S1 kapittel 3 Lineær optimering

S kapittel 3 Lineær optimering Løsninger til oppgavene i boka 3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66

3. a b c d Aschehoug www.lokus.no Side av 66

3.3 Løsninger til oppgavene i boka Ulikhetene i oppgave 3. og 3. skrives inn i inntastingsfeltet i GeoGebra. Ulikhetstegnene og finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdene er gitt som løsning i oppgave 3. og 3.. 3.4 a Hvis vi omformer likningen x 5y 0 b + = til formen y = ax + b, får vi 5y = x+ 0 y = x+ 5 Den rette linja som er tegnet inn på figuren, tilsvarer derfor den rette linja y = x+. Vi 5 ser at det skraverte området ligger over denne linja, og linja er inkludert i ulikheten fordi den er heltrukket. Vi får derfor ulikheten y x+, eller skrevet på den opprinnelige formen: 5 x+ 5y 0. Her ser vi at det skraverte området inkluderer alle x-verdier større enn. x = er ikke med i grafområdet, fordi linja er stiplet. Ulikheten blir derfor x >. 3.5 Vi finner først y-verdien når x = : y = 3=. Det betyr at den rette linja har y-verdi når x =. Punktet (, 5) skal ligge i grafområdet, og fordi y-verdien til dette punktet er større enn y-verdien til linja, må det aktuelle grafområdet ligge over linja. Ulikheten blir derfor y x+ 3. Når et område er begrenset av en linje, inkluderer vi linja i grafområdet. 3.6 a Uten hjelpemidler: Ulikheten x+ y 3 kan skrives som y = x+ 3. Vi tegner deretter linja, som skal være heltrukket fordi den er med i grafområdet. Deretter markerer vi grafområdet som ligger under linja. Med hjelpemidler skriver vi ulikheten x+ y 3 i inntastingsfeltet i GeoGebra. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 66

b Uten hjelpemidler: Ulikheten 3x y 6 kan omformes: 3x y 6 3x+ 6 y y 3x+ 6 Vi tegner deretter linja y = 3x+ 6. Linja skal være heltrukket fordi den er med i grafområdet. Deretter markerer vi grafområdet som ligger under linja. Med hjelpemidler skriver vi ulikheten 3x y 6 i inntastingsfeltet i GeoGebra. c Uten hjelpemidler: Ulikheten 6 3y< x kan omformes: 6 3y< x 3y< x 6 3y x 6 < 3 3 3 y > x+ 3 I nest siste linje deler vi på et negativt tall og snur derfor ulikhetstegnet. Vi tegner deretter linja y = x+. Linja skal være stiplet fordi den ikke er med i 3 grafområdet. Deretter markerer vi grafområdet som ligger over linja. Med hjelpemidler skriver vi ulikheten 6 3y< x i inntastingsfeltet i GeoGebra. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 66

d Uten hjelpemidler: Ulikheten x+ 5y 5> 0 kan omformes: x+ 5y 5> 0 5y > x+ 5 y > x+ 5 Vi tegner deretter linja: y = x+. Linja skal være stiplet fordi den ikke er med i 5 grafområdet. Deretter markerer vi grafområdet som ligger over linja. Med hjelpemidler skriver vi ulikheten x+ 5y 5> 0 i inntastingsfeltet i GeoGebra. 3.7 a Uten hjelpemidler: Vi omformer de tre ulikhetene til rette linjer på formen y = ax + b og ser om områdene ligger under eller over linjene: () y+ x> gir området som ligger over den rette linja y = x+. () 3x+ y< 3 gir området som ligger under den rette linja y = 3x+ 3. (3) y 5 gir området som ligger under eller på linja y = 5. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 66

b Uten hjelpemidler: Vi omformer de tre ulikhetene til rette linjer på formen y = ax + b og ser om områdene ligger under eller over linjene: () y+ x 6< 0 gir området som ligger under den rette linja y = x+ 6, eller ved å dele på : y = x+ 3. () y+ x 4 0 gir området som ligger under eller på den rette linja y = x+ 4. (3) x 0 gir området til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 gir området over x-aksen, inkludert x-aksen. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. c Uten hjelpemidler: Vi omformer de tre ulikhetene til rette linjer på formen y = ax + b og ser om områdene ligger under eller over linjene: () y+ 6x 5 < 0 gir området som ligger under den rette linja y = 6x+ 5, eller 5 ved å dele på : y = 3x+. () y+ x 5> 0 gir området som ligger over den rette linja y = x+ 5, eller ved å 5 dele på : y = x+. (3) x 0 inkluderer y-aksen og området til høyre for y-aksen. y 0 inkluderer x-aksen og området over x-aksen. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 66

Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: Løsninger til oppgavene i boka Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. 3.8 a b Når x er antall bordmodeller og y er antall veggmodeller, og varehuset maksimalt vil ha 0 fjernsynsapparater på lager, gir dette oss ulikheten x+ y 0. Minst 40 bordmodeller gir oss ulikheten x 40. Minst 30 veggmodeller gir oss ulikheten y 30. Vi skriver inn ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Vi får følgende grafområde: 3.9 a y < 3 : Vi stipler den rette linja y = 3 og markerer området som ligger under den stiplede linja. Linja er stiplet fordi den ikke tilhører grafområdet. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 66

b x : Vi tegner den rette linja x = og markerer området som ligger til høyre for linja. Linja er heltrukket fordi den tilhører grafområdet. c y< x+ : Vi stipler den rette linja y = x+ og markerer området som ligger under den stiplede linja. Linja er stiplet fordi den ikke tilhører grafområdet. d y x+ 4: Vi tegner den rette linja y = x+ 4 og markerer området som ligger over linja. Linja er heltrukket fordi den tilhører grafområdet. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 66

3.0 a Vi omformer ulikheten: y+ 4> x y > x 4 y > x Vi tegner den stiplede linja y = x og markerer grafområdet som ligger over linja. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet: b Vi omformer ulikheten: y+ 4x< 6 y< 4x+ 6 y< x+ 3 Vi tegner den stiplede linja y = x+ 3 og markerer grafområdet som ligger under linja. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet: c Vi omformer ulikheten: y+ 3x 6 y 3x+ 6 3 y x+ 3 3 Vi tegner linja y = x+ 3 og markerer grafområdet som ligger under linja. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet: Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 66

3. a Vi skriver inn ulikheten 3x y grafområde: + < i inntastingsfeltet i GeoGebra og får følgende b Vi skriver inn ulikheten 6x y< 4 i inntastingsfeltet i GeoGebra og får følgende grafområde: c Vi skriver inn ulikheten x 5y 0 i inntastingsfeltet i GeoGebra og får følgende grafområde: Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 66

3. a Uten graftegner: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 : Dette er grafområdet over x-aksen, inkludert x-aksen. y < : Dette er grafområdet under den rette linja y =, linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet x < : Dette er grafområdet som ligger til venstre for den rette linja x =, linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: b Med graftegner: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Uten graftegner: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 : Dette er grafområdet over x-aksen, inkludert x-aksen. y< x+ : Dette grafområdet ligger under den rette linja y = x+. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Med graftegner: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Aschehoug www.lokus.no Side av 66

c Uten graftegner: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y < : Dette er grafområdet som ligger under linja y =. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet. y > x+ : Dette er grafområdet som ligger over den rette linja y = x+. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: 3.3 a Med graftegner: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Vi har 0 m silke. Det går med m silke per kjole og m silke per kåpe. Vi kan maksimalt bruke 0 m silke, slik at ulikheten for silke blir x+ y 0 når x er antall kjoler og y er antall kåper. Vi har 8,5 m bomull. Det går med,5 m bomull per kjole og 3 m bomull per kåpe. Vi kan maksimalt bruke 8,5 m bomull, slik at ulikheten for bomull blir,5x+ 3y 8,5 når x er antall kjoler og y er antall kåper. b I tillegg til ulikhetene i oppgave a skriver vi inn x 0 og y 0 fordi antall kjoler og kåper må være positive tall. Vi skriver i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Vi får følgende grafområde: c Nei. Det er ikke nok stoff til produksjon av 9 kjoler og 4 kåper. Dette kan vi se fordi punktet (9, 4) ligger utenfor grafområdet. Aschehoug www.lokus.no Side av 66

3.4 a Uten hjelpemidler: x 0: Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y : Dette er grafområdet som ligger over den rette linja y =. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi omformer ulikheten x+ y 6: x+ y 6 y x+ 6 y x+ 3 Dette er grafområdet som ligger under den rette linja y = x+ 3. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: b Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Uten hjelpemidler: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 : Dette er grafområdet som ligger over x-aksen, inkludert x-aksen. Vi omformer ulikheten y x 4 til y x+ 4. Dette er grafområdet som ligger under den rette linja y = x+ 4. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi omformer ulikheten 3x+ y : 3x+ y y 3x+ 3 y x+ 6 3 Dette er grafområdet som ligger under den rette linja y = x+ 6. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 66

Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: c Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Uten hjelpemidler: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 : Dette er grafområdet som ligger over x-aksen, inkludert x-aksen. Vi omformer ulikheten y+ x 5 til y x+ 5. Dette grafområdet ligger under den rette linja y = x+ 5. Vi omformer ulikheten x+ y 6: x+ y 6 y x+ 6 y x+ 3 Dette grafområdet ligger under den rette linja y = x+ 3. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 66

3.5 a Vi har 0 kg = 0 000 g mandler. Det går med 50 g mandler til én kransekake og 50 g mandler til én marsipangris. Hvis x er antall kransekaker og y er antall marsipangriser, og vi maksimalt kan bruke 0 000 g mandler, blir ulikheten for mandler 50x+ 50y 0 000 50x 50y 0 000 + 50 50 50 5x+ 3y 00 Vi har kg = 000 g melis. Det går med 50 g melis til én kransekake og 00 g melis til én marsipangris. Hvis x er antall kransekaker og y er antall marsipangriser, og vi maksimalt kan bruke 000 g melis, blir ulikheten for melis: 50x+ 00y 000 50x 00y 000 + 50 50 50 5x+ 4y 40 b Vi skriver inn ulikhetene fra oppgave a sammen med ulikhetene x 0 og y 0 (fordi mandler og melis er positive størrelser) i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Løsningene til ulikhetene er gitt ved følgende grafområde: Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 66

