Rekker og tallfølger. Uendelige rekker. Rekker og tallfølger. Halvor Aarnes, UiO, Innhold

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Rekker og tallfølger. Uendelige rekker. Rekker og tallfølger. Halvor Aarnes, UiO, Innhold"

Transkript

1 Rekker og tallfølger Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Rekker og tallfølger... 1 Uendelige rekker... 1 Rekker, π og Γ... 3 Rekker og e... 5 Rekker og trigonometriske funksjoner... 6 Potensrekker... 7 Binomial rekke... 9 Fibonacci-tall og spiraler Taylor- og McLaurin-rekker Bernoulli-tall Alternerende rekker og Cesàrosummering Den enkleste aritmetiske rekken er 1, 2, 3, 4,, og når disse summeres får man en uendelig rekke som divergerer. Vi kan summere tallene fra 1-100, den oppgaven Gauss fikk av sin lærer for å holde Gauss opptatt, hvorpå raskt Gauss fant at tallet ble Gauss la sammen fra hver ende: 1+99, 2+98, osv. og ble sittende igjen med tallet 50 til slutt. Uendelige rekker De triangulære tall er lik antall steiner i en trekant med n rader: Dette blir tallene gitt ved: 1

2 1 1 2 De 10 første triangulære tallene i rekken: En aritmetisk rekke får vi ved å addere til samme tall til det foregående, her starter rekken med 1 og legger til 4 til det foregående I en geometrisk rekke multipliseres hvert foregående tall med samme tall, noe som gir samme ratio. Her starter man med 2 og ganger med I en potensrekke opphøyes alle tallene i samme potens, her opphøyd i andre: En kubisk rekke er hvert tall opphøyd i tredje: På 1300-tallet fant den franske matematikeren og biskopen Nicole Oresme (1325?-1382) at noen uendelig rekker konvergerer, det vil delsummene går mot en grenseverdi. Rekker som ikke går mot en grenseverdi divergerer Han fant også en annen rekke som konvergerer: I en harmonisk rekke er hvert ledd et harmonisk middeltall mellom det foran og det etter. Et harmonisk middeltall X er den resiproke av gjennomsnittet av resiproke. Den resiproke betyr 1 over 2

3 1 1 1 Rekker, π og Γ Den enkleste harmoniske rekken er: og Euler fant at det var en sammenheng mellom logaritmer og harmoniske rekker, publisert i De progressionibus harmonicis observationes (Observasjon om harmonisk progresjon) (1735) ln 4 Tallet gamma (Γ) er også et eksempel på et tall som man treffer på de underligste steder i naturen, på lik linje med det naturlige tallet e, π, og kalles Euler-Mascheronis konstant: lim 1 ln Lorzenzo Mascheroni ( ). Jakob Bernoulli ( ) hadde arbeidet med uendelige rekker av typen (teleskoprekken): Leonhard Euler ( ) gjorde grunnleggende studier innen alle deler av matematikken: tallteori, geometri, algebra og kombinatorikk, publisert i Opera omnia. I Basel i Sveits hadde Euler Johann Bernoulli ( ) som lærer, og Johanns sønn, Daniel Bernoulli( ) inviterte seinere Euler til St.Petersburg. Jakob og Johann Bernoulli var brødre. Bernoulli-dynastiet hadde alle matematisk talent, men få har overgått Euler.Mye av det Euler skrev ble publisert i tidsskriftet til St.Petersburg Akademiet. 3

4 Summen av rekken nedenfor visste man at lå i nærheten av 8/5=1.6 (Basel-problemet), og Euler som fant at det ble π 2 /6= Euler arbeidet også med rekken: I arbeidet med Basel-problemet fant Euler at følgende integral ble π/4: ln ln 4 Figur. Arealet under funksjonen i området [0, 1] er lik π/4. Euler tok som vanlig i bruk rekkeutvikling og kunne skrive: 4

5 ln Rekker og tallfølger 1! 1 3! 3! 5! 5! 7! 7! Euler fant også at følgende rekke konvergerer: Euler kunne også vise at pi (π)var involvert i rekkene: Tallet pi (π) dukker opp på de underligste steder i naturen. Euler klarte ikke å finne en god løsning av: ? 4, men i 1998 viste Roger Apéry ( ) at summen er et irrasjonalt tall, , kalt Apérys konstant Følgende uendelige sum er lik π/ Rekker og e Det naturlige tallet e er lik den uendelige summen: ! 1! 2! 3! 4! n fakultet (n!) stiger så raskt at her tar vi bare for oss tallene fra

6 Funksjonen x kan også inngå i rekker: 1 1! 2! 3! 4! som også gjelder hvis x er et kompleks tall x=a+bi eller enklest x=ix: 1 1! 2! 3! 4! 1 2! 3! 4! 5! fordi: 1 1 Vi stokker om rekken og bruker rekken for cosx og sinx for å finne at: 1 2! 4! 6! 3! 5! 7! Det naturlige tallet e er også grenseverdien for: 1 lim 1 og følgende sammenheng mellom pi, e og komplekse tall: 10 9! Vi har også følgende grenseverdi:! lim 2 Rekker og trigonometriske funksjoner Sinus kan uttrykkes som følgende rekke: Cosinus som rekke: sin 3! 5! cos 1 2! 4! 7! 9! 6! Invers tangens (tan -1 ) eller atan(x) er lik følgende rekke: 6

