Innlevering i TRFE 1000 Frist: 14. april Løysingsforslag

Transkript

1 Innlevering i TRFE 1 Frist: 14. pril Løysingsforslg Oppgve 1 ) Om to eksponentilfunksjonr med sme grunntl skl vere like, må også eksponentne vere like 1 : e x2 = e x+1 x 2 = x + 1 x 2 x 1 = x = ( 1) ± ( 1) ( 1) 2 1 x = = 2 2 = 1 ± 5 2 eller x = b) e x2 = e x + 1 Der er ingen opplgd måte å løyse denne likning ekskt. Så vi får gjere det numerisk med t.d. hlveringsmetoden eller Newtons metode. Vi vel å gjere det første her. Vi skriv om likning: f(x) = med f(x) = e x2 e x 1. Vi plottr denne funksjonen i MATLAB: >> x=-2:1e-2:3; >> y=exp(x.^2)-exp(x)-1; >> plot(x,y,'k-','linewidth',2) >> grid on >> set(gc,'fontsize',15) >> xis([ ]) Av plottet, gur 1, ser den ut til å h to nullpunkt, eitt mellom 1 og og og eit nn mellom 1 og 2. Hlveringsmetoden kn implementerst slik: 1 % Implementering v hlveringsmetoden for likning f(x)= der 2 % f er kontinuerleg på [,b] og f() og f(b) hr ulike forteikn. 3 4 % Grenser 1 Dette skuldst t eksponentilfunksjonen er ein-eintydig eller injektiv.

2 Figur 1: Plott v funksjonen som skl vere null i oppgåve 1 b). 5 =1; 6 b=2; 7 % Presisjon 8 Pres=1e-5; 9 1 % Gir funksjonen som skl vere null 11 NullFunk=@(x) exp(x^2)-exp(x)-1; % Funksjonsverdir i endne 14 F=NullFunk(); 15 Fb=NullFunk(b); while bs(b-)>2*pres % Itererr til b- blir mindre enn 2 gonger Pres 18 c=(+b)/2; % Midtpunktet 19 Fc=NullFunk(c); % Funksjonsverdi i midtpunktet 2 if F*Fc< 21 b=c; % Set ny b til c 22 else 23 =c; % Set ny til c 24 end 25 end % Reknr ut nytt midtpunkt og skriv svret til skjerm 28 x=(+b)/2 Vi køyrer skriptet, som vi hr kll Hlvering.m. Vi hr her brukt lngt formt for å sjå mnge nok desimlr. Hlvering x = Vi hr ltså funne løysing x =

3 Når vi skl nne den ndre løysing, endrr vi berre linje 5 og 6 i skriptet til =1; b=2; Med desse grensene nn vi løysing x = Oppgve 2 ) Dette integrlet let seg løyse med delvis integrsjon. Generelt gjeld b uv dx = [uv] b b u v dx. Med u = x 2 og v = sin x, får vi t u = 2x og v = cos x slik t π x 2 sin x dx = [ x 2 ( cos x) ] π π 2x ( cos x) dx = [ π 2 cos π ] π π + 2 x cos x dx = π x cos x dx. Det nye integrlet som dukkr opp, bestemmer vi ved å gjere delvis integrsjon ein gong til, no med u = x og v = cos x slik t u = 1 og v = sin x: π π = [x sin x] π sin x dx = π sin π [ cos x] π = +( 1 1) = 2. Dermed får vi t π x 2 sin x dx = π ( 2) = π b) Dette integrlet let seg ikkje bestemme ved ntiderivsjon. Vi må bruke ein numerisk metode for å rekne det ut. Om vi brukr trpesmetoden, kn den implementerst slik i MATLAB: 1 % Implementering v trpesmetoden for numerisk integrsjon. 2 % Integrsjonsgrensene og b og integrnden funk 3 % blir gitt heilt i toppen v skriptet. 4 % For å gi oppdeling n brukr vi input-funksjonen 5 6 % Integrsjonsgrenser 7 =; 8 b=2; 9 1 % Integrnden 11 funk=@(x) x^2*sin(x^2);