3.6 Vi omformer først y x 4 Løsninger til oppgavene i boka = til y = x 4 og tegner denne rette linja i et koordinatsystem. Deretter markerer vi de tre punktene (0, 5), ( 5, 0) og (6, 9) i koordinatsystemet: Ut fra dette kan vi bestemme grafområdet F til hvert av punktene: a (0, 5): Punktet ligger under linja. Ulikheten blir derfor y x 4 eller y x 4. b ( 5, 0): Punktet ligger over linja. Ulikheten blir derfor y x 4 eller y x 4. c (6, 9): Punktet ligger over linja. Ulikheten blir derfor y x 4 eller y x 4. 3.7 Vi omgjør linja x y = 3: x y = 3 y = x+ 3 3 y = x 3 Vi tegner linja y = x og linja x = 3 inn i et koordinatsystem. Linjene er heltrukne fordi de 5 er med i grafområdet. Deretter markerer vi punktet 4, i det samme koordinatsystemet og ser hvor punktet ligger i forhold til linjene: Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 66

5 Vi ser at punktet 4, ligger til høyre for linja x = 3. Det betyr at denne ulikheten blir x 3. Vi ser at punktet 5 3 4, ligger over linja y = x. Det betyr at denne ulikheten blir 3 y x, eller skrevet på den opprinnelige formen: x y 3. (Vi har delt på et negativt tall og har snudd ulikhetstegnet.) Grafområdet er markert nedenfor: 3.8 Vi ser på figuren at punktet (6, ) også er en positiv heltallig løsning. Vi kontrollerer løsningen: 3 6 + = 0. 3.9 a Når vi skal tegne linja m uten først å omgjøre linja til formen y ax b = +, finner vi to punkter på linja som ligger med litt avstand fra hverandre, og tegner deretter linja. Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 3 0 + y = 4 y = Punktet (0, ) ligger på linja m. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: 3 4 + y = 4 y = y = 6 Punktet (4, 6) ligger på linja m. Vi legger disse to punktene inn i et koordinatsystem og tegner linja m: Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 66

Vi ser at de positive heltallige punktene som ligger på linja m, er (, 9), (4, 6) og (6, 3). Disse punktene er merket av på figuren ovenfor. b Når vi skal tegne linja n uten først å omgjøre linja til formen y = ax + b, finner vi to punkter på linja som ligger med litt avstand fra hverandre, og tegner deretter linja. Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 3 0 + y = y = = 5,5 Punktet (0, 5,5) ligger på linja n. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: 3 4 + y = y = y = Punktet 4, ligger på linja n. Vi legger inn disse to punktene i et koordinatsystem og tegner linja n: Vi ser at de positive heltallige punktene som ligger på linja n, er (, 4) og (3, ). Disse punktene er merket av på figuren ovenfor. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 66

3.0 a Vi skriver inn 30x 0y 300 Løsninger til oppgavene i boka + = i inntastingsfeltet i GeoGebra og får nivålinja for S = 300: b Vi markerer de heltallige punktene som er løsningen på likningen 30x+ 0y = 300. Dette er punktene (0, 5), (, ), (4, 9), (6, 6), (8, 3) og (0, 0). Når x er antall kartonger appelsinjuice og y er antall kartonger eplejuice, kan vi for 300 kr kjøpe: 0 kartonger appelsinjuice og 5 kartonger eplejuice, eller kartonger appelsinjuice og kartonger eplejuice, eller 4 kartonger appelsinjuice og 9 kartonger eplejuice, eller 6 kartonger appelsinjuice og 6 kartonger eplejuice, eller 8 kartonger appelsinjuice og 3 kartonger eplejuice, eller 0 kartonger appelsinjuice og 0 kartonger eplejuice. 3. Vi skriver inn nivålinjene 5x 0y 75 + = og 5x+ 0y = 50 i inntastingsfeltet i GeoGebra. Nivålinja for S = 50 ligger over nivålinja for S = 75, og denne retningen er vist med en pil på figuren: Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 66

3. a Kostnaden ved kjøp av x kg appelsiner til 0 kr per kg er gitt ved 0x. Kostnaden ved kjøp av y kg pærer til 5 kr per kg er 5y. Den samlede kostnaden S ved kjøp av både appelsiner og pærer blir S = 0x+ 5y. b Vi skriver inn 90 = 0x+ 5y i inntastingsfeltet i GeoGebra og får følgende nivålinje: c 3.3 a Vi ser at punktet (3, ) ligger på linja. (Vi kan vise dette ved å sette inn x = 3 og y = i likningen 0x+ 5y: 0 3 + 5 = 60 + 30 = 90.) Det sier oss at det koster 90 kr å kjøpe 3 kg appelsiner og kg pærer. Vi skriver S = 00 i inntastingfeltet i GeoGebra og klikker på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren og klikker på Egenskaper. Vi skriver inn som vist nedenfor: Vi skriver deretter inn S = 5x+ 5yi inntastingsfeltet. Nivålinjene for S = 50, S = 00, S = 50 og S = 00 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Nedenfor er nivålinjene for S = 00 og S = 50 vist: Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 66

b Vi legger inn punktet (5, 3) i koordinatsystemet og drar glideren til nivålinja krysser punktet. Vi ser at nivålinja krysser punktet når S = 50: Det sier oss at når vi setter inn x = 5 og y = 3 inn i uttrykket S = 5x+ 5y, får vi S = 50: 5 5 + 5 3 = 75 + 75 = 50 3.4 a Vi har systemet av ulikheter: () x+ 4y 5 () x 3 (3) y Uten hjelpemidler: For å tegne den rette linja x+ 4y = 5 til ulikhet () må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 0 + 4y = 5 5 y = = 3, 75 4 Punktet (0, 3,75) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: 4 + 4y = 5 4y = 5 4 y = =,75 4 Punktet (4,,75) ligger derfor på linja. Vi tegner linjene som hører til ulikhetene (), () og (3) i samme koordinatsystem, og markerer grafområdet som stemmer med ulikhetene: Vi finner koordinatene til hjørnepunktene: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene x = 3 og y =. Koordinatene til hjørnepunktet A er derfor (3, ). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene y = og x+ 4y = 5. y-koordinaten til hjørnepunktet B er derfor. Vi setter y = i likningen x+ 4y = 5: x + 4 = 5 x = 5 4 = Aschehoug www.lokus.no Side av 66

b Koordinatene til hjørnepunktet B er (, ). Hjørnet C er skjæringspunktet mellom linjene x = 3 og x+ 4y = 5. x-koordinaten til hjørnepunktet er derfor 3. Vi setter x = 3 i likningen x+ 4y = 5: 3+ 4y = 5 4y = 5 3 4y = y = 3 Koordinatene til hjørnepunktet C er (3, 3). Med hjelpemidler: Vi skriver inn i inntastingsfeltet i GeoGebra og får opp grafområdet. Deretter skriver vi inn likningene som hører til ulikhetene, én og én: x+ 4y = 5 x = 3 y = Etter at linjene er tegnet, velger vi verktøyknappen Skjæring mellom to objekt, og koordinatene for hjørnepunktene dukker opp i algebrafeltet. Man kan velge å vise punktenes verdi på figuren ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn, og deretter Navn og verdi. Av figuren ser vi at koordinatene for hjørnepunktene er A = (3, ), B = (, ) og C = (3, 3). Vi har systemet av ulikheter: () x+ 7y 8 () 3x+ 7 y 4 (3) x 4 Uten hjelpemidler: Ulikhet (): For å tegne den rette linja x+ 7 y = 8 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 0 + 7 y = 8 y = 4 Punktet (0, 4) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y- verdi: 4 + 7 y = 8 7 y = 8 4 4 y = = 3, 43 7 Punktet (4, 3,43) ligger derfor på linja. Ulikhet (): For å tegne den rette linja 3x+ 7y = 4 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 0 + 7 y = 4 y = 6 Punktet (0, 6) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: Aschehoug www.lokus.no Side av 66

3 4 + 7y = 4 7y = 4 Løsninger til oppgavene i boka 30 y = = 4, 9 7 Punktet (4, 4,9) ligger derfor på linja. Vi tegner linjene som hører til ulikhetene (), () og (3) i samme koordinatsystem, og markerer grafområdet som stemmer med ulikhetene: Vi finner koordinatene til hjørnepunktene: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene x = 4 og x+ 7 y = 8. Koordinatene til A ble bestemt da vi fant to punkter på linja til ulikhet (). Koordinatene til hjørnepunktet A er (4, 3,43). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene () x+ 7y = 8 og () 3x+ 7 y = 4. Vi omgjør () til x= 7 y+ 8 og setter den inn i likning (): x= 7 y+ 8 3( 7 y+ 8) + 7 y = 4 y+ 84 + 7 y = 4 4y = 4 4 y = 4 y = 3 Vi setter y = 3 inn i (): x = 7 3 + 8 x = 7 Hjørnet B har derfor koordinatene (7, 3). Hjørnet C er skjæringspunktet mellom linjene x = 4 og 3x+ 7y = 4. Koordinatene til hjørnepunkt C ble bestemt da vi fant to punkter på linja til ulikhet (). Koordinatene til hjørnepunkt C er (4, 4,9). Med hjelpemidler: Vi skriver inn i inntastingsfeltet i GeoGebra og får opp grafområdet. Deretter skriver vi inn likningene som hører til ulikhetene, én og én: Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 66

x+ 7 y = 8 3x+ 7 y = 4 Løsninger til oppgavene i boka x = 4 Etter at linjene er tegnet, velger vi verktøyknappen Skjæring mellom to objekt, og koordinatene for hjørnepunktene dukker opp i algebrafeltet. Man kan velge å vise punktenes verdi på figuren ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn og deretter Navn og verdi. Av figuren ser vi at koordinatene for hjørnepunktene er A = (4, 3,43), B = (7, 3) og C = (4, 4,9). c Vi har systemet av ulikheter: () 7x+ 8y 96 () 8y x 64 (3) 3x+ 8y 64 Uten hjelpemidler: Ulikhet (): For å tegne den rette linja 7x+ 8y = 96 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 0 + 8y = 96 96 y = = 8 Punktet (0, ) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: 7 4 + 8y = 96 8y = 96 8 68 y = = 8,5 8 Punktet (4, 8,5) ligger derfor på linja. Ulikhet (): For å tegne den rette linja 8y x= 64 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 8y = 64 y = 8 Punktet (0, 8) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: 8y 4 = 64 8y = 68 68 y = = 8,5 8 Punktet (4, 8,5) ligger derfor på linja. Ulikhet (3): For å tegne den rette linja 3x+ 8y = 64 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 0 + 8y = 64 y = 8 Punktet (0, 8) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 66

