HVOR MANGE PRIMTALL FINNES DET? KTH 9. Februar 96
|
|
- Halvard Jørgensen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Resume, referenser og matematikere HVOR MANGE PRIMTALL FINNES DET? KTH 9. Februar 96 Resume, referenser og matematikere. Resume Til tross for at vi alle vet at det finnes uendelig mange primtall kan spørsmålet hvor mange primtall finnes det ha flere, helt presise, meninger. I dette foredraget skal vi diskutere noe måter antallet primtall kan måles på og vise hvordan disse er knyttet til noen av de mest interessante åpne problemene i matematikken. Joseph Louis François Bertrand ( Viggo Brun ( Peter Gustav Lejeune-Dirichlet ( Paul Erdös (93-. Leonhard Euler ( Carl Friedrich Gauss ( Jacques Salomon Hadamard ( Helge von Koch ( Adrien-Marie Legendre ( John Edensor Littlewood ( Georg Friedrich Bernhard Riemann ( Charles-Jean de la Vallée Poussin ( Atle Selberg ( Pafnuti L. Tchebycheff ( Referenser: Hans Riesel, Prime numbers and computer methods for factorization (Second Edition, Birkhäuser 994. Victor Klee & Stan Wagon, Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory, Math. Ass. of America, Dolciani Math. Epositions No., 99. Paulo Ribenboim, The little book of big primes, Springer Verlag 99.
2 Hvor mange primtall finnes det? (0/0/0-primstock96 primtall Primtall. Studiet av primtall er et av de mest fascinerende områdene i matematikken. Problemene tilhører de elste innenfor vitenskapene og noen av de mest kjente vitenskapsmennene på 7-, 8- og 900 tallet har arbeidet med dem. Mange av problemene kan også formuleres så lekmenn kan forstå dem. Et primtall er et heltall større eller lik som ikke har andre positive heltall som divisorer enn seg selv og. De kan finnes ved en sold metode: Vi finner 6 primtall mindre enn 0:, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, 9, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97, 0. Vi skal nummerere primtallene slik at p =,p = 3,p 3 = 5,... Det finnes uendelig mange primtall. primtall Euklids bevis Euclid: Anta at p,p,...,p r er de n første primtallene. Vi kan skrive P = p p p r + som et produkt av primtall. La p være det minste av disse. Da kan ikke p være et av tallene p,...,p n, fordi den da vil dele P p p p r =, hvilket er umulig. Vi har fått et nytt primtall p. Slik kan vi fortsette å konstruere nye primtall. Vi skal nu gi et annet bevis, som har hatt mye større betydning for matematikken. Euler Euler:Vi kjenner alle til følgende resultat om geometriske serier.
3 Det finnes uendelig mange primtall 3 Lemma. Serien n=0 n konvergerer mot om 0 < og divergerer om. Vi får at p = + p + p +, for hvert primtall p. Om q er et annet primtall får vi p p q q ( ( = (+ + + (+ + + p q = + p + q + p + pq + q +. Eulers bevis Påhøyresideharvisummenavinversenetilallepositiveheltall som kan skrives på formen p m q n. Merk at vi har brukt det velkjente resultatet: Lemma. La n=0 a n og n=0 b n være serier som konvergerer mot A henholdsvis B, og der n=0 a n konvergerer absolutt. Da konvergerer serien n=0 c n, der c n = n k=0 a kb n k mot AB. Samme resonnement som ovenfor gir at r (E = n. i= n=p n pn r r Anta nu at det er et endelig antall primtall p,p,...,p r. Da vil høyre siden av (E være lik den harmoniske rekken Denne sekvensen divergerer, så den kan ikke være lik tallet på venstre side. Vi får en motsigelse mot antagelsen at det bare finnes et endelig antall primtall. Vi kan si noe mer om hvordan ( r i= vokser. La oss først, for et gitt tall definere [] som heltallet bestemt ved [] < []+. Lemma 3. Vi har at [] n= n < log < [] n= n. Bevis. Summen [] n= n er trappen over integralet []+ vi har ulikheter [] n= n > []+ På samme måte har vi at [] [] t dt, så vi har at [] n= n t n= n dt = log([]+ > log. tdt så er summen under integralet < log[] log.
