Young-Laplace si likning

Transkript

1 Young-Laplace si likning Dette er Appendiks A i hovedoppgaven til Leiv Magne Siqveland, Høgskolen i Stavanger, Sivilingeniørutdanningen, innlevert 8. juni 996. Krumme flater z Z (a,b) X Y y x Figur : Flate i rommet. Dersom ei flate S, gitt ved funksjonen z f xyµ...() har kontinuerleg første ordens deriverte i kvart punkt på S, seier vi at flata er glatt. Ved å Taylor-utvikla funksjonen rundt eit punkt abµ på S, får vi ei tilnærming til flata rundt punktet, f xyµ f abµ f abµ x! x aµ f abµ y bµ y f abµ x x aµ f abµ y y bµ f abµ x y x aµ y bµ f abµ y bµ x aµ y x () Vi innfører så eit nytt koordinatsystem XYZµ, med origo i punktet abµ, og XYµplanet samanfallande med tangentplanet i dette punktet. Det gir f 00µ 0 f 00µ X f 00µ Y 0 (3) 0

2 Sidan flata er glatt, er derivasjonsrekkjefølgja vilkårleg, og vi kan slå saman kryssledda. Taylor-utviklinga av funksjonen, i det nye koordinatsystemet, når vi sløyfer høgare ordens ledd, vert då Z f X Y f 00µ µ! X X f 00µ Y Y f 00µ X Y XY fxx X f YY Y f XY XY Dette kan igjen skrivast som matriseproduktet f X Y µ X Y f XX f XY f XY f YY X Y (4) Vi ser at -matrisen i likn.4 med dei deriverte av f er symmetrisk. Då er matrisen diagonaliserbar med ortogonale eigenvektorar []. Vi kan då tilnærma flata med matriseproduktet f X Y µ g ξ ηµ ξ η α 0 ξ 0 β η αξ βη (5) Her er ξ og η koordinatane langs dei nye einingsvektorane og α og β er eigenverdiar til matrisen. Dette er det same som å rotera tangentplanet om Z-aksen slik at dei to nye einingsvektorane er 0µ t og 0 µ t i ξηµ-planet. I Zξ µ -planet η 0µ vil funksjonen g ξ 0µ frå likn.5 danna parabelen, Z g ξ 0µ αξ...(6) Ved å tilnærma parabelen med ein sirkel med radius R α, får vi og løyst med omsyn på Z, ξ Z R α µ R α ξ Z ZR α R α R α ξ Z ZR α 0 (7) Ô Z R α R α ξ ξ R α R µ α R α ξ R α µ Vel vi her minusteiknet, og sløyfer høgare ordens ledd, får vi det enkle uttrykket Z ξ R α (8)

3 Ved å samanlikne likn.6 og likn.8 får vi at Z αξ ξ R α og dermed R α α...(9) Krumninga κ til ei kurve i eit punkt er definert som den inverse av krumningsradien i punktet. Krumninga til parabelen Z g ξ 0µ er altså κ α R α Dersom vi ser på Zηµ-planet ξ 0µ får vi på same måten at krumninga til denne parabelen, Z g 0ηµ, er κ β R β Eit vilkårleg plan gjennom punktet abµ som står normalt på tangentplanet vil skjera tangentplanet ξηµ langs ei rett line ξ Kη, der K er ein konstant. ξ ξ=kη (a,b) l (,) ξ η η Figur : Vilkårleg line gjennom punktet abµ i tangentplanet. Avstanden λ mellom punktet abµ og eit gitt punkt ξ ηµ på lina kan då uttrykjast som Løyst med omsyn på η får vi λ ξ η K η η K η (0) η λ K () 3

