FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving ØVING Mesteprten v denne øvingen går ut på å gjøre seg kjent med spinn, men øvingen inneholder også en oppgve om koherente tilstnder. Denne er en fortsettelse v oppgve 8, så du ør t med løsningsforslget til øving 8. Øvingen er knskje litt dryg, så det vil være lurt å gjøre unn litt før du møter opp til veiledning f.eks den første oppgven og det meste v den siste. Oppgve Spinn At en prtikkel hr spinn s = etyr t størrelsen v den indre dreieimpulsen spinnet S er stet og undet til S = h ss + = h +, mens de mulige egenverdiene spektret til z-komponenten v spinnvektoren er S z = h og S z = h. Til disse to tilstndene svrer det i kvntemeknisk teori to ket-vektorer i et strkt to-dimensjonlt vektorrom spinnrommet: spinn opp S z = h svrer til vektoren spinn opp s =, m = +, spinn ned S z = h svrer til vektoren spinn ned s =, m =. Den mest generelle tilstnden for dette spinnet er d en lineærkominsjon v disse to sisvektorene: χ = spinn opp + spinn ned. Her er de komplekse koeffisientene og snnsynlighetsmplitudene for å måle henholdsvis spinn opp og spinn ned. Anlogt med t en ordinær to-dimensjonl vektor A = A x ê x + A y ê y kn representeres v søylemtrisen χ = Ax A y og normeringsetingelsen kn skrives som, kn spinntilstnden representeres ved søylemtrisen = χ χ = χ χ = + = + =. Her er snnsynligheten for å måle S z = h spinn opp og er snnsynligheten for å måle spinn ned.. Vis t Puli-spinorene χ + = er egentilstnder til mtriseopertorene S = 3 4 h og χ = 3 4 h og S z = h, og t egenverdiene hrmonerer med t χ + og χ eskriver spinn opp og spinn ned.,
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving. Som forklrt i forelesningene, representeres opertorene Ŝx, Ŝy, Ŝ+ og Ŝ ved mtrisene S + = h S x = h hσ +, S = h hσ x, S y = h i i hσ, hσ y. Regn ut S + χ + og S + χ og kontrollér t resulttene stemmer med den generelle formelen som vi fnt i forelesningene med s =.. I tilstnden χ = Ŝ + s, m = h s ms + + m s, m + eregnes forventningsverdien v f.eks S z vh sndwih-formelen S z χ = χ Ŝz χ = χ S z χ = h Regn ut denne, og kontrollér t resulttet stemmer med snnsynlighetstolkningen v koeffisientene og. d. Beregningen ovenfor gir resulttet for σ z χ. Vis tilsvrende t σ x χ = Re og σ y χ = Im. os Finn spinnretningen σ = ê x σ x + ê y σ y + ê z σ z for tilstnden χ θ = sin θ. Se på spesiltilfellene θ =, θ = π og θ = π. Hv venter du å finne for S xχ i det siste tilfellet? e. Kontrollér formelen ovenfor for mtrisen S +, ved hjelp v stigeopertor-relsjonen ovenfor. Husk t mtrisene er ordnet etter mønsteret, og t ++ + + der ± s =, m = ±. S + + = + Ŝ+, et,. Oppgve Mer spinn eksmensoppgve, litt modifisert For en prtikkel med spinn kn en som vi nettopp hr sett representere spinnopertoren ved mtrise-opertoren S = hσ = hê xσ x + ê y σ y + ê z σ z, der σ x =, σ y = i i, σ z =
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving 3 er de såklte Puli-mtrisene. I denne oppgven ntr vi t noen hr preprert et ensemle v slike spinn i tilstnden χ = / + e iα / = / e iα = e iα /, men uten å fortelle oss hvor stor vinkelen α er.. Vis t tilstnden χ er normert. Ant t S z måles for dette ensemlet. Hv er snnsynlighetene for å måle henholdsvis S z = + h og S z = h? Gir disse målingene informsjon om vinkelen α? Hv kn du si om tilstnden til spinnet umiddelrt etter målingen v S z?. I forrige oppgve så vi t forventningsverdien v S for en normert spinntilstnd χ = er S = h σ = h ê x σ x + ê y σ y + ê z σ z, der σ x = Re, σ y = Im, σ z =. Vektoren σ ngir spinnretningen for spinntilstnden χ =. Beregn σ for tilstnden oppgitt innledningsvis, og finn på den måten den fysiske etydningen v vinkelen α. Hvordn ville du gå frm for å teste resulttet for σ for tilstnden χ eksperimentelt det vil l. si å finne vinkelen α? [Hint: Du får lov å gjent prepreringen v tilstnden χ så mye du vil, og du står fritt til å måle hvilke som helst komponenter v S.]. Etter prepreringen v tilstnden χ står vi som nevnt fritt til å måle hvilken som helst komponent ˆn S v spinnet. Hv lir forventningsverdien om vi måler komponenten i retningen ˆn = σ, ltså komponenten σ S, der σ er retningsvektoren funnet ovenfor? Hint: Det kn vises l. vh formlene for σ x, σ y og σ z t σ σ =. Det opplyses t de mulige måleresulttene er ± h, unsett hvilken komponent v S vi måler. Argumentér for t den oppgitte tilstnden χ d må være en egentilstnd til opertoren σ S, og ngi egenverdien. Oppgve 3 Litt mer om koherente tilstnder Denne oppgven spinner litt videre på oppgve 8 i øving 8, der vi så på koherente osilltortilstnder. Disse hr følgende egenskper: i En koherent osilltortilstnd er hele tiden en egentilstnd til nnihilsjonsopertoren mω = h q + i p. m hω Egenverdien α er tidsvhengig, αt = α e iωt, unnttt når den er lik null. ii En koherent tilstnd hr ved estemte tidspunkter smme form som en forskjøvet grunntilstnd.