7 Potensrekker Vi har følgende rekke som konvergerer: og det gjør også den deriverte av denne rekken: Hvis en funksjon f(x) kunne utvides til en uendelig potensrekke så vil den deriverte av rekken f (x) bli: John Wallis ( )som skrev i 1655 Arithmetica infinitorium (Aritmetikk om det uendelige) hadde funnet den berømte uendelige produktrekken for pi (π): Dette følger fra integralene: Dette kan benyttes for å vise Stirlings formel for n fakultet:

8 ! 2 2 Stirlings formel er oppkalt etter James Stirling ( ) publisert i Methodus differentialis (1730), og n fakultet (n!) er en betegnelse innført av Christian Kramp i Figur. Fakultetsfunksjonen n!, og verdier fra Stirlings formel (røde prikker) Wallis hadde også funnet for heltall p og q at: 1 1 Han ønsket en generell formel for integraler av formen: 1 For enhetssirkelen blir arealet av en kvadrant i enhetssirkelen lik π/4: 1 4 Leibniz fant en alternativ rekke for π/4: Dette var ikke et direkte resultat av: 8

9 4 1 Binomial rekke Newton oppdaget den binomiale rekken: hvor binomialkoeffisientene: 1 11!!!! Binomialkoeffisientene danner tallene i Pascals triangel: Binomialkoeffisientene kan plasseres i en Pascals trekant (Blaise Pascal ) hvor tallene i neste horisontale linje er summen av de ovenfor og havner midt mellom dem:

10 og slik kan man fortsette nedover. Trekker man skrå linjer i Pascals trekant finner man igjen Fibonaccitallene. Vi ser at trekanten er symmetrisk om midtlinjen og Summen av to koeffisienter som står ved siden av hverandre i en horisontal rekke havner midt mellom dem i raden under: Vi ser også at summerer vi tallene som står i de horisontale linjene får vi tallene 1, 2, 4, 16, 64 osv. Det vil si: Loven om Pascals trekant: 1 1 Vi har for eksempel for k= 3 på den kubiske ligningen, og se at du finner igjen tallene i Pascals trekant: Koeffisientene i Pascals trekant er dem man finner når man multipliserer ut uttrykkene: Eller mer generelt binomialteoremet: 10

11 (x+y) 0 =1 som også kan uttrykkes som: Hvis derimot k ikke er et positivt heltall får vi for eksempel k=-1: Det var denne som kunne gi Mercators rekke for logaritmefunksjonen: Hvis k=1/2 får vi: Fibonacci-tall og spiraler Leonardo av Pisa ( ), kalt Fibonacci, publiserte den første av fire Liber abaci (Regnebok) i 1202, og i den stilte han spørsmålet om hvor mange kaniner lages hvert år hvis man begynner med et par, ingen dør, og hver måned får hvert par et avkom. Det tar to måneder før de nyfødte er kjønnsmodene og kan f å eget avkom. Dette ga en tallrekke hvor neste tall i rekken er summen av de to foregående, en rekurrent rekke 1,1,2,3,5,8,. Nyfødt (N), ung (U) og voksen (v) med måned nr. i parentes N(0), U(1),VN(2),VUN(3),VVUNN(5), I solsikkeblomsten finner man 55 spiraler den ene veien og 89 den andre veien, ananas har tilsvarende 8 og 13. Furukongle har 5 spiraler den ene veien og 8 den andre. Dette er tall som man finner igjen blant Fibonaccitallene. 11

12 De 20 første Fibonacci-tallene er: Vi kan regne kvotienten mellom to påfølgende tall i rekken 1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5 osv Denne rekken konvergerer i det gyldne snitt tau (τ): Det gyldne snitt Tau blir også en av røttene i den kvadratiske ligningen: 1 med røtter:

13 Figur. Funksjonen y=x 2 -x-1 har røtter lik konstanten i det gylde snitt, her merket med rød prikk: og Det gyldne snitt blir også kalt phi (φ). Det gyldne snitt kan finnes igjen i den logaritmiske spiral (jfr. Nautilus-skall, det gyldne rektangel, det gyldne pentagon (pentagram), og den gyldne sirkel, og i arkitektur og kunst. Fibonacci brakte de indiske tallene 1-9, posisjoneringssystemet, de primære regnearter og arabisk algebra til Europa. Noen hevdet at de indiske tallene var lett å forfalske i forhold til de romerske tall. Dermed ble alle regneregler skrevet i ord. Det var handelsskoler hvor regnemestre (maestri d abbaco) underviste. I renessansen var Luca Bartolomeo Pacioli ( )en regnemester som skrev en lærebok i regning som inneholdt datidens kjente kunnskap om algebra, aritmetikk, geometri og trigonometri,fra Euklid, Boëthius, A.M.S. ( ) og Fibonacci; Summa de arithmetica, geometria, proportioni et 13

