BYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 40

Transkript

1 BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 40 Løsningsforlsag Oppgave 1 Lagring og innlesing av data a) Dersom vi skriver save Filnavn, blir alle variable vi har lagra til ei l som heter 'Filnavn'. Alt dette kan lastes inn igjen om vi skriver load Filnavn. Dersom noen av de variablene vi da hadde fra før har samme navn som noen av de vi laster inn, blir de vi hadde fra før skrevet over. Vi demonstrerer (vi har her kalt la med variabler for `Variable'): > x=1; > y=1:10; > z=5 z = 5 > save Variable > who Variables in the current scope: x y z > clear all > who > z=1 z = 1 > load Variable > who Variables in the current scope: x y z > z z = 5 Dette gjør det mulig for oss å avslutte ei arbeidsøkt, stenge ned Octave for så å åpne Octave igjen senere, laste inn variablene og fortsette der vi slapp. 1

2 Uten navn.notebook October 02, Figur 1: Bilde av nettsida referert til i oppg. 1 b). Om vi bare vil lagre noen variable, kan det gjøres slik: save Variable2 x y. Man kan også bare laste inn noen av dei variable som har blitt lagret: load Variable2 x. Den første av disse kommandoene lagrer bare variablene x og y. Den siste laste inn bare x, selv og også y er lagra i la Variable2. b) Nettsida ser vist i gur 1. Jeg har valgt å se på tidevannet i Bergen 2. oktober i år. Jeg kopierer tabellen og limer den inn i Notepad++: NaN NaN NaN NaN

3 Her har jeg også lagt til `NaN' i de to første radene slik at alle rader får re søyler, og jeg har kalt la `Tidevann.dat'. Vi laster denne inn i Octave: > Tab=load('Tidevann.dat') Tab = NaN NaN NaN NaN lines (f)orward, (b)ack, (q)uit size-funksjonen brukes til å nne ut hvor mange rekker og sløyler en tabell har: 3

4 Figur 2: Grafen viser ein prognose for tidevannet i Bergen 2. oktober Kilde: met.no. >size(tab) ans = 24 4 Tab har 24 rekker og 4 søyler. c) Vi lar første søyle hete x og andre sløyle hete y og plotter: >x=tab(:,1); y=tab(:,2); >plot(x,y,'linewidth',2) > xlabel('tid (timer)'); ylabel('vannstand (cm)') Man kan også plotte ved å referere til Tab direkte: >plot(tab(:,1),tab(:,2)). Plottet er vist i gur 2. d) Tab(5,3) gir det elementet i tabellen Tab som ligger i rekke nummer 5 og søyle nummer 3: > Tab(5,3) ans = 33 Tab(1:2:end,2) gir en søylevektor bestående av annenhvert element i den andre søyla i Tab: octave exe:110> Tab(1:2:end,2) ans = 4

5 Tab(1:4,1:2) gir en undertabell av Tab der bare de re første rekkene og de to første sløylene er med: > Tab(1:4,1:2) ans = e) Om vi skriver find(x==5), får vi til svar at det 6. elementet i x er lik 5. Ved å skrive find(x<12) nner vi at alle elementene fra og med nr. 1 til og med nr. 12 er mindre enn 12. f) Grafen ser ut til å ligne en sinus-funksjon, så en funksjon på formen T (t) = a sin(k(t c)) + d kan passe. I Norge går det snautt 12 timer fra o til o, så 2π/12 = π/6 kan være en rimelig valg for k. Likevektslinja ser ut til å ligge på ca. 100, så vi setter d = 100. Amplituden, a, ser ut til å være ca. 60 cm; a = 60. Til sist må vi bestemme fasen c. Etter litt prøving å feiling, nner vi at c = 2 kan være et ok valg. Figur 3 viser prognosen fra met sammen med vår mildt sagt noe overadiske tilpasning. Oppgave 2 Taylor-polynom Jeg her valgt å gjøre deloppgavene a), c) og d). a) f(x) = tan(x), a = 0. Taylor-polynomene er P 1 (x) = x = P 2 (x) P 3 (x) = x x3 5

6 Figur 3: Det samme som i gur 2 sammen med grafen til funksjonen T (t) = 60 sin(π/6(x + 2)) (rødt). Vi plotter: > clear all > pi/2 ans = > x=-1.5:1e-2:1.5; > f=tan(x); > P1=x; > P3=x+x.^3/3; > plot(x,f,'k','linewidth',2) > hold on > plot(x,p1,'b','linewidth',2) > plot(x,p3,'g','linewidth',2) > hold off > axis([ ]) > legend('f(x)','p_1(x)','p_3(x)') Resultatet er vist i gur 4. c) f(x) = x, a = 1. Taylor-polynomene er P 1 (x) = (x 1) 2 P 2 (x) = (x 1) 1 (x 1)2 8 P 3 (x) = (x 1) 1 8 (x 1)2 + 1 (x 1)3 16 6

