KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING MANDAG 15. AUGUST 2011 KL LØSNINGSFORSLAG

Transkript

1 Side 1 av 8 KONTINUASJONSEKSAMEN I EMNE TDT4230 VISUALISERING MANDAG 15. AUGUST 2011 KL LØSNINGSFORSLAG OPPGAVE 1 Parametriske kurver a) En eksplisitt eller implisitt funksjon i tre variable beskriver en flate. b) Likningssettet gitt i oppgaven: xu ( ) au bu cud 3 2 x x x x yu ( ) au bu cud 3 2 y y y y u au bu cu d u 3 2 ( ) 0 1 (1) kan skrives på matriseform: Qu ( ) U C (2) med parametervektoren U : 1 (3) 3 2 U u u u og koeffisientmatrisen C : ax ay a bx by b C cx cy c dx dy d (4)

2 Side 2 av 8 Koefffisientmatrisen C kan igjen skrives som et produkt: C M P (5) der M er basismatrisen som er karakteristisk for vedkommende kurvetype: m11 m12 m13 m14 m21 m22 m23 m 24 M m 31 m 32 m 33 m 34 m41 m42 m43 m44 (6) og P geometrivektoren som inneholder de geometriske betingelsene for kurvesegmentet. De geometriske betingelsene er fire kontrollpunkt eller en blanding av kontrollpunkt og vektorer (tangentvektorer): P p1 p1x p1y p1 p p p p p p p p 2 2x 2y 2 p3 p3x p3y p3 4 4x 4y 4 (7) Dette gir også den etterspurte sammenhengen. c) Geometrivektoren for Béier-kurver: p0 p 1 P p2 p3 (8) inneholder kurvesegmentets to endepunkt p 0 og p 3 sammen med et kontrollpunkt p 1 og p2 for hvert endepunkt som gir retning og lengde til tangentvektoren i endepunktet:

3 Side 3 av 8 d) Det vil i utgangspunktet fortone seg fordelaktig med en kurve beskrevet med polynomer av høy grad fordi det gir tilsvarende høy grad av kontinuitet. Imidlertid har kurver av grad tre og høyere vendepunkter. Tredjegradskurver har ett vendepunkt. Antall vendepunkter øker med en for hver økning med en i grad. Vendepunkt som ligger innenfor grensene for kurvesegmentet, medfører tilsynelatende ujevnheter på kurven som vanligvis vil være uønsket. Ved økende polynomgrad øker også beregningskompleksiteten. Kubiske kurver kan gis kontinuitet opp til andre grad både i geometrisk og parametrisk derivert over skjøten mellom kurvesegmenter. Sjansen for vendepunkt i segmentet er begrenset og beregningskompleksiteten anses akseptabel. Derfor betraktes kubiske kurver som et gunstig kompromiss for vanlig geometrisk modellering. Kurver av lavere grad er vanligvis uaktuelle på grunn av begrenset mulighet for kontinuitet og fordi de ikke kan brukes til å modellere kurver som slynger seg i det tredimensjonale rommet. En andregradskurve vil i sin helhet ligge i et plan, nemlig det planet som defineres av kurvens tre kontrollpunkt. e) Den geometriske tolkningen av den førstederiverte til en kurve er at den er et mål for retningen til kurvens tangent. I to dimensjoner er interpretasjonen av den deriverte grei. I tre dimensjoner med en generell romkurve er fortsatt den førstederiverte et mål for tangentens retning og for kurvens glatthet. Kontinuerlig førstederiverte gir en kurve som er glatt og som ikke bukter seg. Kontinuerlige deriverte av høyere orden gir kurver som kan bukte seg på en glatt måte. I motsetning til tilfellet med kurver i to dimensjoner, er det ikke vanlig å se matematiske formuleringer av geometrisk deriverte i tre dimensjoner. Parametriske førstederiverte vil imidlertid med unntak av et spesialtilfelle gi retningen til tangenten. Tilsvarende gjelder for høyere ordens deriverte. Parametrisk deriverte fåes ved å derivere: Qu ( ) [ xu ( ), yu ( ), u ( ),1] T (9) med hensyn på parameteren som her er u. Den parametriske deriverte er en vektor og har dermed både retning og lengde. Retningen av den parametrisk førstederiverte er langs kurvens tangent og er mål for hvor langt en beveger seg langs kurven når en endrer parameteren med en enhet. Den parametrisk førstederiverte oppfattes som hastighet med hensyn på parameteren u. Det viktigste skillet er: De geometrisk deriverte har retning og er uavhengige av parameteren u De parametrisk deriverte har retning og lengde