4 4 Hvor mange primtall finnes det? (0/0/0-primstock96 Proposisjon 4. For har vi at log <. Bevis. Vi har sett i (E ovenfor at ( [] > n= n. Resultatet følger derfor av den høyre ulikheten i Lemma 3. Eulers metode Eulers bevis benytter en av matematikkhistoriens viktigste metoder. For å se dette behøver vi resultatet: Lemma 5. Anta at a a 0. Da konvergerer serien n= a n, hvis og bare hvis sekvensen konvergerer. k a k = a +a +4a 4 + k=0 Setning6(Euler. Serien ζ(σ = og divergerer om σ. n= n σ konvergerer om σ > Bevis. Om σ 0 går ikke hvert ledd mot null så sekvensen divergerer. Om σ > 0 følger det av Lemma 5 at serien n= a n konvergerer hvis og bare hvis k=0 k = kσ k=0 ( σk konvergerer. Den siste serien konvergerer hvis og bare hvis σ <, det vil si, hvis og bare hvis < σ, på grunn av Lemma om geometriske serier. Samme resonnement som vi brukte for å vise (E gir også at (E σ r i= p σ i = n=p n pn r r n σ. Beviset til Euler kan da omformuleres som: Om det finnes et endelig antall primtall p,p,... vil summen til høyre være over alle tall. Produktet til venstre vil derfor gå mot et reelt tall når σ går mot ovenfra, mens høyre siden går mot uendelig ettersom den harmoniske serien divergerer. Vi får igjen en motsigelse mot antagelsen at vi har et endelig antall primtall. Av Setning 6 og formelen (E σ får vi at ζ(σ = i= p σ i.
5 Antall primtall I 5 ζ(k Vi har derfor et vakkert samband mellom primtall og analysen. Funksjonen ζ(σ = for reelle tall ble først σ 3 σ studert av Euler. Han viste, blandt annet, at ζ(k = ( k+(πk B k, (k! der B 0,B,B,... er Bernoullitallene, definert ved: e = k= eller ekvivalent ved at B 0 = og at ( k + B k + ( k + B k k! k, B k + + ( k + k B +B 0 = 0, for k =,,... (Vis denne ekvivalensen. Vi får spesielt at B 0 =, B =, B = 6,... og at ζ( = π 6. Verdieneforζ(nnårneroddekjennerviikkeeksakt,bortsett fra at Apéry viste at ζ(3 er irrasjonalt. Apérys bevis kalles ofte beviset som Euler overså. # primtall I Antall primtall I. Vi har sett at serien divergerer mens serien konvergerer. Vi kan derfor påstå at det finnes fler tallimengden,,3,..., enn i,4,9,6,5,36,49,64,8,00,... Vi kan derfor spørre om det er mange tall i serien p,p,... av alle primtall i den bemerkelsen at p + p + divergerer. For å svare på dette behøver vi resultatet: Lemma 7. For 0 har vi at log(. Bevis. Funksjonen +log( er null for = 0 og har positiv derivert i intervallet 0 < Setning 8. Vi har at > loglog.
6 6 Hvor mange primtall finnes det? (0/0/0-primstock96 Spesielt har vi at serien p + p + p 3 + divergerer. Bevis. Vi har at = log ( pi = log ( pi = log der vi har brukt Lemma 7 for ulikheten. Setningen følger nu av ulikheten i Proposisjon 4. Tvillinger Artim. ser. Drichlet-Euler Primtallstvillinger Primtallstvillinger er primtall p slik at p eller p + også er et primtall. Under 0 har vi 8 par av primtallstvillinger(3, 5, (5, 7, (, 3, (7, 9, (9, 3, (4, 43, (59,6, (7,73. Vi vet fremdeles ikke om det finnes uendelig mange slike par. Brun viste at p=primtallstvilling p konvergerer. Han brukte soldmetoder som senere har vist seg å være blandt de mest nyttige i tallteorien. Vi skal illustrere en slik soldmetode i seksjonen om heuristiske bevis lenger bak. Primtall i aritmetiske serier Dirichlet viste at det i hver aritmetisk serie a+b,a+b,3a+b,4a+b,..., der a og b er innbyrdes primiske heltall, finnes et uendelig antall primtall. Han viste også at summen av de inverse av disse primtallene divergerer. Dirichlets bevis var et pionerarbeide når det gjaldt å bruke analytiske metoder til å bevise satser i tallteorien. Hans metode, som var inspirert av metoden til Euler, som vi har sett ovenfor, gikk ut på å vise at det finnes uendelig mange primtall i en aritmetisk sekvens hvis og bare hvis en analytisk funksjon på formen L χ (σ = χ(n n=, der χ er en karakter, n σ også kalt Dirichlet serier, ikke var null i punktet, og deretter bruke analytiske metoder til å vise at funksjonen ikke forsvant i punktet. # primtall II Primtallsatsen Antall primtall II. Enannenmåteåmåleantalletprimtallpåeråbetrakteantallet primtall π( mindre eller lik et gitt tall. Vi har π( =, π(3 =, π(4 =, π(5 = 3, π(6 = 3,..., π(0 = 6,.... Gauss, 5 år gammel og inspirert av Legendre, gjettet på at π( er omtrent lik Li( = dt logt, når er stor. For å uttrykke
