BYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 37 og 38
|
|
|
- Sigurd Eggen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 37 og 38 Oppgave 1 Funksjoner og tangenter 2.1: 15 a) f(x) = x 2 f(2) = 2 2 = 4 f (x) = 2x f (2) = 2 2 = 4 Likninga for tangenten kan vi nne ved formelen y y 0 = a(x x 0 ), der a er stigningsallet til linja og (x 0, y 0 ) er et punkt på linja. Vi får: y 4 = 4(x 2) y = 4x 4. Grafen til f og tangenten i (2, 4) er tegna i gur 1. Dem er laga på denne måten i Octave: octave exe:8> x=-3:.1:3; octave exe:9> y=x.^2; octave exe:10> tang=4*x-4; octave exe:11> plot(x,y) octave exe:12> hold on octave exe:13> plot(x,tang,'r') octave exe:14> hold off octave exe:15> axis([ ]) 2.1: 15 b) Likning for tangent: f(x) = 1 + x 2 f(2) = = 5 f (x) = x (1 + 2 x2 ) = f (2) = 2 = x 1 + x 2 y 5 = 2 5 (x 2) y = 2 5 x
2 Figur 1: Plott for oppg. 2.1: 1 a). I Octave vel vi å plotte for x [ 2, 3]: octave exe:27> x=-2:.1:5; octave exe:28> y=sqrt(1+x.^2); octave exe:29> tang=2/sqrt(5)*x+1/sqrt(5); octave exe:30> plot(x,y) octave exe:31> hold on octave exe:32> plot(x,tang,'r') octave exe:33> hold off Grafen til f og tangenten er vist i gur 2 2.1: 15 c) f(x) = ln x f(2) = ln 2 f (x) = 1 x f (2) = 1 2 Likning for tangenten: y ln 2 = 1/2 (x 2) y = x/2 1 + ln 2. Vi plotter: octave exe:35> x=.1:1e-2:4; octave exe:36> y=log(x); octave exe:37> tang=.5*x-1+log(2); octave exe:38> plot(x,y) 2
3 Figur 2: Plott for oppg. 2.1: 1 b) octave exe:39> hold off octave exe:40> plot(x,y) octave exe:41> hold on octave exe:42> plot(x,tang,'r') octave exe:43> hold off Resultatet er vist i gur 3 Figur 3: Plott for oppg. 2.1: 1 c) 3
4 2.1: 15 d) f(x) = e x/2 f(2) = e 2/2 = e ( x ) f (x) = e x/2 1 = 2 2 ex/2 f (2) = e 2 Tangent: y e = e/2 (x 2) y = e/2 x. Plottet er vist i gur 4 og laget slik: octave exe:47> x=-2:.1:4; octave exe:48> y=exp(x/2); octave exe:49> tang=e/2*x; octave exe:50> plot(x,y) octave exe:51> hold on octave exe:52> plot(x,tang,'r') octave exe:53> hold off Figur 4: Plott for oppg. 2.1: 1 d) Oppgave 2 Numerisk derivasjon a) Jeg har valgt med denne funksjonen: f(x) = sin x 2. 4
5 b) f (x) = cos x 2 (x 2 ) = 2x cos x 2. Jeg velger a = 1 og får at f (a) = f (1) = 2 cos 1. c) Det vil være nyttig å lage ei funksjonsl for funksjonen vår: function F=FunkTilOppg2(x) % Funksjonen f(x) = sin x^2. Funksjonen tar vektor-argument F=sin(x.^2); Jeg har valgt å kalle denne FunkTilOppg2.m. Vi regner ut gjennomsnittlig vekstrate for noen verdier av h: octave exe:57> clear all octave exe:58> h=1; octave exe:59> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = octave exe:60> h=.5; octave exe:61> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = octave exe:62> h=.1; octave exe:63> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = octave exe:64> h=.05; octave exe:65> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = octave exe:66> h=1e-2; octave exe:67> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = octave exe:68> h=1e-3; octave exe:69> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = octave exe:70> h=1e-4; octave exe:71> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = I følge Octave er f (1) = 2 cos , så vi begynner å nære oss. d) Vi gjentar det vi nettop gjore med bakover-formelen: octave exe:75> h=1; octave exe:76> Rate=(FunkTilOppg2(1)-FunkTilOppg2(1-h))/h Rate = octave exe:77> h=.5; octave exe:78> Rate=(FunkTilOppg2(1)-FunkTilOppg2(1-h))/h 5
