet. Det kan gjerast ved å ta med alle tre målingane i ei utjamning, der ein legg minste kvadraters metode til grunn. Før ein går vidare må det presiserast at observasjonane er retningar slik at ein vinkel er to observerte retningar.ved framskjering er observasjonane retningar, medan det søkte resultatet er koordinatane til punktet. Funksjonssamanhengen ein vil finne må gi koordinatane som ein funksjon av dei observerte retningane. Diverre er det ingen enkel samanheng slik som i tilfellet over. Ein må starte med å sjå korleis endring i retningsvinkel slår ut i endring av koordinatane, eller med andre ord - korleis verkar ein feil i retningsvinkelen inn på koordinatane til endepunkta for lina. I figur 18.3 har ein mellom punkta 1 og 2 retningsvinkelen ϕ, denne kan uttrykkjast ved: Y 2 - Y 1 tg ϕ 12 = X 2 - X 1 Fig Retning frå 1 til 2 8

9 Ein har her gitt ein funksjonssamanheng mellom koordinatar og retningsvinkel. Ein kan nytte implisitt differensiasjon ( av ln tg ϕ), og finn endring i retningsvinkel som tilsvarar små (differensielle) endringar i koordinatane til endepunkta. Ein føreset at endringane i koordinatane er små. Dette gir: 1 Y 1 Y dϕ = --- dx dy dx dy 2 cos 2 ϕ X 2 X X 2 X I dette uttrykket innfører me: Y = S sinϕ 12 og X = S cosϕ 12. Innsetting og ordning gir: dϕ = - sinϕ 12 dx cosϕ 12 dy sinϕ 12 dx cosϕ 12 dy 2 S S S S Her er dϕ uttrykt i radianar, og ein går over til gradmål ved å multiplisere med ρ g på båe sider, og får: ρ ρ ρ ρ dϕ = - sinϕ 12 dx cosϕ 12 dy sinϕ 12 dx cosϕ 12 dy 2 S S S S Observert storleik er retninga som gir retningsvinkelen, men ein ser at for å kunne stille opp dette uttrykket må ein kjenne tilnærma verde for sida S og retningsvinkelen ϕ. Dette løyser ein ved å finne eit provisorisk (tilnærma) koordinatsett for punktet (punkta), og ut frå desse att finn ein S og ϕ. Uttrykket ein har kome fram til uttrykkjer endring i retningsvinkel som funksjon av endring av koordinatane i båe endepunkta. Dersom eit av punkta er gitt, skal ikkje koordinatane endrast, og dx = dy = 0, og dermed dϕ = 0. Før ein kan nytte dette uttrykket til å rekne på koordinatane til punkt, må ein finne eit uttrykk som kombinerer målte retningar og retningsvinkel. I figur 18.4 er: Z - retningsvinkelen til nullretninga i satsmålinga ϕ 1 - den aktuelle retningsvinkelen r 1 - den observerte retninga r 0 - nullretninga (oftast 0,0000) I dei fleste målingar vil og nullretninga vere eit sikt til eit punkt som skal nyttast til utrekningane, og då vil Z = ϕ. Ein kan stille opp ei likning for samanhengen mellom dei ulike storleikane: r 1 - r 0 = ϕ 1 - Z som for r 0 = 0 gir r 1 = ϕ 1 Z Fig. 18.4: Retningsmålingar Ein innfører no ein eventuell målefeil (v) på r 1 og korreksjon (endring) til dei andre storleikane i tillegg til provisoriske verde (gitt med 0-indeks) og får estimerte verde (understreka): r 1 = r 1 + v 1 ϕ 1 = ϕ df 1 Z = Z 0 + dz Z vil her vere eit verde som er felles for alle målte retningar i ein stasjon, då dette er retningsvinkelen til nullretninga. Ein set desse inn i det tidlegare uttrykket og får: r 1 + v 1 = ϕ dϕ 1 - (Z 0 + dz) For dϕ har ein tidlegare funne eit uttrykk som ein no set inn og ordnar: ρ ρ ρ ρ v 1 = -dz + (- sinϕ 12 dx cosϕ 12 dy sinϕ 12 dx cosϕ 12 dy S S S S (ϕ 0 - r 1 - Z 0 ) 9