4 12 13 % Oppdeling 14 n=input('gi oppdeling n: '); 15 h=(b-)/n; % Bidrg fr endne 18 T=h/2*(funk()+funk(b)); 19 2 % Resten v bidrg 21 for i=1:(n-1) 22 xi=+i*h; 23 T=T+h*funk(xi); 24 end % Skriv svret til skjerm 27 T Når vi brukr skriptet, Trpes.m, til å estimere integrlet, vil svret vi får vere vhengig v kv for ei oppdeling (n) vi set. Difor må vi køyre det eire gonger med stdig høggre verdir for n heilt til svret ser ut til å h den presisjonen vi skl h: >> Trpes Gi oppdeling n: >> Trpes Gi oppdeling n: >> Trpes Gi oppdeling n: >> Trpes Gi oppdeling n: Med 5 rette desimlr får vi ltså t 2 x2 sin x 2 dx = c) Dette integrlet kn vi bestemme ved vribelbytet u = x 2. Sidn u = 2x, er dx = du/(2x) slik t 2 u(2) x sin x 2 dx = x sin u du u() 2x = 1 4 sin u du = [ cos u]4 = 1 cos

5 d) Også her kjem vi til kort med ntiderivsjon. Vi brukr trpesmetoden igjen. Sidn grensene er dei sme, treng vi berre oppdtere integrnden i linje 11 i skriptet over: % Integrnden funk=@(x) sin(x^2); Vi køyrer skriptet og sørger for t dei 5 første desimlne er konvergerte: >> Trpes Gi oppdeling n: >> Trpes Gi oppdeling n: >> Trpes Gi oppdeling n: >> Trpes Gi oppdeling n: >> Trpes Gi oppdeling n: Vi får ltså t 2 sin x2 dx = Oppgve 3 f(x) = xe x3.1 ) Vi skl løyse likning f(x) =. Nok ein gong er likning v ein type som ikkje let seg løyse med ppir og blynt. Når vi no skl løyse det med ein numerisk metode, vil det vere nturleg å bruke det sme skriptet som vi brukte i oppgåve 1. Men her vil vi i stden velge å bruke Newtons metode heilt enkelt for å vise korleis denne kn implementerst. Metoden går ut på iterere på uttrykket x n+1 = x n f(x n) f (x n ).

6 I vårt tilfelle hr vi t f (x) = 1 e x3 + x e x3 ( x 3) + = e x 3 ( 1 3x 3 ) slik t itersjonsskjemet blir x n+1 = x n x ne x3 n.1 e x3 n (1 3x 3 n) = x n x n.1e x3 n 1 3x 3 n. Her hr vi pynt litt på uttrykket. Det er ikkje nødvendig, men det gjer det enklre å implementere og minskr risikoen for t vi skriv feil når vi skl skrive opp uttrykket i skriptet vårt. Vi vel å gjere det med ei while-løkke som sjekkr om diernsen mellom x n+1 og x n er mindre enn 1 5 i bsoluttverdi. Alterntivt kn ein bruke ei for-løkke som skriv ut x n for kvr itersjon og sjekke t minst 5 sier er konvergerte. Vlet v x bestemmer kv for ein v dei to løysingne metoden konvergerr mot. For å få ein idé om kv x -verdir det kn vere lurt å velge, plottr vi funksjonen. Resulttet er vist i gur 2. Figur 2: Plott v funksjonen f(x) = xe x3.1. Nullpunkt vi hr funne ved Newtons metode er også ttt med (rude sirklr). For å nne det første nullpunktet, kn det sjå ut til t x = er eit br vl. Implementering vi hr brukt, ser slik ut: 1 % Skript som implementerr Newtons metode 2 3 % Bestemmer x_ 4 x=; 5 6 % Presisjon 7 Pres=1e-5; 8 9 % Lgr ein vribel for "førre" x-verdi (tilfeldig tl) 1 xgml=1;

7 11 12 while bs(x-xgml)>pres 13 xgml=x; % Kopierr den gmle x 14 x=x-(x-.1*exp(x^3))/(1-3*x^3); % Itersjonsskjem 15 end % Skriv svret til skjerm 18 x Vi køyrer skriptet: >> Newton x = Altså: x =.11. Når vi skl nne den ndre løysing, kn vi til dømes velge x = 1 og oppdtere linje 4 tilsvrnde. Svret blir x = I gur 2 hr vi mrkert desse nullpunkt som rude sirklr. b) Det ktuelle relet er gitt ved integrlet f(x) dx. Merk t vi hr ttt med 7 desimlr i integrsjonsgrensene. Sjølv om vi kn vere rimeleg sikre på t feilen i svr vi fnn i ) er mindre enn 1 5, er der like fullt ein feil som vi tr med oss vidre når vi skl rekne ut integrlet. Og sjølv om feilen i grensene er mindre enn 1 5, kn denne feilen føre til ein feil i integrlet som kn vere større enn 1 5. Difor hr vi gjort om igjen utrekning frå ) med større presisjon for å bestemme grensene meir nøyktig. Rettnok hr vi frmleis ingen grnti for t det er nøyktig nok no. Men det vil føre for lngt å gå i detlj på dette. f(x) hr ingen elementær nti-derivert; vi gjer det numerisk. Vi oppdterer linje 6 11 i skriptet frå oppgåve 2: % Integrsjonsgrenser =.11; b= ; % Integrnden funk=@(x) x*exp(-x^3)-.1; Det ser ut til t vi treng nokre hundre punkt for å få 5 rette desimlr: >> Trpes Gi oppdeling n: 2

