tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse.

Transkript

1 Forord Denne læreboken gir en innføring i lineær algebra, rettet mot begynnerkurs på Universitets- og Høyskolenivå. Arbeidet med dette stoffet tok til som en del av et større prosjekt, som omfattet datastøttet læring i matematikk og var vinklet mot nye undervisningsmetoder i matematikkfaget. Dette arbeidet fant sted i et samarbeid med Professor Kjell Raaheim i Kognitiv Psykologi ved Universitetet i Bergen, og munnet blant annet ut i et skall for datastøttet læring i lineær algebra. Kildekoden til dette dataprogrammet er publisert i boken [Ho2], og en brukerveiledning er utarbeidet i [V]. En annen kilde til inspirasjon har vært mine forelesninger i Geometri. Dette stoffet er nedfelt i boken [Ho1]. Det har vist seg svært vellykket å gi en innføring i disse to emnene parallelt. Det litt tørre stoffet i lineær algebra friskes opp gjennom geometrien. Begge hjernehalvdeler får noe å arbeide med! Dethar vært et siktemålvedframstillingenå finne så enkle bevis som mulig. For eksempel har jeg søkt å dra nytte av at svært mange tilsynelatende ulike bevis kan gis en enkel framstilling ved hjelp av Gauss-Jordansk eliminasjon. Dette gjelder blant annet beviset for at determinanten er multiplikativ. Mange lærebøker utelater dette og lignende bevis, av frykt for å overbelaste framstillingen med teoretisk stoff. Men dette er en ugrunnet engstelse når beviset faktisk kan tjene som øvelse i bruk av grunnleggende praktiske metoder. Lineær algebra har mange spennende anvendelser, ikke bare innen fysikk og naturvitenskap. I samfunnsvitenskap og økonomisk teori står bruken av denne matematikken sentralt, og interaksjonen med analyse i optimaliseringsteori og differensialligninger er grunnleggende. Jeg har søkt å dra nytte av den motiveringen som dette innebærer. I et innledende kapittel beskrives først noen hovedområder for anvendelser av lineær algebra. Disse kommer vi tilbake til senere i framstillingen, når de nødvendige redskapene er blitt utviklet. Her finner vi blant annet motivasjon for begreper som kan virke grepet ut av luften ved første øyekast, for eksempel matrisemultiplikasjon. I dette innledende kapitlet har jeg også tattmed en kortfattet innføring i komplekse tall. Ofte plasserer elementære lærebøker dette i et appendiks. Men her sendes det nok et litt galt signal til leseren, for en kommer ikke utenom den komplekse teorien dersom en ønsker å trenge fram til de litt mer sentrale anvendelsene. Likevel kan dette utelates ved første gjennomgang, eller dersom en bare er interessert i reell teori. En oppsummering av matematisk symbolspråk har jeg også tatt med. Dette stoffet er idag svakt representert i den videregående skolen, men blir i mange 5