7 Antall primtall II 7 Primtallsatsen Li( π( Tchebycheff dette på en lett måte setter vi f( g( om f( og g( blir omtrent like store når blir stor, med andre ord, om g( 0 når f( er stor og lim g( = Vi kan da uttrykke Gauss gjetning som π( Li(. Denne gjetningen kalles primtallsatsen. Lemma 9 (L Hospitals regel. Anta at f og g er differensiable funksjoner på et intervall (a,b og g ( 0, for alle (a,b, der a < b +. Om f ( g ( A og g( +, når a vil f( g( A. Bruker vi L Hospitals regel med f( = Li(, g( = log, a = og b = + får vi at primtallsatsen kan uttrykkes som: π( log. For alle kjente verdier av har vi at π( < Li(, og det er sant for 0 0. Alle trodde dette altid holdt til Littlewood i 94 viste at det finnes en uendelig sekvens av tall,,..., slik at j og slik at Li( j < π( j. At vi ennu ikke kjenner et eneste slikt tall viser at vi skal være forsiktige med å dra slutninger av eksperimenter, og at datamaskinene ofte ikke klarer av interessante problemer. Vi vet at mellom og finnes det minst 0 80 heltall n slik at π(n > Li(n. De første alvorlige stegene mot å vise primtallsatsen ble tatt av Tchebycheff omkring 850. Han viste at 7 8 Tchebycheff viste dessuten at 3 log < π( < 9 8 log. n logn < π(n π(n < 7 5 n logn, Bertands post. slik at π(n π(n, for alle tall n Det vil si at mellom et tall og dets doble finnes det alltid minst et primtall. Dette kalles for Bertrands postulat. Mange av Tchebycheffs beviser er basert på resultatet at log.
8 8 Hvor mange primtall finnes det? (0/0/0-primstock96 Vi skal bruke dette resultatet i et heuristisk bevis for primtallsatsen lenger bak. Ettersom det finnes ganske enkle beviser for dette, som dessuten bruker soldmetoder tar vi med et bevis i seksjonen om heuristiske bevis. Bev. for primts. Primtallsatsen ble vist i 896 av Hadamard og de la Vallée Poussin, uavhengig av hverandre. Begge to brukte metoder fra funksjonsteorien. Enorme anstrengelser ble gjort for å vise satsen uten å bruke funksjonsteori, det vil si med elementære metoder. Hadamard sa at den korteste veien mellom to satser om de reelle tallene gaar via de komplekse tallene. Primtallsatsen ble vist med elementære metoder av Selberg og Erdös i 948. Riemanns hyp. Riemanns hypotese. Det viktigste problemet i matematikken er å vise at det finnes en konstant C slik at Li( π( < C log, ζ(σ kompl. kompl. anal. for store. Vi skal gi en annen og mye mer kjent formulering av Riemanns hypotese. Denne formuleringen handler om nullpunktene til funksjonen ζ(σ = n= n kalt Riemanns zeta funksjon når σ σ er et komplekst tall. Som den står konvergerer den bare når realdelenavσ er størreenn, menriemann visteatdenkanutvides til en funksjon på hele det komplekse planet bortsett fra. Euler betraktet funksjonen for reelle σ, men det var Riemann som innså hvilket potensial det lå i å betrakte zetafunksjonen som en kompleks funksjon, og som så de dype relasjonene som finnes mellom egenskapene til zetafunksjonen og distribusjonen av primtall. Den andre formulering av Riemanns hypotese, som er Riemanns egen, og som vi nevnte ovenfor er: Riemanns Hypotese: Alle de ikke reelle nullpunktene til ζ(σ er på formen +ib. Det var von Koch som viste ekvivalensen av de to formuleringene. Vi skal gi en formulering av den siste versjonen som ikke nevner komplekse tall. For dette behøver vi et par resultater til: ( Lemma. Vi har at ζ(σ = σ n= ( n+ n σ, for σ >.
