Andrew Wiles, modularitetsformodningen og Fermats siste sats
|
|
- Lucas Arntsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Andrew Wiles, modularitetsformodningen og Fermats siste sats John Rognes Universitetet i Oslo Hamar, 15. september 2016
2 Andrew Wiles
3 Det Norske Videnskaps-Akademi har besluttet å tildele Abelprisen for 2016 til Sir Andrew J. Wiles, Universitetet i Oxford, for hans oppsiktsvekkende bevis av Fermats siste sats, ved hjelp av modularitetsformodningen for semistabile elliptiske kurver, noe som innledet en helt ny æra innen tallteorien.
4 Fermats siste sats Pytagoreiske tripler Fermats påstand Modularitetsformodningen Elliptiske kurver Punkt-telling Modulære former Fourier-koeffisienter Wiles bevis Freys kurve Galois-representasjoner Selmer-grupper
5 Plimpton 322 (fra Babylon, ca f.kr.)
6 = Den første linjen
7 Hele tall a, b, c med a 2 + b 2 = c 2 kalles pytagoreiske tripler. (Vi kan anta at a, b, c er relativt primiske, og at a er odde.) Teorem (Euklid) Ethvert slikt trippel kan skrives på formen a = p 2 q 2 b = 2pq c = p 2 + q 2 for hele tall p, q.
8 Fermats siste sats Pytagoreiske tripler Fermats påstand Modularitetsformodningen Elliptiske kurver Punkt-telling Modulære former Fourier-koeffisienter Wiles bevis Freys kurve Galois-representasjoner Selmer-grupper
9 Pierre de Fermat ( )
10 Diofants Arithmetica, i latinsk oversettelse (1621)
11 ... cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.
12 Fermats påstand: Det finnes ingen naturlige tall a, b, c og n > 2, slik at a n + b n = c n. Bevis? Dette var den siste av Fermats påstander som forble ubevist derfor Fermats siste sats.
13 Hvis n = pm kan vi skrive om likningen som (a m ) p + (b m ) p = (c m ) p så det er tilstrekkelig å betrakte tilfellene n = 4, og n = p et vilkårlig odde primtall. Fermat kunne bevise tilfellet n = 4.
14 Sophie Germain ( ) Ernst Kummer ( ) Innen 1993 var Fermats påstand bevist for alle odde primtall p < Uendelig mange tilfeller stod igjen.
15 Fermats siste sats Pytagoreiske tripler Fermats påstand Modularitetsformodningen Elliptiske kurver Punkt-telling Modulære former Fourier-koeffisienter Wiles bevis Freys kurve Galois-representasjoner Selmer-grupper
16 Niels Henrik Abels tegning av en lemniskate
17 Den første elliptiske kurven i naturen er gitt ved likningen E : y 2 + y = x 3 x 2. Reell løsningsmengde E(R) med (x, y) i R 2 P 2 (R)
18 Kompleks løsningsmengde E(C) med (x, y) i C 2 P 2 (C) Tre ulike tverrsnitt
19 Fermats siste sats Pytagoreiske tripler Fermats påstand Modularitetsformodningen Elliptiske kurver Punkt-telling Modulære former Fourier-koeffisienter Wiles bevis Freys kurve Galois-representasjoner Selmer-grupper
20 Helmut Hasse ( )
21 For hvert primtall l gjør sum og produkt modulo l mengden F l = Z/(l) = {0, 1,..., l 1} til en kropp, dvs. et tallsystem med liknende egenskaper som R og C. Eksempel: F 3 = {0, 1, 2} har følgende addisjons- og multiplikasjonstabell (modulo 3)
22 Betrakt løsningene (x, y) i (F l ) 2 til likningen y 2 + y x 3 x 2 mod l. Eksempel: = 6 48 = mod 7 så (4, 2) E(F 7 ). y 2 y 4 y y x x x x Modulær løsningsmengde E(F l ) i F 2 l P2 (F l ) for l = 2, 3, 5, 7
23 La #E(F l ) = antallet punkter i E(F l ) og definer heltallet a l ved a l = (l + 1) #E(F l ). l #E(F l ) a l Tallene a l for y 2 + y = x 3 x 2
24 Følgen av tall a l = (l + 1) #E(F l ) husker hvor mange punkter den elliptiske kurven E har, med koordinater i F l, for hvert primtall l.
25 Fermats siste sats Pytagoreiske tripler Fermats påstand Modularitetsformodningen Elliptiske kurver Punkt-telling Modulære former Fourier-koeffisienter Wiles bevis Freys kurve Galois-representasjoner Selmer-grupper
26 Symmetrier i det øvre halvplanet H (av T. Womack)
27 [ ] a b Gruppen av heltallsmatriser med ad bc = 1 virker c d som hyperbolske symmetrier på det øvre halvplanet ved formelen H = {z C im(z) > 0} z az + b cz + d. Hver ensfarget trekant sendes til hver annen slik trekant ved en av disse symmetriene.
