2D Transformasjoner (kap. 3 i VTK boken) Translasjon. Del 2 Grafisk databehandling forts. Rotasjon. Skalering. x = x + d x, y = y + d y

Transkript

1 2D Transformasjoner (kap. 3 i VTK boken) Translasjon Del 2 Grafisk databehandling forts. (, ) = + d, = + d PÂmatriseform: d d (, ) P =, P =, T = d d P = P + T INF Skalering Rotasjon = s, = s = cosθ ñ sinθ, = sinθ + cosθ PÂmatriseform: S = s P = S P s θ PÂmatriseform: R = cosθ sinθ P = R P ñsinθ cosθ INF INF

2 Problem Translasjon: P = T + P Addisjon! Skalering: P = S P Rotasjon: P = R P ÿ nsker Âbehandle alle transformasjoner som matrisemultiplikasjon Lsning: Innfr homogene koordinater! Homogene koordinater Legg til en tredje koordinat: (,, w) Regel : To punkter er like hvis de er et multippel av hverandre (punktet (, 4, 2) er det samme som (, 2, )). Regel 2: Punktet (,, ) er ikke tillatt. Regel 3: Hvis w kan vi dividere med w og fâut punktets ì kartesiske koordinaterî /w og /w (dvs. de som tegnes pâ skjermen!) Homogene koordinater er ogsânttige for 3D 2D projeksjoner (gjennomgâs senere). INF INF Translasjon Skalering T(d, d ) = d d (, ) = + d = + d S(s,s ) = s s = s = s = d d w P = T(d, d ) P d d (, ) s = s P = S(s,s ) P INF INF

3 Rotasjon PÂflgende transformasjoner av samme tpe Translasjon cosθ ñsinθ R(θ) = sinθ cosθ = cosθ sinθ ñsinθ cosθ P = R(θ) P = cosθ ñ sinθ = sinθ + cosθ θ P P P P = T(d,d ) P P = T(d 2,d 2 ) P P = T(d 2,d 2 ) (T(d,d ) P) = (T(d 2,d 2 ) T(d,d )) P = T(d + d 2, d + d 2 ) P d 2 d d + d 2 d 2 d = d + d 2 Translasjon er kommutativt - rekkeflgen likegldig! INF INF Skalering Rotasjon P = S(s,s ) P P = S(s 2,s 2 ) P P = S(s 2,s 2 ) (S(s,s ) P) = (S(s 2,s 2 ) S(s,s )) P = S(s s 2, s s 2 ) P Oppgave! s 2 s 2 s s = s s 2 s s 2 Skalering er ogsâkommutativt! INF INF

4 PÂflgende transformasjoner av ulik tpe R(θ) roterer et punkt P om origo. Hvordan kan vi rotere P om et vilkârlig punkt P? Lsning: Translater P til origo, rotèr og translater tilbake! Eksempel 2 - skalering om et vilkârlig punkt P P P θ P T(, ) R(θ) T(ñ, ñ ) = = cosθ sinθ cosθ ñsinθ sinθ cosθ ñsinθ cosθ ñ ñ ( ñ cosθ) + sinθ ( ñ cosθ) + sinθ T(, ) S(s, s ) T(ñ, ñ ) = = s s s ( ñ s ) s ( ñ s ) ñ ñ INF INF Kommutativitet - oppsummering La M og M 2 representere hver sin basale transformasjon. M og M 2 kommuterer (M M 2 = M 2 M ) i flgende tilfeller: M Translasjon Skalering Rotasjon Uniform skalering (s = s ) M 2 Translasjon Skalering Rotasjon Rotasjon Inverse transformasjoner T(d, d ) ñ = T(ñd, ñd ) S(s, s ) ñ = S(/s, /s ) R(θ) ñ = R(ñθ) INF INF

5 PÂflgende translasjoner og rotasjoner bevarer lengde! 3D Transformasjoner P 2 R T T R T R R... T P 2 P Generalisering av 2D transformasjoner! (Samme regler for pâflgende transformasjoner, inverser etc.) P P P 2 = P P 2 INF INF Translasjon Skalering T(d, d, d ) = d d d s s S(s, s, s ) = s T(d, d, d ) [,,, ] T = [ + d, + d, + d, ] T S(s, s, s ) [,,, ] T = [s, s, s, ] T INF INF