9 Heuristisk bevis av primtallsatsen 9 Bevis. Vi har at ( + σ + ( 3 σ + σ = + σ + σ 3 + σ 4 σ σ + σ + (n σ + (n σ n σ σ + = σ + 3 σ 4 σ + + (n σ (n σ +. Lemma. Anta at c c c 3, at c m 0, c m 0, for m =,,3,..., og at lim n c n = 0. Da vil n=0 c n konvergere. ( n+ Vi har derfor at n= n konvergerer for σ > 0. Derfor σ kan vi definere zetafunksjonen for alle σ > 0 og σ ved (Z. ζ(σ = σ+ n= ( n+ n σ. Med samme metode kan vi definere zetafunksjonen for komplekse tall med positiv realverdi ved serien (Z. Dette kan lett sees ved å skrive σ = a+bi og n σ = e σlogn, og å bruke at e it = cost+isint. Bruker vi disse substitusjonene får vi også n= ( n+ n σ = = = ( n+ e (a+bilogn ( n+ n a (cos(blogn+isin(blogn ( n+ (cos(blogn isin(blogn. n= n= n= n a Vi kan nu formulere Riemanns Hypotese uten henvisning til komplekse tall som: Riemanns hypotese i reell versjon: eneste løsningene til likningene ( n+ cos(blogn = 0 n a ( n+ n a sin(blogn = 0 n= n= Når 0 < a < er de
10 0 Hvor mange primtall finnes det? (0/0/0-primstock96 med a =. Eratosth. sold Heuristisk bevis av primtallsatsen. Eratosthenes sold: La A(, r være antallet heltall mindre eller lik som ikke er delbare med noen av de r første primtallene p,p,...,p r. Ettersom alle primtallene mindre eller lik, som er forskjellige fra p,p,...,p r bidrar til A(,r har vi at π( r +A(,r. La i < j < < k r. Da vil antallet [ tall mindre eller lik, som er delbare med p j p k være p j p k ]. Vi får derfor at A(,r = [] [ ] + [ ] p j i r i<j r [ [ ] ]+ +( r. p j p k p p p r i<j<k n Forskjellen mellom A(, r og tallet + p j p j p k i r i<j r i<j<k n + +( r r = ( pi p p p r er høyst lik + ( r + ( r + + i= ( r = (+ r = r. r Vi har derfor at A(,r r + r i= r π( r + r + ( pi r+ + i= ( pi, og derfor at r i= ( pi. Sett r = [log]. Vihar atloglog < log(r+ logp r. Videre har vi av Proposisjon 4 at r i= ( pi < logp r. Vi får at π( log + logp r < log + logp r < log + Derfor har vi at π( loglog < + loglog log. loglog.
11 Heuristisk bevis av primtallsatsen Lemma 0. For hvert positivt tall a vil kvotienten log a null når blir stor. Av soldet ovenfor og Lemma 0 får vi derfor at Proposisjon. For store vil π( < loglog. gå mot Merkatvikunnetahvilketsomhelsttallstørreennistedenfor i Proposisjon. Lemma. For hvert heltall m lar vi [m] p være det minste positive tallet bestemt ved at p [m] p deler m, men p [m] p+ ikke deler m. Da har vi [ ] [ ] n n [n!] p = + +. p p Derfor vil n! = n p ( [ n ]+ [ n p i ] + i. Bevis. Antallet tall[ blandt ] [,3,...,n ] som er delbare med p k, men ikke med p k+ n n er og disse tallene teller med k i p k p k+ [] p + +[n] p. Vi får derfor at [n!] p = [] p + +[n] p ([ ] [ ] ([ ] [ ] n n n n = + p p p p ([ ] [ ] [ ] 3 [ ] n n n n +3 + = + +. p 3 p 4 p p Lemma 3. Vi har at logn! nlogn. Bevis. Vi har at summen logn! = log + log3 + + logn er trappen under integralet n+ logtdt. Vi får at log + log3 + + logn n logtdt + log(n + = nlogn + log(n +. På den andre siden har vi at log+log3+ +logn er trappen over logtdt så nlogn log+log3+ +logn. Vi har vist at n logn! nlogn + log(n+ nlogn. Lemmaet følger nu av at log(n+ nlogn < n.
12 Hvor mange primtall finnes det? (0/0/0-primstock96 Setning 4. Vi har at log log. Bevis. Av Lemma har vi at logn! = n ([ ] [ ] n n + p i + log. Dette gir logn! n = n n log + ( n p n i + n p 3 i n log +n log (. n + log Vi har at k < 3 k og av Lemma 0 vil vi ha k /3k for store logk k. Derfor vil k(k <, for store k og sekvensen logk k k= k(k konvergerer. Derfor finnes det, for hvert ε > 0 et tall N slik at logn! nlogn < log n logn +ε, for n N. Omvendt har vi at logn! n [ n ] log ( n log n n nlog π(nlogn. Av Proposisjon 4 har vi π(nlogn nlogn < nlogn (loglogn(nlogn = For hver ε > 0 kan vi derfor finne et N slik at logn! nlogn > log n logn ε, for n N. Setningen følger nu av Lemma 3. loglogn.