28 En modulær form f (z) er en kompleks funksjon f : H C z f (z) som respekterer (mange av) de hyperbolske symmetriene.
29 Eksempel: La F(q) = q (1 q n ) 2 (1 q 11n ) 2 n=1 for q < 1, og la f (z) = F(q) for im(z) > 0, der q = e 2πiz. Da er f ( az + b cz + d ) = (cz + d)2 f (z) [ ] a b for enhver heltallsmatrise med ad bc = 1 og c 0 c d mod 11. f (z) er en modulær form av vekt 2 og nivå 11.
30 Fermats siste sats Pytagoreiske tripler Fermats påstand Modularitetsformodningen Elliptiske kurver Punkt-telling Modulære former Fourier-koeffisienter Wiles bevis Freys kurve Galois-representasjoner Selmer-grupper
31 Potensrekken F(q) = b n q n n=1 kan skrives som en Fourier-rekke f (z) = b n e 2πinz. n=1 Tallene (b n ) n er Fourier-koeffisientene til den modulære formen.
32 Martin Eichler ( )
33 F(q) = q (1 q n ) 2 (1 q 11n ) 2 = n=1 b n q n n=1 = q 2q 2 q 3 + 2q 4 + q 5 + 2q 6 2q 7... er den første modulære formen av vekt 2 i naturen. Husk tabellen med antallet punkter med koordinater i F l for den elliptiske kurven E : y 2 + y = x 3 x: l #E(F l ) a l
34 F(q) = q (1 q n ) 2 (1 q 11n ) 2 = n=1 b n q n n=1 = q 2q 2 q 3 + 2q 4 + q 5 + 2q 6 2q 7... er den første modulære formen av vekt 2 i naturen. Husk tabellen med antallet punkter med koordinater i F l for den elliptiske kurven E : y 2 + y = x 3 x: l #E(F l ) a l
35 Teorem (Eichler (1954)) For den første elliptiske kurven E : y 2 + y = x 3 x 2 og den første modulære formen f (z) av vekt 2, holder likheten for hvert primtall l. a l = b l Vi sier at den elliptiske kurven E er modulær.
36 Yutaka Taniyama ( ) Goro Shimura
37 Formodning (Taniyama (1955), Shimura) For enhver elliptisk kurve E : y 2 + α 1 xy + α 3 y = x 3 + α 2 x 2 + α 4 x + α 6, med α 1,..., α 6 Q rasjonale tall, finnes det en modulær form f (z) av vekt 2, slik at a l = b l for (nesten) alle primtall l. Telling av punkter på kurven gir samme tallfølge som Fourier-koeffisientene til en modulær form.
38 André Weil ( ) [med Atle Selberg ( )]
39 Formodning (Hasse Weil (1967)) For enhver elliptisk kurve E definert over Q, med konduktør N, finnes det en modulær form f (z) av vekt 2 og nivå N, slik at a l = b l for alle primtall l som ikke deler N.
40 Ob die Dinge immer, d. h. für jede über Q definierte Kurve C, sich so verhalten, scheint im Moment noch problematisch zu sein und mag dem interessierten Leser als Übungsaufgabe empfohlen werden. André Weil (1966)
41 Fermats siste sats Pytagoreiske tripler Fermats påstand Modularitetsformodningen Elliptiske kurver Punkt-telling Modulære former Fourier-koeffisienter Wiles bevis Freys kurve Galois-representasjoner Selmer-grupper
42 Gerhard Frey
43 Konstruksjon (Frey, 1984) La p 5. En løsning a p + b p = c p til Fermats likning gir opphav til en semistabil elliptisk kurve med usedvanlige egenskaper. E : y 2 = x(x a p )(x + b p ) Kurven E er ramifisert over 2, og flat over p, men ellers uramifisert.
44 Ken Ribet
45 Teorem (Ribet, 1986) De usedvanlige egenskapene gjør at Frey-kurven ikke er modulær. Kurven E ville svare til en kuspidal modulær form f (z) av vekt 2 og nivå 2, og det finnes ingen slike.
46 Andrew Wiles, 23. juni 1993
47 Teorem (Wiles, 1994) Enhver semistabil elliptisk kurve definert over Q er modulær. Modularitetsformodningen til Taniyama, Shimura og Weil holder i det semistabile tilfellet. Dette kalles nå Wiles modularitetsteorem.
48 Andrew Wiles, 23. juni 1993
49 Bevis av Fermats siste sats: Anta det finnes en løsning a p + b p = c p til Fermats likning, for p 5.
50 Bevis av Fermats siste sats: Anta det finnes en løsning a p + b p = c p til Fermats likning, for p 5. Frey (1984): Den hypotetiske løsningen gir opphav til en elliptisk kurve y 2 = x(x a p )(x + b p ) med usedvanlige egenskaper.