14 proportionalita, utgitt i Venezia i Hertugen av Milano engasjerte Leonardo da Vinci kunstneriske oppdrag, og Vinci som illustrerte De divina proportione (1509), med tekst av Pacioli. Det gyldne sitt kan også uttrykkes i form av sinus og cosinus: 1 5 1sin Konstruksjon av det gyldne rektangel. En rettvinklet trekant med med hosliggende sider lik henholdsvis 1 og 2 får en hypotenus lik 5, som danner diagonal i det gyldne rektangel. Ved å trekke arealet av et kvadrat fra et gyldent rektangel gir et nytt gyldent rektangel. Forholdet mellom (lengden av hypotenus pluss den ene siden lik 1) og den andre hosliggende siden lik 2, blir lik det gyldene snitt. Det gyldne snitt er en løsning av ligningen: Vi kan dividere med x på begge sider av ligningen over: 10 14

15 Edouard Lucas ( ) utviklet en rekke med Lucas-tall, hvor neste tall i rekken er summen av de to foregående: 2, 1, 3, 4, 7, 11,1 8, 29, 47,76, Taylor- og McLaurin-rekker Generelt har vi et Taylorpolynom med grad n for den n-deriverbare endimensjonale funksjonen f(x) ved x=a gitt som 1! 2!! 15 3! Hvis a=0 har vi en egen utgave av Taylor-rekken som kalles MacLaurinrekke: 0 0 1! 0 2! 0 3! 0! Colin Mac Laurin ( ) skrev Treatise on fluxions (1742) som omhandlet fluksjonsregning og rekkeutvikling av funksjoner; inspirert av Brook Taylor ( ), Newtons etterfølger, og hans Methodus incrementorum directa et inversa (1715) med Taylors formel, rekkeutvikling og differensialregning. Hvis vi har funksjonen: så blir McLaurin-rekken: ! 2! 0 3! 0! ! 2! 3!! Vi får da den velkjente rekken for sin(x) når vi setter inn for verdiene: 3!

16 Vi kan lage en todimensjonal Taylor-rekke til en funksjon f(x,y) i et punkt x=a+δx,y=b+δy og den deriverte i punktet (x=a,y=b),, 1 2! 2 1 3! 3 3 Vi ser binomialkoeffisientene i uttrykket. Bernoulli-tall I Calculus differentialis tilegnet Euler Bernoulli-tallene til Jakob Bernoulli, som var inne på disse isin Ars Conjectandi publisert posthumt i 1713, er tall som man treffer på mange steder. De første Bernoulli-tallene er, og bortsett for B 1 så er alle B 2k+1 =0, dvs. B3=B 5 =0 osv. B 0 1 B 1-1/2 B 2 1/6 B 4-1/30 B 6 1/42 B 8-1/30 B 10 5/66 B /2730 B 14 7/6 B /510 Bernoulli undersøkte potenser av de n første naturlige tallene med et positivt heltall som eksponent. 16

17 For eksempel summen av kvadrater: Summen av kuber: Som også gir differensligningen: og Vi får for de første verdiene av m: Bernoulli-tallene B k kan beskrives som en Taylor-rekke: 1! Denne funksjonen har poler ved 2πn slik at x <2π 17

18 Vi har også: Rekurrensformelen blir 1 1 Bernoulli-tall finnes igjen om koeffisienter i Taylorutvikling av følgende: Venstre side av den ligningen kan uttrykkes som et produkt av potensrekker:!!! Vi kan sammenligne koeffisienten for x n på begge sider:!!! 18

19 Bernoulli-tallene kan man også finne igjen i rekkeutvikling av tan(x), x/sin(x), og log(sin(x)/x) Euler fant igjen Bernoulli-tall i løsningen av Basel-problemet som var å finne grenseverdien for følgende, første gang formulert av Jakob Bernoulli: Alternerende rekker og Cesàrosummering Alternerende rekker er rekker på formen: 1 hvor a n >0 Hvorvidt en slik rekke konvergerer kan undersøkes med Leibniz test, som sier at hvis grensen for sekvensen a n er lik 0 når n går mot uendelig (), det vil si at sekvensen an er monotont minskende, og rekken konvergerer. Følgende alternerende harmoniske rekken konvergerer. Vi viser det med Leibniz test hvor a n =1/n går mot 0 når n går mot uendelig Man kan lage en rekke av de naturlige heltallene og skifte fortegn alternerende : 1 Intuitivt vil vi si at denne rekken divergerer, allikevel skrev Euler at denne rekken konvergerer mot 1/4. 19

