Computer Graphics with OpenGL

Transkript

1 Computer Graphics with OpenGL 2. Computer Graphics Hardware Plasmapaneler baserer seg på gass som satt under spenning vil emittere lys. LCD-skjermer baserer seg på at lys kan polariseres og at krystaller kan rotere lysets polarisasjonsretning (aktive LCD-paneler kjennetegnes ved at en transistor styrer hver piksel). 6. Implementation Algorithms for Graphics Primitives and Attributes Primitiver tilnærmes med en samling piksler som er av eller på. Linjetegningsalgoritmer DDA-algoritmen ser på absoluttverdien til stigningstallet. Dersom denne er mindre enn 1, går vi ett step langs x-aksen. Dersom stigningstallet er større enn 1, så går vi ett step langs y-aksen. Bresenhams linjealgoritme sammenlikner derimot linjens eksakte posisjon med midtpunktet mellom de to aktuelle pikslene, og velger da den nærmeste pikselen. Innsett endepunktene og lagre det venstre i (x0, y0), plott det første punktet. Kalkuler konstantene /\x, /\y, 2/\y og 2/\y 2/\x og finn startverdien p0 = 2/\y - /\x Hvis pk < 0, neste plott er (xk + 1, yk) og pk+1 = pk + 2/\y Hvis pk > 0, neste plott er (xk + 1, yk + 1) og pk+1 = pk + 2/\y 2/\x Gjenta. Sirkelalgoritmer Vi kan benytte symmetri ifm. uttegning av sirkler ved å plotte inn enkelte punkter som speiles. Vi tegner rette linjer mellom et sett utregnede punkter på sirkelen. Midtpunktsalgoritmen for en sirkel bruker samme konsept som Bresenhams man bestemmer hvilken piksel som skal tennes basert på posisjonen til midtpunktet M mellom nåværende og neste piksel. Scanlinje-algoritmen Finner krysningene mellom skjermens scanlinjer og begrensningen til objektet. Oddeparitetsregelen benyttes for å fylle polygonene. Toppunkter til monotont stigende/synkende kanter kortes inn eller evt. forkastes. Horisontale kanter forkastes. Kan utnytte koherens for å effektivisere utregningen. Implementasjon Samtlige kanter sorteres på minste y-verdi ved hjelp av bucket-sort i en kanttabell. Deretter finner man krysningene mellom scanlinjen og kantene av objektet og piksler mellom par av krysninger fylles. Aktive kanter overflyttes til en ny kantliste sortert på x. Fill Methods for Areas with Irregular Boundaries Boundary-Fill Rekursivt maler seg utover fra et startpunkt inntil man kommer til begrensningskurven. 4-connected og 8-connected versjoner av algoritmen Kan effektiviseres ved å fylle en scanlinje om gangen.

2 7. Two-Dimensional Geometric Transformations For å få matriserepresentasjonene for basistransformasjoner på en form der vi kan behandle alle typer på en konsistent måte innfører vi homogene koordinater ved å legge til et tredje koordinat h og representerer punktene på en homogen måte. Basistransformasjoner Translasjon i 2D Translasjon av et punkt oppnås ved å gi et tillegg i x- og y-retning. Eks. ved bruk av homogene koordinater: Rotasjon i 2D Vi spesifiserer en rotasjon ved å angi en rotasjonsvinkel og en akse. Eks. ved bruk av homogene koordinater: Skalering i 2D Oppnås ved å multiplisere objektets posisjoner med skaleringsfaktorene. Eks. ved bruk av homogene koordinater: Refleksjoner Om x-aksen Om y-aksen Om y=x Matrisemultiplikasjon er ikke kommutativ, men assosiativ. Hvis rekkefølgen på transformasjonene endres, så endres også posisjonen til objektet. Transformasjoner mellom to koordinatsystem Eksempel på overføring av geometri beskrevet i koordinatsystem A til B. Origo i A ligger i punktet (11,7) i B. Enhetene brukt i A har halve verdiene av B. B ligger rotert 45 grader i forhold til en horisontal akse:

3 8. Two-Dimensional Viewing Transformasjoner fra verdenskoordinater til viewport coordinates, samt prosedyrer for å klippe bort de deler av bildet som ikke skal vises (gjerne spesifisert av bruker). Linjeklipping Cohen Sutherland sin linjeklippingsalgoritme arbeider etter prinsippet at endepunktene får hver sin endekode. Linjer der koden er 0000 i begge ender aksepteres, mens endepunkter som AND-et sammen gir et resultat forskjellig fra 0 forkastes. Klipping av fylte polygoner Sutherland-Hodgman klipper polygonet mot hver kant i klipperektangelet i fire operasjoner. 10. Three-Dimensional Viewing Samme prosess som i 2D der vi går fra et verdenskoordinatsystem til et annet, men nå må vi i tillegg omforme et 3D-volum til et plan ved hjelp av projeksjoner (å projisere). To hovedtyper projeksjoner: parallell (ingen forkortning, parallelle projeksjonslinjer) og perspektivisk (forkortning, projeksjonslinjene samles i et projeksjonspunkt). Et 3D-viewing koordinatsystem spesifiseres ved å angi en referanseposisjon p0 for origo til koordinatsystemet, en vektor N som er normal til viewplanet, og en vektor V som angir view-up -retningen til koordinatsystemet. VPN-vektoren bestemmer planets orientering i rommet, mens VUP-vektoren brukes for å angi y-aksens retning i koordinatsystemet. Hvis projeksjonslinjene ligger parallelt med VPN kalles det en ortogonal projeksjon (brukes ofte for å skape et front-, topp- og sidebilde av scenen. Hvis projeksjonsplanet skjærer de tre hovedaksene i lik avstand fra origo har vi en isometrisk projeksjon. Cohen Sutherland sin algoritme kan utvides med to bit for å takle linjer i rommet. 13. Three-Dimensional Object Representation Boundary Representation (B-rep) og Space-partitioning Representations Den mest brukte teknikken for representasjon av 3D-objekter er å la et sett av plane polygoner definere et volum.

4 14. Spline Representations Enhver kurve som beskrives ved et parametrisk polynomuttrykk pålagt endebetingelser blir kalt for en splinekurve. En splinekurve spesifiseres ved å angi et sett av kontrollpunkter som tilnærmes av kurvesegmenter slik at disse enten interpolerer eller approksimerer kontrollpunktene. Området kontrollpunktene former kalles for convex hull. For å sikre glatte overganger mellom kurvesegmentene stilles det kontinuitetskrav (parametrisk eller geometrisk) i skjøtene mellom segmentene. Interpolerende kubiske splines anvendes mest for å angi objekt- og kamerabevegelser. Hermite Interpolasjon er en interpolerende kubisk kurve som benytter tangentvektorer i skjøtene og som typisk oppfyller G^1 kontinuitet i skjøtene. Bezier Splines Brukes ved kurve- og flatedesign enkle å implementere. Kan tilpasses et hvilket som helst antall kontrollpunkt og graden til kurven bestemmes utifra det antall kontrollpunkt som skal approksimeres. Interpolerer start- og sluttpunkt. Stigningstallet i starten og slutten av kurven bestemmes ut i fra de to første og to siste kontrollpunktene, noe som gjør at Bezier-kurver med 4 kontrollpunkter (kubiske) ligner veldig Hermite-kurven. For å få samme retning på skjøten mellom to segmenter må de fire kontrollpunktene ligge på en linje. To sett av ortogonale Bezier-kurver kan brukes for å bestemme et objekts overflate. B-splines Den mest brukte splinetypen og som Bezier-kurver approksimerer den et sett av kontrollpunkter. I motsetning til Bezier kan graden settes uavhengig av antall kontrollpunkter og gir lokal kontrol over en sammensatt kurve. Lokal kontroll sikrer oss at kun noen kurvesegmenter påvirkes ved flytting av et kontrollpunkt (stor fordel). Uniforme B-splines har periodiske blendingsfunksjoner. Kubiske periodiske B-splines har segmenter av grad 3 og d=4. Åpne uniforme B-splines er en blanding av uniforme og ikke uniforme B-splines. Ikke-uniforme B-splines har mulighet for å variere knutepunktsavstanden, og start- og sluttpunkt kan interpoleres eksakt. Enkelt å legge inn nye kontrollpunkter. Bedre egenskaper ved reduksjon av kontinuitet. 15. Other Three-Dimensional Object Representation Ved å ta utgangspunkt i en profil som følger en kurve i rommet har man definert en sweap. Med CSG (Constructive Solid Geometry) bygges modellen opp ved å kombinere enkle primitiver som det skal utføres boolske operasjoner mellom. For å bestemme begrensningsflatene til CSG-modellene benyttes en teknikk kalt Ray Casting. En hierarkisk trestruktur, kalt octrees, kan brukes for å representere solide objekter.