51 Bevis av Fermats siste sats: Anta det finnes en løsning a p + b p = c p til Fermats likning, for p 5. Frey (1984): Den hypotetiske løsningen gir opphav til en elliptisk kurve y 2 = x(x a p )(x + b p ) med usedvanlige egenskaper. Ribet (1986): De usedvanlige egenskapene gjør at Frey-kurven ikke er modulær.
52 Bevis av Fermats siste sats: Anta det finnes en løsning a p + b p = c p til Fermats likning, for p 5. Frey (1984): Den hypotetiske løsningen gir opphav til en elliptisk kurve y 2 = x(x a p )(x + b p ) med usedvanlige egenskaper. Ribet (1986): De usedvanlige egenskapene gjør at Frey-kurven ikke er modulær. Wiles (1994): Enhver elliptisk kurve er modulær.
53 Bevis av Fermats siste sats: Anta det finnes en løsning a p + b p = c p til Fermats likning, for p 5. Frey (1984): Den hypotetiske løsningen gir opphav til en elliptisk kurve y 2 = x(x a p )(x + b p ) med usedvanlige egenskaper. Ribet (1986): De usedvanlige egenskapene gjør at Frey-kurven ikke er modulær. Wiles (1994): Enhver elliptisk kurve er modulær. Dette er en selvmotsigelse.
54 Bevis av Fermats siste sats: Anta det finnes en løsning a p + b p = c p til Fermats likning, for p 5. Frey (1984): Den hypotetiske løsningen gir opphav til en elliptisk kurve y 2 = x(x a p )(x + b p ) med usedvanlige egenskaper. Ribet (1986): De usedvanlige egenskapene gjør at Frey-kurven ikke er modulær. Wiles (1994): Enhver elliptisk kurve er modulær. Dette er en selvmotsigelse. Altså finnes det ingen løsning til Fermats likning!
55 Fermats siste sats Pytagoreiske tripler Fermats påstand Modularitetsformodningen Elliptiske kurver Punkt-telling Modulære former Fourier-koeffisienter Wiles bevis Freys kurve Galois-representasjoner Selmer-grupper
56 Andrew Wiles
57 Bevis av Wiles modularitetsteorem: Wiles oversetter spørsmålet om modularitet for en elliptisk kurve E til et spørsmål om modularitet for en p-adisk Galois-representasjon Reduksjonen ρ p : G Q GL 2(Z p ). ρ p : G Q GL 2(Z/p) uttrykker virkningen av Galois-substitusjonene σ G Q på gruppen E[p] = Z/(p) Z/(p) av p-torsjonspunkter på kurven E.
58 Q O P 3-torsjonspunkter på lemniskaten (reellt bilde)
59 Wiles utvikler en løftningsteknikk for modularitet: Teorem (Wiles, 1994) Dersom ρ er modulær og irredusibel, så er ρ modulær. ρ kalles en løftning av ρ. Beviset bruker Mazurs deformasjonsteori for Galois-representasjoner.
60 Barry Mazur
61 Teorem (Mazur, 1978) ρ p er irredusibel for p = 3 eller p = 5. Teorem (Langlands Tunnell, 1980/81) Dersom ρ 3 er irredusibel, så er ρ 3 modulær. Teorem (Wiles, 1993) Dersom ρ 3 er redusibel, så er ρ 5 modulær. Altså er ρ p modulær for p = 3 eller p = 5, så E er modulær. Q.E.D.
62 Robert Langlands Jerrold Tunnell
63 Fermats siste sats Pytagoreiske tripler Fermats påstand Modularitetsformodningen Elliptiske kurver Punkt-telling Modulære former Fourier-koeffisienter Wiles bevis Freys kurve Galois-representasjoner Selmer-grupper
64 Ernst Selmer ( )
65 Bevis av Wiles løftningsteorem bygger på en beregning av ordenen til en såkalt Selmer-gruppe. Wiles opprinnelige bevis for dette (fra 1993) inneholdt en feil. Et korrekt bevis ble funnet i 1994 av Taylor og Wiles.
66 Richard Taylor
67 Goro Shimura
Noen tallteoretiske resultater av Fermat
Noen tallteoretiske resultater av Fermat Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo Pierre de Fermat (1601/1607-1665) Fermats lille teorem Fermats rettvinklede teorem Fermats siste teorem Cubum autem in duos
DetaljerFermats siste teorem. Arne B. Sletsjøe. Universitetet i Oslo
Fermats siste teorem Arne B. Sletsjøe Universitetet i Oslo 3 8.198.204.823 Teorem (Wiles, 1993-95) Likningen x n + y n = z n Sir Andrew Wiles (1954-) har ingen ikke-trivielle heltalls-løsninger for n >
DetaljerAbelprisvinner L-funksjoner Kjempers skuldre Galois Frobenius Artin Wiles. Årets Abel-pris Robert Langlands
Årets Abel-pris Robert Langlands L for Langlands L-funksjoner L for Langlands L-funksjoner L for L-funksjoner L for Langlands L-funksjoner L for L-funksjoner L-funksjoner er spesielle funksjoner av typen
DetaljerFermats siste teorem
Fermats siste teorem Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.