20 Figur. Cesàro-summer av tallene opp til 100 Vi ser at summen av 100 ledd i rekken blir 50 og det virker paradoksalt at denne summen skal bli lik 1/4. Ernesto Cesàro ( ) studerte denne summen nærmere, og den er en spesialutgave av følgene rekke, noe også Euler oppdaget: Rekken kalles Guido Grandis rekke, som det kan argumenteres for konvergerer paradoksalt mot 1/2, foreslått av Euler. Grandis uendelig rekke: har Cesàro sum lik 1/2. Dette er også lik Dirichlets etafunksjon η(0): og η(-1) blir lik 1/4, det samme som Cesàro summen av 1 20

21 Figur. Summen av Grandis rekke Sekvensen av delsummer blir 1,0,1,0,, og denne rekken konvergerer ikke. Siden de nevnte rekker er tall som summeres kan man manipulere med rekkefølgen av tallene i summasjonen. Gjennomsnittene av delsummene av rekken blir 21

22 Figur. Cesarosum (C,1) Vi kan regne ut gjennomsnittene av delsummene som blir rekken 1,0,2/3,0,3/5,0,4/7, men vi ser at denne rekken ikke konvergerer som betyr at den er ikke Cesàrosummerbar. Derimot kunne Otto Hölder vise at vi Höldersummering (H,n) og Cesàrosummering (C,n) gir samme resultat. Hvis vi tar snittene av gjennomsnittene (C,2) ser vi at summen konvergerer mot 1/4. Vi kan se at Grandisrekken er Cesàrosummerbar og konvergerer mot en 1/2: Cesàrosummering av uendelige rekker vil generelt si at har man rekken: med delsummen s k for det k-te element: så vil rekken være Cesàrosummerbar hvis delsumrekken konvergerer mot en sum A: 1 lim 22

23 For Grandisrekken ser vi at partialsummene konvergerer ikke, men det gjør gjennomsnittet av delsummene 1/1,1/2,2/3,2/4,3/5,3/6, som blir lik 1/2. lim Vi kan uttrykke Cauchy-produktet av to uendelige rekker (Augustin Louis Cauchy ( ) og i vårt tilfelle med produktet av to Grandisrekker har vi: Vi ser nå at n starter ved 0, men vi får samme resultat som tidligere, og ser at produktet av to Grandisrekker blir lik rekken 1,-2,3,-4,5,-6 Det er også en nær tilknytning til Abelsk summering. Dessuten ser man likhetstrekk med absurde summer man får ved bruk av Riemanns zeta-funksjon. Se også Dirichlets etafunksjon. 23

MAT Grublegruppen Uke 37

MAT Grublegruppen Uke 37 MAT00 - Grublegruppen Uke 37 Jørgen O. Lye Bemerkning: Mye av stoffet i dette notatet er å finne i Kalkulus, kapittel. Dette kapittelet er leselig etter man vet hva følger er, men er ikke pensum før i

Detaljer

1 Mandag 1. februar 2010

1 Mandag 1. februar 2010 Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette

Detaljer

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n

Løsningsforslag. Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen til de rekkene som konvergerer. a) 2 2n /3 n Innlevering BYPE2000 Matematikk 2000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Tirsdag. februar 203 kl. 0:30 Antall oppgaver: 9 Løsningsforslag Avgjør om følgende rekker konvergerer. Finn summen

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

Potensrekker. Binomialrekker

Potensrekker. Binomialrekker Potensrekker Potensrekker er rekker på formen: Potensrekker kan brukes på en rekke områder for å finne tilnærmede eller eksakte løsninger på problemer som ellers kanskje må løses numerisk eller krever

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8

Detaljer

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00 Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet

Detaljer

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009

Sammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009 Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være

Detaljer

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102

Løsningsforslag eksamen 18/ MA1102 Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN BOKMÅL MAT - Høst 03 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT Grunnkurs i Matematikk I Mandag 6. desember 03, kl. 09- Tillatte hjelpemidler: Lærebok ( Calculus

Detaljer

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger.

Kalkulus 1. Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Kalkulus 1 Grenser Et sentralt begrep i kalkulus (matematisk analyse) er grensebegrepet. Ofte ser vi på grenser for funksjoner eller grenser for tallfølger. Vi sier at funksjonen f(x) har en grense f(a)

Detaljer

Fibonaccitallene og det Gylne Snitt

Fibonaccitallene og det Gylne Snitt Fibonaccitallene og det Gylne Snitt 4. mai 2009 1 Fibonacci Er navnet kjent? Leonardo Fibonacci var en italiensk matematiker som levde i Pisa rundt år 1200. Han er anerkjent som en av middelalderens største

Detaljer

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 15. november 2011 Kapittel 8.9. Konvergens av Taylorrekker 3 i 3 i Løs likningen x 2 + 1 = 0 3 i Løs likningen

Detaljer

= x lim n n 2 + 2n + 4

= x lim n n 2 + 2n + 4 NTNU Institutt for matematiske fag TMA400 Matematikk høsten 20 Løsningsforslag - Øving Avsnitt 8.7 6 Potensrekken konvergerer opplagt for x = 0, så i drøftingen nedenfor antar vi x 0. Vi vil bruke forholdstesten