6 Rate = octave exe:79> h=.1; octave exe:80> Rate=(FunkTilOppg2(1)-FunkTilOppg2(1-h))/h Rate = octave exe:81> h=.05; octave exe:82> Rate=(FunkTilOppg2(1)-FunkTilOppg2(1-h))/h Rate = octave exe:83> h=1e-2; octave exe:84> Rate=(FunkTilOppg2(1)-FunkTilOppg2(1-h))/h Rate = octave exe:85> h=1e-3; octave exe:86> Rate=(FunkTilOppg2(1)-FunkTilOppg2(1-h))/h Rate = octave exe:87> h=1e-4; octave exe:88> Rate=(FunkTilOppg2(1)-FunkTilOppg2(1-h))/h Rate = e) Gjennomsnittet blir ( 1 f(a + h) f(a) + 2 h f(a + h) f(a h) 2h Altså: f (a) ) f(a) f(a h) f(a + h) f(a) + f(a) f(a h) = = h 2h f(a + h) f(a h) 2h når h er passe liten. (Vi skal ikke problematisere hva vi mener med passe liten her.) Legg merke til at dette f (a)-estimatet er helt uavhengig av f(a). f) Vi gjentar prosedyren fra c) og d) med denne nye formelen: octave exe:90> h=1; octave exe:91> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1-h))/2/h Rate = octave exe:92> h=.5; octave exe:93> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1-h))/2/h Rate = octave exe:94> h=.1; octave exe:95> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1-h))/2/h Rate = octave exe:96> h=.05; octave exe:97> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1-h))/2/h Rate = octave exe:98> h=1e-2; octave exe:99> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1-h))/2/h Rate =
7 octave exe:100> h=1e-3; octave exe:101> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1-h))/2/h Rate = octave exe:102> h=1e-4; octave exe:103> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1-h))/2/h Rate = Det ser ut til at vi nærmer oss riktig verdi for f (a) raskere på denne måten; for h = 10 3 ser vi faktisk ikke forskjell med det antallet desimaler som blir skrevet til skjerm. (Octave opererer med langt ere desimaler egentlig; om du vil ha ere desimaler skrevet til skjerm, kan du skrive 'format long'.) g) Vi kan lage en h-vektor som blir mindre og mindre ved å starte på 1 og så dele på to igjen og igjen. Dette kan vi gjøre slik i Octave: octave exe:4> n=0:5; octave exe:5> hvekt=.5.^n hvekt = Vi lager vektorer som beregner f (a) ut fra de tre metodene over: DerivFram=(FunkTilOppg2(1+hVekt)-FunkTilOppg2(1))./hVekt; DerivBak=(FunkTilOppg2(1)-FunkTilOppg2(1-hVekt))./hVekt; DerivMidt=(FunkTilOppg2(1+hVekt)-FunkTilOppg2(1-hVekt))./(2*hVekt); Vi plotter feilen i estimatet ved hjelp av semilogx-kommandoen: octave exe:79> DerivFasit=2*cos(1) DerivFasit = octave exe:80> semilogx(hvekt,derivfram-derivfasit,'b') octave exe:81> hold on octave exe:82> semilogx(hvekt,derivbak-derivfasit,'r') octave exe:83> semilogx(hvekt,derivmidt-derivfasit,'g') octave exe:84> hold off octave exe:85> legend('forover-formel','bakover-formel','midtpunktsformel') octave exe:86> axis([ ]) octave exe:87> print -dpng DerivKonvergens.png Langs y-aksen har vi her dieransen mellom derivasjons-estimatet og den riktige verdien for den deriverte. Vi ser i gur 5 at alle tre metodene gir et estimat med en feil som ser ut til å gå mot 0 når h blir mindre og mindre. Men plottet for midtpunktsformelen ser ut til å gå mot null raskest. (Her er det nok enklest å lese plottet fra høgre mot venstre.) 7
8 Figur 5: Plott som viser feilen i ulike estimat for f (a) som funksjon av h. Plottet er semi-logaritmisk. Den blå kurva tilsvarer forover-formelen, den røde tilsvarer bakover-formelen og den grønne er midtpunktsformelen. Se tekst for detaljer. h) Maskinpresisjonen nner vi slik: octave exe:31> eps ans = e-016 Dette er jo et veldig lite tall, men det er ikke null. Vi velger noen veldig små verdier for h og bergener den deriverte med forover-formelen: octave exe:60> DerivFasit=2*cos(1) DerivFasit = octave exe:61> h=1e-13; octave exe:62> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = octave exe:63> h=1e-14; 8