8 >> Trpes Gi oppdeling n: >> Trpes Gi oppdeling n: Arelet er.325. c) For å bestemme volumet, brukr vi formelen V x = π b [f(x)] 2 dx. (1) For å nne dette integrlet, justerr vi litt på linje 18: % Bidrg fr endne T=h/2*(funk()^2+funk(b)^2); og på linje 23 i skriptet: T=T+h*funk(xi)^2; Vidre legg vi til denne linj til slutt: V=pi*T Vi ukr n til vi hr 5 rette sier: >> Trpes Gi oppdeling n: 1 V = >> Trpes Gi oppdeling n: 5 V = >> Trpes Gi oppdeling n: 1 V = Svret blir V x =

9 d) Når vi roterr om y-ksen, gjeld denne formelen 2 : b V y = 2π xf(x) dx. I dette tilfellet klrr vi også å bestemme volumet ved ntiderivsjon. Med =.114 og b = og u = x 3 får vi b ( b b ) V y = 2π x(xe x3.1) dx = 2π x 2 e x3 dx.1 x dx = u(b) 2π x 2 e u du u() 3x 2.2π[x2 /2] b = 2 3 π [eu ] u(b) u().1π(b2 2 ) = 2 3 π [e e.1143].1π( ) = Sjølvsgt kn vi også beregne integrlet ved å bruke skriptet vårt for trpesmetoden. Vi får rettnok ikkje noko ekskt løysing, men det gjer ikkje så mykje når vi kn kontrollere feilen. Dessutn er jo heller ikkje integrsjonsgrensene ekskte. Vi oppdterr linje 18: % Bidrg fr endne T=h/2*(*funk()+b*funk(b)); linje 23: T=T+h*xi*funk(xi); og linje 28: V=2*pi*T Det er nt å kunne konsttere t denne metoden gir det sme svret som over, V y = Dei ulike formene vi skl nne rel og volum v, er illustrert i gur 3. Oppgve 4 ) Vi brukr likning 1 frå oppgåve 3 b) igjen. Høgd x strekker seg fr til 6. Vi oppdtrer grenser og integrnd i linje 6 til 11: % Integrsjonsgrenser =; b=6; % Integrnden funk=@(x) 5 + 4*(sqrt(x)-sqrt(3))^2/(1+exp((35-x)/1.5)); 2 Her må vi kreve t f(x) ikkje er negtiv for x [, b].

10 Figur 3: Venstre: Området R. Midten: Volumet vi får når R blir rotert om x-ksen. Høgre: Volumet vi får når R blir rotert om y-ksen. Vidre må vi hugse t vi skl integrere kvdrtet v funksjonen (linje 18 og 23) og gnge med π til slutt (linje 28). I dette tilfellet er det nok med 5 delintervll for å få svret nøyktig nok: >> Trpes Gi oppdeling n: 1 V = e+4 >> Trpes Gi oppdeling n: 5 V = e+4 >> Trpes Gi oppdeling n: 1 V = e+4 Volumet er 2547 m 3. b) Visst går det n å derivere R(x) og bruke utrykket vi får i utrekning v integrlet. Men uttrykket blir nok ikkje særleg pent, og det er fort gjort å blingse når vi skl skrive det inn i skriptet vårt. Vi tr heller hintet og deriverr numerisk. Midtpunktsformelen er ein god måte å gjere det på: f (x) f(x + h) f(x h) 2h. (2) Når vi så skl velge h-verdi, kn det nok verke nturleg å velge den sme h-en/ x-en som vi brukr i trpesmetoden. Men det sikrste er å l desse to storleikne vriere uvhengig v kvrndre. Skriptet TrpesArelRot.m er ei implementering som reknr ut 2π b f(x) 1 + (f (x)) 2 dx med numerisk estimering v den deriverte: 1 % Skript som reknr ut overflt v ein rotsjonslekm 2 % etter formelen A= 2 pi \int_^b f(x) sqrt(1+(f'(x))^2) dx. 3 % Den deriverte blir estimert ved hjelp v midtpunktsmetoden:

11 4 % f'(x) \pprox (f(x+delt x)-f(x-delt x))/(2 Delt x). 5 % Integrsjonsgrensene og b og integrnden funk 6 % blir gitt heilt i toppen v skriptet. 7 % For å gi oppdeling n og Delt x i midtpunktsformelen brukr 8 % vi input-funksjonen. 9 1 % Integrsjonsgrenser 11 =; 12 b=6; % Funksjonen f(x), som gir profilen på rotsjonslekmen 15 funk=@(x) 5 + 4*(sqrt(x)-sqrt(3))^2/(1+exp((35-x)/1.5)); % Steglengd brukt i numerisk derivsjon 18 Delt=input('Gi Delt x for numerisk derivsjon: '); 19 2 % Oppdeling 21 n=input('gi oppdeling n: '); 22 h=(b-)/n; % Bidrg fr endne 25 DerivA=(funk(+Delt)-funk(-Delt))/(2*Delt); 26 DerivB=(funk(b+Delt)-funk(b-Delt))/(2*Delt); 27 T=h/2*(funk()*sqrt(1+DerivA^2)+funk(b)*sqrt(1+DerivB^2)); % Resten v bidrg 3 for i=1:(n-1) 31 xi=+i*h; 32 Deriv=(funk(xi+Delt)-funk(xi-Delt))/(2*Delt); 33 T=T+h*funk(xi)*sqrt(1+Deriv^2); 34 end % Skriv svret til skjerm 37 A=2*pi*T Når vi nå sjekkr konvergens, vrierr vi både h i likning. 2 og n i trpesmetoden: >> TrpesArelRot Gi Delt x for numerisk derivsjon: 1e-3 Gi oppdeling n: 1 A = 4.546e e-14i Her fekk vi eit pussig tl; A vert kompleks. 3. Men vi ser t imginærdelen er nær mskinpresisjonen i storleik; vi kn trygt sjå bort frå den. Det t 3 Eit komplekst tl hr form z = x + iy der reldelen x og imginærdelen y er vnlege reelle tl, og i er 1. Meir om det til sommren.

12 den dukk opp i heile, er nok ein konsekvens v t vi deriverr numerisk. Vi fortset å uke n: >> TrpesArelRot Gi Delt x for numerisk derivsjon: 1e-3 Gi oppdeling n: 2 A = 4.543e e-14i >> TrpesArelRot Gi Delt x for numerisk derivsjon: 1e-4 Gi oppdeling n: 1 A = 4.546e e-13i >> TrpesArelRot Gi Delt x for numerisk derivsjon: 1e-4 Gi oppdeling n: 2 A = 4.543e e-13i >> TrpesArelRot Gi Delt x for numerisk derivsjon: 1e-4 Gi oppdeling n: 5 A = 4.542e e-14i >> TrpesArelRot Gi Delt x for numerisk derivsjon: 1e-5 Gi oppdeling n: 5 A = 4.542e e-13i Vi kn vere gnske trygge på t relet er 454 m 2. Om vi i også skl h lokk på tårnet, kjem relet i tillegg. π(r(6) m) 2 = 257 m 2 Merk t vi også kunne h gitt heile integrnden, med den deriverte, som ein funksjon heilt i strten v skriptet. Det kunne til dømes h sett omtrent slik ut: % Funksjonen f(x), som gir profilen på rotsjonslekmen Profil=@(x) 5 + 4*(sqrt(x)-sqrt(3))^2/(1+exp((35-x)/1.5)); % Steglengd brukt i numerisk derivsjon Delt=input('Gi Delt x for numerisk derivsjon: '); % Den deriverte, f'(x) (numerisk) Deriv=@(x) (funk(x+delt)-funk(x-delt))/(2*delt); % Sjølve integrnden Integrnd=@(x) funk(x)*sqrt(1+funkderiv(x)^2);

13 Med ei slik implementering ville resten v skriptet likne meir på det vi brukte i oppgåve 2 og 3.