Detaljer

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013

TMA4123/TMA4125 Matematikk 4M/4N Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41/TMA415 Matematikk 4M/4N Vår 1 Løsningsforslag Øving 1 Skriv om følgende trigonometriske funksjoner til fourierrekker ved

Detaljer

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1

Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Velkommen til eksamenskurs i matematikk 1 Haakon C. Bakka Institutt for matematiske fag 4.-5. desember 2010 Program I dag og i morgen skal vi holde på fra 10-16 med en pause fra 13-14. Vi skal gjennom:

Detaljer

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner

Fremdriftplan. I går. I dag. 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner 1 Fremdriftplan I går 1.1 Funksjoner og deres grafer 1.2 Operasjoner av funksjoner I dag 1.3 Trigonometriske funksjoner 1.4 Eksponentialfunksjoner 1.5 Omvendte funksjoner, logaritmiske funksjoner, inverse

Detaljer

Analyse og metodikk i Calculus 1

Analyse og metodikk i Calculus 1 Analyse og metodikk i Calculus 1 Fredrik Göthner og Raymi Eldby Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet 3. desember 01 1 Innhold Forord 3 1 Vurdering av grafer og funksjoner 4 1.1 Hva er en funksjon?.........................

Detaljer

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1

Løsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1 Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene

Detaljer

Oppfriskningskurs i matematikk 2008

Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Oppfriskningskurs i matematikk 2008 Marte Pernille Hatlo Institutt for matematiske fag, NTNU 4.-9. august 2008 Velkommen! 2 Temaer Algebra Trigonometri Funksjoner og derivasjon Integrasjon Eksponensial-

Detaljer

Taylor- og Maclaurin-rekker

Taylor- og Maclaurin-rekker Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG

OPPGAVE 1 LØSNINGSFORSLAG LØSNINGSFORSLAG UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT - Grunnkurs i matematikk I torsdag 5.desember 20 kl. 09:00-4:00 OPPGAVE a Modulus: w = 2 + 3 2 = 2. Argument

Detaljer

Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 2: Funksjoner (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 16. august, 2012 Eksponentialfunksjoner Eksponentialfunksjoner Definisjon: Eksponentialfunksjon En

Detaljer

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag

Matematikk 1. Oversiktsforelesning. Lars Sydnes November 25, Institutt for matematiske fag Matematikk 1 Oversiktsforelesning Lars Sydnes sydnes@math.ntnu.no Institutt for matematiske fag November 25, 2009 LS (IMF) tma4100rep November 25, 2009 1 / 21 Matematikk 1 Hovedperson Relle funksjoner

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 19. august 2010 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 9. august 200 2 Funksjon som en maskin x Funksjon f f(x) 3 Definisjon- og verdimengde x f(x) 4 Funksjon som en

Detaljer

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7

Løsningsforslag eksamen i TMA4100 Matematikk desember Side 1 av 7 Løsningsforslag eksamen i TMA4 Matematikk 2. desember 23. Side av 7 Oppgave Løs initialverdiproblemet y (2/x)y, y() 2. Løsning: y (2/x)y er en førsteordens lineær differensialligning. Vi finner en løsning

Detaljer

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1

Løsningsforslag til Mat112 Obligatorisk Oppgave, våren Oppgave 1 Løsningsforslag til Mat2 Obligatorisk Oppgave, våren 206 Oppgave Avgjør om følgende rekker er konvergente: (a) n + n n + n + Løsning: rekken lim : n n + n n + n + Vi bruker grensesammenligningstesten mhp.

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

Oversikt over Matematikk 1

Oversikt over Matematikk 1 1 Oversikt over Matematikk 1 Induksjon Grenser og kontinuitet Skjæringssetningen Eksistens av ekstrempunkt Elementære funksjoner Derivasjon Sekantsetningen Integrasjon Differensialligninger Kurver i planet

Detaljer

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2

NTNU Institutt for matematiske fag. TMA4100 Matematikk 1 høsten Løsningsforslag - Øving 8. Oppgave 1. Oppgave 2 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4 Matematikk høsten Løsningsforslag - Øving 8 Oppgave b. Vi har at f() > og f(π/) π /6

Detaljer

Funksjoner - i et litt annet lys?

Funksjoner - i et litt annet lys? Funksjoner - i et litt annet lys? Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo Leonhard Euler (1707-1783) Store Norske Leksikon: En funksjon (eller avbildning) er en regel som til ethvert element i en mengde

Detaljer

Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier

Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier Uendelige rekker. Konvergens og konvergenskriterier : Et absolutt nødvendig, men ikke tilstrekkelig vilkår for konvergens er at: lim 0 Konvergens vha. delsummer :,.,,,. I motsatt fall divergerer rekka.