4 Side 4 av 8 f) Den parametrisk deriverte kan bli 0 i et punkt og fortsatt være kontinuerlig. Dette kan skje i et knekkpunkt for kurven der den geometrisk deriverte er diskontinuerlig. Dette fenomenet inntrer for eksempel for uniforme B-splines når nabokontrollpunkt faller sammen. OPPGAVE 2 Polygonmodeller a) Det sentrale i vingekantstrukturen er kantrepresentasjonen: n-ccw p p-cw hjørner: n (next) p (previous) n-polygonen p-polygonen n-cw n p-ccw Hjørnene som danner kantens ender gies navnene next (n) og previous (p). Polygonene som har kanten felles gies navnene n-polygoner og p-polygonen slik som vist på figuren (p-polygonet til høyre når en går fra n mot p og n-polygonen til høyre når en går fra p mot n). De tilstøtene kantene i hjørnene n og p og som også er kanter til n- og p- polygonene, navngies etter polygonen og rotasjonsretning (klokkeretning) som vist på figuren. Kanten har pekere til disse fire kantene, til de to hjørnene og til de to tilgrensende polygonene. Hvert hjørne har peker til en av kantene som ender i hjørnet. Hver polygon har peker til en av kantene som avgrenser polygonen.

5 b) Vi ønsker en liste av alle kantene som har hjørnet felles. Mulig algoritme: 1. Initier listen med peker til kanten som hjørnet refererer direkte til. 2. Løkke: Hvis hjørnet er p-hjørnet til kanten: Ta p-cw som ny-kant Ellers Ta n-cw som ny-kant Hvis peker til ny-kant er lik peker til første kant i listen Ferdig med løkken Ellers Legg ny-kant til listen Ny-kant er stående kant Det er selvsagt også mulig å gå motsatt vei rundt ved å bruke ccw-kantene. Side 5 av 8 OPPGAVE 3 Globale belysningsmodeller a) I Kajiyas belysningslikning: I( xx, ') gxx (, ')[ ( xx, ') ( xx, ', x'') Ix ( ', x'') dx''] (10) er betydningen av symbolene: s I ( x, x') : Intensiteten av lys som spredes fra punktet x ' til punktet x forutsatt at det ikke finnes noen hindring som stopper lyset imellom. ( x, x', x'') : Den andelen av lyset fra punktet x '' som via punktet x ' treffer punktet x. ( x, x') : Intensiteten av lys som emitteres fra punktet x' og som treffer punktet x. g ( x, x') : Synlighetsfunksjon som har verdien 1 dersom punktet x er synlig fra punktet x '. I motsatt fall har funksjonen verdien 0. Likningen gir mål for det lyset fra punkt x ' som når punktet x.

