Abelprisvinner L-funksjoner Kjempers skuldre Galois Frobenius Artin Wiles. Årets Abel-pris Robert Langlands

Transkript

1 Årets Abel-pris Robert Langlands

2 L for Langlands L-funksjoner

3 L for Langlands L-funksjoner L for L-funksjoner

4 L for Langlands L-funksjoner L for L-funksjoner L-funksjoner er spesielle funksjoner av typen L(s) = a n /n s n=0

5 Tallteori Mye tåke, noen vakre men utilgjengelige topper. Møter L-funksjoner på vei til topps

6 Alle L-funksjoners mor Riemanns ζ-funksjon ζ(s) = 1 + 1/2 s + 1/3 s + 1/4 s +... for Re s > 1

7 Alle L-funksjoners mor Riemanns ζ-funksjon ζ(s) = 1 + 1/2 s + 1/3 s + 1/4 s +... for Re s > 1 Euler-produkt ζ(s) = p 1 (1 p s ) = (1 1/2s ) 1 (1 1/3 s ) 1...

8 Alle L-funksjoners mor Riemanns ζ-funksjon ζ(s) = 1 + 1/2 s + 1/3 s + 1/4 s +... for Re s > 1 Euler-produkt ζ(s) = p 1 (1 p s ) = (1 1/2s ) 1 (1 1/3 s ) 1... Analytisk forlengelse til hele det komplekse tallplanet C, men med en enkel pol i s = 1

9 Alle L-funksjoners mor

10 Alle L-funksjoners mor Reell faktor og funksjonalligning: ξ(s) = π s Γ(s/2)ζ(s) ξ(1 s) = ξ(s)

11 Gamma-funksjonen Γ(s + 1) = sγ(s) Γ(1) = 1

12 Et sidesprang: Harald Bohr To mål mot Frankrike i semifinalen i London-OL 1908 Bohr-Landau teoremet og Bohr-Mollerup teoremet

13 To tinder Langlands under verdenskongressen i Helsinki 1978: There are two kinds of L-functions, and they will be described below: motivic L-functions which generalize the Artin L-functions and are defined purely arithmetically, and automorphic L-functions, defined by data which are largely transcendental.

17 To tinder

18 To tinder Automorfe representasjoner Galois representasjoner Knyttet til Fourier-analyse Knyttet til virkninger av Galois-grupper

19 To tinder Automorfe representasjoner Galois representasjoner Knyttet til Fourier-analyse Knyttet til virkninger av Galois-grupper Med samme L-funksjon!!

20 På kjempers skuldre Langlands program er en kjempemessige veibeskrivelse for tallteoriens utvikling en naturlig fortsettelse av en lang og kjempemessige historie.

21 André Weil André Weil og Atle Selberg i Oberwohlfach

22 Evariste Galois Galois gruppen til et polynom permuterer røttene men lar koeffisientene i ro.

23 Evariste Galois Galois gruppen til et polynom permuterer røttene men lar koeffisientene i ro. x = (x i 3)(x + i 3) G har to elementer, identiteten og kompleks konjugasjon.

24 Evariste Galois Galois gruppen til et polynom permuterer røttene men lar koeffisientene i ro. x = (x i 3)(x + i 3) G har to elementer, identiteten og kompleks konjugasjon. x 3 +x+a = (x x 1 )(x x 2 )(x x 3 ) for a Z generell vil G bestå av alle permutasjoner av de tre røttene.

25 Fronbenius-elementer For hvert primtall p finnes et Frobenius-element σ p i Galois-gruppen. Det styrer faktoriseringsegenskapene til f (x) modulo p. Ferdinand Georg Frobenius

26 Fronbenius-elementer Enten har x to røtter mod p; ie. to løsninger av kongruensen x polynomet splitter fullstendig. Modulo 7 splitter det fullstendig x mod 7 0 ±1 ±2 ±3 x 2 mod Frobenius element: σ 7 (x) = x