13 Heuristisk bevis av primtallsatsen 3 Heur. primt. I Heuristisk bevis av primtallsatsen I. Anta at vi har en funksjon W( som beskriver tettheten av primtallene. Det vil si at vi har omtrent W( i i primtall i et intervall i omkring i. Vi antar at denne funksjonen beskriver primtallene så bra at π( t= W(tdt og at log t= W(tlog(t dt. Det følger av t Setning 4 at vi da har at log t= W(t logt dt. t Vi kan nu bestemme W( eksplisitt. Setter vi og deriverer får vi log = t= W(t logt dt t = W(log, det vil si W( = log. Derfor har vi π( W(tdt = dt logt, Heur. primt. II som er primtallsatsen. Heuristisk bevis av primtallsatsen II. Vi skal gi et ennu mer tvilsomt argument for at primtallsatsen holder. La s n være sannsynligheten for at tallet n er primtall. Denne sannsynligheten kan uttrykkes ved hjelp av sannsynligheten for at mindre tall er primtall ved å notere at et tall n er primtall om det ikke er delbart med noe mindre primtall, og at sannsynligheten for at n er delbar med primtallet m er produktet av sannsynligheten for at m er primtall og sannsynligheten for at tallet er delbart med m, det vil si s m m. Sannsynligheten s n for at n er et primtall er derfor lik produktet av sannsynlighetene for at det ikke er delbart med primtallet m for m =,3,...,n. Med andre ord, vi har at ( s n = s ( s 3 3 ( s n. n der s =. Vi får derfor at s n+ s n = s n n,
14 4 Hvor mange primtall finnes det? (0/0/0-primstock96 eller s n+ s n = s n n s n+. Antar vi nu at kvotienten s n+ s n når n går mot uendelig får vi, for store n, omtrent går mot s n+ s n = n, det vil si at s n s = + + n, med s =. Det følger av Lemma 3 at vi har n logn. Derfor får vi at som vi ville vise. s n /logn,
HVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL?
Innledning, referenser og matematikere HVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL? Skövde 4. mai 200 Innledning, referenser og matematikere. Vi lever i en epoke da kunnskap er lavt vurdert. Vårt miljø invaderes
Detaljer3.1. Formodninger om primtall.
15 Mai 2000 Kap 3.1 Formodninger om primtall 1 3.1. Formodninger om primtall. (3.1.1) Mersenne, Godbach og primtallstvillinger. Vi skal her forklare noen av de mest kjente formodningene om primtall. (3.1.2)
DetaljerMYNTVEKSLING Cirkeln, KTH 31 Jan. 02
Myntveksling 1 MYNTVEKSLING Cirkeln, KTH 31 Jan. 02 Innledning Problemet Myntveksling. 1 Innledning: Myntveksling er et navn vi gir til en lang rekke problemer og resultater som forkommer i mange deler
DetaljerNavn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643
Navn og referenser 1 GRUNNFORSKNING SKAL IKKE VÆRE NYTTIG. ET EKSEMPEL OM PRIMTALL Blackeberg, Kungsholmen, Spånga, Åsö, Norra R. 20-22-23 mars 2001, 19-21 mars 2002 grunnforskning nytte anvendelser offentlig
DetaljerMAT Grublegruppen Uke 37
MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i
DetaljerKarakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap.
Notat 2 for MAT1140 2 Bevis La oss si at vi er overbevist om at utsagn P er sant, og at vi ønsker å kommunisere denne innsikten. Eller la oss si vi er ganske sikre på at P er sant, men ønsker, overfor
DetaljerVelkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1. med Jørgen Endal
Velkommen til oversiktsforelesninger i Matematikk 1 med Jørgen Endal Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Nytt tema: Følger, rekker, og potensrekker (kap. 9.1 9.7) Forelesning 1 (kap.
DetaljerPrimtallsteoremet og zetafunksjonen
Primtallsteoremet og zetafunksjonen Henrik Sommer Lektorutdanning med master i realfag Innlevert: Mai 203 Hovedveileder: Lars Peter Lindqvist, MATH Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt
DetaljerINDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16
INDUKSJONSPRINSIPPET MAT - H ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN. Matematisk induksjon I læreboken står kun en liten trudelutt om matematisk induksjon i margen på side 0 (side 09 i utg. 7, side 08 i utg. ). Det er
DetaljerKJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI. Dan Laksov KTH, Stockholm
KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Dan Laksov KTH, Stockholm matematikk/laksov/bokprosjekt/forum/tallteori/july 25, 2005 KJENT OG UKJENT I ELEMENTÆR TALLTEORI Kjent og ukjent i elementær tallteori Dan
DetaljerNOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT112 VED UNIVERSITETET I BERGEN
NOTAT OM UNIFORM KONTINUITET VEDLEGG TIL BRUK I KURSET MAT2 VED UNIVERSITETET I BERGEN ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN OG ARNE STRAY. Innledning og definisjoner Vi vil i dette notatet betrakte reelle funksjoner
DetaljerForelesning 20 mandag den 27. oktober
Forelesning 20 mandag den 27. oktober 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet Eksempel 5.10.1. La oss se igjen på Proposisjon 5.6.2, hvor vi regnet ut
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................