3 4 + 8y = 64 8y = 64 Løsninger til oppgavene i boka 5 y = = 6,5 8 Punktet (4, 6,5) ligger derfor på linja. Vi tegner linjene som hører til ulikhetene (), () og (3) i samme koordinatsystem, og markerer grafområdet som stemmer med ulikhetene: Vi finner koordinatene til hjørnepunktene: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene () 8y x= 64 og (3). Da vi satte inn x = 0 i de to likningene, fikk begge y-verdien 8. Hjørnepunktet A har koordinatene (0, 8). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene () 7x+ 8y = 96 og (3) 3x+ 8y = 64. 7 Vi omformer likning () til 8y = 96 7x og y = x+ 8, og setter den inn i (): 8 7 3x+ 8( x+ ) = 64 8 3x 7x+ 96 = 64 4x = 3 x = 8 Vi setter x = 8 inn i likning () 7 3x+ 8 x+ = 64 8 3x 7x+ 96 = 64 4x = 3 x = 8 78 y = + = 7 + = 5 8 Hjørnepunktet B har koordinatene (8, 5). Hjørnet C er skjæringspunktet mellom linjene () og (): Da vi satte inn x = 4 i de to likningene, fikk begge y-verdien 8,5. Hjørnepunktet C har koordinatene (4, 8,5). Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 66

Med hjelpemidler: Vi skriver inn i inntastingsfeltet i GeoGebra og får opp grafområdet. Deretter skriver vi inn likningene som hører til ulikhetene, én og én: 7x+ 8y = 96 8y x= 64 3x+ 8y = 64 Etter at linjene er tegnet, velger vi verktøyknappen Skjæring mellom to objekt, og koordinatene for hjørnepunktene dukker opp i algebrafeltet. Man kan velge å vise punktenes verdi på figuren ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn og deretter Navn og verdi. Av figuren ser vi at koordinatene for hjørnepunktene er A = (0, 8), B = (8, 5) og C = (4, 8,5). 3.5 a S = 0: S = 0: S = 0: 0= 6x+ 4y 4y = 6x 0 = 6x+ 4y 4y = 6x 0 0 = 6x+ 4y 4y = 6x 0 6 4y 6 0 y = x = x 4 4 4 4 3 3 5 y = x y = x+ 3 3 5 Vi tegner linjene y = x, y = x+ og 4y 6 0 = x 4 4 4 3 y = x+ 5 3 y = x+ 5 i samme koordinatsystem: Vi ser at nivålinjene er parallelle, stigningstallet er Nivålinja skjærer y-aksen høyere opp når S øker. 3 for alle linjene. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 66

b Vi skriver S = 0 i inntastingsfeltet i GeoGebra og klikker på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren og klikker på Egenskaper. Vi skriver inn som vist nedenfor: Vi skriver deretter S = 6x+ 4y i inntastingsfeltet. Nivålinjene for S = 0, S = 0 og S = 0 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» Nedenfor er nivålinja for S = 0 vist: være aktivert. 3.6 a S = 0: S = 0: S = 30: 0 = x+ 5y 5y = x 0 0 = x+ 5y 5y = x 0 30 = x+ 5y 5y = x 30 0 0 30 y = x y = x y = x 5 5 5 5 5 5 y = x+ y = x+ 4 y = x+ 6 5 5 5 Vi tegner linjene y = x+, y = x+ 4 og y = x+ 6 i samme koordinatsystem, 5 5 5 og tegner en pil som viser hvilken retning vi må bevege oss i koordinatsystemet for at S skal øke: b Vi skriver S = 0 i inntastingsfeltet i GeoGebra og klikker på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren og klikker på Egenskaper. Vi skriver inn som vist nedenfor: Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 66

Vi skriver deretter S = x+ 5y i inntastingsfeltet. Nivålinjene for S = 0, S = 0 og S = 30 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» Nedenfor er nivålinja for S = 0 vist: være aktivert. 3.7 a Uten hjelpemidler: Ulikhet (): y+ x 8. Vi omformer linja y+ x= 8 til y = x+ 4, tegner linja og markerer grafområdet som ligger under linja. Ulikhet (): y x 0. Vi omformer linja y x= 0 til y = x, tegner linja og markerer grafområdet som ligger over linja. Ulikhet (3): x. Vi tegner linja x = og markerer grafområdet som ligger til høyre for linja. Vi får grafområdet som stemmer med ulikhetene ovenfor: b Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Uten hjelpemidler: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene x = og y = x. x-koordinaten til hjørnepunktet A er derfor, og y-koordinaten er y = =. Koordinatene til hjørnepunktet A er (, ). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 66

y = x+ 4 og y = x. Vi setter y = x inn i (): y = x+ 4 x= x+ 4 x+ x= 4 x = 4 Når x = 4, blir y = 4 =. Koordinatene til hjørnepunkt B er (4, ). Hjørnepunkt C er skjæring mellom linjene x = og y = x+ 4. x-koordinaten til hjørnepunktet C er derfor. Vi setter x = inn i y = x+ 4 : y = + 4 y = 3 Hjørnepunktet C har koordinatene (, 3). Med hjelpemidler: Vi fortsetter i GeoGebra-bildet fra oppgave a. Vi skriver inn de tre linjene (én og én) i inntastingsfeltet i GeoGebra Deretter velger vi Skjæring mellom to objekt og klikker på de tre linjene. Hjørnepunktene A, B og C kommer da opp. Vi får fram verdien til punktet ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn og Navn og verdi. 3.8 a Av figuren ser vi at koordinatene til hjørnepunktene er A = (, ), B = (4, ) og C = (, 3). Uten hjelpemidler: Ulikhet (): 4y+ x 4. Vi omformer linja 4y+ x= 4 til y = x+ 6, tegner linja 4 og markerer grafområdet som ligger under linja. Ulikhet (): y+ x 6 Vi omformer linja y+ x= 6 til y = x+ 8, tegner linja og markerer grafområdet som ligger under linja. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 66

Ulikhet (3): x 4 Vi tegner linja x = 4 og markerer grafområdet som ligger til høyre for linja. Ulikhet (4): y Vi tegner linja y = og markerer grafområdet som ligger over linja. Vi får grafområdet som stemmer med ulikhetene ovenfor: Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. b Uten hjelpemidler: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene x = 4 og y =. Koordinatene til hjørnepunktet A er (4, ). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene y = og y = x+ 8. Vi setter inn y = inn i y = x+ 8: = x + 8 x = 8 x = 6 x = Koordinatene til hjørnepunktet B er (, ). Hjørnet C er skjæringspunktet mellom linjene y = x+ 8 og y = x+ 6. 4 Vi setter y = x+ 8 lik y = x+ 6 : 4 x+ 8= x+ 6 4 x+ x= 6 8 4 x+ x= 4 4 x = 4 x = 8 Aschehoug www.lokus.no Side 30 av 66

Vi setter x = 8 inn i y = x+ 8: y = 8 + 8 y = 4 Hjørnet C har koordinatene (8, 4). Hjørnet D er skjæringspunktet mellom linja x = 4 og y = x+ 6 : 4 y = x+ 6 4 y = 4 + 6 4 y = 5 Hjørnet D har koordinatene (4, 5). y = x+ 6. Vi setter x = 4 inn i 4 Med hjelpemidler: Vi fortsetter i GeoGebra-bildet fra oppgave a. Vi skriver inn de tre linjene (én og én) i inntastingsfeltet i GeoGebra Deretter velger vi Skjæring mellom to objekt og klikker på de tre linjene. Hjørnepunktene A, B, C og D kommer da opp. Vi får fram verdien til punktet ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn og Navn og verdi. Av figuren ser vi at koordinatene til hjørnepunktene er A = (4, ), B = (, ), C = (8, 4) og D = (4, 5). c S = 8: Vi setter S = 8 inn i uttrykket S = 3x+ 8y: 8= 3x+ 8y. Vi finner to punkter på linja før vi kan tegne den: Vi setter først inn x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 8= 30 + 8y y = Punktet (0, ) ligger på linja 8= 3x+ 8y. Vi setter deretter inn i uttrykket og finner tilhørende y-verdi: 8= 34 + 8y 8y = 8 4 y = = 8 Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 66