5 Den to-dimensjonale varianten av octrees kalles quadtree, og her nummereres kvadrantene fra 0 til 3, mens for octrees fra 0 til 7. BSP Trees likner på octrees, men vi deler verdenen vår i 2 med et tilfeldig valgt plan i objektet. 16. Visible-Surface Detection Methods Vi bestemmer synlige flater i en polygonmodell på følgende måter: For hver piksel i bildet bestem hvilket objekt som er nærmest observatøren. For hvert objekt i hele verdenen, bestem hvilke deler av objektet som ikke er dekket av andre objekter nærmere observatøren. Back-face culling En enkel "object space"-algoritme som sjekker om man er foran eller bak et plan ved å se på planligningen. Er den mindre enn 0 så er vi bak planet. For et enkelt konvekst polyhedron vil back-face culling fjerne samtlige bakflater (gjelder ikke for scener med flere objekter). Z-buffer (dybdebufferalgoritme) Bildepresisjonsalgoritme som baserer seg på bruk av to buffer - rammebufferet for å lagre det endelige bildet og et dybdebuffer for å holde oversikt dybdeverdiene for de synlige flatene. Initialiser dybde- og rammebufferet slik at alle (x,y) = 1.0 Gjennomgå et og et polygon og kalkuler dybden z for hver projiserte piksel. Hvis z er mindre enn dybdebufferet for (x,y), kalkuler overflatefargen og sett dybdebufferet til z. En ulempe med denne algoritmen er at den kun samler fargeinformasjon for en flate per piksel. A-buffer-algoritmen er en utvidelse av z-buffer-algoritmen som tar hensyn til transparente flater og flater som delvis overlapper ved å opprettholde en linket liste for hver piksel. Scan-Line Method Utvidelse av algoritmen for skankonvertering av polygoner som genererer bildet ved å skankonvertere linje for linje. Det genereres en kanttabell for alle ikke-horisontale kanter til polygonene projisert på "view-planet". Tabellen sorteres på y-koordinat og deretter på x-koordinat. I tillegg behøves en polygontabell med informasjon om plankoeffisientene, skygge/fargeinfo og boolske flagg brukt i selve scankonverteringen. Painter's algorithm Polygonene "males" inn i rammebufferet i en rekkefølge bestemt av avstanden til viewplanet. Algoritmen sorterer alle polygonene basert på dybden og tegner opp de med størst avstand først. Algoritmen kan feile ved overlappende polygoner. Om nødvendig splittes polygonene. Warnock's algorithm deler inn det projiserte området gjentatte ganger inntil det er enkelt å beslutte hva som skal vises. Ved traversering av et octree lagres fargeinformasjonen for "view-planet" i et quadtree. BSP-trær og dybdesortering er effektive algortimer når antall flater er få og overlappingen er liten. Når det er lite overlapping i projeksjonen av en flate er skanlinjealgoritmen eller områdeinndelingsalgoritmen effektive. Når antall flater blir mange vil dybdebuffer- eller octree-metoden være de mest effektive.