9 octave exe:64> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = octave exe:65> h=1e-15; octave exe:66> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = octave exe:67> h=5e-16; octave exe:68> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = octave exe:69> h=1e-16 h = e-016 octave exe:70> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = 0 octave exe:71> h=5e-17; octave exe:72> Rate=(FunkTilOppg2(1+h)-FunkTilOppg2(1))/h Rate = 0 Nå ser vi faktisk at jo mindre h blir, jo dårligere estimat får vi for f (a). Her ser vi en vesens-forskjell mellom numeriske metoder og analytisk matematikk; matematisk skal (f(x+h) f(x))/h f (a) vilkårsløst nærme seg 0 når h nærmer seg 0 (dersom f er deriverbar i x = a), mens numerisk sett, blir den deriverte best estimert med en liten - men endeleig - h. Dette skyldes at datamaskiner har en nedre grense for hvor små tall den kan skille fra hverandre. I gur 6 har vi plotta feilen i de tre ulike måtene å estimere f (1) på for et veldig stort område av h-verdier. Her er både x- og y-aksen logaritmiske. Vi ser at det alle beste estimatet får vi med midtpunktsformelen for h Oppgave 3 Den deriverte fra en tabell Her tar vi utgangspunkt i oppg. 2.1: 15 i læreboka. a) Plottet kan lages slik: octave exe:121> Aar=1900:10:2000; octave exe:121> Bef=[ ]; octave exe:123> plot(aar,bef) octave exe:124> xlabel('aar') octave exe:125> ylabel('befolkning') og resultatet kan sees i gur 7. b) Vi lar B(t) være antall millioner mennesker i verden i år t. Om vi bruker formelen fra 2 c) kan vi for eksempel estimere B(1910) slik B (1910) B(1920) B(1900) = B( ) B( ) 2 10.
10 Figur 6: Feilen i de ulike estimatene for f (a) for h-verdier fra 1 ned mot
11 Figur 7: Verdens befolkning i antall millioner som funksjon av årstall. I Octave får vi: octave exe:128> (Bef(3)-Bef(1))/(Aar(3)-Aar(1)) ans = Altså, i år 1910 vokste jordas befolkning med ca 10.5 millioner mennesker per år. For de andre årene får vi B (1920) 16, B (1930) 22, B (1940) 22.5, B (1950) 36, B (1960) 59, B (1970) 71.5, B (1980) 80 og B (1990) c) Siden vi ikke har B(1890), kan vi ikke bruke midpunktsformelen for å estimere B (1900). På samme måte er vi ute at stand til bruke midpunktsformelen for å nne B (2000) siden vi ikke har fått oppgitt B(2010). Derimot kan vi bruke forover- og bakover-formlene: B (1900) B (2000) B(1910) B(1900) B(2000) B(1990) = 10 = 82.3 d) Alle de estimatene vi har regna ut her, kan gjøres i ett jafs med dette skriptet: % Vektor med årstall: 11
12 Aar=1900:10:2000; % Vektor med befolkning: Bef=[ ]; % Bestemmer lengda av Aar og tilordner dette tallet til N: N=length(Aar); for n=1:n if n==1 % For det første punktet Bderiv(n)=(Bef(n+1)-Bef(n))/(Aar(n+1)-Aar(n)); % Forover-formel elseif n==n % For det siste punktet Bderiv(n)=(Bef(n)-Bef(n-1))/(Aar(n)-Aar(n-1)); % Bakover-formel else % For alle andre punkt Bderiv(n)=(Bef(n+1)-Bef(n-1))/(Aar(n+1)-Aar(n-1)); % Midtpunktsformel end end % Skriver estimatene for de deriverte til skjerm: Bderiv Jeg har kalt skriptet BefDeriv.m. Vi kjører det i Octave: octave exe:150> BefDeriv Bderiv = Columns 1 through 8: Columns 9 through 11: d) Plottet vi får opp når vi skriver plot(aar,bderiv) i Octave, er vist i gur 8. e) Den prosentvise veksten, altså vekst i forhold til foketall, er gitt ved B (t)/b(t) 100%. Dette kan plottes i Octave slik: plot(aar,bderiv./bef*100). Resultatet er vist i gur 9. Vi ser at tilveksten har variert fra 0.6% til opp mot 2% gjennom det forrige århundret. Heldigvis er også den prosentvise tilveksten avtakende mot slutten. 12
13 Figur 8: Tilnærma årlig tilvekst i verdens befolkning som funksjon av årstall. Figur 9: Tilnærma årlig prosentvis tilvekst i verdens befolkning som funksjon av årstall. 13
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Funksjoner og tangenter a) Vi plotter grafen med et rutenett: >> x=-3:.1:3; >> y=x.^2; >> plot(x,y) >> grid on >> axis([-2
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Løsningsforslag Oppgave 1 Numerisk derivasjon a) Vi kan for eksempel velge denne funksjonen: f(x) = sin x 2. Vi bruker kjerneregelen når vi deriverer:
Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Funksjoner og tangenter 2.1: 15 a) Vi plotter grafen med et rutenett: > x=-3:.1:3; > y=x.^2; > plot(x,y) > grid on > axis([-2
Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 11 Eulers metode Løsningsforslag Oppgave 1 Samanlikning med analytisk løsning y = 3 2 x y, y(0) = 1. a) Kandidat til løsning: y = e x3/2. Vi deriverer
Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Numerisk derivasjon
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Numerisk derivasjon Vi skal se at der er ere måte å regne ut deriverte på i tillegg til de derivasjonsreglene vi kjenner fra før Men ikke alle måtene
Løsningsforslag. Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3.
Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 a) ln a ln 3 a+ln 4 a = ln a 1/2 ln a 1/3 +ln a 1/4 = 1 2 ln a 1 3
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 35
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 35 Oppgave 1 Halveringsmetoden a) x = cos x x cos x = 0 eller f(x) = 0 med f(x) = x cos x b) f(0) = 0 cos 0 = 1 < 0 og f(π/2) = π/2 cos(π/2) = π/2 > 0. f(x)
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 40
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 40 Løsningsforlsag Oppgave 1 Lagring og innlesing av data a) Dersom vi skriver save Filnavn, blir alle variable vi har lagra til ei l som heter 'Filnavn'.
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver veke 14
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver veke 14 Løysingsforslag Oppgave 1 Samanlikning med analytisk løysing y = 3 2 x y, y(0) = 1. a) Dierensiallikninga er separabel: dy dx = 3 x y 2 dy = 3 x dx y
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 34
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 34 I denne øvinga skal vi først og fremst lære oss å lage plott i Octave. I tillegg skal vi lære oss hvordan vi manøvrerer oss omkring i ulike kataloger.
Høgskolen i Oslo og Akershus. i=1
Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 2 Innleveringsfrist: 19. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 2 Løsningsforslag Oppgave 1 a) Skriptet starter med å la Sum være 0, så blir det for hver iterasjon
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9. Løsningsforslag
Matematikk 000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 9 Løsningsforslag Oppgave Integral som en sum av rektangler a) 3 f(x) dx = 3 x 3 dx = [ ] 3 3 + x3+ = [ x 4 ] 3 4 = 34 = 20. 4 b) 0.5 f() + 0.5 f(.5) +
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Summer og for-løkker a) 10 i=1 i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 + 9 2 + 10 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Litt oppsummering undervegs Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon Litt oppsummering undervegs Løsningsforslag Oppgave 1 Et skjæringspunkt f(x) = x e x g(x) = 1 arctan x. a) Vi kan lage plottet slik i kommando-vinduet:
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Løsningsforslag Oppgave 1 Halveringsmetoden igjen a) I skriptet vårt fra leksjon 6 skal altså linje 16 erstattes med while abs(b-a)>1e-3. Når vi gjør
Matematikk 1000. Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver
Matematikk 1000 Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver Som kj er numeriske metodar ein sentral del av dette kurset. Dette vil også sette preg på eksamen. Men vi kjem ikkje til å bruke datamaskin på sjølve
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 4 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 4 Løsningsforslag Oppgave 1 Funksjonsler b) Kommandoen ` help FunksjonenMin' gjør at dette blir skrevet til skjerm: Funksjonen f(x)=sin(x) - x^. Funksjonen
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag Oppgave 1 Summer og for-løkker a) 10 i=1 i = 1 + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 1 + 4 + 9 + 16 + 5 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385.