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

Komplekse tall og Eulers formel

Komplekse tall og Eulers formel Komplekse tall og Eulers formel Harald Hanche-Olsen 2011-03-24 1. Oppvarming Jeg vil anta at leseren er kjent med komplekse tall, men vil likevel si noen ord om temaet. Naivt kan man starte med bare å

Detaljer

Følger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014

Følger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014 Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og

Detaljer

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1

Løsningsforslag til prøveeksamen i MAT1100, H-14 DEL 1 Løsningsforslag til prøveeksamen i MT, H- DEL. ( poeng Hva er den partiellderiverte f y sin(xy cos(xy y sin(xy x sin(xy cos(xy xy sin(xy cos(xy y sin(xy + xy sin(xy når f(x, y = y cos(xy? Riktig svar:

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002

Løsningsforslag Eksamen M100 Våren 2002 Løsningsforslag Eksamen M00 Våren 00 Oppgave Evaluerer grensen cos( ) 0 ( sin( ) ) 0 6 0 6 5 0 sin( ) 0 sin( ) = Har brukt l Hôpitals regel (derivert teller og nevner hver for seg) i første og tredje overgang.

Detaljer

Integrasjon. Hvis f(x) er en gitt funksjon så er integralet av f(x) en samling med alle antideriverte til f(x). Integraltegnet står for en sum

Integrasjon. Hvis f(x) er en gitt funksjon så er integralet av f(x) en samling med alle antideriverte til f(x). Integraltegnet står for en sum Integrasjon Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Numerisk integrasjon og Simpsons regel... 5 Areal ved Riemann sum... 5 Areal ved trapesmetoden... 6 Numerisk integrasjon og Simpsons regel... 8 Volum ved rotasjon...

Detaljer

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014

TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4105 Matematikk 2 Vår 2014 Løsningsforslag Øving 7 10.4.7 Vi skal finne likningen til et plan gitt to punkter P = (1, 1,

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis

Detaljer

MAT jan jan feb MAT Våren 2010

MAT jan jan feb MAT Våren 2010 MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07

Løsningsforslag til eksamen i MAT 1100 H07 Løsningsforslag til eksamen i MAT H7 DEL. (3 poeng Hva er den partiellderiverte f y når f(x, y, z = xeyz? xze yz e yz xe yz e yz + xze yz e yz + xze yz + xye yz Riktig svar: a xze yz Begrunnelse: Deriver

Detaljer

Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner

Kapittel 1. Funksjoner. 1.1 Definisjoner Kapittel 1 Funksjoner Kurset MAT1001 dreier seg kort sagt om å lage matematiske problemer av virkeligheten og deretter løse problemene. Hittil i kurset har vi allerede møtt mange problemer, og de har så

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998

Løsningsforslag Eksamen M100 Høsten 1998 Løsningsforslag Eksamen M00 Høsten 998 Oppgave { x y = f(x) = + x + a hvis x ln( + x ) x hvis < x lim f(x) = f( ) = + a = a x lim f(x) = ln( + x ( ) ) ( ) = ln + For at f(x) skal være kont. i x = må lim

Detaljer

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124

x 2 = x 1 f(x 1) (x 0 ) 3 = 2 x 2 n n x 1 n 0 0, , , , , , , , , , , 7124 NTNU Institutt for matematiske fag TMA4100 Matematikk 1 høsten 011 Løsningsforslag - Øving 4 Avsnitt 47 3 La f(x) = x 4 +x 3 med f (x) = 4x 3 +1 Med x 0 = 1 får ein med Newtons metode at Med x 0 = 1 får

Detaljer

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011

Funksjoner Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. august 2011 Funksjoner Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 8. august 20 2 Definisjon av funksjon Definisjon En funksjon er en regel f som til et hvert tall i definisjonsmengden

Detaljer

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Newtons metode - Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 20. september 2011 Kapittel 4.7. Newtons metode 3 Eksakt løsning Den eksakte løsningen av

Detaljer

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger

MA1410: Analyse - Notat om differensiallikninger Høgskolen i Agder Avdeling for realfag MA40: Analyse - Notat om differensiallikninger Dato: Høsten 2000 Merknader: Dette notatet kommer i tillegg til 4.2 og 6. i læreboka. Ma 40: Analyse skal inneholde

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver

Detaljer

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a

Detaljer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer

IR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/

Løsningsforslag Eksamen i MA1102/MA6102 Grunnkurs i analyse II 17/ Løsningsforslag Eksamen i MA0/MA60 Grunnkurs i analyse II 7/ 008 Oppgave y = y +, y(0) = 0 a) n n y n y = n y n + y = y y n+ 0 0 0 / / / / / 5/4 / 5/8 9/8 9/8 så Eulers metode med steglengde / gir oss

Detaljer

11 Nye geometriske figurer

11 Nye geometriske figurer MTMTIKK: Nye geometriske figurer Nye geometriske figurer. Høydeling. et gylne snitt Vi tar for oss linjestykket og avmerker et punkt P. Vi sier at P høydeler linjestykket hvis forholdet mellom det lengste