DetaljerFERMATS SISTE TEOREM. John Rognes. Desember 1994
FERMATS SISTE TEOREM John Rognes Desember 1994 er 1. Den pythagoreiske læresetning La ABC være en rettvinklet trekant, med kateter a og b, og hypotenus c. Da (1) a 2 +b 2 = c 2 i følge den pythagoreiske
DetaljerLitt om diofantiske likninger
1 Litt om diofantiske likninger av Dag Magne Johannessen Når vi skal løse en likning eller et likningssett, diskuterer vi sjelden hvilken grunnmengde som er til rådighet. Problemet går som regel ut på
DetaljerDette brukte vi f.eks. til å bevise binomialteoremet. n i. (a + b) n = a i b n i. i=0
Prinsippet om matematisk induksjon: anta du har en påstand som er avhengig av et positivt heltall n. Om du kan vise to ting, nemlig at påstanden er sann for n = 1 og at om påstanden er sann for n = k,
DetaljerSyklotome heltall og Kummers bevis for Fermats siste teorem. Paul Mathias Høglend Masteroppgave, våren 2017
Syklotome heltall og Kummers bevis for Fermats siste teorem Paul Mathias Høglend Masteroppgave, våren 2017 Denne masteroppgaven er levert inn under masterprogrammet Matematikk, studieretning Matematikk,
DetaljerEt løst og et par uløste matematiske problem
Kapittel 35 Et løst og et par uløste matematiske problem I dette kapitlet skal vi fortelle deg om et berømt matematisk problem som nylig ble løst etter 35 år, og om et par som fortsatt er uløste. Et løst
DetaljerHvis vi har informasjon om geometrien, hva vet vi da om den underliggende algebraiske strukturen?
Den første Abel-prisen er tildelt Jean-Pierre Serre, en av vår tids store matematikere. Serre er professor emeritus ved Collège de France i Paris. Han har gitt dyptgående bidrag til matematikkens utvikling
DetaljerQED 1 7. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter
QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 2 Fasit kapittel 1 Tallenes hemmeligheter Kapittel 1 Oppgave 8. Nei Oppgave 9. Det nnes ikke nødvendigvis et minste element i mengden. Et eksempel
DetaljerDiofantiske likninger og Fermats Store Sats
Diofantiske likninger og Fermats Store Sats Notater fra forelesninger i et prosjekt for gymnaset støttet av Marianne och Marcus Wallenbergs stiftelse. Dan Laksov Matematiska Institutionen KTH Matematiska
DetaljerMAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile
MAUMAT644 ALGEBRA vår 2016 Første samling Runar Ile 1 Introduksjon: Grupper og ringer Ringer En ring er et sted hvor du kan addere, subtrahere og multiplisere. Hvis du også kan dividere kalles ringen for
DetaljerABELPRISEN FOR 2016 TIL SIR ANDREW JOHN WILES
INFOMAT Mars 2016 ABELPRISEN FOR 2016 TIL SIR ANDREW JOHN WILES The Norwegian Academy of Science and Letters has decided to award the Abel Prize for 2016 to Sir Andrew J. Wiles, University of Oxford for
DetaljerCauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen
Cauchys sats og Abels bevis for uløsbarheten av 5. gradslikningen Faglig-pedagogisk dag, 3. januar 2006 Arne B. Sletsjøe Matematisk institutt Universitetet i Oslo Cauchys sats (Journal de L école polytechnique,
DetaljerForord. Oslo, juni 2001 Arne B. Sletsjøe
Forord Dette heftet i tallteori er tilpasset Matematisk institutts nettbaserte kurs i tallteori og baserer seg i stor grad på Erik Alfsen og Tom Lindstrøms kompendium i tallteori for MA 115/215. Heftet
DetaljerLøysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005.
Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Oppgåve 1 a) Rekn ut gcd(788, 116). Finn alle løysingane i heile tal til likninga 788x + 116y = gcd(788, 116). b) Ein antikvar sel ein dag nokre
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 3
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Onsdag 8. august 2018 Dagen i dag Tema 4 Polynomer: Faktorisering, røtter, polynomdivisjon, kvadratiske ligninger og rasjonale
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsninger til Eksamen
MA1301 Tallteori Høsten 2014 Løsning til Eksamen Richard Williamson 11. desemb 2014 Innhold Oppgave 1 2 a)........................................... 2 b)........................................... 2 c)...........................................
DetaljerTMA4100 Matematikk 1, høst 2013
TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall
DetaljerOversikt over det kinesiske restteoremet
Oversikt over det kinesiske restteoremet Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Finn et heltall x slik at: (1) x 2 (mod 6); (2) x 3 (mod 11). Hvordan vet jeg at vi bør benytte det kinesiske restteoremet?