6 Rotasjonsakse Rotasjonsretning og hrehândskoordinater (vekk fra publikum!) Positiv rotasjon Rotasjon om aksen 2D rotasjonen som vi har sett pâtidligere, R(θ), er egentlig en 3D rotasjon om aksen! cosθ ñsinθ sinθ cosθ R (θ) = θ Kontroll: RotÈr [,,, ] T 9 : ñ = INF INF Rotasjon om og aksen Eksempel cosθ ñsinθ R (θ) = sinθ cosθ P 3 P P 2 P 3 P 2 P R (θ) = cosθ sinθ ñsinθ cosθ Steg:Translater P til origo Steg2:RotÈr om aksen slik at P P 2 ligger i planet. Steg3:RotÈr om aksen slik at P P 2 ligger pâ aksen. Steg4:RotÈr om aksen slik at P P 3 ligger i planet. INF INF

7 Steg : Translater P til origo. Steg 2: RotÈr om aksen slik at P P 2 ligger i planet. T(ñ, ñ, ñ ) = ñ ñ ñ P = T(ñ, ñ, ñ ) P = 2 ñ P 3 P P P 2 3 ñ Rotasjonsvinkelen er ñ(9 ñ θ) = θ ñ 9. Videre har vi at cos(θ ñ 9) = sinθ = 2 = 2 ñ D D sin(θ ñ 9) = ñcosθ = ñ 2 = ñ 2 ñ D D der D = ( 2 ) 2 + ( 2 ) 2 = ( 2 ñ ) 2 + ( 2 ñ ) 2 P 2 Ved Âsubstituere disse verdiene inn i R (θ ñ 9) fâr vi som forventet D θ P 2 ( 2, 2, 2 ) ( 2,, 2 ) P 2 = T(ñ, ñ, ñ ) P 2 = 2 ñ 2 ñ P 3 = T(ñ, ñ, ñ ) P 3 = 3 ñ 3 ñ P 2 = R (θ ñ 9) P 2 = [ 2 ñ D ] T INF INF Steg 3: RotÈr om aksen slik at P P 2 ligger pâ aksen. Steg 4: RotÈr om aksen slik at P P 3 ligger i planet. Rotasjonsvinkelen er φ, og cosφ = 2, sinφ = 2 D 2 D 2 2 der P 2 D D 2 2 = P P 2 = P P 2 φ P 2 2 = ( 2 ñ ) 2 + ( 2 ñ ) 2 + ( 2 ñ ) 2 Rotasjonsvinkelen er α, og cos α = 3, sin α = 3 D 3 D 3 der D 3 = ( 3 ) 2 + ( 3 ) 2 3 P 3 α D 3 3 Resultatet blir igjen som forventet P 2 = R (φ) P 2 = R (φ) R (θ ñ 9) P 2 = R (φ) R (θ ñ 9) T(ñ, ñ, ñ ) P 2 Den totale transformasjonen blir: R (α) R (φ) R (θ ñ 9) T(ñ, ñ, ñ ) = [ P P 2 ] T INF INF

8 Projeksjon avbilde noe ned pâfêrre antall dimensjoner 3D 2D projeksjon i grafisk databehandling ñ Avbilde objekter i objektrommet ned pâbildeplanet i bilderommet Parallellprojeksjon Bevarer parallelle linjer FjerneognÊreobjekterser like store ut INF INF Perspektivprojeksjon Bevarer ikke ndvendigvis parallelle linjer Fjerne objekter ser mindre ut enn nêre Sns-koordinat Sstem Spesifikasjon av 3D sn (3. i VTK-boka) Opp-vektor (VUP) ( ma, ma ) Verdens-koordinat Sstem Kamera Posisjon ( min, min ) Fokuspunkt Snsutsnitt (Viewport) Bildeplan-normal / Projeksjonsretning INF INF