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål

Eksamen AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister. Nynorsk/Bokmål Eksamen 05.12.2007 AA6524 Matematikk 3MX Elevar/Elever AA6526 Matematikk 3MX Privatistar/Privatister Nynorsk/Bokmål Oppgave 1 a) Deriver funksjonen: f x 2 ( ) = cos( x + 1) b) Løs likningen og oppgi svaret

Detaljer

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.6. Alternerende rekker Absolutt og betinget konvergens 3 Alternerende rekker

Detaljer

SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag

SIF5003 Matematikk 1, 5. desember 2001 Løsningsforslag SIF5003 Matematikk, 5. desember 200 Oppgave For den første grensen får vi et /-uttrykk, og bruker L Hôpitals regel markert ved =) : lim 0 + ln ln sin 0 + cos sin 0 + cos sin ) =. For den andre får vi et

Detaljer

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra

Sammendrag kapittel 1 - Aritmetikk og algebra Smmendrg kpittel 1 - Aritmetikk og lgebr Regneregler for brøker Utvide brøk: Gng med smme tll i teller og nevner. b = k b k Forkorte brøk: del med smme tll i teller og nevner. b = : k b : k Summere brøker:

Detaljer

Naturens verden er fyllt med fantastiske former.

Naturens verden er fyllt med fantastiske former. Fibonacci med nye øyne Naturens hemmelige matematiske verden Mike Naylor, Nasjonalt Senter for Matematikk i Opplæringen Naturens verden er fyllt med fantastiske former. Mange former i naturen er koblet

Detaljer

Institutionen för Matematik, KTH

Institutionen för Matematik, KTH Institutionen för Matematik, KTH Lösningsforslag till tentamen, 200-2-7, kl. 8.00-.00. 5B04, Envariabel. Uppgift. Den karakteristiske ligningen r 2 r + 2 0 kan omskrives som (r )(r 2) 0. Den generelle

Detaljer

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.

Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom

Detaljer

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD

TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD TRIGONOMETRI KRISTIN LÅGEIDE OG THEA-KAROLINE NOMERSTAD Abstract. Oppgaven tar for seg utvalgte temaer innenfor trigonometri, og retter seg mot lærere som skal undervise i fagene 1T og R2. Date: May 7,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/Utsatt eksamen i: MAT1001 Matematikk 1 Eksamensdag: Torsdag 15 januar 2015 Tid for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på 5 sider Vedlegg:

Detaljer

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1

EKSAMEN BOKMÅL STEMMER. DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember :00-13: FAGKODE: IR Matematikk 1 EKSAMEN BOKMÅL DATO: TID: OPPG. SIDER: VEDLEGG: 3 desember 15 9:-13: FAGKODE: FAGNAVN: IR151 Matematikk 1 HJELPEMIDLER: Del 1: kl 9.-11. Ingen Del : kl 11.-13. Lommeregner Lærebok etter fritt valg Matematisk

Detaljer

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon

Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Skoleprosjekt i MAT4010: Derivasjon Marie Vaksvik Draagen, Anne Line Kjærgård og Cecilie Anine Thorsen 20. mars 2014 1 Innhold 1 Introduksjon 3 1.1 Oppgavebeskrivelse................................. 3

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Fredag 7. desember 27. Tid for eksamen: 9: 12:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

Myntkast og binomialfordelingen

Myntkast og binomialfordelingen Myntkast og binomialfordelingen Halvor Aarnes, UiO, 2014 Innhold Myntkast... 1 Fakultetsfunksjonen og binomialkoeffisienter... 6 Bernoullifordeling... 8 Binomialfordelingen og Bernoulli-eksperimenter...

Detaljer

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100

Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Konvergenstester Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.3. Integrasjonstesten 3 Ikke-avtagende delsummer Husker at n-te delsum av

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010

TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 TMA4100 Matematikk 1 for MTDESIG, MTIØT-PP, MTMART og MTPROD høsten 2010 Toke Meier Carlsen Institutt for matematiske fag 28. oktober 2010 2 Fremdriftplan I går 7.7 Uegentlige integraler 8.1 Følger I dag

Detaljer

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014

EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 EKSAMEN I 3MX-R2 (3MZ-S2), SPØRREUNDERSØKELSE AUGUST 2014 Matematikk R2 Oversikt over hovedområdene: Programfag Hovedområder Matematikk R1 Geometri Algebra Funksjoner Matematikk R2 Geometri Algebra Funksjoner

Detaljer

x n+1 rx n = 0. (2.2)

x n+1 rx n = 0. (2.2) Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.

Detaljer

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015

Oppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015 Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Ny/utsatt eksamen i Eksamensdag: 9. august 2. Tid for eksamen: 9 2. Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: MAT Kalkulus

Detaljer

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I

Løsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(

Detaljer

Komplekse tall og trigonometri

Komplekse tall og trigonometri Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.