Punktet 4, ligger på linja 8 3 8 = x+ y. S = 4: Vi setter S = 4 inn i uttrykket S = 3x+ 8y: 4 = 3x+ 8y. Vi finner to punkter på linja før vi kan tegne den: Vi setter først inn x = 0: 4 = 3 0 + 8y y = 3 Punktet (0, 3) ligger på linja 4 = 3x+ 8y. Vi setter inn x = 4 i uttrykket: 4 = 3 4 + 8y 8y = 3 y = = 8 3 Punktet 4, ligger på linja 4 3 8 = x+ y. Vi markerer de to punktene vi har per linje i koordinatsystemet med det aktuelle grafområdet, og tegner de to linjene 8= 3x+ 8y og 4 = 3x+ 8y: d Vi bruker GeoGebra-vinduet med det aktuelle grafområdet, skriver S = 8 i inntastingsfeltet og klikker på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren og klikker på Egenskaper. Vi skriver inn som vist nedenfor, og velger maks-verdien til 56 fordi denne skal brukes seinere i oppgaven: Vi skriver deretter S = 3x+ 8y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med S = 8 til og med S = 4 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» Nedenfor er nivålinja for S = 4 vist: være aktivert. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 66

e Vi drar i glideren til nivålinja treffer hjørnepunktet (4, ). f S har da verdien 8, og nivålinja er 8 = 3x+ 8y. Vi markerer punktet (7, 3) i koordinatsystemet og drar i glideren til linja treffer punktet. S har da verdien 45, og nivålinja er 45 = 3x+ 8y. g Vi drar i glideren til S = 56. Ser da at nivålinja går gjennom punktet (8, 4): 3.9 a Vi setter inn punktet P(5, 4) i uttrykket S = x+ 3y: S = 5 + 34 =. Nivålinja er da = x+ 3y. b Hvis punktet Q(a, 6) ligger på nivålinja = x+ 3y, er a den ukjente x-verdien: = x+ 3y = a + 3 6 8 = a a = Aschehoug www.lokus.no Side 33 av 66

3.30 a Vi tegner av figuren gitt i oppgaven: b Vi regner ut S-verdien til alle hjørnepunktene: A(4, ): S A = 3 4 + 4 = + 8 = 0 B(7, 4): S B = 3 7 + 4 4 = + 6 = 37 C(4, 6): S C = 3 4 + 4 6 = + 4 = 36 D(, 3): S D = 3 + 4 3 = 6 + = 8 Vi ser at S har sin minste verdi i punkt D(, 3), da er S = 8. S har sin største verdi i punktet B(7, 4), da er S = 37. Vi bruker GeoGebra-vinduet med det aktuelle grafområdet og skriver S = 0 i inntastingsfeltet. Deretter klikker vi på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren, klikker på Egenskaper og skriver inn som vist nedenfor. Når vi ikke vet noe om aktuelle S-verdier fra før, kan vi prøve oss fram med min- og maks-verdier, helt til nivålinja treffer innenfor det aktuelle grafområdet. Vi skriver deretter S = 3x+ 4y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med S = 0 til og med S = 50 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Vi drar i glideren og ser at S har sin minste verdi i hjørnepunktet D(, 3), da er S = 8: Aschehoug www.lokus.no Side 34 av 66

Vi ser at S har sin største verdi i hjørnepunktet B(7, 4), da er S = 37: Løsninger til oppgavene i boka c Vi drar glideren til S = 34 og ser at nivålinja går gjennom punktet (6, 4). a har derfor verdien 4: Vi kan også bestemme a ved regning: S = 3x+ 4y 34 = 3a + 4 4 34 6 = 3a 8 a = = 6 3 d Et uttrykk Z er gitt ved Z = 5x+ 0y. Vi regner ut Z-verdien til alle hjørnepunktene: A(4, ): Z A = 5 4 + 0 = 0 + 0 = 40 B(7, 4): Z B = 5 7 + 0 4 = 35 + 40 = 75 C(4, 6): Z C = 5 4 + 0 6 = 0 + 60 = 80 D(, 3): Z D = 5 + 0 3 = 0 + 30 = 40 Vi ser at Z har sin minste verdi i punktene A(4, ) og D(, 3), da er Z = 40. Z har sin største verdi i punktet C(4, 6), da er Z = 80. e Vi bruker GeoGebra-vinduet med det aktuelle grafområdet og skriver Z = 0 i inntastingsfeltet. Deretter klikker vi på ringen foran Z i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren, klikker på Egenskaper og skriver inn som vist nedenfor. Når vi ikke vet noe om aktuelle Z-verdier fra før, kan vi prøve oss frem med min- og maks-verdier, helt til nivålinja treffer innenfor grafområdet. Vi skriver deretter Z = 5x+ 0y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med Z = 0 til og med Z = 00 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Vi drar i glideren og ser at Z har sin minste verdi i hjørnepunktene A(4, ) og Aschehoug www.lokus.no Side 35 av 66

D(, 3), da er Z = 40. Det betyr at Z = 40 i alle punktene på linjestykket AD, se figuren nedenfor. Vi ser at Z har sin største verdi i hjørnepunktet C(4, 6), da er Z = 80, se figuren nedenfor. f Vi bruker GeoGebra-vinduet med det aktuelle grafområdet og skriver R = 0 i inntastingsfeltet. Deretter klikker vi på ringen foran R i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren, klikker på Egenskaper og skriver inn som vist nedenfor. Når vi ikke vet noe om aktuelle R-verdier fra før, kan vi prøve oss fram med min- og maks-verdier, helt til nivålinja treffer innenfor grafområdet. Vi skriver deretter R= 8x+ y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med R = 0 til og med R = 0 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Vi drar i glideren og ser at R har sin største verdi i hjørnepunktene B(7, 4) og C(4, 6). Da er Z = 04. Det betyr at Z = 04 i alle punktene som ligger på linjestykket BC. Aschehoug www.lokus.no Side 36 av 66

3.3 a Skolen kan maksimalt bruke 00 000 kr til innkjøpet. Når de skal kjøpe inn x skrivere av type A som koster 0 000 kr, og y skrivere av type B som koster 5000 kr, får vi ulikheten 0 000x+ 5000y 00 000 0 000 5000y + 00 000 5000 5000 x+ y 40 For at innkjøpet ikke skal overskride 00 000 kr, må ulikheten x+ y 40 være oppfylt. b Minst 7 skrivere av type A gir ulikheten x 7, i tillegg til at ulikheten x+ y 35 skal være oppfylt. Det aktuelle grafområdet er derfor begrenset av de tre ulikhetene: x+ y 40 x+ y 35 x 7 Vi skriver inn de tre ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra og får denne figuren med det aktuelle grafområdet: c d Vi lar K(x, y) være skrivekapasiteten per time. Når skriver A har en kapasitet på 800 sider per time og skriver B har en kapasitet på 000 sider per time, og det kjøpes x skrivere av type A og y skrivere av type B, får vi følgende uttrykk for skrivekapasiteten per time: Kxy (, ) = 800x+ 000y. Vi fortsetter i GeoGebra-vinduet fra oppgave b og skriver inn de tre aktuelle linjene i inntastingsfeltet i GeoGebra (én og én): x+ y = 40 x+ y = 35 x = 7 Vi velger Skjæring mellom to objekt, og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi. Nivålinjemetoden: Vi skriver inn K = 000 i inntastingsfeltet. Deretter klikker vi på ringen foran K i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren, klikker på Egenskaper og skriver inn som vist nedenfor. Når vi ikke vet noe om aktuelle R-verdier fra før, kan vi prøve oss fram med min- og maks-verdier, helt til nivålinja treffer innenfor grafområdet. Aschehoug www.lokus.no Side 37 av 66

Eksempler på min-, maks-verdier og animasjonstrinn er gitt i figuren nedenfor. Vi skriver deretter K( x, y) = 800x+ 000y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med R = 000 til og med R = 00 000 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Vi drar i glideren og ser at K har sin største verdi i punktet C(7, 6), se figuren nedenfor: Det betyr at skolen må kjøpe 7 skrivere av type A og 6 skrivere av type B for å oppnå størst mulig skrivekapasitet per time. Vi ser at K = 38 600. Vi kan også regne ut verdien til K i dette punktet: K (7, 6) = 800 7 + 000 6 = 600 + 6 000 = 38 600 Det betyr at den største skrivekapasiteten per time er 38 600 sider. Innsettingsmetoden: Vi regner ut K(x, y) i de tre hjørnepunktene A, B, og C: K (7, 4) = 800 7 + 000 4 = 600 +4 000 = 6 600 K (5,0) = 800 5 + 000 0 = 7 000 + 0 000 = 37 000 K (7, 6) = 800 7 + 000 6 = 600 + 6 000 = 38 600 Vi ser at vi får det samme svaret med innsettingsmetoden: Skolen må kjøpe 7 skrivere av type A og 6 skrivere av type B for å oppnå størst mulig skrivekapasitet per time. Den største skrivekapasiteten er 38 600 sider per time. 3.3 a Antall Go-plasser settes lik x og antall Pluss-plasser settes lik y. Vi har totalt 60 plasser i flyet som skal fordeles på Go-plasser og Pluss-plasser. Det gir oss ulikheten x+ y 60. Kravet om at det skal være minst 0 Pluss-plasser, gir ulikheten y 0. Vi kan ikke ha et negativt antall plasser: x 0 Aschehoug www.lokus.no Side 38 av 66

b Vi skriver inn de fire ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: Plussplasser: og får opp grafområdet for Go- og c d Når én Go-plass koster 000 kr og én Pluss-plass koster 500 kr, er billettinntekten, S, for én flyavgang gitt ved S = 000x+ 500y. Vi fortsetter i GeoGebra-vinduet fra oppgave b og skriver inn de tre aktuelle linjene i inntastingsfeltet i GeoGebra (én og én): x+ y = 60 y+ x= 80 3 y = 0 x = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja S = 00x+ 500y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 00, maks: 500 000 og animasjonstrinn 00.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet C(0, 40), se figuren nedenfor. Det betyr at det må selges 0 Go-plasser og 40 Pluss-plasser for at billettinntekten for flyselskapet skal bli høyest. Vi ser at S = 340 000. Det betyr at den høyeste billettinntekten er 340 000 kr. Vi kan også regne ut billettinntekten: S (0, 40) = 000 0 + 500 40 = 40 000 + 00 000 =340 000 Innsettingsmetoden: Vi regner ut S(x, y) i de to hjørnepunktene B(40, 0) og C(0, 40): S (40, 0) = 000 40 + 500 0 = 80 000 + 50 000 = 330 000 S (0, 40) = 000 0 + 500 40 = 40 000 + 00 000 = 340 000 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: Det må selges 0 Go-plasser og 40 Pluss-plasser for at billettinntekten for flyselskapet skal bli høyest. Da er billettinntekten 340 000. Aschehoug www.lokus.no Side 39 av 66