6 17. Illumination Models and Surface-Rendering Methods Bakgrunnslys Lysemitterende kilder (lyspære, solen..). Lysreflekterende kilder (vegger i rommet..). Summen av reflekterende kilder kalles bakgrunnslys. Lysintensitet I = Ka * Ia, hvor Ka er refleksjonskonstanten for materialet og Ia er bakgrunnslysets intensitet. Lambert's cosinuslov sier at ved diffus refleksjon er intensiteten avhengig av innfallsvinkelen. Specular reflection opptrer ved blanke flater som glass og høypolert metall. Phong's lyssettingsmodell Intensiteten settes proporsjonal med cos^(ns)fi, hvor ns er en materialkonstant. I tillegg kommer materialets oppførsel avhengig av innfallsvinkelen inn i ligningen. Det skrives ofte separate ligninger for de tre komponentene RGB. For å behandle transparente flater riktig må lys trenge gjennom flatene (Snell's brytningslov). Ved valg av intensitetsnivåer i et system kan det virke naturlig å velge en lineær inndeling, mens en logaritmisk skala er bedre (pga. øyets oppfattelse av intensitet) fordi den produserer en oppslagstabell som ivaretar alle hensyn. Halvtoneteknikk brukes i avis og magasiner og går ut på at hver enhet trykkes med en sort sirkel hvis størrelsen er omvendt proporsjonal med intensiteten. Halvtoneeffekten kan simuleres, på bekostning av oppløsning, ved å bruke rektangulære områder av piksler. Dithering-teknikker brukes for å approksimere halvtonemønster uten tap av oppløsning. Renderingsteknikker for polygoner Lyssettingsmodeller er tidkrevende, så ofte brukes det heller forskjellige skanlinjeteknikker som er utviklet for å bestemme intensiteten til samtlige piksler til et polygon. Konstant intensitet fungerer bra hvis polygonet er en flate i objektet og lyskilden tilstrekkelig langt borte. Ved interpolert intensitetsbestemmelse beregnes intensiteten ut i fra verdiene til knutepunktene i en trekant. Gouraud Shading Denne metoden fjerner diskontinuiteten mellom polygonene ved interpolasjon. Metoden finner en gjennomsnittsnormalvektor for hvert enkelt knutepunkt. Deretter finner man intensiteten i henhold til en lyssettingsmodell og det brukes lineær interpolasjon. Phong Shading Skiller seg fra Gouraud ved at vi nå interpolerer normalvektoren og bruker den i beregning av intensiteten, noe som gir en langt bedre gjengivelse av speilende refleksjon. Problemer med interpolert intensitetsbestemmelse Polygonsilhuetten vil være kantete Perspektivisk forstyrrelse Orienteringsavhengig Delt knutepunkt De fleste renderingssytemer baserer seg på polygon-approksimasjoner.

7 19. Color Models and Color Applications Lys er elektromagnetiske bølger innenfor et bestemt frekvensbånd. Hver frekvens svarer til en farge (hvorav mennesket kan skille mellom ca. 128 rene farger). En lyspære emitterer stråler i hele det synlige spekteret for å produsere hvitt lys. Dersom et spekter har en dominerende bølgelengde vil dette føre til at lyset oppfattes som om det har en farge. Øyet vårt oppfatter hue (fargen), saturation (renhet), brightness (intensitet) og lightness (reflektert intensitet). Ved å kombinere lys fra flere lyskilder med forskjellig dominerende bølgelengde kan en rekke forskjellige farger produseres. CIE har definert tre standard primærfarger (eller energifordelinger) som kan representere samtlige synlige farger. Disse fargene er matematiske beskrivelser som med positive bidrag kan representere alle farger (Chromaticity-diagram). YIQ-modellen gjør det mulig å vise bilder ved hjelp av kun ett signal. CMY (Cyan, Magenta, Yellow) er komplementærfargene til RGB. Når de brukes som filter for å trekke fra farge fra hvitt lys kalles de subtraksjonsprimitiver. 21. Global Illumination Ray-tracing Lysstråler sendes ut i verdenen og registrerer hvilket objekt strålen treffer først. Det genereres stråler i refleksjonsretning og refraksjonsretning (transparent materiale). Så følges strålen inntil et valgt nivå og resulterer i et binærtre. Det anvendes så standard lyssettingsmodell på alle flatene. 23. Algorithmic Modeling En fraktalmodell er generert ved prosedyrer fremfor funksjoner og kjennetegnes ved en viss likhet på alle nivå samt et uendelig detaljeringsnivå på hvert punkt. En fraktal dannes ved gjentakelse av en transformasjonsfunksjon på punkter i rommet. Klassifikasjon "Self-similar" er fraktaler der deler av objektet er nedskalerte versjoner av hele objektet (svært realistiske modeller). "Self-affine" benytter forskjellige skaleringsfaktorer i flere koordinatretninger (naturtro). "Invariant"-fraktalsett dannes ved bruk av ikke-lineære transformasjoner. BACKFACE CULLING Samtlige flater som ikke er synlige for observatøren kan fjernes. Dette gjøres ved å sammenlikne normalvektoren til flaten med synsretningen til observatøren. Peker disse samme vei kan flaten sløyfes. Z-buffer Z-buffer-algoritmen fungerer ved å benytte to buffer, et rammebuffer som lagrer det endelige bildet og et dybdebuffer som holder oversikt over dybdeverdiene til flatene. Den gjennomgår et og et polygon og kalkulerer dybden z for hver projiserte piksel. Er z nærmerer projeksjonsplanet kalkuleres overflatefargen og dybdebufferet settes til z.