DetaljerAtle Selberg On the zeros of the Zeta-function of Riemann DKNVS Forhandlinger
Det Kongelige Norske Videnskabers Selskabs Skrifter (Kgl. Norske Vidensk. Selsk. Skr. 2011 (4), 139-146) Atle Selberg On the zeros of the Zeta-function of Riemann DKNVS Forhandlinger 1942 1 Nils A. Baas
DetaljerPopulærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X.
Om Fargelegging av Kart og Grafer i Planet Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. 1. Firefargeteoremet Et
DetaljerLitt om diofantiske likninger
1 Litt om diofantiske likninger av Dag Magne Johannessen Når vi skal løse en likning eller et likningssett, diskuterer vi sjelden hvilken grunnmengde som er til rådighet. Problemet går som regel ut på
DetaljerFølger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og
DetaljerForelesning 14 torsdag den 2. oktober
Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel
DetaljerOPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG
LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument
DetaljerHJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):
HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1
DetaljerAbelprisvinner L-funksjoner Kjempers skuldre Galois Frobenius Artin Wiles. Årets Abel-pris Robert Langlands
Årets Abel-pris Robert Langlands L for Langlands L-funksjoner L for Langlands L-funksjoner L for L-funksjoner L for Langlands L-funksjoner L for L-funksjoner L-funksjoner er spesielle funksjoner av typen
DetaljerLøsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1
Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.
DetaljerForelesning 1 mandag den 18. august
Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
Detaljer6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...
Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19
DetaljerFigur 1: Volumet vi er ute etter ligger innenfor de blå linjene. Planet som de røde linjene ligger i deler volumet opp i to pyramider.
TMA415 Matematikk Vår 15 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Esse alculus: A omplete ourse. 5 Eercise 14.1.6
DetaljerIntroduksjon i tallteotri med anvendelser
Introduksjon i tallteotri med anvendelser Vladimir Oleshchuk 15. september 2005 Delbarhet og divisorer Delbarhet og divisorer Vi skal betrakte tall fra Z = {,..., 2, 1, 0, 1, 2,...} og N = {0, 1,...} og
DetaljerMAT1030 Forelesning 14
MAT1030 Forelesning 14 Mer om funksjoner Roger Antonsen - 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) Kapittel 6: Funksjoner Surjektive funksjoner Den neste gruppen av funksjoner vi skal se på er
DetaljerKapittel 6: Funksjoner
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 14: Mer om funksjoner Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 6: Funksjoner 10. mars 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-10 11:34) MAT1030
DetaljerSeksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 15. februar 2010 Funksjonsrekker En rekke på formen f n (x) der f n er en funksjon, kalles en funksjonsrekke. For alle x
DetaljerNotat om Peanos aksiomer for MAT1140
Notat om Peanos aksiomer for MAT1140 1 Tall Hva er egentlig tall? Tanken her, er ikke å si hva tall er, hva deres interne struktur muligens kan være, men å si hva vi kan gjøre med dem, sett utenifra. Vi
DetaljerSlides til 1.6 og 1.7. Andreas Leopold Knutsen
Slides til 1.6 og 1.7 Andreas Leopold Knutsen January 17, 2010 Begreper Matematiske resultater/utsagn som er sanne kalles gjerne: Teorem = viktig utsagn Proposisjon/Sats/Setning = litt mindre viktig utsagn
DetaljerTallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.
Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 13: Funksjoner Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 25. februar 2008 Opphenting Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner.
DetaljerSeksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker
Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle
DetaljerForelesning 24 mandag den 10. november
Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av
DetaljerKAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER
KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette
DetaljerAnalysedrypp II: Kompletthet
Analysedrypp II: Kompletthet Kompletthet er et begrep som står sentralt i både MAT1100 og MAT1110, og som vil stå enda mer sentralt i MAT2400. I de tidligere kursene fremstår begrepet på litt forskjellig
DetaljerLøsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010
Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles
DetaljerRekker og tallfølger. Uendelige rekker. Rekker og tallfølger. Halvor Aarnes, UiO, Innhold
Rekker og tallfølger Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Rekker og tallfølger... 1 Uendelige rekker... 1 Rekker, π og Γ... 3 Rekker og e... 5 Rekker og trigonometriske funksjoner... 6 Potensrekker... 7 Binomial
DetaljerEksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Forelesning 11 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Forelesning 11 Transcendentale funksjoner Vi begynner nå på temaet transcendentale funksjoner. I dagens forelesning
DetaljerTest, 2 Algebra. Innhold. 2.1 Tallfølger. R2, Algebra Quiz