9 Antar fokuspunkt i =! Antar k > og k >! p =, k k ñ p =, k k ñ Transformasjonmatrisen M per for perspektivprojeksjon P p ( p, p, p = ) P k ( k =, k =, k ) p = p = P (,, ) k k ñ = ñ ( / k ) k k ñ = ñ ( / k ) INF k k M per = p p ñ ñ P (,, ) P (,, ) ñ/ k P p = M per P= = ñ/ k ñ (/ k ) Kartesiske koordinater (som plottes pâskjerm): (/w, /w, /w) = (/( ñ (/ k )), /( ñ (/ k )), ) Kontroll: lim = k ñ (/ k ) ( parallell projeksjon!) lim k ñ (/ k ) lim = ñ (/ k ) = lim k = k k ñ INF w Ok! Basisalgoritme, uten klipping, for 3D 2D transformasjon med perspektivprojeksjon Steg : Multipliser punktene i det grafiske primitivet GP med snsorienteringsmatrisen M orient definert som flger:.: Translater origo i snskoordinat-sstemet til origo i verdenskoordinat-sstemet: T(d, d, d ).2: RotÈr snskoordinat-sstemet slik at aksene sammenfaller med verdenskoordinat-sstemet: R(α) R(θ) R(φ) M orient = R(α) R(θ) R(φ) T(d, d, d ) GP = M orient GP verdenskoordinater snskoordinater! Problem Projiserte -og-koordinater for store nâr opprinnelige - og -koordinater er store. = ma Steg 2: Multipliser punktene i GP med transformasjonsmatrisen M per for perspektivprojeksjon. GP = M per GP = M per M orient GP snskoordinater bildeplan! INF INF

10 Problem 2 Projiserte -og-koordinater for store nâr nêrmer seg k : lim k ñ (/ k ) = Klipping Fjerning av de delene av et grafisk primitiv som faller utenfor et omrâde. Eksempel: = k INF INF Snsvolum 3D 2D transformasjon med klipping Front klippeplan Bakre klippeplan Steg : Transformer GP fra 3D verdenskoordinater til 3D snskoordinater vha. M orient. Steg 2: Klipp GP mot snsvolumet. Steg 3: Transformer GP fra 3D snskoordinater til 2D snskoordinater (dvs. bildeplanet) vha. M per. Problem lses automatisk! Problem 2 lses ved Âdefinere en minimumsavstand mellom kameraet og front-klippeplanet! P k ( k, k, k ) f b Eksempel: = f Antar k > og k > f og f > b! = k INF INF

11 Skjulte flater ì Painterís algorithmî - enkel variant Ok! Steg : Sorter polgonene i henhold til punktet med lavest (fjernest) -verdi. Steg 2: Tegn (rasteriser) polgonene ì back to frontî rekkeflge, dvs. frst det med lavest -verdi, sâdet med nest-lavest -verdi osv. Problem: Polgoner som overlapper i -retning: Antar fra nâav at de grafiske primitivene er polgoner INF INF ì Painterís algorithmî -utvidelse Steg : Splitt opp polgoner som overlapper i -retning! Problem: Tar ekstra tid og plass! Z-buffer algoritmen Behandler alle polgonene i snsvolumet (etter at de er klippet mot dette). Bak-klippeplanet gis -verdi. Front-klippeplanet gis -verdi ma. Polgonene gis -verdier relativt til og ma. I hvert piel lagres -verdien. Hvert piel farges med bakgrunnsfargen. INF INF

12 2 INF for <hvert polgon> do for <hvert piel i polgonets projeksjon> do = <avstanden fra bildeplanet til polgonet gjennom pielet> if < >= pielets -verdi> then <pielets ne -verdi = > <pielets ne farge = polgonets farge (i dette pielet)> fi od od Algoritmisk: INF = a) b) = INF Vurdering av -buffer algoritmen Hovedfordel: Enkel og rask(ingen forhândssortering ndvendig etc.). Ulempe : Krever ekstra minne. Ulempe 2: Kan fungere dârlig hvis avstanden mellom front- og bakklippeplanet er for stort: ma FKP BKP i i+ Samme -buffer verdi! Lsning: ñ ÿ k opplsningen pâ-bufferet (antall bit pr piel) (avveining mellom ulempe og 2), og/eller ñ Reduser avstanden mellom front- og bak-klippeplanene. INF Hvordan finne -verdien i et piel for et polgon? -verdi =?