3.33 a I denne oppgaven er x er antall enheter som produserer per dag av produkt A, og y er antall enheter som produseres per dag av produkt B. Ved produksjonssted I skal både produkt x og y behandles i 0 min per dag. Den daglige produksjonskapasiteten ved produksjonssted I er 6 timer = 360 minutter. Vi får derfor ulikheten 0x+ 0y 360 x+ y 8 Ved produksjonssted II er kapasiteten 5 timer = 300 minutter. Her skal produkt x behandles i 0 min per dag og produkt y behandles i 0 min per dag. Vi får derfor ulikheten 0x+ 0y 300 x+ y 30 Ved produksjonssted III er kapasiteten timer = 0 minutter. Her skal ikke produkt x behandles, men produkt y skal behandles i 0 min per dag. Vi får derfor ulikheten 0y 0 y b I tillegg til ulikhetene i oppgave a har vi at x 0 og y 0. Vi skriver inn de fire ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet: Aschehoug www.lokus.no Side 40 av 66

c Vi lar Sxy (, ) være den samlede fortjenesten for produkt A og B når x enheter av produkt A gir en fortjeneste på 600 kr per enhet, og y enheter av produkt B gir en fortjeneste på 500 kr per enhet: Sxy (, ) = 600x+ 500y. Vi fortsetter i GeoGebra-vinduet fra oppgave b og skriver inn de fire aktuelle linjene i inntastingsfeltet i GeoGebra (én og én): x+ y = 8 x+ y = 30 y = x = 0 y = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja Sxy (, ) = 600x+ 500y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 000, maks: 0 000 og animasjonstrinn 00.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet B(, 6), se figuren nedenfor. Det betyr at firmaet oppnår høyest fortjeneste når de produserer enheter av produkt A og 6 enheter av produkt B. Vi ser da at S = 0 00, og vi kan også regne ut fortjenesten: S (, 6) = 600 + 500 6 = 700 + 3000 = 0 00 Fortjenesten er på 0 00 kr. Innsettingsmetoden: Vi regner ut S(x, y) i de fire hjørnepunktene B(5, 0), C(, 6), D(6, ) og E(0, ): S (5, 0) = 600 5 + 500 0 = 9000 S (, 6) = 600 + 500 6 = 700 + 3000 = 0 00 S (6, ) = 600 6 + 500 = 3600 + 6000 = 9600 S (0,) = 600 0 + 500 = 6000 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: Firmaet oppnår høyest fortjeneste når de produserer enheter av produkt A og 6 enheter av produkt B. Da er fortjenesten på 0 00 kr. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 66

d 3.34 a b Vi regner ut utnyttelse av produksjonskapasiteten ved de tre produksjonsstedene I, II og III når det produseres enheter av produkt A og 6 enheter av produkt B: I: Her skulle ulikheten 0x+ 0y 360 være oppfylt. Vi setter inn x = og y = 6 0 + 0 6 = 40 + 0 = 360. Vi ser dermed at produksjonssted I ikke har ledig kapasitet. II: Her skulle ulikheten 0x+ 0y 300 være oppfylt. Vi setter inn x = og y = 6: 0 + 0 6 = 40 + 60 = 300. Vi ser at produksjonssted II ikke har ledig kapasitet. III: Her skulle ulikheten 0y 0 være oppfylt. Vi setter inn y = 6 og får 0 6 = 60. Vi ser her at produksjonssted III har en ledig kapasitet per dag på 0 60 = 60 minutter = time. Det daglige behovet for næringsstoff I er på minst 6 enheter. I sekk A er det enheter av næringsstoff I, og i sekk B er det enhet av næringsstoff I. x er antall sekker av type A, og y er antall sekker av type B. Dette gir oss følgende ulikhet for næringsstoff I: x+ y 6 Det daglige behovet for næringsstoff II er på minst 4 enheter. Det er enhet av næringsstoff II i både sekk A og sekk B. Dette gir oss følgende ulikhet for næringsstoff II: x+ y 4 Det daglige behovet for næringsstoff III er på minst 0 enheter. I sekk A er det enhet av næringsstoff III, og i sekk B er det 3 enheter av næringsstoff III. Det gir oss følgende ulikhet for næringsstoff III: x+ 3y 0 Når type A koster 50 kr per sekk og type B koster 500 kr per sekk, blir uttrykket for kostnaden ved å kjøpe x sekker av type A og y sekker av type B: Sx (, y) = 50x+ 500y c I tillegg til ulikhetene i oppgave a tar vi også med ulikhetene x 0 og y 0 fordi det ikke er aktuelt med et negativt antall sekker. Vi skriver inn de fem ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: Vi skriver inn de aktuelle linjene: x+ y = 6 x+ y = 4 x+ 3y = 0 x = 0 y = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja Sxy (, ) = 50x+ 500y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 00, maks: 0 000 og animasjonstrinn 50.) Vi drar i glideren og ser at S får sin minste verdi i hjørnepunktet C(, 3), se figuren nedenfor. Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 66

Det betyr at oppdrettsanlegget må kjøpe sekker av type A og 3 sekker av type B for å dekke det daglige behovet på billigst mulig måte. Vi ser da at S = 450, og vi kan også regne ut denne kostnaden: S (, 3) = 50 + 500 3 = 750 + 500 = 450. Innsettingsmetoden: Vi regner ut S(x, y) i de fire hjørnepunktene A(0, 6), B(, ), C(, 3) og E(0, 0): S (0,6) = 50 0 + 500 6 = 8000 S (, ) = 50 + 500 = 500 + 6000 = 6500 S (, 3) = 50 + 500 3 = 750 + 500 = 450 S(0, 9) = 50 0 + 500 0 = 5000 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: Oppdrettsanlegget må kjøpe sekker av type A og 3 sekker av type B for å dekke det daglige behovet på billigst mulig måte. 3.35 a Vi tegner de tre hjørnepunktene A(, ), B(3, 5), C(8, ) i et koordinatsystem og markerer grafområdet: b Vi regner ut Sxy (, ) = 30x+ 0yfor hvert av hjørnepunktene: (, ) = 30 + 0 = 30 + 40 = 70 S A S B (3, 5) = 30 3 + 0 5 = 90 + 00 = 90 S C (8,) = 30 8 + 0 = 40 + 0 = 60 Vi ser at S(x, y) har sin største verdi i punktet S (8,) = 60. c Vi ser fra utregningen i oppgave b at S(x, y) har sin minste verdi i punktet S (, ) = 70. C A Aschehoug www.lokus.no Side 43 av 66

3.36 a Vi markerer punktene i et koordinatsystem med verdier: Vi regner deretter ut Sx (, y) = 4x+ y for alle punktene: S(30, 0) = 4 30 + 0 = 0 + 40 = 60 S(70, 30) = 4 70 + 30 = 80 + 60 = 340 S(60, 60) = 4 60 + 60 = 40 + 0 = 360 S(30, 80) = 4 30 + 80 = 0 + 60 = 80 S(0, 50) = 4 0 + 50 = 40 + 00 = 40 Vi ser at S(x, y) har sin største verdi i punktet S (60, 60) = 360. b I utregningen i oppgave a ser vi at S(x, y) har sin minste verdi i punktet S (0, 50) = 40. 3.37 a Vi setter inn de tre punktene P(3, ), Q(, 6) og R(7, ) i uttrykket for Sx (, y) = x+ 4y: S(3, ) = 3 + 4 = 6 + 8 = 4 S(, 6) = + 4 6 = 4 + 4 = 8 S(7,) = 7 + 4 = 4 + 4 = 8 Vi ser at punktet Q(, 6) gir størst verdi for S(x, y). S (, 6) = 8. Vi ser at punktet P(3, ) gir minst verdi for S(x, y). S (3, ) = 4. b Vi setter inn de tre punktene P(3, ), Q(, 6) og R(7, ) i uttrykket for Sx (, y) = x 4y: S(3, ) = 3 4 = 6 8 = S(, 6) = 4 6 = 4 4 = 0 S(7,) = 7 4 = 4 4 = 0 Vi ser at punktet R(7, ) gir størst verdi for S(x, y). S (7, ) = 0. Vi ser at punktet Q(, 6) gir minst verdi for S(x, y). S (, 6) = 0. 3.38 a Vi regner ut verdien for S(x, y) i de tre punktene A(5, 5), B(, 8) og C(3, ) når Sx (, y) = x+ 4y: S(5, 5) = 5 + 4 5 = 5 S(, 8) = + 4 8 = 33 S(3, ) = 3 + 4 = b Punktet B(, 8) gir den største verdien for S(x, y). S (, 8) = 33. Aschehoug www.lokus.no Side 44 av 66

c Punktet C(3, ) gir den minste verdien for S(x, y). S (3, ) =. 3.39 a Vi skriver inn settet med ulikheter i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet: b Vi skriver inn de aktuelle linjene: x = 0 x = 0 y = 0 y = 0 y = x+ 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Vis navn og Verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja S = 3x+ 4y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 0, maks: 00 og animasjonstrinn.) Vi drar i glideren og ser at S får sin minste verdi i hjørnepunktet (0, ), se figuren nedenfor. Vi ser av figuren at S = 30. S (0, 0) = 3 0 + 4 0 = 30 Aschehoug www.lokus.no Side 45 av 66