6 Side 6 av 8 b) Forenklende antakelser som blir gjort som grunnlag for Whitteds strålesporingsmodell: I Whitteds strålesporingsmodell er lyskildene separate punktlyskilder. Lyskilder med utstrekning finnes ikke. Integraldelen av likning (2) er ikke til stede for lyskilder. For flater er ikke emisjonsdelen av likning (2) til stede. For matte flater bidrar bare punktet som treffes direkte av sporingsstrålen. Integralet degenererer til bidraget fra punktet. For flater som har en større eller mindre refleksjonsevne, degenererer integralet til bidraget for det punktet som treffes direkte av den reflekterte strålen. Styrker ved strålesporingsmodellen er evnen til å gjengi blanke flater, speilbilder, transmisjon i gjennomsiktige objekter og skygger. Strålesporingsmodellen gjengir ikke fargeblødning mellom diffust spredende flater og reflektert lys fra lyskilder i blanke flater over på andre objekter. c) En lysbuffer i forbindelse med strålesporingsmodellen lages ved at hver lyskilde omsluttes av en akseorientert kube med lyskilden i midten av kuben. Hver av kubens overflatesider deles inn i et rutenett. For hver rute lages den en liste over polygoner som som overlapper ruten når de projiseres inn på kuben med lyskilden som projeksjonssenter. Listen er sortert etter økende avstand fra lyskilden. Lysbufferen brukes til å finne ut om lyskilden er synlig fra et gitt objektpunkt. Søkestrålen fra et objektpunkt sendes mot lyskilden og listen for den ruten søkestrålen treffer på sin vei, avsøkes inntil en polygon påtreffes eller det konstateres at de resterende polygonene ligger bak objektpunktet sett fra lyskilden. d) Forenklende antakelser blir gjort som grunnlag for radiositetsmodellen: I radiositetsmodellen ansees alle flater som matte flater. Det vil si at en ser bort fra bidrag til integralet som skyldes refleksjon i flater som har en grad av blankhet. Modellen deles opp i polygoner som ansees små nok til at belysningen kan antaes konstant over flatelappen. Integralet erstattes dermed av summering over samtlige flatelapper. Radiositetsmodellens vesentlige styrker er at den modellerer matte flater godt og at den tar hensyn til lyskilder med utstrekning. Radiositetsmodellen er ikke i stand til å modellere refleksjon.

7 Side 7 av 8 e) Formfaktoren er en konstant som gjelder for stråling mellom to polygoner som har liten utstrekning i forhold til avstanden mellom dem. Den gir uttrykk for hvor stor andel av strålingen (spredning og emisjon) som går ut fra den ene polygonen som lander på den andre. Halvkubemetoden er en metode for effektivisering av formfaktorberegningen. Vi tenker oss en halvkube plassert over midten av flatelapp i: Hver av sidene til halvkuben er delt inn i kvadratiske ruter. Formfaktoren til hver av rutene på halvkuben i forhold til midtpunktet av flatelapp i beregnes. Formfaktoren for flatelapp j i forhold til flatelapp i kan beregnes ved at vi projiserer flatelapp j inn på halvkuben. Vi finner hvilke ruter på halvkuben som overlappes av projeksjonen og finner den søkte formfaktoren som summen av formfaktorene for disse rutene. OPPGAVE 4 Bump-mapping a) En ønsker å avbilde en ujevn flate. Den ujevne flate vil få en ny normal som vil variere i retning i forhold til normalen til den opprinnelige jevne flaten. Ujevnhetene sees på som perturbasjoner. Ideen ved bump-mapping, er å beregne den perturberte normalen uten å gjennomføre perturbasjonen av selve flaten. Den perturberte normalen benyttes i Phongs belysningsmodell og skaper gjennom det inntrykk av en ujevn flate. b) Tangentvektorene en får ved partiell derivasjon av flatelikningen med hensyn på parameterene u og v, vil begge ligge i tangentplanet. Flatenormalen vil være en normal til dette planet. Dermed får vi for flatenormalen: Puv (, ) Puv (, ) Nuv (, ) Pu Pv (11) u v

8 Side 8 av 8 c) Flatenormalen for den perturberte flaten er tilsvarende: P'( u, v) P'( u, v) N'( u, v) P' up' u v v (12) Med utgangspunkt i likning (7) i oppgaveteksten får vi for disse partielle deriverte: P' u Pu BuN BNu (13) P' P B N BN v v v v Vi setter dette inn i uttrykket for den perturberte normalen og får: N'( u, v) P P B N P B P N B B N N B( ) (14) u v u v v u u v Leddene med felles faktor B ( u, v) er ikke skrevet ut. Vi forutsetter at B ( u, v) er liten for alle verdier av parametrene u og v. Under den forutsetningen neglisjerer vi disse leddene. Det fjerde leddet inneholder faktoren N N som er lik 0 (vektorprodukt av parallelle vektorer). Vi står da igjen med følgende uttrykk for den perturberte normalen: N'( u, v) Pu Pv BuN Pv BvPu N (15)