DetaljerABC-formodningen. Contents. 1 ABC-formodningen. Mats Myhr Hansen 05/15/ Innledning. Veileder John Rognes
ABC-formodningen Mats Myhr Hansen 05/15/13 Veileder John Rognes Contents 1 ABC-formodningen 1 1.1 Innledning............................. 1 1.2 Uendelig mange ABC-løsninger................. 2 1.3 Kvalitet..............................
Detaljer6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...
Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19
DetaljerProblemløsing. Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse. Einar Andreas Rødland 199X
Problemløsing Treningshefte foran Niels Henrik Abels matematikk-konkurranse Einar Andreas Rødland 199X Innhold 1 Innledning 3 2 Logikk og beviser 3 3 Geometri 5 4 Reductio ad absurdum 7 5 Induksjonsbevis
DetaljerNiels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2015 2016. Finale 1. mars 2016 Oppgave 1. Fargelegg et 2016 1010-rutenett som et sjakkbrett, med rute (i, j) hvit når i + j er et partall og svart når i + j er et
DetaljerOppfriskningskurs i Matematikk
Oppfriskningskurs i Matematikk Dag 3 Stine M. Berge 07.08.19 Stine M. Berge (NTNU) Oppfriskningskurs i Matematikk 07.08.19 1 / 19 Polynomer Polynomer er de enkleste funksjonene Definert og kontinuerlig
DetaljerLøsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010
Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles
DetaljerØvingsforelesning 4. Modulo hva er nå det for no? TMA4140 Diskret Matematikk. 24. og 26. september 2018
Modulo hva er nå det for no? Øvingsforelesning 4 TMA4140 Diskret Matematikk 24. og 26. september 2018 Dagen i dag Repetere den euklidske algoritmen, kongruensregning og annet underveis H11.3a: Inverser
DetaljerTeorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. 8. november 2005 c Vladimir Oleshchuk 35. Teorem 11 (Z n, ) er en endelig abelsk gruppe.
Endelige grupper Teorem 10 (Z n, + n ) er en endelig abelsk gruppe. En gruppe er en mengde S sammen med en binær operasjon definert på S, betegnes (S, ), med følgende egenskaper: 1. a, b S, a b S 2. det
DetaljerDen første implikasjonen er bevist i oppgave 1.30c. Den andre vises kontrapositivt slik:
1. Noen bevismetoder OPPGAVE 1.0 a) x og y er begge partall x= 2 k og y = 2 l og k og l er begge hele tall x y = 2k 2l = 22 kl = 2 s Når både k og l er hele tall, må også s = 2 kl være et helt tall. Derfor
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................
DetaljerNiels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger
Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 20 202 Løsninger Finale 8 mars 202 Oppgave a (i) Om Berit veksler to femkroner og en tjuekrone til tre tikroner, og så to femkroner og tre tikroner til to tjuekroner,
DetaljerForelesning 24 mandag den 10. november
Forelesning 24 mandag den 10. november 6.3 RSA-algoritmen Merknad 6.3.1. Én av de meste berømte anveldesene av tallteori er i kryptografi. Alle former for sikre elektroniske overføringer er avhengige av
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Onsdag 9. oktober 2013. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet
DetaljerEksamen MAT H Løsninger
Eksamen MAT1140 - H2014 - Løsninger Oppgave 1 Vi setter opp en vanlig sannhetsverditabell. La Φ betegne formelen i oppgaven. Tabellen vil bli som følger: A B C A B A C Φ T T T T T T T T F T T T T F T F
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Onsdag 12. oktober 2011. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet er
DetaljerForelesning 14 torsdag den 2. oktober
Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel
DetaljerTALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk
TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke
DetaljerOversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper
Oversikt over bevis at det finnes uendelig mange primtall med bestemte egenskaper Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 La n være et naturlig tall. Bevis at det finnes et primtall p slik at p >
DetaljerMAT 1140 Innføring i klassisk tallteori
MAT1140, H15 MAT 1140 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet er basert på forelesningsnotater av Karl Egil Aubert som senere er blitt bearbeidet av Erik Alfsen, Tom Lindstrøm, Arne B. Sletsjøe og
DetaljerObligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011
Obligatorisk oppgave MAT2200 VÅREN 2011 Alle punkter teller likt. Det kreves at 50% er riktig (som betyr 10 av 19 punkter) for at oppgaven skal godkjennes. Den skal leveres i egen innleveringsboks i 7.
DetaljerPopulærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X.