2 tilfeller tatt for gitt ved universiteter og høyskoler. Her er framstillingen kortfattet, meningen er at dette kan brukes som referanse. Induksjonsbevis er kort omtalt, fordi også dette stoffet er ute av den videregående skolen i dag. Det har vist seg hensiktsmessig å tilby grunnleggende kurs på universitetsog høyskolenivå i matematikk der det foreleses både lineær algebra og tilgrensende områderfraanalyse. Foranvendelseneerdetteofteheltnødvendig. Enslik løsning virker også motiverende, fordi en ser flere muligheter for interessante anvendelser. Ut fra dette har jeg tatt med et kapittel om statisk optimalisering, og ett kapittel med en elementær innføring i differensialligninger. Her kommer vi også innpå den betydningen lineær algebra har innen moderne, databasert symbolmanipulasjon. Oppgavestoffet og eksempelmaterialet retter seg primært inn mot innføringskurs av tilsvarende type som ved Universitetet i Bergen (UiB) og ved Norges Handelshøgskole (NHH). Løste eksamensoppgaver herfra utgjør grunnstammen i eksempelsamlingen, og danner mønster for de noe mer krevende oppgavene. I tillegg til disse har jeg også tatt med enklere øvelsesoppgaver, der formålet er å innøve bestemte, sentrale teknikker. Disse øvelsesoppgavene er plassert etter de enkelte seksjonene, og er klart merket som øvelsesoppgaver. Oppgaver av mer omfattende karakter kommer etter hvert kapittel. Dette er oppgaver av en type som normalt vil være relevante som eksamensoppgaver ved kurs på dette nivået ved universiteter og høyskoler. Til slutt har jeg tatt med noen fullstendige eksamenssett, med fullstendige løsninger eller med fyldige fasitsvar. Boken burde ut fra blant annet dette også egne seg for selvstudium, og som grunnlag for repetisjon før eksamen. Beviset for Cramers Teorem er basert på en artikkel av Helge Tverberg og forfatteren, i NORMAT. Dette enkle beviset ser merkelig nok ikke ut til å forekomme i læreboklitteraturen. En del eksempelstoff er hentet fra eller inspirert av et kompendium av Per Manne ved Norges Handelshøyskole. Jeg vil gjerne takke mine studenter og kolleger for mange verdifulle kommentarer. 6

3 Innhold 1 Fra verden omkring oss til matematikk Vektorer i planet og i rommet Antallmuligheter Valg og politikk Livogdød:Førstemøte Varerogtjenester HookesLov:Stressogstrekk Kortfattetinnføringikompleksetall Vektorer i planet og komplekse tall Kompleks multiplikasjon Kvadratrøtteravnegativetall Kompleks konjugering og divisjon Realdel R(z) og imaginærdel I(z), argument og absoluttverdi Komplekse tall på trigonometriskform Rudimenter av kompleks funksjonsteori og Eulers Formel Tallene e og π er transcendente tall Komplekserøtter Algebraens Fundamentalteorem Matematisk symbolspråk Induksjonsbevis Matriser Matriser og vektorer Transponering, addisjon og multiplikasjon Livogdød:Fortsettelse Antall muligheter: Fortsettelse Valg og politikk: Fortsettelse Diagonalmatriser, enhetsmatriser og regneregler Rekkeoperasjonerogsøyleoperasjoner Symmetriske og antisymmetriske matriser Inverteringavmatriser Utregningavdeninversetilenmatrise Eksempel på inverteringavenmatrise HookesLov:Fortsettelse Løsteeksamensoppgaver UiB våren 1991, litt modifisert

4 3 Determinanter Regneregler for determinanter Rangen og nulliteten til en matrise Definisjon av determinanten Bevis for regnereglene Teori om matriser Rekkereduksjon til redusert trappeform Elementære matriser og flere egenskaper ved determinanten Underdeterminanterogkofaktorer Formel for den inverse matrisen Løste oppgaver Prøveeksamen ved UiB våren Eksamensrelevanteoppgaver Teori om lineære ligningssystemer Definisjonoggenerellekommentarer Gauss-Jordansk eliminasjon Rangkriterietoggenerellløsning Cramers teorem Sammenligningavdetometodene EtenkeltbevisforCramersTeorem Gauss-Jordansk eliminasjon, matriseligninger og den feite totalmatrisen Et nytt og enkelt bevis for at det(ab) = det(a)det(b) Fraøkonomiskteori:Leontiefskryssløpsanalyse Løste oppgaver UiB høsten UiB høsten UiB våren Oppgaver Vektorrom, lineær uavhengighet, basis og transformasjoner Vektorrom Underromavetvektorrom Lineæravhengighetoguavhengighet Determinantkriterietforlineæruavhengighet Detlineærespennettilendelmengde Basisforetvektorrom