Detaljer

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile

MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for

Detaljer

Rekker, Konvergenstester og Feilestimat

Rekker, Konvergenstester og Feilestimat NTNU December 8, 2012 Oversikt 1 2 3 4 5 6 For å forstå, må vi først forstå potensrekker For å forstå potensrekker, må vi først forstå rekker. For å forstå rekker, må vi først forstå følger. Definisjon

Detaljer

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011

Derivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011 Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner

Detaljer

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009

TMA4100 Matematikk1 Høst 2009 TMA400 Matematikk Høst 2009 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving 2 8926 Vi serieutvikler eksponentialfunksjonen e u om u 0 og får e u + u +

Detaljer

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag

Obligatorisk oppgave i MAT 1100, H-03 Løsningsforslag Oppgave : Obligatorisk oppgave i MAT, H- Løsningsforslag a) Vi skal regne ut dx. Substituerer vi u = x, får vi du = x dx. De xex nye grensene er gitt ved u() = = og u() = = 9. Dermed får vi: 9 [ ] 9 xe

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3

Løsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3 Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2

Detaljer

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon.

De hele tall har addisjon, multiplikasjon, subtraksjon og lineær ordning, men ikke divisjon. Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker

Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Seksjonene 9.6-7: Potensrekker og Taylor/Maclaurinrekker Andreas Leopold Knutsen 14. februar 2012 Funksjonsrekker En rekke på formen fn(x) der fn er en funksjon, kalles en n=1 funksjonsrekke. For alle

Detaljer

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003

Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 2003 Løsningsforslag Prøveeksamen i MAT-INF 1100, Høsten 003 Denne prøveeksamenen har samme format som den virkelige eksamenen, og inneholder oppgaver av samme type og vanskelighetsgrad. Første del av eksamen

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag

UNIVERSITETET I OSLO. Løsningsforslag UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT00 Kalkulus Eksamensdag: Fredag 4. oktober 20 Tid for eksamen: 5.00 7.00 Oppgavesettet er på 8 sider. Vedlegg: Tillatte

Detaljer

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012

Arne B. Sletsjøe. Oppgaver, MAT 1012 Arne B. Sletsjøe Oppgaver, MAT 101 1 En-variabel kalkulus 1.1 I de følgende oppgavene, i) finn alle kritiske punkter til f(x), ii) beskriv monotoniegenskapene til funksjonene ved å se på fortegnet til

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger Eksamensdag: 12. desember 2003 Tid for eksamen: 9:00 12:00 Oppgavesettet er på 7 sider.

Detaljer

Hans Petter Hornæs,

Hans Petter Hornæs, Innledning til Matematikk Hans Petter Hornæs, hans.hornaes@hig.no Det er ofte vanskelig å komme i gang et fag. Innledningsvis er det gjerne en del grunnleggende begreper som må på plass. Mange studenter

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B

SAMMENDRAG OG FORMLER. Nye Mega 9A og 9B SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 9A og 9B 1 Sammendrag og formler Nye Mega 9A Kapittel A GEOMETRI Regulære mangekanter Når alle sidene er like lange og alle vinklene er like store i en mangekant, sier vi

Detaljer

Notat om trigonometriske funksjoner

Notat om trigonometriske funksjoner Notat om trigonometriske funksjoner Dette notatet ble først skrevet for MA000 våren 005 av Ole Jacob Broch. Dette er en noe omarbeidet versjon skrevet høsten 0. Radianer Anta at en vinkel A er gitt, f.eks

Detaljer

EKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid:

EKSAMEN. Om eksamen. EMNE: MA2610 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke. Klasser: (div) Dato: 18. feb Eksamenstid: . EKSAMEN EMNE: MA61 FAGLÆRER: Svein Olav Nyberg, Morten Brekke Klasser: (div) Dato: 18. feb. 4 Eksamenstid: 9 1 Eksamensoppgaven består av følgende: Antall sider (ink. forside): 8 Antall oppgaver: 5 Antall

Detaljer

Hvis vi har informasjon om geometrien, hva vet vi da om den underliggende algebraiske strukturen?

Hvis vi har informasjon om geometrien, hva vet vi da om den underliggende algebraiske strukturen? Den første Abel-prisen er tildelt Jean-Pierre Serre, en av vår tids store matematikere. Serre er professor emeritus ved Collège de France i Paris. Han har gitt dyptgående bidrag til matematikkens utvikling

Detaljer

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon

Kapittel 2. Antiderivering. 2.1 Derivasjon Kapittel 2 Antiderivering I dette og neste kapittel skal vi bli kjent med noen typer difflikninger og lære hvordan disse kan løses. Til dette trenger vi derivering og antiderivering. 2.1 Derivasjon I Kapittel

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016

UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT111, høsten 2016 UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 3 i emnet MAT, høsten 206 Innleveringsfrist: Mandag 2. november 206, kl. 4, i Infosenterskranken i inngangsetasjen

Detaljer

Sammendrag kapittel 9 - Geometri

Sammendrag kapittel 9 - Geometri Sammendrag kapittel 9 - Geometri Absolutt vinkelmål (radianer) Det absolutte vinkelmålet til en vinkel v, er folholdet mellom buelengden b, og radien r. Buelengde v = b r Med v i radianer! b = r v Omregning

Detaljer