Om Fargelegging av Kart og Grafer i Planet Populærvitenskapelig kilde: Robin Wilson, Four Colours Suffice/How the Map Problem was Solved, Penguin Books 2003, ISBN 0-141-00908-X. 1. Firefargeteoremet Et
DetaljerSlides til 1.6 og 1.7. Andreas Leopold Knutsen
Slides til 1.6 og 1.7 Andreas Leopold Knutsen January 17, 2010 Begreper Matematiske resultater/utsagn som er sanne kalles gjerne: Teorem = viktig utsagn Proposisjon/Sats/Setning = litt mindre viktig utsagn
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
BOKMÅL UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i emnet MAT220/MAUMAT44 - Algebra Fredag. juni 204, kl. 09-4 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator i samsvar med fakultetets
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 2. Fasit kapittel 2 Tallenes hemmeligheter
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind Fasit kapittel Tallenes hemmeligheter Kapittel Oppgave 5. Nei Oppgave 7. Addisjon og multiplikasjon Oppgave 8. b) Hvis vi ser på hele tall er {1},
DetaljerKomplekse tall og trigonometri
Kapittel Komplekse tall og trigonometri Grunnen til at vi har dette kapittelet midt i temaet Differenslikninger er for å kunne løse andre ordens differenslikninger. Da vil vi trenge å løse andregradslikninger.
DetaljerSTØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5: 1. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går
STØRRELSER OG TALL Om størrelser skriver Euklid i Bok 5:. En størrelse er en del av en annen størrelse, den mindre av den større når den måler (går opp i) den større.. Den større er et multiplum av den
DetaljerForelesning 20 mandag den 27. oktober
Forelesning 20 mandag den 27. oktober 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet Eksempel 5.10.1. La oss se igjen på Proposisjon 5.6.2, hvor vi regnet ut
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerEuklids algoritmen. p t 2. 2 p t n og b = p s 1. p min(t 2,s 2 )
For å finne største felles divisor (gcd) kan vi begrense oss til N, sidenfor alle a, b Z, harvi gcd(a, b) =gcd( a, b ). I prinsippet, dersom vi vet at a = p t 1 kan vi se at 1 p t 2 2 p t n og b = p s
DetaljerEn (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x).
Funksjoner En (reell) funksjon f fra en (reell) mengde D er en regel som til hvert element x D tilordner en unik verdi y = f (x). Mengden D kalles definisjonsmengden (eng.: domain) til f. Merknad Dersom
DetaljerLøsningsforslag til Eksamen i MAT111
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 9. desember 25. Bokmål Løsningsforslag til Eksamen i MAT Mandag 9. desember 25, kl. 9-. Dette er kun et løsningsforslag. Oppgave a) Betrakt de to komplekse
DetaljerESTETIKK I MATEMATIKK. 1. Om det vakre - Er du opptatt av estetikk? - Hva mener du, om jeg ser mye på kunst? - Ja, nei...
ESTETIKK I MATEMATIKK KRISTIAN RANESTAD Abstract. Det vakre spiller en vesentlig motiverende og veiledende rolle i matematikken. Med eksempler fra geometri, tallteori og et gammelt puslespill viser jeg
DetaljerEksamen i TMA4155 Kryptografi Intro Høst 2003 Løsningsskisse
2004-10-25 Eksamen i TMA4155 Kryptografi Intro Høst 2003 Løsningsskisse 1 Et blokkchiffer med blokklengde l og nøkkellengde s består av to funksjoner Ẽ (krypteringsfunksjonen) og D (dekrypteringsfunksjonen)
DetaljerKAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER
KAPITTEL 10. EUKLIDS ALGORITME OG DIOFANTISKE LIGNINGER Euklids algoritme Euklid s setning 1, divisjonslemmaet, fra Bok 7 Gitt to ulike tall. Det minste trekkes så fra det største så mange ganger dette
DetaljerStørste felles divisor. (eng: greatest common divisors)
Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.
DetaljerForelesning Matematikk 4N
Forelesning Matematikk 4N Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 18. september 2006 2 Komplekse fourier rekker (10.5) Målet med denne leksjonen er vise hvordan man skrive fourier rekkene på kompleks
DetaljerKOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004.
KOMPENDIUM FOR FORKURS I MATEMATIKK FOR MASTERSTUDIET I INFORMASJONSSIKKERHET VED HØGSKOLEN I GJØVIK SOMMEREN 2004 av Hans Engenes 18. august 2004 2 Innhold 1 Tallteori 3 1.1 Innledning...............................
DetaljerØvingsforelesning 5. Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk. TMA4140 Diskret Matematikk
Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk Øvingsforelesning 5 TMA4140 Diskret Matematikk 1. og 3. oktober 2018 Dagen i dag Repetere binære, oktale osv. heltallsrepresentasjoner,
DetaljerIl UNIVERSITETET I AGDER
Il UNIVERSITETET I AGDER FAKULTETFOR TEKNOLOGIOG REALFAG EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: MA913 Tall og algebra Dato: 7. desember 2011 Varighet: 09.00 15.00 Antall sider inkl. forside 7 Tillatte hjelpemidler:
Detaljer7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon
Notat 07 for MAT1140 7 Ordnede ringer, hele tall, induksjon Definition 7.1. La R være utstyrt med addisjon og multiplikasjon slik at vi har å gjøre med en kommutativ ring. Anta videre at R er utstyrt med
DetaljerOversikt over kryptografi
Oversikt over kryptografi Richard Williamson 3. desember 2014 Oppgave 1 Person A ønsker å sende meldingen Ha det! til person B, og ønsker å benytte RSAalgoritmen for å kryptere den. Den offentlige nøkkelen
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016
UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Obligatorisk innlevering 1 i emnet MAT111, høsten 2016 Innleveringsfrist: Mandag 26. september 2016, kl. 14, i Infosenterskranken i inngangsetasjen
DetaljerKarakteriseringen av like mengder. Mengder definert ved en egenskap.