13 Finn et uttrkk for projeksjonslinjen gjennom pielet. Finn et utrkk for planet som polgonet ligger i. Finn -verdien ved ÂskjÊre og! Uttrkk for planet som polgonet ligger i. Tre punkter i polgonet som ikke ligger langs samme linje Uttrkk for projeksjonslinjen gjennom pielet. Punkt i polgon Krssprodukt Normal P p ( p, p, ) Parametrisk: P k + t (P p ñ P k ), t Prikkprodukt P k (,, k ) = t p = t p = ( ñ t) k, t Ligning for planet θ = 9 INF INF N u P 2 ( 2, 2, 2 ) P (,, ) θ = 9 P (,, ) P 3 ( 3, 3, 3 ) v P P N = P P N cosθ Planet bestâr dermedavalle punkter P som oppfller: P P N = u = P 2 ñ P = ( 2 ñ, 2 ñ, 2 ñ ) = (u, u, u ) v = P 3 ñ P = ( 3 ñ, 3 ñ, 3 ñ ) = (v, v, v ) N = u v = (u v ñ u v, u v ñ u v, u v ñ u v ) = (( 2 ñ )( 3 ñ ) ñ ( 2 ñ )( 3 ñ ), ( 2 ñ )( 3 ñ ) ñ ( 2 ñ )( 3 ñ ), ( 2 ñ )( 3 ñ ) ñ ( 2 ñ )( 3 ñ )) = ( N, N, N ) Kombinasjon av og. N (t p ñ ) + N (t p ñ ) + N (( ñ t) k ñ ) = f(t) = Hvis en lsning eksisterer som t har vi skjêring mellom linjen og planet, og -verdien vil vêre ( ñ t ) k! Med andre ord: N ( ñ ) + N ( ñ ) + N ( ñ ) = INF INF

14 Eksisterer det alltid en lsning? Belsningsmodeller Omgrupperer og skriver f(t) som ta + B. f(t) = ta + B = t = ñb/a Dermed har vi kun en lsning dersom A. I dette tilfellet er A = N p + N p ñ N k, og dette kjenner vi igjen som P k P p N! En lsning eksisterer med andre ord hvis og bare hvis projeksjonslinjen og normalen ikke stâr vinkelrett pâhverandre! P p ( p, p, ) N ( N, N, N ) P k (,, k ) ÿ ker realismen og ì3d flelsenî. Lset i et punkt pâoverflaten til et objekt er primêrt avhengig av flgende: ñ Lskilder (posisjon og avstand) ñ ÿ e/kamera (posisjon og avstand) ñ Objektets normalvektor i punktet ñ Objektets materialegenskaper i punktet Skal se pâempiriske modeller som kun er tilnêrminger til fsisk eksakte modeller, men som likevel gir brukbare effekter. INF INF Omgivelse-ls (ì ambient lightî ) Diffus refleksjon (Lambert refleksjon) Generelt ls fra omgivelsene, refleksjon fra andre objekter etc. Fanger opp lset som ikke eksplisitt er representert med andre modeller. Tar ikke hensn til hverken lskilde eller e/kamera. Ls som treffer et objekt fra en lskilde blir reflektert i alle retninger pâen gang. Egnet for matte overflater. Refleksjonen er sterkere desto mer loddrett lset faller pâobjektet. Tar hensn til lskilde og flatenormal men ikke e/kamera. K a I a I a = Omgivelse-ls, konstant for alle objekter. K a = Objektets omgivelse-refleksjons koeffisient. K a [, ]. d A θ N Mengden lsenergi som faller pâd A er proporsjonal med cosθ. Intensitetsbidrag: I = I a K a d A = arealenhet d A INF INF

15 N φ Mengden ls som reflekteres til et pr d A er proporsjonal med cosφ. I p L θ N I p = Ls fra lskilde. K d = Objektets diffus-refleksjons koeffisient. K d [, ]. d A N φ Mengden areal sett av et er omvendt proporsjonal med cosφ. K d Intensitetsbidrag: I = I p K d cosθ Total belsningmodell sâlangt: I = I a K a + I p K d cosθ d A Antar θ [, 9 ]! Siden og oppveier hverandre er mengden ls som oppfattes av et kun avhengig av, dvs. cosθ! Merk: Dersom L og N er normaliserte (har lengde ) kan cosθ skrives som N L. INF INF Speilende refleksjon (ì specular reflectionî ) Ls som treffer et objekt fra en lskilde blir primêrt reflektert langs refleksjonsvektoren. Egnetfor halvblanke overflater - spesielt plastikk. Refleksjonen oppfattes som sterkere desto mer snsvektoren sammenfaller med refleksjonsvektoren. Tar hensn til bâde lskilde, flatenormal og e/kamera. I p L K s θ θ α V N R I p = Ls fra lskilde. K s = Objektets speilings-refleksjons koeffisient. K s [, ]. Phongs belsningsmodell: Intensitetsbidrag: I = I p K s cos n α n = Objektets speilings-refleksjons eksponent. n. Total belsningmodell sâlangt: I = I a K a + I p (K d cosθ + K s cos n α) INF INF