Innsettingsmetoden: Vi regner ut Sxy (, ) = 3x+ 4yi de fem hjørnepunktene (0, 0), (0, 0), (0, 0), (0, 0) og (0, 0): S(0, 0) = 3 0 + 4 0 = 30 S(0, 0) = 3 0 + 4 0 = 60 S(0, 0) = 3 0 + 4 0 = 40 S(0, 0) = 3 0 + 4 0 = 80 S(0,0) = 3 0 + 4 0 = 40 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: S(x, y) er minst i punktet (0, 0). S (0, 0) = 30. 3.40 a Vi skriver inn settet med ulikheter i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet: Vi skriver inn de aktuelle linjene: x = 0 y = 0 x+ 4y = 000 x+ y = 600 x+ y = 450 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Vis navn og Verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja S = 3x+ y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 0, maks: 000 og animasjonstrinn 0.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet (50, 50), se figuren nedenfor. Vi ser av figuren at S = 750. Vi kan også finne S ved regning: S (50, 50) = 3 50 + 50 = 450 + 300 = 750. Aschehoug www.lokus.no Side 46 av 66

Innsettingsmetoden: Vi regner ut Sx (, y) = 3x+ y i de fire hjørnepunktene: (5, 0), (50, 50), (00, 00) og (0, 50): S(5, 0) = 3 5 + 0 = 675 S(50, 50) = 3 50 + 50 = 450 + 300 = 750 S(00, 00) = 3 00 + 00 = 300 + 400 = 700 S(0, 50) = 3 0 + 50 = 500 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: S(x, y) er størst i punktet (50, 50). S (50, 50) = 750. 3.4 a b På trinn bruker varetype A 0 min, og varetype B bruker 30 min. Trinn har en produksjonstid på 5 timer = 300 minutter. Når verkstedet produserer x enheter av type A og y enheter av type B, gir dette oss ulikheten på trinn : 0x+ 30y 300 x+ 3y 30 På trinn bruker varetype A 60 min og varetype B bruker 30 min. Trinn har en produksjonstid på 0 timer = 600 minutter. Dette oss ulikheten på trinn : 60x+ 30y 600 x+ y 0 I tillegg har vi ulikhetene x 0 og y 0, da det ikke er aktuelt med et negativt antall varetyper. Vi skriver inn settet med ulikheter i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet (se nedenfor). Vi skriver inn de aktuelle linjene: x+ 3y = 30 x+ y = 0 x = 0 y = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Vis navn og Verdi (se figuren nedenfor). Fortjenesten på 79 kr per enhet for varetype A og 056 kr per enhet for varetype B gir oss uttrykket for den totale fortjenesten S(x, y): Sx (, y) = 79x+ 056y Aschehoug www.lokus.no Side 47 av 66

Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja Sxy (, ) = 79x+ 056 y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 00, maks: 0 000 og animasjonstrinn 00.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet (6, 8), se figuren nedenfor. Vi ser av figuren at S = 3 00. Vi kan også finne S ved regning: S (6, 8) = 79 6 + 056 8 = 475 + 8448 = 3 00. Innsettingsmetoden: Vi regner ut Sxy (, ) = 79x+ 056y i de tre hjørnepunktene: (0, 0), (6, 8), og (0, 0): S(0, 0) = 79 0 + 056 0 = 790 S(6, 8) = 79 6 + 056 8 = 475 + 8448 = 3 00 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: S(x, y) er størst i punktet (6, 8). S (6, 8) = 3 00. 3.4 Det daglige behovet for næringsstoff I er minst 4 enheter. I sekk A er det enheter av næringsstoff I, og i sekk B er det enhet av næringsstoff I. x er antall sekker av type A, og y er antall sekker av type B. Dette gir oss følgende ulikhet for næringsstoff I: x+ y 4 Det daglige behovet for næringsstoff II er på minst enheter. Det er enhet av næringsstoff II i både sekk A og sekk B. Dette gir oss følgende ulikhet for næringsstoff II: x+ y Det daglige behovet for næringsstoff III er på minst 8 enheter. I sekk A er det enhet av næringsstoff III, og i sekk B er det 3 enheter av næringsstoff III. Det gir oss følgende ulikhet for næringsstoff III: x+ 3y 8 Når type A koster 75 kr per sekk og type B koster 50 kr per sekk, blir uttrykket S(x, y) for kostnaden ved å kjøpe x sekker av type A og y sekker av type B: S( x, y) = 75x+ 50y Vi har også ulikhetene x 0 og y 0 fordi det ikke er aktuelt med et negativt antall sekker. Aschehoug www.lokus.no Side 48 av 66

Vi skriver inn de fem ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: Vi skriver inn de aktuelle linjene: x+ y = 4 x+ y = x+ 3y = 8 x = 0 Løsninger til oppgavene i boka y = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja S = 75x+ 50y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 00, maks: 000 og animasjonstrinn 5.) Vi drar i glideren og ser at S får sin minste verdi i hjørnepunktet C(9, 3), se figuren nedenfor. Det betyr at gårdbrukeren må kjøpe 9 sekker av type A og 3 sekker av type B for å dekke det daglige behovet på billigst mulig måte. (Vi ser da at S = 5, det betyr at den laveste kostnaden er 5 kr, men det var ikke spurt om kostnaden i denne oppgaven.) Innsettingsmetoden: Vi regner ut S( x, y) = 75x+ 50y i de fire hjørnepunktene (0, 4), (, 0), (9, 3) og (8, 0): S(0,4) = 75 0 + 50 4 = 00 S(, 0) = 75 + 50 0 = 50 + 500 = 650 S(9, 3) = 75 9 + 50 3 = 675 + 450 = 5 S(8, 0) = 75 8 + 50 0 = 350 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: Oppdrettsanlegget må kjøpe 9 sekker av type A og 3 sekker av type B for å dekke det daglige behovet på billigst mulig måte. Aschehoug www.lokus.no Side 49 av 66

3.43 a Vi vet at når Sx (, y) 3x 5 y, Løsninger til oppgavene i boka = + vil S øke når vi beveger nivålinja i pilas retning på figuren: Vi regner ut Sx (, y) = 3x+ 5y for hjørnepunktene som kan gi oss større verdi enn 6: S(8,) = 3 8 + 5 = 4 + 5 = 9 S(6,, 3) = 3 6, + 5 3 = 8,6 + 5 = 33,6 S(3, 4) = 3 3 + 5 4 = 9 + 0 = 9 Vi ser at S(x, y) har sin største verdi i punktet S(6,, 3). S(6,, 3) = 33,6. b Vi vet at når Sx (, y) = 3x+ 5 y, vil S minke når vi beveger nivålinja i pilas retning på figuren: c d Vi regner ut Sx (, y) = 3x+ 5y for hjørnepunktene som kan gi oss mindre verdi enn 6: S(,4,) = 3,4+ 5 = 7,+ 5=, S(0, 4) = 3 0 + 5 4 = 0 Vi ser at S(x, y) har sin minste verdi i punktet S(,4, ). S(,4, ) =,. Vi har funnet at S(x, y) har sin største verdi i punktet S(6,, 3). Det punktet som ligger nærmest S(6,, 3) og som har heltallige verdier for x og y, er punktet S(6, 3). S(x, y) har derfor sin største verdi i punktet S(6, 3) når betingelsen er at x og y skal være heltallige. Vi regner ut S(6, 3): S (6, 3) = 3 6 + 5 3 = 8 + 5 = 33 Vi har funnet at S(x, y) har sin minste verdi i punktet S(,4, ). Det punktet som ligger nærmest S(,4, ) og som har heltallige verdier for x og y, er punktet S(3, ). S(x, y) har derfor sin minste verdi i punktet S(3, ), når betingelsen er at x og y skal være heltallige. Vi regner ut S(3, ): S(3, ) = 3 3 + 5 = 9 + 5 = 4 Aschehoug www.lokus.no Side 50 av 66

3.44 a Bedriften produserer x enheter av produkt A og y enheter av produkt B. Når det tar timer å produsere en enhet av A og 4 timer å produsere en enhet av B, og det er 960 timer til rådighet i produksjonsavdelingen, gir det oss ulikheten x+ 4y 960. Vi Denne ulikheten kan forkortes: x 4y 960 + 4 4 4 3x+ y 40 Det er 80 m hylleplass på lageret. Produkt A må ha én meter hylleplass per enhet og produkt B må ha m hylleplass per meter. Dette gir oss ulikheten x+ y 80. b Vi skriver inn ulikhetene (inkludert x 0 og y 0 ) i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet (se nedenfor). Vi skriver inn de aktuelle linjene: 3x+ y = 40 x+ y = 80 x = 0 y = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Vis navn og Verdi (se figuren nedenfor). Fortjenesten for produkt A er 3000 kr per enhet og fortjenesten for produkt B er 4500 kr per enhet. Det gir oss uttrykket S(x, y) = 3000x + 4500y. Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja S(x, y) = 3000x + 4500y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 000, maks: 500 000 og animasjonstrinn 000.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet (60, 60), se figuren nedenfor. Det betyr at bedriften må produsere 60 enheter av A og 60 enheter av B for å få størst mulig fortjeneste. Innsettingsmetoden: Vi regner ut Sxy (, ) = 3000x+ 4500y i de tre aktuelle hjørnepunktene: (80, 0), (60, 60), og (0, 90): S(80, 0) = 3000 80 + 4500 0 = 40 000 S(60, 60) = 3000 60 + 4500 60 = 80 000 + 70 000 = 450 000 S(0, 90) = 3000 0 + 4500 90 = 405 000 Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 66

c 3.45 a b Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: S(x, y) er størst i punktet (60, 60). Bedriften må produsere 60 enheter av A og 60 enheter av B for å få størst mulig fortjeneste. Vi ser av figuren i oppgave b at S = 450 000. Vi kan også finne S ved regning (som det er gjort i innsettingsmetoden i oppgave b: S (60, 60) = 3000 60 + 4500 60 = 80 000 + 70 000 = 450 000 Den største fortjenesten bedriften kan oppnå per uke, er 450 000 kr. Fabrikken produserer x kjoler av type A og y kjoler av type B per uke. Pia skal maks jobbe 36 timer per uke, og bruker time på å klippe stoff til kjole A og timer til kjole B. Det gir oss ulikheten x+ y 36. Kari skal også maks jobbe 36 timer per uke. Hun bruker,5 time på å sy kjole A og time på kjole B. Det gir oss ulikheten, 5x+ y 36. Selger Fredriksson regner ikke med å få solgt mer enn 5 kjoler til sammen per uke. Det gir ulikheten x+ y 5. Det er ikke aktuelt med et negativt antall kjoler, det betyr at de to siste ulikhetene blir x 0 og y 0. Vi skriver inn de fem ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet: c Når kjole A blir solgt for 00 kr per stykk og kjole B blir solgt for 500 kr per stykk, gir det oss en samlet inntekt S(x, y) = 00x + 500y. Vi fortsetter i GeoGebra-vinduet fra oppgave a og skriver inn nivålinja 5 000 = 00x + 500y i inntastingsfeltet. Vi skriver også inn de aktuelle linjene i inntastingsfeltet (én og én): x+ y = 36, 5x+ y = 36 x+ y = 5 x = 0 y = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Vis navn og Verdi (se figuren nedenfor). Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 66