10 Dette er feillikninga ved retningsmåling. I likninga er r 1 den observerte storleiken, ϕ 0, og Z 0, er storleikar avleidd frå provisoriske verde for koordinatane, og desse tre storleikane vil dermed vere gitt. Ein kallar dette siste leddet eit konstantledd, ofte kalla l. v 1, dz, dx 1, dy 1, dx 2 og dy 2 er ukjende storleikar, korreksjonar til koordinatane. Eitt eller båe endepunkta for lina som utgjer observasjonen kan vere gitt og korreksjonen til koordinaten vert då lik null, og det aktuelle leddet kan neglisjerast. Ein kan no for eit gitt måleoppdrag stille opp slike likningar for alle målte retningar, og nytte likningane til å finne det resultatet av koordinatane som gir ei minimalisering av feila i observasjonane, dvs. det resultatet som gir Σvv = minimum. Fig. 18.5: Triangulering av pkt. D. Fire stasjonar - ni observasjonar. Dersom ein nyttar figur 18.5 som eksempel, er det i alt målt 9 retningar - observasjonar. Ein vil med andre ord få 9 likningar av typen v i =.... I dette eksempelet er berre pkt. D ukjent, slik at ein berre vil få ukjende koordinat- element for dette punktet. Alle dei andre skal ha null forflytting. For observasjonane i stasjonane A, B, og C vil dermed dx 1 = dy 1 = 0, av di stasjonspunktet er gitt - og i stasjon D vil dx 2 = dy 2 = 0 - sidan dei tilsikta punkta er gitt. Ein dannar alle likningane og samlar dei i eit skjema, a i og b i står i skjemaet for koeffisientar (ρ sinϕ/s), jfr. feillikninga. Koeffisienten for dz er lik -1, og konstantledda er gitt ved l i. Ein har fire ukjende Z-element - for "nullretningane", eitt element i kvar av dei målte stasjonane og to ukjende koordinatelement - X og Y i punkt D, i alt seks ukjende. Det er gjort ni observasjonar, slik at ein har tre overskytande målingar. Men i dette likningssystemet er og v-ane ukjende, slik at ein eigentleg har 15 ukjende, og dermed fleire ukjende enn likningar. For å kunne løyse systemet må ein innføre kravet vv = minimum som eit tilleggskrav. Stasjon v-nr Z A Z B Z C Z D X D Y D konst.ledd A v 1 = -1 a 1 b 1 l 1 A v 2 = l 2 B v 3 = l 3 B v 4 = -1 a 4 b 4 l 4 B v 5 = l 5 C v 6 = l 6 C v 7 = -1 a 7 b 7 l 7 D v 8 = -1 a 8 b 8 l 8 D v 9 = -1 a 9 b 9 l 9 NB! I kolonnene for X D og Y D er koeffisienten null (0) når det er sikt mellom gitte punkt (ikkje frå/til D). 10

11 Løysinga av dette systemet skal ein ikkje gå så nøye inn på, men ei enkel løysing får ein ved å nytte vektor - matriserekning. (Det er og andre måtar å løyse dette på). Systemet over kan på matriseform skrivast som: V = A x - l Der: v - er vektoren med v-ane A - er koeffisientmatrisa X - er vektoren med ukjende element Z-ar og dx, dy L - er vektoren med konstantledda, l-ane P er vektsmatrise (dersom vektene for observasjonane er ulik ein)- parentesalternativa nedanfor. Løysinga av dette systemet er som stettar kravet om vv = minimum er: X = (A T A) -1 A T l ((X = (A T PA) -1 A T Pl)) Denne løysinga gir dei ukjende elementa. Utjamningskorreksjonane v-ane får me ved å sette løysingsvektoren X inn i likninga for V: v= A (A T A) -1 A T l l (( v= A (A T PA) -1 A T Pl l )) Dermed kan me og finne standardavviket til vektseininga m 0 : σ 0 = (v T v / (n-e)) (( σ 0 = (v T Pv / (n-e)) )) der n er talet på observasjonar og e er talet på ukjende. Ledda i (A T A) -1 vert kalla vektskoeffisientar (ofte nemnt som Q-ar), og dei har ei serskild matematisk tyding. Ledda på diagonalen i matrisa vil kombinert med standardavviket til vektseininga gi standardavviket til det aktuelle elementet. Ledda utanfor diagonalen inneheld korrelasjonen i fastlegginga av dei ulike elementa. I den aktuelle matrisa (som er ei 6 X 6 matrise) er det ledd nr 5 og 6 som er mest interessante. Desse svarar til elementa dx og dy, ein kallar dei gjerne Q xx og Q yy. Med desse kan ein finne standardavvika på koordinatane: σ x = σ 0 Q xx og σ y = σ 0 Q yy m 0 er her som før eit uttrykk for observasjonsgrannsemda på vektseininga. Ved retningsmålingar kan vektseininga vere standardavviket på ei observert retning. Denne