Test, Algebra Innhold. Tallfølger.... Tallrekker.... Uendelige geometriske rekker... 7. Induksjonsbevis... 0 Grete Larsen. Tallfølger ) En rekursiv formel uttrykker et ledd i en tallfølge ved hjelp av
DetaljerUnderveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 2003 Tid: Oppgave- og svarark
Underveiseksamen i MAT-INF 1100, 17. oktober 003 Tid: 9.00 11.00 Kandidatnummer: De 15 første oppgavene teller poeng hver, de siste 5 teller 4 poeng hver. Den totale poengsummen er altså 50. Det er 5 svaralternativer
DetaljerMAT 4000 Innføring i klassisk tallteori
MAT 4000 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert, som senere er blitt bearbeidet videre av Erik Alfsen, Tom
DetaljerLøsningsforslag eksamen R2
Løsningsforslag eksamen R Vår 010 Oppgave 1 a) f (x) = x cos(3x) f (x) = x cos(3x) + x ( sin(3x) 3) = x cos(3x) 3x sin(3x) b) 1. Bruker delvis integrasjon med u = 5x og v = 1 ex slik at u = 5 og v = e
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver
DetaljerR2 eksamen våren 2018 løsningsforslag
R eksamen våren 08 løsningsforslag DEL Uten hjelpemidler Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) f ( x) = cos ( x ) f ( x) = sin( x ) = sin( x ) b) g ( x) = x sin x g ( x) = sin x + x cos x = sin x + x
Detaljer1 Primtall og divisorer
Oppgaver 1 Primtall og divisorer KATEGORI 1 1.1 Primtallsfaktorisering Oppgave 1.110 Bruk lommeregneren til å finne ut om tallet er et primtall. a) 47 b) 61 c) 143 Oppgave 1.111 Finn ut ved hjelp av tverrsummen
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven Richard Williamson 3. oktober 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?..........................
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. september 2006 2 Den høyrederiverte og venstrederiverte Definisjon Den høyrederiverte til en funksjon f(x) i punktet x er
DetaljerTillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner
MAT1140, H-16 Tillegg til kapittel 11: Mer om relasjoner I læreboken blir ekvivalensrelasjoner trukket frem som en viktig relasjonstype. I dette tillegget skal vi se på en annen type relasjoner som dukker
DetaljerDet finnes ingen rettferdige valg!
Det finnes ingen rettferdige valg! Notater fra forelesninger i et prosjekt for gymnaset støttet av Marianne och Marcus Wallenbergs stiftelse. Dan Laksov Matematiska Institutionen KTH Matematiska Institutionen
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 2 Stine M. Berge 06.07.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 06.07.19 1 / 16 Funksjoner Definisjon En funksjon f er en prosses som ett element i en
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
DetaljerTALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk
TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke
DetaljerTMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010
TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 28. oktober 2010 2 Fremdriftplan I går 7.7 Uegentlige integraler 8.1 Følger I dag
Detaljer1 Gauss-Jordan metode
Merknad I dette Kompendiet er det gitt referanser både til læreboka og til selve Kompendiet Hvordan å gjenkjenne dem? Referansene til boka er 3- tallede, som Eks 3 Vi kan også referere til 22, kap 22 eller
DetaljerTall SKOLEPROSJEKT MAT VÅR 2014 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM. Date: March 31,
Tall SKOLEPROSJEKT MAT400 - VÅR 204 AUTHORS: ASTRI STRAND LINDBÆCK CAMILLA HELVIG PIA LINDSTRØM Date: March 3, 204. 2. Innledning Vårt skoleprosjekt omhandler ulike konsepter innenfor det matematiske området
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 14. oktober 2016 Tid for eksamen: 13.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerMAT 1140 Innføring i klassisk tallteori
MAT1140, H15 MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet er basert på forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm, Arne B. Sletsjøe og
DetaljerNoen mindre kjente problemer i kombinatorisk tallteori
Noen mindre kjente problemer i kombinatorisk tallteori Paul Erdos Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences Budapest Ungarn Innledning Gjennom mitt lange liv har jeg publisert mange arbeider
DetaljerINVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS
INVERST FUNKSJONSTEOREM MAT1100 KALKULUS Simon Foldvik 29. Oktober 2017 1. Introduksjon Vi skal i dette dokumentet bevise en global og en lokal versjon av inverst unksjonsteorem i én variabel. Kort oppsummert
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus
DetaljerLineære ligningssystemer. Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9. Lineære ligningssystemer (forts.) Eksempler
Lineære ligningssystemer Generell form; m ligninger i n ukjente, m n-system: Forelesning, TMA4110 Torsdag 17/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerPotensrekker. Binomialrekker
Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever
DetaljerForelesning 19 torsdag den 23. oktober
Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til
DetaljerMAT Vår Oblig 2. Innleveringsfrist: Fredag 23.april kl. 1430
MAT 00 Vår 00 Oblig Innleveringsfrist: Fredag 3.april kl. 430 Oppgaven leveres stiftet med forsideark på ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt i 7. etg. i Niels Henrik Abels hus innen fristen.