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Å lage et plott a) Vi kan tilordne vektoren slik i kommandovinduet: ` x=0:.1:7*pi;' Legg merke til at det ikke er opplagt hvordan
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Tredjegradslikninga a) Vi viser her hvordan det kan gjøres både som funksjonsl og som skript. Vi starter med funksjonla: 1
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 43
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 43 Oppgave 1 Riemann-summer med regulære partisjoner a) Vi velger oss f(x) = x 2 + e x, a = 1 og b = 1. Integralet blir b a f(x) dx = 1 1 ( x 2 + e x) dx
Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Flo og fjære a) >> x=0:.1:24; >> y=3.2*sin(pi/6*(x-3)); Disse linjene burde vel være forståelige nå. >> plot(x,y,'linewidth',3)
Løsningsforslag. Innlevering i BYFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 10. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 6. Oppgave 1
Innlevering i BYFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 10. oktober klokka 14:00 Antall oppgaver: 6 Løsningsforslag Oppgave 1 x 1 +6x +x 3 = 8 x 1 +3x = 3x 1 +9x +x 3 = 10. a) Totalmatrise: 6 1 8 1 3
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag Oppgave 1 Hva gjør disse skriptene? a) Skriptet lager plottet vi ser i gur 1. Figur 1: Plott fra oppgave 1 a). b) Om vi endrer skriptet
Matematikk Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 4 Intervallhalveringsmetoden med mer Løsningsforslag Oppgave 1 Fakultetfunksjonen a) I forrige leksjon så vi hvordan vi kan bruke for-løkker til å utføre
Løsningsforslag. Innlevering i BYFE 1000 Oppgavesett 4 Innleveringsfrist:??? klokka 14:00 Antall oppgaver: 5, 20 deloppgaver.
Innlevering i BYFE Oppgavesett 4 Innleveringsfrist:??? klokka 4: Antall oppgaver: 5, deloppgaver Løsningsforslag Oppgave a) ln π e x cos e x ) dx Variabelbytte: u e x, du dx ex, dx e du. x Nye grenser:
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon Løsningsforslag Oppgave 1 Summer og for-løkker a) 10 i=1 i = 1 + + 3 + 4 + + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 1 + 4 + 9 + 16 + + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 38. c) I
Løsningsforslag. Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 5 Innleveringsfrist: 15. april klokka 14:00 Antall oppgaver: 3.
Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 5 Innleveringsfrist: 15. april klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 a) I hver forgrening må summen av det som renner inn og det som renner
Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Skript
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Skript I denne øvinga skal vi lære oss mer om skript. Et skript kan vi se på som et lite program altså en sekvens av kommandoer. Til sist skal vi se
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 Løsningsforslag a) x = cos x x cos x = 0 eller f(x) = 0 med f(x) = x cos x b) f(0) = 0 cos 0 = 1 < 0 og f(π/2) = π/2 cos(π/2) = π/2 > 0. f(x) er en elementær
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 4 m-ler
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 4 m-ler I denne øvinga skal vi lære oss å lage m-ler små tekstler som vi bruker i MATLAB-sammenheng. Der nst to typer m-ler: Funksjonsler og skript. Funksjonsler
Løsningsforslag. Innlevering i FO929A - Matematikk Obligatorisk innlevering nr. 8 Innleveringsfrist 15. april 2011 kl Antall oppgaver: 4
Innlevering i FO99A - Matematikk Obligatorisk innlevering nr. 8 Innleveringsfrist 5. aril kl. 5. Antall ogaver: 4 Løsningsforslag Ogave Beregn disse ubestemte integralene a 5 cos3t dt 5 3 sin3t + C 5 sin3t
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 2 Funksjoner og plotting
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 2 Funksjoner og plotting I denne øvinga skal vi først og fremst lære oss å lage plott i MATLAB. I tillegg skal vi lære oss hvordan vi manøvrerer oss omkring
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 for-løkker
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 for-løkker I dette settet skal vi introdusere for-løkker. Først vil vi bruke for-løkker til å regne ut summer. Vi skal også se på hvordan vi kan implementere
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Løsningsforslag Oppgave 1 Mange rektangler (og noen trapeser) n 1 V n = hf(x i ) med h = (b a)/n og x i = a + ih. i=0 a) Det grønne området i guren til
Høgskolen i Oslo og Akershus. sin 2 x cos 2 x = 0, x [0, 2π) 1 cos 2 x cos 2 x = 0 2 cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 2 1 2
Innlevering i DAFE/ELFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 31. januar klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Løs disse likningene ved regning, og oppgi svarene eksakt: a) Vi kan for
Løsningsforslag. og B =
Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
Løsningsforslag. og B =
Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og
Forkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
Løsningsforslag for eksamen i AA6516 Matematikk 2MX - 4. desember eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for eksamen i AA6516 Matematikk 2MX - 4. desember 2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det
Matematikk 1000. Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Funksjoner og plotting
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Funksjoner og plotting I denne øvinga skal vi først og fremst lære oss å lage plott i MATLAB. Ellers minner vi om at der er mange MATLAB-ressurser tilgjengelig.