4 Vi kan då skriva uttrykket for snittet mellom normalplanet og flata f ξ ηµ som f ξ ηµ αξ βη αk η βη K α λ λ K β K K K α K β λ () Krumninga av kurva definert som snittet mellom eit vilkårleg normalplan i punktet (a,b) og flata f ξ ηµ vil dermed, som vist ovanfor, vera gitt ved κ K K α K β (3) Uttrykket for krumninga er det vi kaller eit vege snitt av α og β. Det vil seia at verdien av κ alltid vil liggja mellom α og β, der den eine gir den største krumninga og den andre den minste. For kurvene definert ved snittet mellom ei flate og normalplana i eit punkt på flata, vil altså kurva med størst krumning og kurva med minst krumning ha normalplan som står normalt på kvarandre. Desse to kurvene vert kalla prinsipalkurvene. Eit normalplan som skjer tangentplanet i lina ξ Kη, vil i snittet med flata avteikna ei kurve, som vi vil kalla snittkurve, med krumning κ. Eit normalplan som står normalt på dette, vil skjera tangentplanet i lina ξ ηk og ha ei snittkurve med krumning κ K α K K β (4) Adderer vi saman krumningane, likn.3 og likn.4, for dei to kurvene får vi κ κ α β (5) Summen av krumningane til to snittkurver med normalplan som står normalt på k- varandre er altså konstant og lik summen av krumningane til dei to prinsipalkurvene. Energi i overflata Vi tenker oss at grenseflata mellom to faser får eiinfinitesimal forskyving δζ.då vil eit volumelement mellom dei to grenseflatene vera gitt ved δζ ds, der ds er flateelementet. La P og P vera trykket i dei to fasane. Arbeidet gjort ved volumendringa vert då δw p P P µδζds (6) Det totale arbeidet ved å forskyva grenseflata vil vera summen av dette arbeidet og arbeidet ved å endra arealet av grenseflata. Denne delen er proporsjonal med arealendringa δs og gitt ved δw σ σδs (7) 4

5 dl' ds δζ dl dl' dl (a,b) ds' R θ θ Figur 3: Forskyvning av grenseflate mellom to faser. der σ er overflatespenninga. Det totale arbeid vert då δw P P µδζds σδs (8) Ved termodynamisk likevekt vil dette arbeidet vera lik null. Vi må nå finna eit uttrykk for arealutvidinga δ S, δs ds ¼ ds (9) uttrykt ved forskyvinga δζ og krumningane og R av flata. Arealet av flata før og etter forskyvinga, respektive ds og ds ¼, kan uttrykkast ved å multiplisera saman lengdeelementa langs dei to prinsipalkurvene. Dette kan gjerast avdi prinsipalkurvene, som vist tidlegare, står normalt på kvarandre. Vi får, ds dl dl ds ¼ dl ¼ dl¼ (0) der dl, dl og dl ¼, dl¼ er lengdeelement langs prinsipalkurvene i eit punkt på flata før og etter forskyvinga. Vi byrjar med å uttrykkja flatearealet etter forskyvinga, ds ¼, med kjente storleikar. Lengdeelementa dl og dl ¼ kan skrivast som dl θ dl ¼ δζµθ der θ er vinkelen som vist på fig.3. Dette gir dl ¼ δζ dl 5

6 δζ Det same gjeld for lengdeelementa dl og dl ¼. Vi set inn for dl¼ og dl¼ i likn.0 og får ds ¼ dl ¼ dl¼ δζ dl δζ dl R dl dl δζ δζ ds δζ δζ δζ R R ds δζ δζ sidan δζ R R () Set vi dette uttrykket inn i likn.9 får vi δs ds ¼ ds ds δζ δζ ds R δζ ds δζ () R Dette uttrykket set vi så inn for δ S i likn.8 og får δw P P µδζds σ δζds R P c σ δζds P er kapillartrykket. Då vil, i følge fundamentallemmaet i variasjon- der P c P srekning [], R R 0 for alle δζ (3) P c σ R µ0 og omforma får vi at som er Laplace likning. Referansar P c σ (4) R [] Howard, A.: Elementary Linear Algebra, John Wiley and Sons (984). [] Papatzacos, Paul: Matematisk Modellering, Kompendium ved Høgskolen i Stavanger (989). 6