5 6.7 Rommene R n,transformasjonerogmatriser Rekkerom,søyleromognullromtilenmatrise Mer om rang og nullitet til en matrise Meromlineæreligningssystemer Oppgaver Vektorrom med indre produkt Euklidskindreprodukt Veiet Euklidsk indre produkt Indreproduktgenerertavenmatrise Andreindreprodukter Aksiomerforetvektorrommedindreprodukt Setningeromvektorrommedindreprodukt Ortonormale basiser Ortogonalt komplement Løste oppgaver UiB høsten Oppgaver Basisskifte og ortogonale matriser Basisskifte og overgangsmatrisen for koordinater Eksempel på overgangsmatriser Lineæretransformasjonerogbasisskifte Utregning av matrisen P [B tilb] i praksis Ortonormale basiser og ortogonale matriser Løste oppgaver En vanlig oppgavetype UiB høsten UiB høsten UiB, prøveeksamen våren Oppgaver Egenverdier, egenvektorer og diagonalisering Meromegenverdierogkarakteristiskpolynom Livogdødogegenverdier Diagonalisering Løst oppgave fra UiB høsten Cayley-Hamiltonssats Ortogonalt diagonaliserbare matriser

6 9.6 Løste oppgaver UiB høsten UiB høsten UiB høsten 1988, litt utvidet Oppgaver Kvadratiske former og kjeglesnitt Kjeglesnitt Basisskifteognormalform Symmetriske 2 2- matriser Kvadratiske former av n variable Definitegenskapene for kvadratiske former Kvadratiskeformermedbibetingelser Løste oppgaver UiB høsten UiB høsten UiB våren 1990, utvidet Oppgaver Matriser og transformasjoner Definisjoner og grunnleggende begreper Enkle eksempler Sammensetningavlineæretransformasjoner Koordinatvektor med hensyn på en basis Løste oppgaver UiB høsten UiB høsten Egenskaper ved lineære transformasjoner Vektorrom av transformasjoner Nullrom,rekkeviddeogdimensjonsteoremet Anvendelser i matematisk analyse: Statisk optimalisering Funksjoner av to variable, plane nivåkurver og gradient Teorienfortreellerflerevariable Statisk optimalisering Taylor rekken og Taylor polynomene til en funksjon Optimalisering uten bibetingelser Eksempel på stasjonæroptimalisering

7 Optimalisering med bibetingelser Anvendelser i analyse: Differensialligninger Derivasjon Integrasjon Differensialligninger Separable differensialligninger Lineære differensialligninger Lineær differensialligning med konstant a og b Likevektstilstanderogfasediagrammer Bernoullis differensialligning Eksempel på lineær differensialligning med konstant a og b Eksempel på lineær differensialligning med konstant a og ikke-konstant b Eksempel på lineær differensialligning med ikke-konstante a(t) ogb(t) En Bernoullis differensialligning, integralkurver og Taylorpolynomer Fullstendig løst oppgavesett for NHH høsten Noen eksamenssett med fasit UiB våren NHH våren UiB, prøveeksamen våren

8 12

9 1 Fra verden omkring oss til matematikk 1.1 Vektorer i planet og i rommet Når vi skal vurdere størrelser som mål og vekt, er det nok å kjenne et tall og en benevning: Fem stykker av noe, for eksempel appelsiner. Tre kilo av ett eller annet, så også mange kilometer fra Bergen til Voss. Dette er i mange tilfeller nok til å trekke de konklusjonene vi behøver. Men i noen situasjoner må vi ha mer informasjon. Dersom vi skal vurdere værutsiktene, for eksempel. Da vil vi gjerne vite vindstyrken, blantengod del annet. Men vi har ikke nok med bare å kjenne vindstyrken, vi må også ha informasjon om vindretningen. Vindretningen blir blant annet angitt på værkartene som vi finner i de fleste aviser. Vindstyrke indikeres vanligvis ved en hake på vindpilen for å symbolisere kuling, to haker for storm. Dersom vi lot vindstyrken komme til uttrykk ved lengden av pilene, kunne vi fått et værkart som hadde sett slik ut: Figur 1: Værkart med vinden som vektorer 13