Da får vi figuren d Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja S = 00x+500y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 000, maks: 40 000 og animasjonstrinn 000.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet (4, ), se figuren nedenfor. Det betyr at bedriften må produsere 4 kjoler av type A og kjoler av type B for å få størst mulig fortjeneste. e Vi regner ut hvor mange timer Pia og Kari bruker per uke på å produsere 4 kjoler av type A og kjoler av type B: Pia kan bruke 36 timer. Vi setter inn x = 4 og y = i ulikhetene for Pia: x+ y 36 4 + = 4 + = 36 Vi ser her at Pia ikke blir gående ledig. Kari kan også bruke 36 timer. Vi setter inn x = 4 og y = i ulikhetene for Kari:, 5x+ y 36,5 4 + = + = 3 Vi ser her at Kari blir gående ledig i 4 timer per uke. Aschehoug www.lokus.no Side 53 av 66

3.46 Løsninger til oppgavene i boka Plastfabrikken kan ikke produsere mer enn 50 boller per dag. Når x er antall A-boller og y er antall B-boller, gir det ulikheten: x+ y 50. Det går «en halv arbeider» per A-bolle og «en tredels arbeider» per B-bolle, og vi har til sammen 0 arbeidere. Det gir ulikheten x+ y 0 3 Vi skriver inn ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: og lager glider for inntekten S = 750x + 400y. Egenskapene til glideren kan f.eks. være min: 000, maks 00 000 og animasjonstrinn 000.) Vi ser at S er størst i punktet (0, 30). Det betyr at det lønner seg for bedriften å produsere 0 A-boller og 30 B-boller. 3.47 Halvparten av innholdet i blandingen Regulær er bringebærsaft, og innholdet av bringebærsaft i blandingen Super er. Når x er antall liter av safta Regulær og y er antall liter av Super, og 3 fabrikken har tilgang til 6000 liter bringebærsaft, gir det ulikheten x+ y 6000. 3 Halvparten av blandingen Regulær er ripssaft, og innholdet av ripssaft i blandingen Super er 3. Fabrikken har tilgang til 4000 liter ripssaft, og det gir ulikheten: x+ y 4000. 3 Vi skriver inn ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: og lager glider for inntekten S = 7,5x + 9y. (Egenskapene til glideren kan f.eks. være min: 000, maks: 00 000 og animasjonstrinn: 000.) Aschehoug www.lokus.no Side 54 av 66

Vi ser at S er størst i punktet (4000, 6000). Det betyr at fabrikken må lage 4000 liter av blandingen Regulær og 6000 av blandingen Super for å få størst mulig fortjeneste. Vi ser at fortjenesten blir 84 000 kr. 3.48 a Det tar 0 timer å lage en spisestuestol og 4 timer å lage en kjøkkenstol. Snekkeren har 46 timer til rådighet per uke. Når x er antall spisestuestoler og y er antall kjøkkenstoler, gir det ulikheten 0x+ 4y 46. Det kan ikke lages mer enn 0 stoler per uke: x+ y 0. Man kan ikke produsere et negativt antall stoler: x 0 og y 0. Vi skriver inn ulikhetene i GeoGebra og lager glider for fortjenesten S = 000x + 000y. (Egenskapene til glideren kan f.eks. være min: 00, maks: 5 000 og animasjonstrinn: 00.) b Vi ser at S er størst når det produseres 0 spisestuestoler og 9 kjøkkenstoler. Da er fortjenesten 000 kr. Vi kan øke fortjenesten S ved å endre nivålinja til den er identisk med linja 0x+ 4y = 46. Det betyr at S må endre både stigningstall og konstantledd. Vi finner konstantleddet til linja 0x+ 4y = 46 ved å velge verktøyet Skjæring mellom to objekt, og får punktet (0,,5). Vi setter inn y =,5 i likningen for den nye nivålinja når x = 0: Aschehoug www.lokus.no Side 55 av 66

S = 0 + 000y S = 000,5 S = 500 Det betyr at den nye fortjenesten er 500 kr. Den økte prisen på spisestuestolene settes lik p: px + 000y = 500 p + 000 9 = 500 p = 500 9000 p = 500 Snekkeren kan øke prisen på spisestuestolene fra 000 kr til 500 kr. 3.49 a b Måltidet skal inneholde x hg brød, y hg gaudaost og hg lettmelk. Med næringsinnholdet gitt i tabellen får vi ulikhetene for høyst 3000 kj energi: 090x+ 570y+ 88 3000 090x+ 570y 3000 376 090x+ 570y 64 For høyst 30 g fett får vi, 4x+ 8 y+,5 30, 4x+ 8y 30 3,0, 4x+ 8y 7 I tillegg har vi ulikhetene x 0 og y 0. Vi skriver ulikhetene inn i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får grafområdet der vi også har markert de aktuelle hjørnepunktene: c Proteininnholdet kan uttrykkes som en nivålinje P(x, y): Pxy (, ) = 9,5x+ 7 y+ 4,6 Pxy (, ) = 9,5x+ 7 y+ 9, Vi lager en glider for proteininnholdet. (Egenskapene til denne glideren kan f.eks. være min: 0, maks: 50 og animasjonstrinn 0,.) Aschehoug www.lokus.no Side 56 av 66

3.50 Løsninger til oppgavene i boka Vi ser at S = 44,. Det betyr at maks. proteininnhold i måltidet er 44, g. (Måltidet består da av, hg brød og 0,9 hg gaudaost.) Vi kan også regne ut proteininnholdet: P (,, 0,9) = 9,5, + 7 0,9+ 9, = 0, 45 + 4,57 + 9, = 44, Vi har x kg av matvare A og y kg av matvare B: Vi får ulikheten for tiamin: 4, x+,8y 0,5 For energi får vi ulikheten: 5x+ y,5 I tillegg har vi at x 0 og y 0. Vi skriver inn ulikhetene i GeoGebra: Og markerer de aktuelle hjørnepunktene. Fordi vi skal oppgi svaret i gram, har vi valgt 4 desimaler under Innstilling og Avrunding. Vi lager en glider for kostnaden av matvarene K( x, y) = 0x+ 0y og ser at K =,8. (Egenskapene til glideren kan f.eks. være min:, maks: 0 og animasjonstrinn 0,.) 0,0794 kg = 79,4 g og 0,0595 kg = 59,5 g. Vi får lavest mulig kostnad når hun bruker 79,4 g av matvare A og 59,5 g av matvare B. 3.5 a Fruktbonden dyrker x mål med epler, y mål med pærer, og på resten av de 50 målene med jord han kan bruke, dyrker han appelsiner. Det betyr at han dyrker appelsiner på 50 x y mål. Vi får følgende ulikhet for arbeidstimer: 4x+ 6y+ (50 x y) 700 4x+ 6y+ 600 x y 700 x+ 4y 00 x+ y 50 Ulikheten for kostnadene ved å dyrke: 800x+ 000y+ 00(50 x y) 50 000 800x+ 000y+ 60 000 00x 00y 50 000 400x 00y 0 000 x+ y 50 Aschehoug www.lokus.no Side 57 av 66

b Ulikheten for bruk av gjødsel: 36x+ 4y+ 40(50 x y) 800 36x+ 4y+ 000 40x 40y 800 4x 6y 00 x+ 4y 50 I tillegg har vi med ulikhetene x 0 og y 0 fordi antall mål ikke kan være en negativ størrelse. Vi skriver ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får det markerte grafområdet: c Ixy (, ) = 800x+ 400y+ 3000(50 x y) Ixy (, ) = 800x+ 400y+ 50 000 3000x 3000y Ixy (, ) = 50 000 00x 600y d Vi lager en glider for inntekten Ixy (, ) = 50 000 00x 600y. (Egenskapene kan f.eks. være min: 30 000, maks: 50 000 og animasjonstrinn 0.) Vi ser at S er størst i punktet (,43, 7,4). Det er vanskelig å treffe punktet nøyaktig med glideren. Vi regner derfor ut inntekten: I (, 43, 7,4) = 50 000 00, 43 600 7,4 = 4 430 Fruktbonden kan få en maksimal inntekt på 4 430 kr. Aschehoug www.lokus.no Side 58 av 66