27 Fronbenius-elementer Enten har x to røtter mod p; ie. to løsninger av kongruensen x polynomet splitter fullstendig. Modulo 7 splitter det fullstendig x mod 7 0 ±1 ±2 ±3 x 2 mod Frobenius element: σ 7 (x) = x Eller det har ingen røtter polynomet forblir irredusibelt Modulo 5 har det ingen rot x mod 5 0 ±1 ±2 x 2 mod Frobenius-elementet: σ 5 (x) = x

28 Frobenius-elementer Et kubisk polynom x 3 + x + 15

29 Frobenius-elementer Et kubisk polynom x 3 + x + 15 Modulo 2: x 3 + x + 15 x 3 + x + 1 mod 2 Irredusibelt, Frobenius elementet σ 2 er en syklisk ombytting av de tre komplekse røttene

30 Frobenius-elementer Et kubisk polynom x 3 + x + 15 Modulo 2: x 3 + x + 15 x 3 + x + 1 mod 2 Irredusibelt, Frobenius elementet σ 2 er en syklisk ombytting av de tre komplekse røttene Modulo 3: x 3 + x + 15 x 3 + x = x(x 2 + 1) mod 3 En rot, Frobenius elementet σ 3 er en ombytting av de to andre komplekse røttene

31 Frobenius-elementer Et kubisk polynom x 3 + x + 15 Modulo 2: x 3 + x + 15 x 3 + x + 1 mod 2 Irredusibelt, Frobenius elementet σ 2 er en syklisk ombytting av de tre komplekse røttene Modulo 3: x 3 + x + 15 x 3 + x = x(x 2 + 1) mod 3 En rot, Frobenius elementet σ 3 er en ombytting av de to andre komplekse røttene Modulo 5: x 3 + x + 15 x 3 + x x(x 2)(x + 2) mod 5 Tre røtter, σ 5 er identiteten

32 Artin s L-funksjoner Gitt en virkning av en Galois-gruppe G på C n : Til hvert element σ i G er det gitt en n n-matrise ρ(σ). Emil Artin

33 Artin s L-funksjoner Gitt en virkning av en Galois-gruppe G på C n : Til hvert element σ i G er det gitt en n n-matrise ρ(σ). Det karakteristiske polynomet til ρ(σ p ) med en liten forandring Emil Artin det(i ρ(σ p )p s )

34 Artin s L-funksjoner Gitt en virkning av en Galois-gruppe G på C n : Til hvert element σ i G er det gitt en n n-matrise ρ(σ). Det karakteristiske polynomet til ρ(σ p ) med en liten forandring Emil Artin det(i ρ(σ p )p s ) Artins L-funksjon (essensielt): L(s, ρ) = de fleste primtall p 1 det(i ρ(σ p )p s )

35 Artin s L-funksjoner Theorem (Brauer) En Artin L-funksjon L(s, ρ) har en meromorf forlengelse. Med reelle og ramifikatoriske faktorer tilfredsstiller den en funksjonalligning. Hypotese (Artin): Om ρ er ikke-triviell, er L(s, ρ) analytisk (har ingen poler).

36 Peter Gustav Lejeune Dirichlet L-funksjonene går tilbake til 1837 og ble unnfanget av Dirichlet. Utspringet var hans berømte resultat om primtall i aritmetiske følger.

37 Peter Gustav Lejeune Dirichlet L-funksjonene går tilbake til 1837 og ble unnfanget av Dirichlet. Utspringet var hans berømte resultat om primtall i aritmetiske følger. L(s, χ) = n χ(n)n s der χ er en Dirichlet-karakter

38 Peter Gustav Lejeune Dirichlet L-funksjonene går tilbake til 1837 og ble unnfanget av Dirichlet. Utspringet var hans berømte resultat om primtall i aritmetiske følger. L(s, χ) = n χ(n)n s der χ er en Dirichlet-karakter Theorem Gitt to relativt primiske hele tall a og q. Da finnes det uendelig mange primtall som er kongruent a modulo q. (Det vil si primtall på formen p = a + kn for et heltall k.)