16 cosα Hvordan regne ut R? α 9 S N S L θ θ R R = N cosθ + S S = N cosθ ñ L (fordi N = R = S =) cos 8 α R = N cosθ + N cosθ ñ L = 2 N cosθ ñ L α 9 INF INF Multiple lskilder Antar normaliserte vektorer Total belsningmodell med m lskilder: m I = I a K a + I p (K d (N L )...) i i Σi = Multiple farger Hittil har vi kun sett pâensfargede lskilder og objekter. Flerfargede lskilder og objekter hândteres ved  ñ Sette opp en separat ligning for hver komponent i fargemodellen (antar her RGB). ñ Splitte ls fra omgivelse og punktlskilde i tre: Omgivelses-ls: I ar, I ag, I ab Punktlskilde: I pr, I pg, I pb ñ Introdusere koeffisienter for et objekts diffuse og speilende farge: Diffus farge: O dr, O dg, O db Speilende farge: O sr, O sg, O sb INF INF

17 Farger kan introduseres i ulik grad Antar λ stâr for enten R, G eller B Noen begrensninger ved de modellene vi har sett hittil Ensfargede objekter, flerfarget ls fra omgivelser og punktlskilde: I λ = I aλ K a + I pλ (K d cosθ + K s cos n α) Flerfargede objekter, ensfarget ls fra omgivelser og punktlskilde: I λ = I a K a O dλ + I p (K d O dλ cosθ + K s cos n α) Flerfargede objekter, flerfarget ls fra omgivelser og punktlskilde: I λ = I aλ K a O dλ + I pλ (K d O dλ cosθ + K s cos n α) Tar ikke hensn til skgge og refleksjon fra andre objekter Tar ikke hensn til (halv-)gjennomsiktige objekter Flerfargede objekter med ulik farge for diffus og speilende refleksjon, flerfarget ls fra omgivelser og punktlskilde: I λ = I aλ K a O dλ + I pλ (K d O dλ cosθ + K s O sλ cos n α) INF INF Sjattering (ì shadingî ) Hvordan ls(farge) fordeles pâet grafisk primitiv under rasteriseringen. Sjatteringsalgoritmer bruker belsningsmodeller! (belsning er en viktig del av sjatteringen) Antar polgoner i den videre beskrivelsen. Flat/konstant sjattering Belsningsmodellen evalueres kun Èn gang pr polgon. Alle piler fâr sammefarge MÂanta flgende: Lskilden er uendelig langt borte. (Konstant N L (konstant θ)) 2 Dersom speilende refleksjon brukes mâogsâperspektivpunktet vêre uendelig langt borte (parallell projeksjon). (Konstant N V (konstant α)) 3 Polgonet er en eksakt representasjon av objektet. TilnÊrming Eksakt INF INF

18 Hovedproblem Antagelse 3 (eksakt representasjon) holder ikke! Ok med kube, men hva med kule? Alternativ : Representer overflaten med ì uendeligî mange smâpolgoner. Problem: Altfor ressurskrevende! Gouraud sjattering Noder (hjrnepunkter) Steg : Finn eksakte normaler i alle noder der modellen beskriver en glatt flate: Alternativ 2 INF INF ñden eksakte normalen N v i en node kan tilnêrmes ved Âsummere normalene i de tilgrensende polgonene slik: ñi noder der flaten ikke skal vêre glatt, mâen normal defineres for hver av de tilgrensende polgoner: N N v N 3 N v = N 2 Σ Σ N i n i N i n i Flkropp N 4 2 Vinge INF INF