Høgskolen i Oslo og Akershus. = 2xe 2x + x 2 e 2x (2x) = 2xe 2x + 2x 2 e 2x = 2xe 2x (1 + x) e 2x + x 2 ( e 2x) 1 sin x (sin x) + 2x = cos x
Oppgåve a) i) ii) f(x) x e x f (x) ( x ) e x + x ( e x) xe x + x e x (x) xe x + x e x xe x ( + x) g(x) ln(sin x) + x g (x) sin x (sin x) + x cos x sin x + x tan x + x b) i) ( x + ) dx x x dx+ x dx x +
Høgskolen i Oslo og Akershus. 1 (x 2 + 1) 1/2 + x 1 2 (x2 + 1) 1/2 (x 2 + 1) = x 2x 2 x = = 3 ln x sin x
Løysingsforslag til eksamen i matematikk, mai 4 Oppgåve a) i) ii) f(x) x x + x(x + ) / ( f (x) x (x + ) / + x (x + ) /) g(x) ln x sin x x (x + ) / + x (x + ) / (x + ) x + + x x x + x + + x x + x + x +
Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
![Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3](/thumbs/55/37240043.jpg "Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3")
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
Løsningsforslag AA6526 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 2006. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA656 Matematikk 3MX Privatister 3. mai 006 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikkeksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned
MAT 1110: Obligatorisk oppgave 1, V-07: Løsningsforslag
1 MAT 111: Obligatorisk oppgave 1, V-7: Løsningsforslag Oppgave 1. a) Vi deriverer på vanlig måte: ( e (sinh x) x e x ) = = ex + e x = cosh x, ( e (cosh x) x + e x ) = = ex e x = sinh x Enkel algebra gir
Noen MATLAB-koder. 1 Plotte en vanlig funksjon. Fredrik Meyer. 23. april 2013
Noen MATLAB-koder Fredrik Meyer 23. april 2013 1 Plotte en vanlig funksjon Anta at f : [a, b] R er en vanlig funksjon. La for eksempel f(x) = sin x+x for x i intervallet [2, 5]. Da kan vi bruke følgende
Matematikk 1000, 2012/2013. Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver
Matematikk 1, 1/13 Eksamensaktuelle numerikk-oppgåver Oppgåve 1 Skript-jeopardy a) Vi ser at skriptet inneheld ei for-løkke der variabelen n tar verdiane 1,,..., 1. For kvar gong blir n 3 lagt til variabelen
Matematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 30. august 2011 Kapittel 3.3. Enringsrate 3 Enrings rate hastighet og akselersjon Definisjon Hvis s(t) er
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 15. april 2016 kl 14 Antall oppgaver: 8
Innlevering BYFE DAFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 5 Innleveringsfrist Fredag 5. april 6 kl Antall oppgaver: 8 Funksjonen ft) er vist i guren over. Funksjonen F x) er denert som for x. F x)
Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA
Løsningsforslag Eksamen 3MX - AA654-04.06.007 eksamensoppgaver.org September 0, 008 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 3MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
Prøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og
Høgskolen i Oslo og Akershus. c) Et annet likningssystem er gitt som. t Bestem parametrene s og t slik at likningssystemet blir inkonsistent.