7 Figur 4: Svaret i oppg. 2a. Vi plotter: > clear all > hold off > x=0:1e-2:5; > f=sqrt(x); > P1=1+.5*(x-1); > P2=P1-1/8*(x-1).^2; > P3=P2+1/16*(x-1).^3; > plot(x,f,'k','linewidth',2) > hold on > plot(x,p1,'b','linewidth',2) > plot(x,p2,'r','linewidth',2) > plot(x,p3,'g','linewidth',2) > hold off > axis([ ]) > legend('f(x)','p_1(x)','p_2(x)','p_3(x)') Resultatet er vist i gur 5. d) f(x) = 1/x, a = 1. Taylor-polynom: I Octave skriver vi: P 1 (x) = 1 (x 1) = 2 x P 2 (x) = 2 x + (x 1) 2 P 3 (x) = 2 x + (x 1) 2 (x 1) 3 7

8 Figur 5: Svaret i oppg. 2c. > clear all > x=.1:1e-2:5; > f=1./x; > P1=2-x; > P2=P1+(x-1).^2; > P3=P2-(x-1).^3; > plot(x,f,'k','linewidth',2) > hold on > plot(x,p1,'b','linewidth',2) > plot(x,p2,'r','linewidth',2) > plot(x,p3,'g','linewidth',2) > hold off > axis([ ]) > legend('f(x)','p_1(x)','p_2(x)','p_3(x)') og får plottet vist i gur 6. Oppgave 3 Newtons metode a) Newtons metode kan implementeres slik: x0=1; Pres=1e-4; %Velger en x_0 %Bestemmer en ønsket nøyaktighet xgml=1e2; x=x0; %Initierer 'gammel x' og setter en høy verdi %Setter x lik x_0 8

9 Figur 6: Svaret i oppg. 2d. %While-løkke som kjører så lenge nøyaktigheten er større enn Pres while abs(xgml-x)>pres xgml=x; %Tilordner den forrige x-verdien til xgml x=xgml-(xgml-cos(xgml))/(1+sin(xgml)) %Renger ut ny x end Loesning=x %Skriver løsning til skjerm Her har vi valgt å starte med x 0 = 1, og vi krever en nøyaktighet på Vi kjører skriptet, som jeg har kalt NewtonsMetode.m: > NewtonsMetode x = x = x = Loesning = Ved å ikke avslutte linje 10 med et semikolon, får vi skrevet ut den nye x-verdien for hver iterasjon. Vi har funnet løsninga x = b) Selvsagt kan vi ganske enkelt telle hvor mange ganger x har blitt skrevet til skjerm for å nne antall iterasjoner; vi ser at dette var tre ganger i tilfellet rett over. Men vi kan også gjøre det litt mer elegant. Her har tre linjer blitt lagt til skriptet over (og vi har satt inn semikolonet som mangla over): x0=1; %Velger en x_0 9

10 Pres=1e-4; %Bestemmer en ønsket nøyaktighet xgml=1e2; x=x0; its=0; %Initierer 'gammel x' og setter en høy verdi %Setter x lik x_0 %its er antall iterasjoner, satt til 0 først %While-løkke som kjører så lenge nøyaktigheten er større enn Pres while abs(xgml-x)>pres xgml=x; %Tilordner den forrige x-verdien til xgml x=xgml-(xgml-cos(xgml))/(1+sin(xgml)); %Renger ut ny x its=its+1; %Teller antall iterasjoner end Loesning=x %Skriver løsning til skjerm Iterasjonar=its %Skriver antall iterasjoner til skjerm Om vi nå kjørere skritet om igjen, får vi: > NewtonsMetode Loesning = Iterasjonar = 3 Med Pres=1e-5, får vi > NewtonsMetode Loesning = Iterasjonar = 4 og med Pres=1e-10, får vi > NewtonsMetode Loesning = Iterasjonar = 5 Generelt behøver vi ere iterasjoner jo større nøyaktighet vi krever. Men en nøyaktighet på etter 5 iterasjoner er slett ikke ille! Om vi velger x 0 = 3π/2, vil metoden bryte sammen fordi f (x 0 ) = 0. I Octave ser feilmeldinga slik ut: > NewtonsMetode warning: division by zero Loesning = NaN Iterasjonar = 2 Man kan jo lure på hvorfor while-løkka har kjørt to ganger her. Noe svar får vi i alle fall ikke. Om vi velger x 0 nær 3π/2, for eksempel med x 0 = 4.7, og setter Pres til å være 10 4, får vi 10