19 Steg 2: Finn intensiteten i hver node ved Âevaluere en belsningsmodell der normalen inngâr. Steg 3: Under rasteriseringen av hvert polgon interpoleres node-intensitenene; frst langs hver sidekant og deretter horisontalt langs hver ì scanî -linje. Observasjon Siden normalene i P og P 2 er felles for polgonene (ved glatt flate), mâogsâintensitetene i disse punktene og derfor ogsâi P vêre felles. Fargeovergangen fra det ene til det andre polgonet over linjen P P 2 vil derfor oppfattes som kontinuerlig (jevn). s 2 I 2 I a I I p I b 3 a p b ì scanî -linje I 3 I a = I ñ(i ñ I 2 ) ñ s ñ 2 I b = I ñ(i ñ I 3 ) ñ s ñ 3 I p = I b ñ(i b ñ I a ) b ñ p b ñ a P 2 P P Intensitet Gouraud Intensitet Flat P Avstand P Avstand INF INF Diffus refleksjon Phong sjattering Diffus og speilende refleksjon Belsningsmodell Steg : Finn eksakte normaler i alle noder der modellen beskriver en glatt flate (samme som Gouraud). Steg 2: Under rasteriseringen av et polgon interpoleres normalvektorene; frst langs hver sidekant og deretter horisontalt langs hver ì scanî -linje. Steg 3: I hvert piel langs en ì scanî -linje finnes intensiteten ved Âevaluere en belsningsmodell. Flat Gouraud Sjattering INF INF

20 N I = evaluering av belsningsmodell X = interpolert verdi N Gouraud vs. Phong sjattering I N I Phong gir bedre resultat; spesielt ved speilende-, men ogsâved diffus refleksjon. I N I N I I I N N I N I N I N Gouraud sjattering Phong sjattering INF INF Anta: - Speilende refleksjon. - N faller nesten sammen med snsvektoren. N 3 Anta: - Speilende refleksjon. - N m faller nesten sammen med snsvektoren. N m N 3 N 2 N 2 N N Gouraud ìsprerî intensiteten jevnt utover! Phong ìsamlerî intensiteten der den brvêre! Gouraud Bommer fullstendig pâ ì highlightî punktet! Phong Fanger opp ì highlightî punktet! INF INF

21 Gouraud vs. Phong sjattering (forts.) Phong er mer beregningskrevende Gouraud mest vanlig i praksis (OpenGL, VTK...) Noen problemer med interpolert sjattering (Gouraud og Phong) Silhuetten ser fortsatt ì polgoniskî ut: Kan bedres ved Âke polgonopplsningen, men dette ker samtidig ressursbruken! INF INF Avhengighet av polgonets orientering A P interpoleres fra A, B og D P interpoleres fra A, B og C B P D B A P C Delvis felles noder A C D D C Lses ved Âsplitte opp i triangler! A P interpoleres nâfra A, B og D i begge tilfeller! B P B A P C D For venstre polgon: Interpolert mellom A og B For de to hre polgonene: Direkte fra punktet Gir generelt forskjellig resultat pâvenstre og hre side og flgelig diskontinuitet i belsningen! B C INF INF

22 Ikke-representative node-normaler Generelt om bruk av polgoner Flatenormaler Nodenormaler Lses ved Âsplitte opp i flere polgoner (men det ker ressursbruken!): PopulÊre til tross for en del problemer. ñ Triangler spesielt populêre. Alternativet med Âla grafikksstemet basere seg direkte pâden underliggende flaten/geometrien blir tpisk for ressurskrevende og/eller for lite generelt. INF INF ì Rendering Pipelineî Operasjonene som utfres for Âavbilde et grafisk primitiv pâskjermen danner en ì rendering pipelineî. Basis (uten sjattering): OBS! Z-verdiene kan beholdes og brukes i den videre behandling! Transformasjon til verdenskoordinater Med Gouraud sjattering: Belsning Transformasjon til snskoord. (M orient ) Klipping Perspektivprojeksjon (M per ) Scan-konvertering Fargeinterpolasjon Teksturering Anti-aliasing Z-buffer Transformasjon til verdenskoordinater Transformasjon til snskoord. (M orient ) Klipping Perspektivprojeksjon (M per ) Fargeblanding (v/transparens) ì frame bufferî = rasterisering Scan-konvertering Teksturering Anti-aliasing Z-buffer Fargeblanding (v/transparens) ì frame bufferî = rasterisering INF INF

23 Med Phong sjattering: Transformasjon til verdenskoordinater Transformasjon til snskoord. (M orient ) Klipping Perspektivprojeksjon (M per ) Scan-konvertering Normalvektorinterpolasjon Belsning Teksturering Anti-aliasing OBS! Normalvektorer og polgonhjrner mâ transformeres tilbake til verdenskoordinater fr belsningsmodellen kan evalueres! Z-buffer Fargeblanding (v/transparens) ì frame bufferî = rasterisering INF