39 Artin resiprositet Theorem Om G er abelsk og ρ er en karakter, så finnes en Dirichletkarakter slik at ρ(σ p ) = χ(p).

40 Berømt eksempel: Elliptiske kurver

43 Berømt eksempel: Elliptiske kurver Kubiske kurver y 2 = x 3 + ax + b med a og b hele tall.

44 Berømt eksempel: Elliptiske kurver Kubiske kurver y 2 = x 3 + ax + b med a og b hele tall. De er grupper toruser S 1 S 1

45 Elliptiske kurver De reduseres modulo primtall p. Vi løser kongruensene y 2 x 3 + ax + b mod p

46 Elliptiske kurver De reduseres modulo primtall p. Vi løser kongruensene y 2 x 3 + ax + b mod p La α p være slik at antall løsninger er 1 + p α p.

47 Elliptiske kurver De reduseres modulo primtall p. Vi løser kongruensene y 2 x 3 + ax + b mod p La α p være slik at antall løsninger er 1 + p α p. L-funksjonen til en elliptisk kurve: L(X, s) = p 1 1 a p p s + p 1 2s

48 Elliptiske kurver De reduseres modulo primtall p. Vi løser kongruensene y 2 x 3 + ax + b mod p La α p være slik at antall løsninger er 1 + p α p. L-funksjonen til en elliptisk kurve: L(X, s) = p 1 1 a p p s + p 1 2s En Artin-L-funksjon: Tate-modul som Frobenius-elementet virker på. T q (E) = { x E q n x = 0 for en n }

49 Modulære former

50 Modulære former Gruppen GL(2, R) av 2 2-matriser med reelle koeffisienter ( ) a b GL(2, R) = { a, b, c, d R } c d virker på det øvre halvplanet z > 0 ved g(z) = az + b cz + d

51 Modulære former Gruppen GL(2, R) av 2 2-matriser med reelle koeffisienter ( ) a b GL(2, R) = { a, b, c, d R } c d virker på det øvre halvplanet z > 0 ved g(z) = az + b cz + d De med heltallskoeffisienter danner den modulære gruppen: ( ) a b SL(2, Z) = { a, b, c, d Z, ad bc = 1 } c d

52 Modulære former

53 Modulære former En automorf funksjon er (essensielt) en funksjon f (z) definert i det øvre halvplan som oppfyller f ( az + b cz + d ) = (cz + d)k f (z) ( ) a b for fra SL(2, Z) og har visse regularitetsegenskaper. c d

54 Modulære former En automorf funksjon er (essensielt) en funksjon f (z) definert i det øvre halvplan som oppfyller f ( az + b cz + d ) = (cz + d)k f (z) ( ) a b for fra SL(2, Z) og har visse regularitetsegenskaper. c d Eller fra en passende undergruppe Γ av SL(2, Z)

55 Modulære former En automorf funksjon er (essensielt) en funksjon f (z) definert i det øvre halvplan som oppfyller f ( az + b cz + d ) = (cz + d)k f (z) ( ) a b for fra SL(2, Z) og har visse regularitetsegenskaper. c d Eller fra en passende undergruppe Γ av SL(2, Z) Eksempel Γ(N) der elementene har øvre høyre hjørne b 0 mod N

56 Modulære former Fourier rekker Om f er modulær, vil f være periodisk: f (z) = f (z + N) (Bruk a = d = 1 og b = N, c = 0). Og den har en Fourier-rekke a n e 2πiz/N = a n q n n 0 n 0 Sjargongen vil at q = e 2πiz/N.

57 Modulære former L-funksjoner Fourier-koeffisienten brukes til å lage en L-funksjon L(s, f ) = n 0 a n n s At L(s, f ) har en funksjonal-ligning er ekvivalent med at f er en modulæt form.

58 Abelprisvinner L-funksjoner Kjempers skuldre Galois Frobenius Artin Andrew Wiles Theorem Om E er en elliptiske kurve over Q (++++) finnes en modulær form f (++++) slik at L(f, s) = L(E, s) Andrew Wiles Wiles

59 Langlands Hypotese (Resiprositet): Til hver Galois representasjon korresponderer det en automorf representasjon med samme L-funksjon. Hypotese (Funktorialitet): Til hver homomorfi L G(C) L G (C) og hver automorfe G-representasjon korresponderer det en automorf G -representasjon med samme L-funksjon.

60 The end Det var det takk for meg!