11 Figur 7: Plottet viser f(x) (svart) sammen med tangenten for x 0 = 1 (rød) og for x 0 = 4.7 (blå). Vi ser at den røde tangenten skjærer x-aksen omtrent på det samme stedet som f(x) gjør det. Den blå tangenten, derimot, er nesten horisontal (f (4.7) 0). Skjæringspunktet mellom x-aksen og den blå tangenten vil ligge svært langt fra nullunktet for f(x), og Newtons metode vil konvergere sakte om den vil konvergere i det hele. > NewtonsMetode Loesning = Iterasjonar = 49 Her behøver vi altså hele 49 iterasjoner! Hva sjedde? Figur 7 er ment å illustrere dette. c) I løsningsforslaget til obligatorisk innlevering nummer 1, er det gitt ei implementering av halveringsmetoden som teller antall iterasjoner. Vi velger å bruke dette skriptet. For å kunne gjøre det, må vi lage ei funksjonsl for f(x). Siden f(0) < 0 og f(1) > 0, kan a=0 og b=1 være ok valg. Vi krever presisjonen 10 4, som over, noe som krevde 3 iterasjoner med Newtonse metode med x 0 = 1. Når vi kjører skriptet, som heter HalveringsMetoden.m, får vi: octave exe:277> HalveringsMetoden Venstre grense: 0 Hoeyre grense: 1 Noeyaktighet: 1e-4 Nullpunkt = Iterasjoner = 14 11

12 Vi behøver altså 14 iterasjoner for å komme fram til det samme som tok 3 iterasjoner med Newtons metode. Oppgave 4 Mer Newtons metode 3.4: 2 a) f(x) = x 3 + 3x + 9 f (x) = 3x > 0 for alle x. f( 2) = 5 < 0, f(0) = 9 > 0. Siden f er kontinuerlig må funksjonen da ha minst ett nullpunkt på intervallet [ 2, 0] ved skjæringssetninga. Siden f alltid er positiv, kan f heller ikke ere enn ett nullpunkt. Vi gjør noen små endringer på skriptet over: x0=-1; Pres=1e-4; xgml=1e2; x=x0; its=0; %Velger en x_0 %Bestemmer en ønsket nøyaktighet %Initierer 'gammel x' og setter en høy verdi %Setter x lik x_0 %its er antall iterasjoner, satt til 0 først %While-løkke som kjører så lenge nøyaktigheten er større enn Pres while abs(xgml-x)>pres xgml=x; %Tilordner den forrige x-verdien til xgml x=xgml-(xgml^3+3*xgml+9)/(3*xgml^2+3); %Renger ut ny x % x=xgml-(xgml-cos(xgml))/(1+sin(xgml)); %Renger ut ny x its=its+1; %Teller antall iterasjoner end Loesning=x %Skriver løsning til skjerm Iterasjonar=its %Skriver antall iterasjoner til skjerm I Octave får vi: octave exe:22> NewtonsMetode Loesning = Iterasjonar = 5 Altså: x b) f(x) = tan x x + 1, D f = ( π/2, π/2) f 1 (x) = cos 2 x 1 0 x 12

13 f(0) = 1 > 0, f( 1.5) 11.6 < 0 1. Som over, vil f ha ett og bare ett - nullpunkt ved skjæringssetninga og på grunn av at f er strengt økende. Vi lar x 0 være -1 og justerer linja inne i while-løkka til x=xgml-(tan(xgml)-xgml+1)/(1/(cos(xgml))^2-1); Octave gir > NewtonsMetode Loesning = Iterasjonar = 5 c) f(x) = x + sin x + 1 f (x) = 1 + cos x 0 x f( π/2) = π/ = (π/2 1) < 0, f(0) = 1 > 0. Av samme grunner som over, har f ett og bare ett nullpunkt. Dette nullpunktet vil ligge i intervallet [ π/2, 0]. Vi fortsetter å la x = 0 være -1 og justerer linja inni while-løkka til x=xgml-(xgml+sin(xgml)+1)/(1+cos(xgml)); Vi kjører skriptet vårt i Octave og får: octave exe:37> NewtonsMetode Loesning = Iterasjonar = 4 octave exe:38> x=loesning ; octave exe:39> x+sin(x)+1 ans = e-016 Her har vi også kontrollert at x + sin x + 1 faktisk er rimelig nære 0 for den x-verdien vi kom fram til. 3.4: 6 a) Skjæringspunktet nner vi ved løse likninga f(x) = g(x) x 3 = e x x 3 e x = 0 Den deriverte av høgre side er 3x 2 + e x. Vi velger x 0 = 0, endrer den nevnte linja i skriptet til 1 Her har vi ikke egentlig vist skikkelig at f( 1.5) < 0. 13

14 Figur 8: Plot av funksjonene f(x) = arctan x (blå) og g(x) = x + 1 (rød). x=xgml-(xgml^3-exp(-xgml))/(3*xgml^2+exp(-xgml)); b) og setter parameteren Pres til , siden vi skal nne svaret med tre riktige desimaler. I Octave får vi svaret x = etter 5 iterasjoner. Den deriverte av høgre side er f(x) = g(x) arctan x = x + 1 arctan x x 1 = x 2 1. For å få en viss idé om hvilken x 0 det kan være lurt å velge, plotter vi f og g se gur 8. Skjæringspunktet ser ut til å ha x-verdi nær -2, så vi velger dette som x 0. Vi endrer den nevnte linja i skriptet til x=xgml-(atan(xgml)-xgml-1)/(1/(1+xgml^2)-1); og beholder valgene av x 0 og nøyatighet fra deloppgave a. Vi får svaret x = etter 3 iterasjoner. 14