kan vere eit medeltal av fleire målte satsar, men det er grannsemda til medeltalet av desse ein finn. Metoden ovanfor for å finne standardavviket til vektseininga med matrise/vektor tilsvarar den "vanlege" formelen med utjamningskorreksjonane (v-ane). σ 0 = ( vv / (n-e)) I vektskoeffisientane ligg "geometrien" til fastlegginga av elementa. Ved å kombinere denne med observasjonsgrannsemda, gitt ved m 0 finn ein standardavvika til dei søkte storleikane. NB! sjølv i eit feilfritt system vil Q-ane ha ein storleik som svarar til den geometriske fastlegginga, og denne vil vere tilnærma uavhengig av observasjonsgrannsemda. Dette kan ein nytte til å gjere ei teoretisk undersøking - simulere - eit system av målingar som ein vil gjere. Dersom ein nyttar teoretiske verde for dei observasjonar ein vil gjere og reknar dette i eit utjamningsprogram, kan ein finne storleiken på vektskoeffisientane. Desse kan ein kombinere med ei teoretisk målegrannsemd, og finne teoretiske standardavvik på punkta. Då kan ein analysere om resultata vert gode nok, eller om ein må gjere fleire målingar eller løyse oppgåva på ein annan måte. Dersom ein nyttar eit programmet som ikkje skriv ut vektskoeffisientar, kan ein rekne ut vektskoeffisientane på grunnlag av utrekna koordinatstandardavvik og standardavvik på vektseininga. Ein har: Q xx = σ x 2 / σ 0 2 og Q yy = σ y 2 / σ

12 Ein kan ta utgangspunkt i framskjeringsfiguren att. Vil måling av retninga DA forbetre fastlegginga av punkt D? Ein kan rekne med å gjere observasjonane som tilsvarar ei målegrannsemd (standardavvik på vektseininga) på 8 cc (0,8 mg - milligon). Ved å rekne retningsvinklar frå koordinatane finn ein ϕ DA og ϕ DB. Differansen mellom desse kan ein leggje til r DB for å finne r DA = 183,3030. (ein kunne og nytte trekantvinklar for å finne denne). Ein legg dette inn som ein observasjon, og reknar utjamninga på ny. Resultatet vert: σ x = 16 mm σ y = 22 mm σ 0 = 0,73 mg mot σ x = 22 mm σ y = 33 mm σ 0 = 0,80 mg utan r DA Her kan ikkje standardavvika på koordinatane samanliknast direkte av di standardavviket til vektseininga (observasjonsgrannsemda) er ulik. Men ved å rekne ut vektskoeffisientane får ein storleikar som kan samanliknast. Dei vert: Q xx = 4,80 Q yy = 9,08 mot Q xx = 7,56 Q yy = 16,0 utan r DA. Ein har med andre ord fått nesten ei halvering av Q-ane ved å ta med det ekstra siktet. Sidan vektskoeffisientane går inn med kvadratrota av sin storleik i totaluttrykket for standardavvika er det rota av reduksjonsfaktoren som verkar på koordinatstandardavvika. Punkt D vert i dette tilfelle fastlagt vesentleg betre i X retning enn i Y, medan det optimale er lik standardavvik i båe retningar. Ein burde difor gjere ei måling som kunne forbetre fastlegginga i Y-retning. Måling av sida AD eller CD kunne vere aktuelt. Ein kan finne eit verde for sida CD og leggje den inn som ein observasjon og sjå kva verknad det får. Det gir Q xx = 4,09 og Q yy = 2,67. Det gir mao. lite utslag i X retning, men forbetrar vesentleg i Y-retning. Men å føre inn avstandar saman med retningar gjer at ein ikkje lenger har same vektseining. Problemet med å fiksere vektene er komplisert. Avstandsmålingar høver heller ikkje i den feillikninga som ein har sett opp AVSTANDSOBSERVASJONAR Ein kan nytte same resonnement for avstandsmåling som for retningar, men startar no med uttrykket for avstanden mellom to punkt: S 12 = ((X 2 - X 1 ) 2 + (Y 2 - Y 1 ) 2 ) Ein kan differensiere som med retningslikninga og får: ds 12 = - cosϕ 12 dx 1 - sinϕ 12 dy 1 + cosϕ 12 dx 2 + sinϕ 12 dy 2 der ds er korreksjon på observert side. Her som ved retningsmåling vil gitte punkt ha