Innlevering i BYFE 000 Oppgavesett Innleveringsfrist: 0 oktober klokka :00 Antall oppgaver: 6 Noen av disse oppgavene løses ved hjelp av papir blyant, mens andre oppgaver løses ved hjelp av MATLAB til
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 8 Løsningsforslag Oppgave 1 Riemann-summer a) b) f(x) = 1/x P = {1, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 2} S = {6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 2} (x i = x i ) Her kan partisjon og
IR Matematikk 1. Utsatt Eksamen 8. juni 2012 Eksamenstid 4 timer
Utsatt Eksamen 8. juni 212 Eksamenstid 4 timer IR1185 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del 2 uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare
EKSAMEN I MATEMATIKK 1000
EKSAMEN I MATEMATIKK 1000 Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: f(x) = x 3 e 5x og g(x) = ln(tan(x)) + x 3. b) Finn de følgende ubestemte integralene: i) (x 3 + xe x2 ) dx og ii) cos 2
Høgskolen i Oslo og Akershus. a) Finn den deriverte av disse funksjonene: b) Finn disse ubestemte integralene: c) Finn disse bestemte integralene:
Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: i) f(x) = x x 2 + 1 ii) g(x) = ln x sin x x 2 b) Finn disse ubestemte integralene: i) (2x + ) dx ii) 6 cos(x) sin 5 (x) dx c) Finn disse bestemte integralene:
Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA mai 2006
Løsningsforslag Matematikk 2MX - AA6516-3. mai 2006 eksamensoppgaver.org September 21, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
1 Mandag 22. februar 2010
1 Mandag 22. februar 2010 Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen. Videre skal vi se på en variant
a) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =
Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Mandag 12. oktober 2015 før forelesningen 12:30 Antall oppgaver: 7 + 3 Løsningsforslag 1 Deriver de følgende
IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
Løsningsforslag AA6524 Matematikk 3MX Elever 7. juni eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA654 Matematikk MX Elever 7. juni 004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 1 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 1 Løsningsforslag Oppgave 2 Litt aritmetikk a) Her har vi skrevet ut det som kommer opp i kommandovinduet når vi utfører operasjonene. >> 2+2 4 >> -2 1
Prøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark
Prøve i Matte ELFE KJFE MAFE Dato: 2. desember 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 3 5 og B = [ 5 7 2 ] Regn
MAT feb feb mars 2010 MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 22. februar 2010 Forelesning Vi begynner med litt repetisjon fra forrige gang, med å sjekke om et vektorfelt er konservativt og dersom svaret er ja, regne ut potensialfunksjonen.
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2014
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA Grunnkurs i analyse II Vår 4 Løsningsforslag Øving 9 7.3.b Med f() = tan +, så er f () = cos () på intervallet ( π/, π/).
e x = 1 + x + x2 2 + R 2(x), = e 3! ( 1) n x n = n! n=0 y n+1 = y 0 + f(t, y n (t)) dt 1 dt = 1 + x (1 + t) dt = 1 + x x2
NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving 2 Avsnitt 8.9 23 Ved Taylors formel (med a = 0) har vi at der R 2 (x) = f (n+) (c) (n+)! e x = + x + x2 2 + R 2(x),
MAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V Løsningsforslag
MAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V-2015 Oppgave 1: a) Vi har Av 1 = ( 4 6 6 1 Løsningsforslag ) ( 3 2 ) = ( 24 16 ) = 8v 1, så v 1 er en egenvektor med egenverdi 8. Tilsvarende er ( ) ( ) ( ) 4 6 2 10
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Skript
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Skript I denne øvinga skal vi lære oss å lage skript. Et skript kan vi se på som et lite program altså en sekvens av kommandoer. Dette er noe vi kommer
Eksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave
Løsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
UNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
eksamensoppgaver.org x = x = x lg(10) = lg(350) x = lg(350) 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor
eksamensoppgaver.org 5 oppgave1 a.i.1) 2 10 x = 700 10 x = 700 2 x lg(10) = lg(350) x = lg(350) a.i.2) Vibrukerfortegnsskjema 5 x x + 1 > 0 Avfortegnsskjemaetkanvileseatulikhetenstemmerfor x 1, 5 a.ii.1)
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24
Eksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for eksamen i VG1340 Matematikk 1MX - 02.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 1MX er gratis, og det er lastet
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013. Numerikkoppgaver uke 33
BYFE/EMFE 1000, 2012/2013 Numerikkoppgaver uke 33 Oppgave 2 Litt aritmetikk a) Her har vi skrevet ut det som kommer opp i Octave-vinduet når vi utfører operasjonene. octave-3.2.4.exe:9> 2+2 4 octave-3.2.4.exe:10>
Løsningsforslag. f(x) = 2/x + 12x
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: august 212 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (2 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA6526 16.05.2008. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag for Eksamen i Matematikk 3MX - Privatister - AA656 16.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for eksamen i matematikke 3MX er gratis, og
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 1. Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 1 Løsningsforslag Oppgave 2 Litt aritmetikk a) Her har vi skrevet ut det som kommer opp i kommandovinduet når vi utfører operasjonene. > 2+2 4 > 3-2 1
MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019 10.2.27 a) Vi skal vise at u + v 2 = u 2 + 2u v + v 2. (1) Som boka nevner på side 581,
Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX Privatister 10. desember 2003. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6516 Matematikk MX Privatister 10. desember 003 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i MX er gratis, og det er lastet
Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon, språk og stil variere noe fra oppgave til oppgave.