DetaljerForelesning 13. Funksjoner. Dag Normann februar Opphenting. Opphenting. Opphenting. Opphenting
Forelesning 13 Dag Normann - 25. februar 2008 Forrige forelesning fortsatte vi innføringen av ekvivalensrelasjoner. Vi definerte hva vi mener med partielle ordninger og med totale ordninger. Deretter snakket
DetaljerForelesning 21 torsdag den 30. oktober
Forelesning 21 torsdag den 30. oktober 5.12 Mersenne-primtall Merknad 5.12.1. Nå kommer vi til å se på et fint tema hvor kvadratisk gjensidighet kan benyttes. Terminologi 5.12.2. La n være et naturlig
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT1100 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 11. desember 2015 Tid for eksamen: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Svarark,
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerEksamen R2 Høsten 2013 Løsning
Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen
DetaljerTeorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.
Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det
DetaljerNotat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig)
Notat om kardinalitet for MAT1140 (litt uferdig) Poenget med tall kan man kanskje si er det å telle. In mengdeteorien ønsker man å telle antall elementer i en mengde, og det tallet man oppnår kalles da
DetaljerEt detaljert induksjonsbevis
Et detaljert induksjonsbevis Knut Mørken 0. august 014 1 Innledning På forelesningen 0/8 gjennomgikk vi i detalj et induksjonsbevis for at formelen n i = 1 n(n + 1) (1) er riktig for alle naturlige tall
DetaljerKalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger.
Kalkulus 1 Grenser Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Vi sier at funksjonen f(x) har en grense f(a)
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerTall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013
Tall og mengder Per G. Østerlie 30. september 2013 1 Introduksjon Nå skal vi se på hva mengder og intervaller er og hvilke symboler vi benytter. Vi starter med å se på tall og hvordan vi kan dele opp i
DetaljerEksamen R2, Høsten 2015, løsning
Eksamen R, Høsten 05, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f( ) 5cos( ) f 5 sin 0sin
DetaljerUtvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma
Utvalgsaksiomet, velordningsprinsippet og Zorns lemma Dag Normann Universitetet i Oslo Matematisk Institutt Boks 1053 - Blindern 0316 Oslo 13. mars 2007 I dette notatet skal vi gi et bevis for ekvivalensen
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerForelesning 14. Rekursjon og induksjon. Dag Normann februar Oppsummering. Oppsummering. Beregnbare funksjoner
Forelesning 14 og induksjon Dag Normann - 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt om ekvivalensrelasjoner og partielle ordninger. Vi snakket videre om funksjoner.
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017
Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )
DetaljerRepetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori.
Repetisjon: høydepunkter fra første del av MA1301-tallteori. Matematisk induksjon Binomialteoremet Divisjonsalgoritmen Euklids algoritme Lineære diofantiske ligninger Aritmetikkens fundamentalteorem Euklid:
DetaljerGauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform. Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9. Reduserte echelonmatriser. Reduserte echelonmatriser (forts.
Gauss-Jordan eliminasjon; redusert echelonform Forelesning, TMA4110 Fredag 18/9 Martin Wanvik, IMF MartinWanvik@mathntnuno En matrise vil normalt være radekvivalent med flere echelonmatriser; med andre
DetaljerLØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I KOMPLEKS ANALYSE
LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I KOMPLEKS ANALYSE DATO: 9 desember 3 Hver deloppgave teller like mye! Oppgave a) Finn eventuelle akkumulasjonspunkter til følgende mengder: ) z n = i n (n =,,...) ) z n = in
DetaljerPrøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03
Prøveunderveiseksamen i MAT-INF 1100, H-03 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige underveiseksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. De 15 første oppgavene
DetaljerSammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
DetaljerDeleksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Bergen, oktober. 2004. Løsningsforslag til Deleksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag. oktober 2004, kl. 09-2. Oppgave Beregn grensen f.eks. ved hjelp av l Hôpitals regel. lim x ln x x Vi ser at
DetaljerEmne 13 Utsagnslogikk
Emne 13 Utsagnslogikk Et utsagn er en erklæring som er entydig sann eller usann, men ikke begge deler. Noen eksempler på (ekte) utsagn: Utsagn : Gjøvik har bystatus er sann ( i alle fall pr. dags dato
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 14: Rekursjon og induksjon Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 27. februar 2008 Oppsummering Mandag repeterte vi en del om relasjoner, da spesielt
DetaljerEksamensoppgave i TFY4210 Kvanteteorien for mangepartikkelsystemer
Institutt for fysikk Eksamensoppgave i TFY420 Kvanteteorien for mangepartikkelsystemer Faglig kontakt under eksamen: Førsteamanuensis John Ove Fjærestad Tlf.: 97 94 00 36 Eksamensdato: 7. juni Eksamenstid
Detaljer