null flytting, og dx = dy = 0. Samanhengen mellom målt side og endeleg (utjamna) verde for sida er S OBS + v S = S (endeleg). Men ein har og eit verde for sida som svarar til dei provisoriske koordinatane til punkta, ein kallar dette S 0 - og har relasjonen: S = S 0 + ds - endeleg verde er lik provisorisk pluss korreksjon. Me kombinerer dei to uttrykka for S og får: S OBS + v S = S 0 + ds som ordna gir feillikninga: v S = ds + (S 0 - S OBS ) I dette kan ein innføre uttrykket for ds som er utleidd over, og får den endelege feillikninga for sidemåling: v S = - cosϕ 12 dx 1 - sinϕ 12 dy 1 + cosϕ 12 dx 2 + sinϕ 12 dy 2 + (S 0 - S OBS ) 12

13 Likskapen med feillikninga for retningar er stor. Likninga manglar Z-leddet, etter som det ikkje er med noko referanseretning, koeffisientane er liit ulike og konstantleddet er ulikt. Konstantleddet inneheld og her verdet som er observert, og verdet som er utleidd frå dei provisoriske koordinatane. Problemet ved samla utjamning av retningar og avstandar er at ein må ta omsyn til at det skal leggast ulikt vekt på observasjonane. Problemet er ikkje lenger å finne vv = minimum, men pvv = minimum. Vektene skal fastleggast etter den tidlegare nemnde regelen om at vektene skal vere omvendt proporsjonale med standardavvika i kvadrat (variansane). Men standardavvika på ein avstand er gjerne millimeter og standardavvika på retningar er sekund, slik at reknestykket vert ei blanding av kamelar og høns. Det må difor setjast opp uttrykk som gir storleikar som kan samanliknast. GNSS-målingar Med GNSS målingar i landmåling tenkjer me normalt på vektorar mellom punkt. Det kan vere ein eller fleire vektorar frå eit gitt punkt (Basepunkt) til ukjende punkt, eller det kan vere eit nettverk av vektorar som knyter mange punkt saman. For å kunne knyte slik målingar til referansesystemet må ein ha minst eitt koordinatgitt punkt mellom dei punkta ein måler i. Med satellittsystem måler ein koordinatskilnader i det jordsentriske systemet. Observasjonane våre vert såleis koordinatskilnader. Desse er på lineær form og me kan gjere ei utjamning direkte med koordinatar utan å gå vegen om linearisering av likningar som i dei to tidlegare døma for retningar og avstandar. I Noreg har det vore vanleg å nytte dei same programma som for vanleg landmåling til og å inkludere satellittmålingar. Ein har difor omforma satellittvektoren frå å vere koordinatskilnad til å vere asimut (retningsvinkel), avstand og senitvinkel. Med ei slik form kan ein nytte GPS målingar saman med andre vanlege landmålingsobservasjonar direkte. Direkte utjamning av GPS-vektorar (eksempel) Tre gitte punkt der det er målt GPS-vektorar frå dei tre punkta til eit nytt (ukjent) punkt (P). A matrisen (designmatrisen) vert i dette tilfellet: Vektor 1 (A-P) sigma Vektor 2 (B-P) sigma Vektor 3 (C-P) sigma Me kan sette opp observasjonslikningar direkte: X P = X A + ΔX AP Y P = Y A + ΔY AP Z P = Z A + ΔZ AP og innføre utjamningskorreksjon til feillikning (parentesen vert konstantledd): v 1 = X P (X A + ΔX AP ) v 2 = Y P - (Y A + ΔY AP ) v 3 = Z P - (Z A + ΔZ AP ) og tilsvarande for dei to andre vektorane. 13

14 Vektsmatrise må settast opp for kvar observasjon (koordinatskilnad) sidan det er estimert ulik presisjon for kvar koordinatskilnad. Me må finne 1/ σ 2 for kvar og set det inn i diagonalen i vektsmatrisen: Neste steg er å finne løysinga frå: X = (A T PA) -1 A T Pl Vektoren for X vil her vere utjamna koordinatar for P. Det er vanleg i staden for å løyse for koordinatane til P direkte, å innføre ein tilnærma posisjon for P, og finne korreksjon til denne, sidan det reduserer kravet til reknepresisjon. 14