NTNU Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk, øving 7, vår 011 Løsningsforslag Notasjon og merknader Som vanlig er enkelte oppgaver kopiert fra tidligere års løsningsforslag. Derfor kan notasjon,
Enkel matematikk for økonomer. Del 1 nødvendig bakgrunn. Parenteser og brøker
Vedlegg Enkel matematikk for økonomer I dette vedlegget går vi gjennom noen grunnleggende regneregler som brukes i boka. Del går gjennom de helt nødvendige matematikk-kunnskapene. Dette må du jobbe med
eksamensoppgaver.org 4 2e x = 7 e x = 7 2 ln e x = ln 2 x = ln 7 ln 2 ln x 2 ln x = 2 2 ln x ln x = 2 ln x = 2 x = e 2
eksamensoppgaver.org 4 oppgave a..i) e x = 7 e x = 7 ( ) 7 ln e x = ln x = ln 7 ln a..ii) ln x ln x = ln x ln x = ln x = x = e a..i) cos x =.8 x [, 6 ] x = arccos(.8) x 6.9 x 6 6.9 x 6.9 x. a..ii) Løserdennemedabc-formelen
n=0 n=1 n + 1 Vi får derfor at summen er lik 1/2. c)
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 204 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
2 = 4 x = x = 3000 x 5 = = 3125 x = = 5
Heldagsprøve i FO99A matematikk Dato: 7. desember 010 Tidspunkt: 09:00 14:00 Antall oppgaver 4 Vedlegg: Formelsamling Tillatte hjelpemidler: Godkjent kalkulator Alle svar skal grunngis. Forsøk å gi svarene
Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 5. mai 2004 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
oppgave1 a.i) a.ii) 2x 3 = x 3 kvadrerer 2x 3=(x 3) 2 2x 3 = x 2 6x + 9 x 2 8x +12=0 abcformelen x = ( 8) ± ( 8)
4 oppgave1 a.i) x = x kvadrerer abcformelen x =(x ) x = x 6x + 9 x 8x +1=0 x = ( 8) ± ( 8) 4 1 1 1 x = 8 ± 4 x 1 = x = 6 Kontrollerersvarenevedåsetteprøve.Førstfor x 1 () = 1=1 og x 6 =6 9= Beggeløsningeneer`ekte`.
Deleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7
Løsningsforslag til Obligatorisk innlevering 7 Oppgave a) Likningen e 2x 6e x + 5 = 0 er en annengradslikning i e x. Siden ( ) ( 5) = 5 og 5 = 6 så faktoriserer annengradsuttrykket som (e x 5)(e x ). Dette
Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005. eksamensoppgaver.org
Løsningsforslag AA6516 Matematikk 2MX - 07. desember 2005 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2MX er gratis, og det er lastet ned
Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015
Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8
være en rasjonal funksjon med grad p < grad q. La oss skrive p(x) (x a)q(x) = A
MA 4: Analyse Uke 46, http://homehiano/ aasvaldl/ma4 H Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave 73: Først skal vi delbrøkoppspalte (se Eksempel 5 side 558 i boka) 3t
Matematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Funksjoner og plotting
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 3 Funksjoner og plotting Som du sikkert vet, nnes det mye programvare som kan plotte funksjoner for eksempel GeoGebra og Desmos. Selvsagt vil vi ikke på
Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA0002 Brukerkurs i matematikk B - LØSNING Faglig kontakt under eksamen: Frode Rønning Tlf: 95 21 81 38 Eksamensdato: 7. august 2017 Eksamenstid (fra til):