Notat 2 for MAT1140 2 Bevis La oss si at vi er overbevist om at utsagn P er sant, og at vi ønsker å kommunisere denne innsikten. Eller la oss si vi er ganske sikre på at P er sant, men ønsker, overfor
DetaljerLF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Haaken A. Moe 92650655 Bokmål LF, KONTINUASJONSEKSAMEN TMA4140 2008 Oppgave 1 (10%)
DetaljerMAT 4000 Innføring i klassisk tallteori
MAT 4000 Innføring i klassisk tallteori Dette heftet i tallteori baserer seg i stor grad på tidligere forelesningsnotater av Karl Egil Aubert, som senere er blitt bearbeidet videre av Erik Alfsen, Tom
Detaljer1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
DetaljerHøyder på elliptiske kurver og faktorisering. Kristian Gjøsteen, NTNU Oppdatert 1. november 2002
Høyder på elliptiske kurver og faktorisering Kristian Gjøsteen, NTNU Oppdatert 1. november 2002 2 Lenstras faktoriseringsalgoritme Faktoriseringsproblemet: n = p α 1 1 pα K K skal faktoriseres. Lenstras
DetaljerFølger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og
DetaljerKomplekse tall. Kapittel 2. Den imaginære enheten. Operasjoner på komplekse tall
Kapittel Komplekse tall Oppfinnelsen av nye tallsystemer henger gjerne sammen med polynomligninger x + 4 0 har ingen positiv løsning, selv om koeffisientene er positive tall Vi må altså inn med negative
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 5: Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Onsdag 8. oktober 2014. Tid for eksamen: 15:00 17:00. Oppgavesettet er på
DetaljerMer matematikk og statistikk
Mer matematikk og statistikk Halvor Aarnes 2007. Revidert 19-03-11 Innhold Grupper og symmetri... 3 Ringer og kropper... 13 Geometri... 15 Eliptiske kurver... 18 Trigonometri... 26 Differensialregning...
DetaljerHva man må kunne i kapittel 2 - Algebra
Hva man må kunne i kapittel 2 - Algebra Teknikker og type-eksempler Faktorisering Se også eget notat om faktorisering på nettsidene mine. Faktorisering brukes til å: Finne fellesnevner i rasjonale uttrykk.
DetaljerEt noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori. Ruben Spaans
Et noget ukomplett oppslagsverk for TMA4150 Algebra og tallteori Ruben Spaans August 19, 2007 2 Part I Leksikon 3 Chapter 1 Alfabetisk oppslagsverk, for alle, kvantifikator. Brukes i forbindelse med utsagn,
DetaljerNavn og referenser. William Shakespeare 1564-1616 Galileo Galilei 1564-1642 Claudio Monteverdi 1567-1643
Navn og referenser 1 GRUNNFORSKNING SKAL IKKE VÆRE NYTTIG. ET EKSEMPEL OM PRIMTALL Blackeberg, Kungsholmen, Spånga, Åsö, Norra R. 20-22-23 mars 2001, 19-21 mars 2002 grunnforskning nytte anvendelser offentlig
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
DetaljerHVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL?
Innledning, referenser og matematikere HVA BøR GYMNASLæRERE VITE OM PRIMTALL? Skövde 4. mai 200 Innledning, referenser og matematikere. Vi lever i en epoke da kunnskap er lavt vurdert. Vårt miljø invaderes
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
DetaljerNicolai Kristen Solheim
Oppgave 1. For å kunne skrive det komplekse tallet følgende endringer foretas på uttrykket. 3 3, hvor 3 og 3 på formen, hvor og, må For å kunne skrive det komplekse tallet på polarformen, må vi først finne
DetaljerRelativt primiske tall
Relativt primiske tall To heltall a og b (der ikke begge er 0) kalles relativt primiske hvis gcd(a, b) = 1, dvs. de har ingen felles faktorer utenom 1. NB! a og b trenger ikke være primtall for at de skal
DetaljerKLASSISK TALLTEORI. Erik Alfsen og Tom Lindstrøm. Matematisk Institutt, UiO, 1994
KLASSISK TALLTEORI av Erik Alfsen og Tom Lindstrøm Matematisk Institutt, UiO, 1994 Tallene vi bruker når vi teller 1. Induksjon 1,, 3, 4, 5, kalles naturlige tall. Mengden av alle naturlige tall kalles
Detaljer1. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q) 2. Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p)
. Oppgave. Bevis følgende logiske ekvivalens: ((p q) p) (p q). Bestem de sannhetsverdier for p, q og r som gjør følgende utsagn galt: (p (q r)) (q r p) 3. Avgjør om følgende utsagn er sant i universet
DetaljerEksamen i MNFMA205/SIF5021, 19. mai 1999-Løsningsforslag a b Oppgave 2. (a) Vi skal vise at H = 0 a b under matrisemultiplikasjon. Vi har at det.