8 ISOMETRISK PROJEKSJON Parallell projeksjon som kjennetegnes ved at projeksjonsplanet skjærer de tre hovedaksene i lik avstand fra origo. Parallell projeksjon brukes mye innenfor modellering da det er langt lattere å definere objekter når man slipper å ta hensyn til den perspektiviske forkortningen. TRE-PUNKTS PERSPEKTIVISK PROJEKSJON En projeksjon der projeksjonsplanet skjærer samtlige tre hovedakser. Vi kan se dette ved at samtlige linjer parallelle til hovedaksene etter projeksjon vil ha et forsvinningspunkt. BOUNDARY-REPRESENTASJON Med dette menes et volum begrenset av flater. Andre representasjonsformer kan være octrees eller CSG. LOKAL KONTROLL Naturlige kubiske splines har ikke lokal kontroll, dvs. at hele kurven må regnes ut på nytt dersom et kontrollpunkt endrer posisjon. Hermite-kurve De to første vektorene angir start- og sluttpunkt. De to andre angir de retningsderiverte i start og slutt av kurven. C^1-kontinuitet får vi ved at de deriverte i skjøten har samme retning. Kurven interpolerer også start- og sluttpunkt. Painter's algorithm Sorterer samtlige flater basert på dybde og "maler" ut den med størst dybde først, deretter den med nest størt osv. Den er ikke lineær og hastigheten er avhengig av antall flater og vil derfor bruke mye lenger tid hvis antall flater fordobles. Teoretisk lysintensitet En lyspære er ingen punktkilde, derimot har den utstrekning. LYSREFLEKSJON Diffus refleksjon har lik refleksjon i alle retninger og opptrer typisk på matte materialer. Spekular refleksjon er refleksjon speilt om normalvektoren og opptrer typisk for blanke materialer.

9 RAY-TRACING "Ray-tracing" sender inn en stråle for hver piksel inn i vår virtuelle verden, treffer et objekt og ser på lyspåvirkningen og eventuelle refleksjoner i dette punktet. Er materialet gjennomsiktig blir det i tillegg definert en refraksjonsretning. Samtlige bidrag summeres etter et visst nivå. RGB-fargemodell Gjengivelse av farger på skjerm og papir er to fundamentalt forskjellige prosesser. Den ene er additiv blanding, mens den andre er subtraksjonsblanding. HOMOGENE KOORDINATER En utvidelse av de vanlige koordinatene slik at man kan representere samtlige transformasjoner på en konsistent måte. Gir store fordeler ved matrisemultiplikasjon. CIE-kromatisitetsdiagram Et diagram som viser samtlige ikke-intensitetsavhengige farger. Vi kan finne komplementærfarger i diagrammet ved å se på linjer som skjærer gjennom hvitt i diagrammet. PRESISJONSALGORITMER Bildepresisjonsalgoritmer finner for hver piksel hvilken flate som ligger nærmest og denne bestemme fargen til pikselen. Objektpresisjonsalgoritmer sammenlikner objekter i rommet og finner hvem som ligger foran og bak og bruker dette for å tegne opp modellen. BSP-trær Binary Space Partitioning arbeider etter følgende prisnipp. Ta utgangspunkt i et vilkårlig plan i objektet. Alle deler av objektet som er på den siden som normalvektoren peker i defineres som utside og motsatt de som er på innsiden kalles for innside. Dette gjentas rekursivt inntil alle flatene i treet er behandlet. Ved traversering av dette treet på en bestemt måte kan man foreta fjerning av skjulte linjer og flater ut i fra det definerte treet. Man spør seg ganske enkelt om observatør befinner deg på innsida eller utsida i forhold til den første valgte flata. Da vet man hvilken halvdel av treet som dekker den andre halvdelen av treet. Ved å stille det samme spørsmålet rekursivt nedover i treet er en fullstendig fjerning av skjulte flater gjennomført.

10