Kapitteltest Del Uten hjelpemidler Oppgave a Vi regner ut verdiene av Sx (, y) = 0x+ 5y i punktene A(3, ), B(6, ), C(4, 4) og D(, 3): S (3,) = 0 3 + 5 = 30 + 5 = 35 A S (6, ) = 0 6 + 5 = 60 + 0 = 70 S B C (4, 4) = 0 4 + 5 4 = 40 + 0 = 60 SD (, 3) = 0 + 5 3 = 0 + 5 = 5 Vi ser at av S(x, y) har sin største verdi i punktet B(6, ). Da er S = 70. Vi ser at av S(x, y) har sin minste verdi i punktet D(, 3). Da er S = 5. b Når x = 5, ser vi at S(x, y) har sin største verdi innenfor grafområdet når y = 3. S (5, 3) = 0 5 + 5 3 = 50 + 5 = 65 c Når x =, ser vi at S(x, y) har sin minste verdi innenfor grafområdet når y =. S (, ) = 0 + 5 = 0 + 0 = 30 Oppgave a Vi regner ut verdiene av Z( x, y) = 5x+ 5yi punktene A(3, ), B(6, ), C(4, 4) og D(, 3): Z (3,) = 5 3 + 5 = 75 + 5 = 00 b A Z (6, ) = 5 6 + 5 = 50 + 50 = 00 Z B C (4, 4) = 5 4 + 5 4 = 00 + 00 = 00 ZD (, 3) = 5 + 5 3 = 5 + 75 = 00 Vi ser at Z har sin største verdi i punktet B(6, ) og C(4, 4). Når Z har samme verdi i hjørnepunktene B og C, har Z samme verdi i alle punktene som ligger på linjestykket BC. Disse heltallige punktene er (4, 4), (5, 3) og (6, ). Vi ser fra oppgave a at Z har sin minste verdi i punktet A(3, ) og D(, 3). Når Z har samme verdi i hjørnepunktene A og D, har Z samme verdi i alle punktene som ligger på linjestykket AD. Disse heltallige punktene er (, 3), (, ) og (3, ). c Vi omgjør nivålinja for Z = 50 til formen y = ax + b : 50 = 5x+ 5y 5y = 5x+ 50 y = x+ 6 Aschehoug www.lokus.no Side 59 av 66

Vi tegner denne linja inn i grafområdet: Oppgave 3 Vi ser at linja går gjennom to punkter med heltallige koordinater: (4, ) og (3, 3). a Vi omgjør ulikhetene til rette linjer på formen y = ax + b: Ulikhet I: Ulikhet II: Ulikhet III: Ulikhet IV: x+ y 6 x+ y = 6 y = x+ 6 x+ y 8 y = x+ 8 y = x+ 4 x x = y 0 y = 0 Vi tegner de rette linjene inn i et koordinatsystem og markerer det aktuelle grafområdet: b c 5 9 5 9 5 63 5 7 + 63 75 + 63 38 S, = 5 + 7 = + = = = = 7 4 4 4 4 4 4 Vi markerer hjørnepunktene A, B, C og D i koordinatsystemet, og regner ut verdien til punktene: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linja x = og y = 0. Koordinatene til hjørnepunktet A er (, 0). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene y = x+ 6 og y = 0. 0= x + 6 x = 6 Koordinatene til hjørnepunktet B er (6, 0). Aschehoug www.lokus.no Side 60 av 66

Hjørnepunktet C er skjæringspunktet mellom linja x+ 4= x+ 6 x+ x= 6 4 x = x = 4 y = 4+ 6= y = x+ 4 og y = x+ 6 : Koordinatene til hjørnepunktet C er (4, ). Hjørnet D er skjæringspunktet mellom linja x = og y = x+ 4. y = + 4 = + 4 = 3 Koordinatene til hjørnepunktet D er (, 3). Verdien til punktene A, B, C og D er markert på figuren nedenfor: Vi regner ut verdiene av Sxy (, ) = 5x+ 7yi punktene A(, 0), B(6, 0), C(4, ) og D(, 3): S A(, 0) = 5 + 7 0 = 0 SB (6, 0) = 5 6 + 7 0 = 30 SC (4, ) = 5 4 + 7 = 0 + 4 = 34 S (, 3) = 5 + 7 3 = 0 + = 3 D Vi ser at S(x, y) har sin største verdi i punktet C(4, ). Da er S = 34. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 66

Oppgave 4 a Vi kaller de tre linjene a, b og c, se figuren nedenfor. Vi ser at linje a har konstantledd lik 5 og stigningstall. Grafområdet ligger nedenfor 3 linja. Det gir oss ulikheten y x+ 5 eller 3y+ x 5. 3 Vi ser at linje b har stigningstall. Vi velger punktet (3, 4) på linja, og bruker ettpunktsformelen y y = ax ( x) for å finne likningen for linja: y y= ax ( x) y 4 = ( x 3) y 4= x+ 3 y = x+ 7 5y + 3 5 = 5 5y = 5 5 y = Grafområdet ligger nedenfor linja. Det gir oss ulikheten y x+ 7 eller y+ x + 7. Vi ser at linje c ha stigningstall. Vi velger punktet (5, ) på linja: y y= ax ( x) y = ( x 5) y = x+ 0 y = x+ Grafområdet ligger nedenfor linja. Det gir oss ulikheten y+ x. I tillegg har vi ulikhetene x 0 og y 0. b Vi ser at den rette linja på figuren har konstantledd 4 og stigningstall Det gir oss linja y = x+ 4 eller y = x + 4 x+ y = 8. Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 66

c Vi regner ut verdiene av Sxy (, ) = x+ yi punktene (0, 5), (3, 4), (5, ) og (6, 0): S(0,5) = 0+ 5= 0 S(3, 4) = 3 + 4 = S(5, ) = 5 + = 9 S(6, 0) = 6 + 0 = 6 Vi ser at av S(x, y) har sin største verdi i punktet (3, 4). Da er S =. d Vi tegner inn den rette linja 5y+ 3x 5 ved å velge to punkter på linja: x = 0 gir y = 5. Punktet (0, 5) ligger derfor på linja. x = 5 gir 5y + 3 5 = 5 5y = 5 5 y = Punktet (5, ) ligger derfor på linja. Vi får et nytt grafområde: Løsninger til oppgavene i boka Vi bruker verdiene av Sx (, y) = x+ yi punktene (0, 5), (5, ) og (6, 0) som vi regnet ut i oppgave c, og ser at S(x, y) har sin største verdi i punktet (0, 5). Da er S = 0. Del Med hjelpemidler Oppgave 5 a Det produseres x enheter av varen Hast og y enheter av varen Drag. Bedriften skal ikke bruke mer enn 48 timer = 880 minutter på produksjonen. Det tar 0 minutter å produsere en enhet av Hast og 60 minutter å produsere en enhet av Drag. Det gir oss ulikheten 0x+ 60y 880 0x 60y 880 + 60 60 60 x+ y 48 Det skal produseres minst 9 enheter av Hast og minst 0 enheter av Drag: x 9 y 0 Aschehoug www.lokus.no Side 63 av 66

b Uttrykket for bedriftens inntekt I(x, y) blir I( x, y) = 500x+ 00y Vi skriver inn ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: og markerer det aktuelle grafområdet: Vi lager glider for Ixy (, ) = 500x+ 00y. (Eks. på Egenskaper kan være min: 8000, maks: 000 og animasjonstrinn 00.) Vi ser at inntekten blir størst i punktet (4, 0), se figuren nedenfor. Det betyr at bedriften må produsere (og selge) 4 enheter av Hast og 0 enheter av Drag for å få størst mulig inntekt. Oppgave 6 a b Når den totale inntekten ved salg av x enheter av produkt A og y enheter av produkt B er gitt ved Sx (, y) = 00x+ 50y, står tallet 00 for inntekten per enhet for produkt A, og tallet 50 står for inntekten per enhet for produkt B. For å svare på dette spørsmålet må vi først markere det aktuelle grafområdet og se om punktene (340, 50) og (80, 50) ligger innenfor dette. Vi ser at punktet (340, 50) ligger utenfor grafområdet, og punktet (80, 50) ligger innenfor det aktuelle grafområdet. Det er derfor ikke mulig å produsere 340 enheter av varetype A og 50 enheter av varetype B. Men det er mulig å produsere 80 enheter av varetype A og 50 enheter av varetype B. Aschehoug www.lokus.no Side 64 av 66

c Vi lager en glider for inntekten Sxy (, ) = 00x+ 50y. (Egenskaper kan f.eks. være min: 00, maks: 00 000 og animasjonstrinn 000 og ser at den er størst når S = 60 000): d Det betyr at bedriften må produsere og selge 300 enheter av varetype A og 00 enheter av varetype B for å få størst mulig inntekt. Vi kan øke fortjenesten S ved å endre nivålinja til den er identisk med linja 3x+ y = 300. Det betyr at S må endre både stigningstall og konstantledd. Ved å sette x = 0 i 3x+ y = 300 ser vi at konstantleddet blir 650. (0, 650). Vi setter inn punktet (0, 650) inn i likningen for den nye nivålinja S (0, 650) = 0 + 50 650 = 97 500 Det betyr at den nye inntekten er 97 500 kr. Den økte prisen på varetype A settes lik p: p x+ 50 y = 97 500 p 300 + 50 00 = 97 500 300 p = 97 500 30 000 p = p = 67 500 300 5 Prisen på varetype A kan økes med 5 kr, fra 00 til 5 kr. Aschehoug www.lokus.no Side 65 av 66

Oppgave 7 a Løsninger til oppgavene i boka Vi setter antall campinghytter lik x og antall campingvogner lik y. Når det skal bygges minst 5 campinghytter, får vi ulikheten x 5. Det kan ikke settes opp et negativt antall campinghytter: y 0. Hver campinghytte krever et areal på 60 m, og hver campingvogn krever et areal på 45 m. Området har et areal på 6300 m : 60x+ 45y 6300 Kostnaden ved å bygge hver campinghytte er 00 000 kr, og kostnaden ved å lage plass for en campingvogn er 0 000 kr. Det skal brukes maks. 8 000 000 kr på prosjektet: 00 000x + 0 000y 8 000 000 Vi skriver inn ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet: b Vi lager en glider for inntekten campingplassen får ved utleie av campinghytter og campingvogner: Ixy (, ) = 600x+ 00y. (Egenskapene til glideren kan f.eks. være min: 5000, maks: 40 000 og animasjonstrinn 000.) Vi ser at S er størst i punktet (30, 00). Det betyr at utvidelsen må inneholde 30 campinghytter og 00 campingvogner for at inntekten per døgn skal bli størst mulig. Aschehoug www.lokus.no Side 66 av 66