Eksamen i MNFMA205/SIF5021 19. mai 1999-Løsningsforslag { } Oppgave 2. a Vi skal vise at H 0 a C er en gruppe under matrisemultiplikasjon. Vi har at det aā + a 2 + 2 > 0 da enten a 0 eller 0. Dette fører
DetaljerHva forskes det på i matematikk i Norge idag?
Hva forskes det på i matematikk i Norge idag? En populærvitenskapelig oversikt Geir Ellingsrud UiO 18. september 2014 Advarsel! Størrelsesorden NFR evaluerte matematisk forskning i Norge i 2011 ved de
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 3.5 2 La l være ei linje, A et punkt på l og B et annet punkt på l. Vi skal vise at det finnes nøyaktig
Detaljer(a) R n defineres som mengden av kolonnevektorer. a 1 a 2. a n. (b) R n defineres som mengden av radvektorer
5 Vektorrom Et vektorrom er en mengde V med tre algebraiske operasjoner (addisjon, negasjon og skalærmultiplikasjon) som tilfredsstiller de 10 betingelsene fra Def. 4.1.1. Jeg vil ikke gi en eksamensoppgave
DetaljerTMA4120 Matematikk 4K Høst 2015
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA41 Matematikk 4K Høst 15 Chapter 6.7 Systemer av ODE. Vi bruker L t} 1 s, L e at f(t } F (s a 6.7:9 Løs IVP. y 1 y 1 + y,
DetaljerOppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn.
Plenumsregning 5 Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen - 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn. Husk at hvis p q er påstanden,
DetaljerForelesning 19 torsdag den 23. oktober
Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til
DetaljerEksamensoppgave i TMA4150 Algebra
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4150 Algebra Faglig kontakt under eksamen: Torkil Utvik Stai Tlf: 47638459 Eksamensdato: 29. mai 2018 Eksamenstid (fra til): 15:00 19:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
DetaljerHJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005):
HJEMMEOPPGAVER (utgave av 12-7-2005: Ogave 1 til 31. januar: La f 1, f 2,... være Fibonacci tallene, det vil si f 1 f 2 1 og f n f n 1 + f n 2 for n 3. Vis: (1 f 1 + f 2 + + f n f n+2 1. (2 f n+1 f n 1
DetaljerFjerdegradsfunksjoner og det gylne snitt
Svein Haugerudbråten, Christoph Kirfel Fjerdegradsfunksjoner og det gylne snitt Matematikkfagets plass i norsk skole blir av mange begrunnet med dets nytteverdi for samfunnet Men sammen med dette har faget
DetaljerKONTINUASJONSEKSAMEN I TMA4140 LØSNINGSFORSLAG
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side av 6 KONTINUASJONSEKSAMEN I TMA440 LØSNINGSFORSLAG Oppgave Sannhetsverditabell for det logiske utsagnet ( (p q) ) ( q r
DetaljerR2 kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka
R kapittel 1 Vektorer Løsninger til kapitteltesten i læreboka 1.A a Punktet P har koordinatene P = (,, 5). Det gir PQ = [1,, 3 5] = [1,, 8] b PQ = [1,, 8] = 1 + ( ) + ( 8) = 69 8, 3 c OR = OQ + QR = [1,,
DetaljerTo nyttige begreper. Ekvivalensrelasjoner
To nyttige begreper Det er to begreper fra mengdelæren som til stadighet vil bli brukt i dette kurset, og som vi av erfaring vet kan være tungt fordøyelig for endel studender. For å få en skikkelig forståelse
DetaljerMA2401 Geometri Vår 2018
MA2401 Geometri Vår 2018 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 6.1 1 Anta at alle trekanter i nøytral geometri har samme defekt 1 c vi skal vise at vi må ha c = 0.
DetaljerKryptogra og elliptiske kurver
Kryptogra og elliptiske kurver Eivind Eriksen Høgskolen i Oslo Gjesteforelesning, 7. november 2007 Eivind Eriksen (Høgskolen i Oslo) Kryptogra og elliptiske kurver 1 / 23 Plan: 1 Generelt om kryptogra
DetaljerLæreplan i matematikk X - programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering
Læreplan i matematikk X - programfag i utdanningsprogram for Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 22. mai 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings- og forskningsdepartementet
Detaljer