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving 4 iii En koherent tilstnd hr hele tiden smme snnsynlighetstetthet som en forskjøvet grunntilstnd, og hr følgelig smme usikkerhet i posisjon og impuls som sistnevnte, nemlig h q = mω m hω og p =, slik t q p = h. I oppgve 8 så vi t disse egenskpene henger smmen: I pkt. e så vi t usikkerhetene q og p ovenfor følger direkte fr egenverdiligningen Ψt = α Ψt, og ltså er uvhengige v α, og dermed de smme som for α = som svrer til grunntilstnden. I pkt. og pkt. d viste vi t når egynnelsestilstnden er koherent, Ψ = α Ψ, så følger det t den er koherent for lle tider, med αt = α e iωt. I pkt. viste vi t en forskjøvet grunntilstnd er en egentilstnd til, og dermed gir opphv til en koherent tilstnd.. Ant nå en egynnelsestilstnd som vi hr sett før Ψq, = q Ψ = mω /4 e mωq / h e ipq/ h. π h Vis t denne er en egentilstnd til posisjonsrepresentsjonen p.r. = mω h q + h mω v opertoren, og estem egenverdien α og dermed αt = α e iωt.. Vis t egenverdiligningen oppfylles v ølgefunksjonen Hint: D q p.r. Ψq, t = αt Ψq, t Ψq, t = Cte mωq q t / h e i p t q/ h. αt = t = kn egenverdiligningen skrives på formen = [ t ]Ψq, t = mω h q t + i p t, m hω [ mω h q q t + i p p t m hω ] Ψq, t.. Hv lir q t og p t for denne tilstnden? For hvilke t hr Ψq, t form v en forskjøvet grunntilstnd for osilltoren? [Hint: Husk t αt = α e iωt.]
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving 5 Oppgve 4 Spinn For en prtikkel med spinn s = S = h + = h kn S z h verdiene h, og h. Med disse tre tilstndene kn vi ssosiere tre strkte vektorer: s =, m =,, s =, m =, og s =, m =,. Den mest generelle tilstnden for dette systemet, vektoren kn vi representere ved en søylemtrise χ = χ = + +, = χ χ χ. Skriv ned de tre søylemtrisene χ m som representerer de tre tilstndsvektorene, og, og kontrollér t mtrise-opertoren S z = h nvendt på mtrisene χ m gir de korrekte egenverdiene.. Hvilke egenverdier og måleresultter venter du å finne for komponenten S x v dette spinnet?. Ant t spinnet er i tilstnden / χ = / / = +. + Påvis t χ er normert. Hv er snnsynlighetene for å måle S z = h, og h, og hv er forventningsverdien v S z, i denne tilstnden? d. Fr relsjonene S ± χ,m = h m + ± mχ,m± kn en overevise seg om t stigeopertorene Ŝ+ og Ŝ for spinn representeres v mtrisene S + = h og S = S + = h slik t S x = S ++S = h. og S y = i S + S = h Vis t den oppgitte tilstnden χ er en egentilstnd til S x og finn egenverdien., i i i i.
FY45/TFY45 Kvntemeknikk I, - øving 6 e. Finn egentilstnden til S x med egenverdi lik. [Hint: Sett χ = og løs egenverdiligningen S x =.]